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湖北省武汉二中2013-2014学年高二数学上学期期中试题 理 新人教A版

武汉二中 2013——2014 学年上学期高二年级期中考试数学(理科) 试卷
考试时间:2013 年 11 月 7 日 上午 09:00—11:00 试卷满分:150 分 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.) 1. 三个数 208,351,429 的最大公约数是( ) A.65 B.91 C.26 D.13 2. 把 389 转化成四进制数时,其末位是( ) A.2 B.1 C.3 D.0 3. 用秦九韶算法计算多项式 f ( x) ? 0.5x5 ? 4 x4 ? 3x2 ? x ? 1 当 x ? 3 的值时,先算的是( A. 3 ? 3 ? 9 C. 0.5 ? 3 ? 4 ? 5.5 B. 0.5 ? 35 ? 121.5 D. (0.5 ? 3 ? 4) ? 3 ? 16.5 ) )

4. 若实数 a , b 满足 a ? 2b ? 3 ,则直线 2ax ? by ? 12 ? 0 必过定点(

A. (-2 ,8) B. (2 ,8) C. (-2 ,-8) D. (2 ,-8) 5. 如图,矩形 ABCD 和矩形 ABEF 中,矩形 ABEF 可沿 AB 任意翻折, AF ? AD, M 、N 分 别 在 A E、 D B上 运 动 , 当 F、 A 、D 不 共 线 , M 、N 不与 A、 D 重合,且 AM ? DN 时,有( ) A. MN / / 平面 FAD B. MN 与平面 FAD 相交 C. MN ? 平面 FAD D. MN 与平面 FAD 可能平行,也可能相交 6. 设 a, b, m 为整数 ( m ? 0) ,若 a 和 b 除以 m 所得到的余数相同,则称 a 和 b 对模 m 同余,记
1 2 3 20 为 a ? b(mod m). 已知 a ? 1 ? C20 ? C20 ? 2 ? C20 ? 22 ? ? C20 ?219, b ? a(mod10),则 b 的值可 以是( ) A.2015 B.2014 C.2013 D.2011 7. 设区间 [0,1] 是方程 f ( x ) ? 0 的有解区间,用二分法求出方程 f ( x ) ? 0 在 区 间 [0,1] 上 的 一 个 近 似 解 的 流 程 图 如 图 , 设 a, b ?[0,1] ,现要求精确度为 ? ,图中序号①,②处应填入的

内容为( A. a ?

) B. b ?

a?b a ?b ;b ? 2 2 b a C. a ? ; b ? 2 2

a ?b a ?b ;a ? 2 2 a b D. b ? ; a ? 2 2

8. 有以下四个命题: ①从 1002 个学生中选取一个容量为 20 的样本,用系统抽样的方法进行抽取时先随机剔 除 2 人, 再将余下的 1000 名学生分成 20 段进行抽取, 则在整个抽样过程中, 余下的 1000 名学生中每个学生被抽到的概率为

1 ; 500
-1-

? ?a ? ? bx ? 必过点( x, y ) ②线性回归直线方程 y ;
③某厂 10 名工人在一小时内生产零件的个数分别是 15,17,14,10,15,17,17,16, 14,12,则该组数据的众数为 17,中位数为 15; ④某初中有 270 名学生,其中一年级 108 人,二、三年级各 81 人,用分层抽样的方法从 中抽取 10 人参加某项调查时,将学生按一、二、三年级依次统一编号为 1,2,?270. 则分层抽样不可能抽得如下结果:30,57,84,111,138,165,192,219,246,270. 以 上命题正确的是( ) A.①②③ B.②③ C.②③④ D.①②③④ 9. 某班班会准备从含甲、乙的 7 名学生中选取 4 人发言,要求甲、乙 2 人至少有一人参加, 且若甲、乙同时参加,则他们发言时顺序不能相邻,那么不同的发言顺序种数为( ) A.720 B.520 C.600 D.360 10. 已知圆 C 的方程为 ( x ? 2)2 ? ( y ?1)2 ? 25 , A(3, 4) 为定点,过 A 的两条弦 MN、PQ 互相
2 垂直,记四边形 MPNQ 面积的最大值与最小值分别为 S1 , S2 ,则 S12 ? S2 是(



A.200

B.100

C.64

D.36

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.) 11. 已知 a ? (2, ?1,2), b ? ( ?1,3, ?3) , c ? (13,6, ? ) ,若向量 a,b, c 共面,则 ? = .

12. 如图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图,则该运动 员在这五场比赛中得分的方差为_________. 13. 若某几何体的三视图如图所示,则此几何体的表面积是 .

