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圆锥曲线综合题 及答题答案


12.10 作业

学号:

姓名:

1.(2011 门头沟一模文 5).椭圆两焦点为 F1 (?4,0) , F2 (4,0) ,P 在椭圆上,若△ PF 1F 2 的 面积的最大值为 12,则该椭圆的标准方程为 A.

x2 y 2 ? ? 1 B. 25 9

x2 y 2 ? ? 1 C. 25 16

x2 y 2 ? ? 1 D. 16 9

x2 y2 ? ?1 10 6

2. ( 2011 年房山区期末文 7)已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线方程是 a 2 b2

y ? 3x ,它的一个焦点在抛物线 y 2 ? 8x 的准线上,则双曲线的方程为( )
y2 ?1 A. x ? 3
2

x2 ? y2 ? 1 B. 3

x2 y 2 ? ?1 C. 4 12
2

x2 y 2 ? ?1 D. 12 4

3.(2011 年东城区期末文 7)已知斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y ? ax 的焦点 F ,且与 y 轴 相交于点 A , 若△ OAF ( O 为坐标原点)的面积为 4 ,则抛物线方程为( ) A. y 2 ? 4 x B. y 2 ? 8x C. y 2 ? 4 x 或 y 2 ? ?4x D. y 2 ? 8x 或 y 2 ? ?8x

4. ( 2011 西 城 一 模 文 11 ) . 双 曲 线 C :

x2 ? y 2 ? 1 的 离 心 率 为 ______ ; 若 椭 圆 2

x2 ? y 2 ? 1(a ? 0) 与双曲线 C 有相同的焦点,则 a ? ______. 2 a
5. (2011 东城一模文 9)抛物线 y 2 ? 8x 的焦点坐标为 .

6.(2011 丰台一模理 10).双曲线的焦点在 x 轴上,实轴长为 4,离心率为 3,则该双曲线的 标准方程为

x2 y 2 ? ? 1 ,渐近线方程为 4 32
2



7.(2011 朝阳一模文 12). 抛物线 y ? 4x 上一点 M 与该抛物线的焦点 F 的距离 | MF |? 4 , 则点 M 的横坐标 x = .
2

8.(2011 丰台文 9).已知抛物线 y ? 4 x 上一点 P(3,y),则点 P 到抛物线焦点的距离为



9. (2011 年东城区期末文 13)设椭圆的两个焦点分别为 F1 , F2 ,过 F2 作椭圆长轴的垂线 交椭圆于点 P ,若△ F 1PF2 为等腰直角三角形,则椭圆的离心率为 .

10. (2011 年西城期末文 13)已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的离心率为 2 ,它的一个焦点与抛物 a 2 b2

线 y 2 ? 8x 的焦点相同, 那么双曲线的焦点坐标为_

_____;渐近线方程为_______.

11.(2013 届北京丰台区一模文科)已知椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的右焦点为 F(2,0), a 2 b2

且过点 P(2, 2 ).直线 l 过点 F 且交椭圆 C 于 A、B 两点. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若线段 AB 的垂直平分线与 x 轴的交点为 M(

1 , 0 ),求直线 l 的方程. 2

12.11 作业

学号:
2

姓名:

1. (2012 年海淀区高三期末考试文 9) 双曲线

x y ? ? 1 的离心率为 4 5

2

.

2.(2012 年昌平区高三期末考试文 12) 已知双曲线

x2 ? y 2 ? 1 的右焦点恰好是抛物线 m

y 2 ? 8x 的焦点,则 m ?

.

3.(2012 年西城区高三期末考试文 10) 双曲线 是______.

x2 y 2 ? ? 1 的一个焦点到其渐近线的距离 16 9

4.(2011 年海淀期末文 11)椭圆

x2 y2 ? ? 1 的右焦点 F 的坐标为 25 16

.则顶点在原点

的抛物线 C 的焦点也为 F ,则其标准方程为

x2 y2 ? ? 1有 5. (2011 年昌平期末理 13) 已知双曲线的渐近线方程为 y ? ?2 x , 且与椭圆 49 24
相同的焦点,则其 焦点坐标为 _________, 双曲线的方程是____________. 6.(2011 年石景山期末理 11)已知直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 经过椭圆 一个顶点和一个焦点, 那么这个椭圆的方程为

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的 a 2 b2
, 离心率为___ ____.

7.(2011 年海淀期末理 12)如图,已知 AB ? 10 ,图中的一系列圆是圆心分别为 A、B 的 两组同心圆,每组同心圆的半径分别是 1,2,3,?,n,?.利用这两组同心圆可以画出以 A、B 为焦点的双曲线. 若其中经过点 M、N、P 的双曲线的离心率分别是 eM , eN , eP .则它们 的大小关系是 (用“ ? ”连接).

8.(2012 年西城区高三期末考试理 10) 若双曲线 x ? ky ? 1 的一个焦点是 (3, 0) ,则实
2 2

数 k ? ______.

x2 y 2 3 9. (2011 年东城区期末文 19) 已知椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的长轴长为 4 , 且点 (1, ) a b 2
在椭圆上. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)过椭圆右焦点的直线 l 交椭圆于 A, B 两点, 若以 AB 为直径的圆过原点,求直线 l 方程.

12.10 答案 解:(Ⅰ)设椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 ,则 a 2 b2

?a 2 ? b 2 ? 4 x2 y 2 ? 2 2 ? ? 1, ,解得 a ? 8 , b ? 4 ,所以椭圆 C 的方程为 ?4 2 8 4 ? 2 ? 2 ?1 ?a b
(Ⅱ)当斜率不存在时,不符合题意, 当斜率存在时设直线 l 的方程为 y=k(x-2),A(x1,y1)、B(x2,y2),AB 的中点为 N(x0,y0),

? x2 y 2 ?1 ? ? 由? 8 得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 8k 2 ? 8 ? 0 , 4 ? y ? k ( x ? 2) ?
因为 ? ? 64k 4 ? 4(1 ? 2k 2 )(8k 2 ? 8) ? 32(k 2 ? 1) ? 0 , 所以 x1 ? x2 ?

8k 2 , 1 ? 2k 2

x1 ? x2 4k 2 ?2k ? 所以 x0 ? , y0 ? k ( x0 ? 2) ? , 2 1 ? 2k 2 2 1 ? 2k
因为线段 AB 的垂直平分线过点 M(

1 , 0 ), 2

所以 kMN ? k ? ?1 ,即

y0 x0 ? 1 2

? k ? ?1,所以 ?

2k 2 4k 2 1 ? ? ? , 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2

解得, k ? ?

2 , 2

所以直线 l 的方程为 x ? 2 y ? 2 ? 0 或 x ? 2 y ? 2 ? 0

x2 y 2 12.11 解: (Ⅰ)由题意: 2a ? 4 , a ? 2 .所求椭圆方程为 ? ?1 . 4 b2
又点 (1,

x2 3 ) 在椭圆上,可得 b ? 1 .所求椭圆方程为 ? y 2 ? 1 . 4 2

?5 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 a2 ? 4, b2 ? 1 ,所以 c ? 3 ,椭圆右焦点为 ( 3,0) . 因为以 AB 为直径的圆过原点,所以 OA ? OB ? 0 . 若直线 AB 的斜率不存在,则直线 AB 的方程为 x ? 3 . 直线 AB 交椭圆于 ( 3, ), ( 3, ? ) 两点, OA ? OB ? 3 ?

1 2

1 2

1 ? 0 ,不合题意. 4

若直线 AB 的斜率存在,设斜率为 k ,则直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 3) . 由?

? ? y ? k ( x ? 3), ? ? x ? 4 y ? 4 ? 0,
2 2

可得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 8 3k 2 x ?12k 2 ? 4 ? 0 .

由于直线 AB 过椭圆右焦点,可知 ? ? 0 . 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?

8 3k 2 12k 2 ? 4 , , x x ? 1 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

y1 y2 ? k 2 ( x1 ? 3)( x2 ? 3) ? k 2 [ x1 x2 ? 3( x1 ? x2 ) ? 3] ?
所以 OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? 由 OA ? OB ? 0 ,即

?k 2 . 1 ? 4k 2

12k 2 ? 4 ?k 2 11k 2 ? 4 ? ( ) ? . 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

11k 2 ? 4 4 2 11 ? 0 ,可得 k 2 ? , k ? ? . 2 1 ? 4k 11 11
2 11 ( x ? 3) . 11
????????14 分

所以直线 l 方程为 y ? ?


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