0 8 9 10 3 5 图2

14. 已知圆 C 的方程为 x2 ? y 2 ? 10 x ? 21 ? 0 ,若直线 y ? kx ? 3 上至少存在一点,使得以该点 为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最大值是 . 15. 利用计算机随机模拟方法计算 y ? x2 与 y ? 9 所围成的区域 ? 的面积时,可以先运行以下 算法步骤: 第一步:利用计算机产生两个在 0~1 区间内的均匀随机数 a, b;

?a1 ? 6a ? 3, 第二步:对随机数 a , b 实施变换: ? 得到点 A(a1 , b1 ); ?b1 ? 9b,
第三步:判断点 A(a1 , b1 ) 的坐标是否满足 b1 ? a12 ;
-2 -

第四步:累计所产生的点 A 的个数 m ,及满足 b1 ? a12 的点 A 的个数 n; 第五步:判断 m 是否小于 M (一个设定的数).若是,则回到第一步,否则,输出 n 并终 止算法. (1)点落在 y ? x2 上方的概率计算公式是 P ? ;

(2)若设定的 M ? 1000 ,且输出的 n ? 340 ,则用随机模拟方法可以估计出区域 ? 的面 积为 (保留小数点后两位数字). 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 16. (本小题满分 12 分)已知 ( x ?

2 n * ) ( n ?N )展开式中二项式系数和为 256. 2 x

(1)此展开式中有没有常数项?有理项的个数是几个?并说明理由。 (2)求展开式中系数最小的项.

17. (本小题满分 12 分)为增强市民的节能环保意识,某市面向全市征召义务宣传志愿者.从 符合条件的 500 名志愿者中随机抽取 100 名志愿者,其年龄频率分布直方图如图所示, [25,30)、 [30,35)、 [35, 40)、 [40, 45]. 其中年龄分组区间是: [20, 25)、

(1)求图中 x 的值并根据频率分布直方图估计这 500 名志愿者中年龄在 [35, 40) 的人数; (2)在抽出的 100 名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取 20 名参加中心广场的宣 传活动,再从这 20 名中采用简单随机抽样方法选取 3 名志愿者担任主要负责人.求抽取的 3 名志愿者中恰有 2 名年龄低于 35 岁的概率. 18. (本小题满分 12 分) 已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干,其中标号为 0 的小球 1 个,标号为 1 的小球 1 个,标号为 2 的小球 n 个.若从袋子中随机抽取 1 个小球,取到标号 为 2 的小球的概率是 . (1)求 n 的值; (2)从袋子中不放回地随机抽取 2 个小球,记第一次取出的小球标号为 a ,第二次取出的 小球标号为 b . (i)记“ a ? b ? 2 ”为事件 A ,求事件 A 的概率; (ii)在区间[0,2]内任取 2 个实数 x, y ,求事件“ x2 ? y 2 ? (a ? b)2 恒成立”的概率.

1 2

-3-

19. (本小题满分 12 分)在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 为矩形,平面 ABEF ? 平面 ABCD , EF / / AB,?BAF=90? , AD ? 2, AB ? AF ? 2 EF ? 1, 点 P 在棱 DF 上. (1)若 P 是 DF 的中点,求证: BF / / 平面 ACP; (2)若二面角 D ? AP ? C 的余弦值为

6 ,求 PF 的长度. 3

20. (本小题满分 13 分) 已知点 A(?2,0), B(1,0) ,平面内的动点 P 满足 | PA |? ? | PB | ( ? 为常 数, ? >0). (1)求点 P 的轨迹 E 的方程,并指出其表示的曲线的形状. (2) 当 ? ? 2 时,P 的轨迹 E 与 x 轴交于 C、 D 两点,M 是轨迹上异于 C、 D 的任意一点, 直线 l : x ? ?3 ,直线 CM 与直线 l 交于点 C ' ,直线 DM 与直线 l 交于点 D' .求证:以 C ' D ' 为 直径的圆总过定点,并求出定点坐标.

21. (本小题满分 14 分)运行如图所示的程序框图,将输出的 a 依次 记作 a1 , a2 , 记作 S1 , S2 ,

, an ; 输出的 b 依次记作 b1 , b2 , , Sn . ( n ? N * )

输出的 S 依次 bn ;

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)求

bn?1 1 ? bn ? (n ? N * , n ? 2014) 的值 an?1 an
(1 ? bn ) ? 10 b1b2 3 bn (n ? N * , n ? 2014)

(3) 求证: (1 ? b1 )(1 ? b2 )

武汉二中 2013——2014 学年上学期高二年级期中考试 数学(理科)试卷答案 一、选择题(共 50 分) 题号 答案 1 D 2 B 3 C 4 D 5 A 6 D 7 B 8 C 9 C 10 B

二、填空题(共 25 分) 11. 3 12. 6.8 13. 72+ 16 2 14.

15 8

15. 1 ?

n , 35.64 M

三、解答题(共 75 分) 16.解: (1)由题意,二项式系数和为 2n ? 256, 解得 n ? 8 通项 Tr ?1 ? C8r ( x )8?r ? (?
8? 5 r 2 r r r 2 ) ? C ( ? 2) x . 8 x2

若 Tr ?1 为常数项,当且仅当

8 ? 5r ? 0 ,即 5r ? 8 ,且 r ? Z,这是不可能的,所以展开式中不 2
-4-

含常数项. 若 Tr ?1 为有理项,当且仅当 理项.

8 ? 5r ? Z,且 0 ? r ? 8 ,即 r ? 0, 2, 4,6,8 ,故展开式中共有 5 个有 2
????????????????6 分

r ?1 (2) 设展开式中第 r 项, 第 r ?1 项, 第 r ? 2 项的系数绝对值分别为 C8 ? 2r ?1, C8r ? 2r , C8r ?1 ? 2r ?1 ,

若第 r ?1 项的系数绝对值最大,则 ?

r ?1 r ?1 r r ? ?C8 ? 2 ? C8 ? 2 ,解得 5 ? r ? 6 ,故 r ? 5 或 6. r ?1 r ?1 r r C ? 2 ? C ? 2 ? 8 ? 8

∵ r ? 5 时,第 6 项的系数为负, r ? 6 时,第 7 项的系数为正,
5 ∴系数最小的项为 T6 ? C8 (?2)5 x 17 - 2

? ?1792 ? x

17 - 2

.

??????????12 分

17.解: (1)∵小矩形的面积等于频率,∴除 [35, 40) 外的频率和为 0.70. ∴x?

1 ? 0.70 ? 0.06. 5
????6 分

故在 500 名志愿者中, 年龄在 [35, 40) 岁的人数为 0.06 ? 5 ? 500 ? 150. 龄不低于 35 岁”的人有 8 名. ∴抽取的 3 名志愿者中恰有 2 名年龄低于 35 岁的概率为 18.解: (1)依题意
2 1 C12 C8 44 ? 3 C20 95

(2)用分层抽样的方法,从中选取 20 名,则其中“年龄低于 35 岁”的人有 12 名,“年

????12 分

n 1 ? ,得 n ? 2 . n?2 2

??????????????????4 分

(2) (i)记标号为 0 的小球为 s ,标号为 1 的小球为 t ,标号为 2 的小球为 k , h ,则取出 2 个 小球的可能情况有:( s, t ),( s, k ),( s, h),(t , s),(t , k ),(t , h),(k , s),(k , t ),( k , h),( h, s), (h, t ),(h, k ) ,共 12 种, 其中满足“ a ? b ? 2 ”的有 4 种;( s, k ),( s, h),( k, s),( h, s) , 所以所求概率为 P( A) ?

4 1 ? . 12 3

??????????????8 分 (ii) 记“ x2 ? y 2 ? (a ? b)2 恒成立”为事件 B, 则事件 B 等价于“ x 2 ? y 2 ? 4 恒成立”, ( x, y ) 可 以 看 成 平 面 中 的 点 的 坐 标 , 则 全 部 结 果 所 构 成 的 区 域 为 ? =

?( x, y) | 0 ? x ? 2,0 ? y ? 2, x, y ? R?

,







B













? B ? ?( x, y) | x2 ? y 2 ? 4,( x, y) ??? ,所以所求的概率为 P( B) ? 1 ? . 4
??????????????12 分 19.解: (1)连接 BD, 交 AC 于点 O ,连接 OP . 因为 P 是 DF 的中点, O 为矩形 ABCD 对角线的交点. 所以 OP 为 ?BDF 的中位线,所以 BF / / OP. 因为 BF ? 平面 ACP, OP ? 平面ACP. 所以 BF / / 平面ACP. ????????????6 分 (2)因为 ?BAF ? 90? ,所以 AF ? AB ,因为平面 ABEF ? 平面 ABCD ,且平面 ABEF 平面

ABCD ? AB, 所以 AF ? 平面 ABCD , 以 A 为坐标原点, AB, AD, AF 分别为 x, y, z 轴, 建立如图

-5-

所示的空间直角坐标系 A ? xyz. 则 B(1,0,0), E( ,0,1), D(0,2,0), C(1,2,0) . 易知 AB ? 平面 APD ,所以平面 APD 的一个法向量为

1 2

n1=(1,0,0) ,设 AP ? AD ? tDF ? (0,2 ? 2t , t )(0 ? t ? 1) ,
易知 AC ? (1,2,0) .

? y (2 ? 2t ) ? zt ? 0 2t ? 2 设平面 APC 的法向量为 n2=( x, y, z ) ,则有 ? ,得 n2=(-2,1, ). x ? 2 y ? 0 t ?
所以| cos〈n1 ,n2〉|=

| n1 n| 2 = | n1 | | n2 |

2 (?2) 2 ? 1 ? ( 2t ? 2 2 ) t

?

6 , 3

即 4(t ? 1)2 ? t 2 , 解得 t ?

2 ,或 t ? 2 (舍去). 3
????????????????????12 分

2 5 . 此时 PF ? (1 ? ) DF ? 3 3

20.解: (1)设点 P ( x, y ) ,由 | PA |? ? | PB | 得:

( x ? 2)2 ? y 2 ? ? ( x ? 1)2 ? y 2

变形整理得: (1 ? ? 2 ) x2 ? (1 ? ? 2 ) y 2 ? (4 ? 2? 2 ) x ? 4 ? ? 2 ? 0 当 ? ? 1 时,化为 x ? ? ,此时轨迹 E 所表示的曲线为直线. 当 ? ? 1 时,化为 ( x ?

1 2

?2 ? 2 2 9? 2 2 ) ? y ? 1? ?2 (1 ? ? 2 ) 2
?2 ? 2 3? ,0) 为圆心,半径为 | | 的圆. ????6 分 1? ?2 1? ?2

此时轨迹 E 所表示的曲线是以 (? (注:没有 ? ? 1 的情形扣 2 分)

(2) ? ? 2 时, P 的轨迹方程为 x2 ? 4x ? y 2 ? 0 ,此时 C (0,0)、D(4,0) ,设 M ( x0 , y0 ) ,则直 线 CM 的方程为: y ?

y0 x. x0
同理 D '(?3,

? x ? ?3 ?3 y0 ? ) 联立方程 ? y0 ,得 C '(?3, x0 ?y ? x x 0 ?

?7 y0 ) x0 ? 4

∴以 C ' D ' 为直径的圆的方程为 ( x ? 3)2 ? ( y ? 得: ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 21 ?

3 y0 7 y0 2 2 )( y ? ) ? 0 ,又 y0 ? 4 x0 ? x0 , 整理 x0 x0 ? 4

10 x0 ? 12 y ? 0 .令 y ? 0 则有 ( x ? 3)2 ? 21 ? 0 ,解得 x ? ?3 ? 21 y0

∴以 C ' D ' 为直径的圆总过定点,且定点坐标为( ?3 ? 21,0 )????????13 分 21.解: (1)由题意知: an ? 2an?1 ? 1, a1 ? 1

? an ? 1 ? 2(an?1 ? 1) ? an ? 1 ? (a1 ? 1) ? 2n?1 ? 2n

? an ? 2n ? 1 (n ? N * , n ? 2014)

????????4 分

-6-

(2)由题意, a1 ? 1, b1 ? 1, S1 ? 0 当 2 ? n ? 2014 时, Sn ? Sn?1 ? 此时, Sn ? S1 ?

1 , bn ? an ? Sn an?1

1 1 ? ? a1 a2 ? ?

?

1 1 1 ? ? ? an?1 a1 a2

?

1 an?1

? bn ? an ( ?
?

1 1 ? ? a1 a2

1 ) an?1 ? bn?1 1 1 ? ? ? an?1 a1 a2 ? 1 an

bn 1 1 ? ? ? an a1 a2

1 an?1

bn?1 bn 1 b 1 ? bn ? ? ? n?1 ? ?0 an?1 an an an?1 an b2 1 ? b1 3 1 ? 1 ? ? ? ? ?1 a2 a1 3 1
??????????9 分

当 n ? 1 时,

综上,

bn?1 1 ? bn ??1, n ? 1 ? ?? an?1 an ?0, 2 ? n ? 2014

(3)当 n ? 1 时, 左 ? 1 ? b1 ? 2, 右 ? 此时, 1 ? b1 ?

10 10 b1 ? 3 3

10 b1 3
1 ? bn a ? n 又 b1 ? a1 ? 1, b2 ? 3, a2 ? 3 bn?1 an?1

当 2 ? n ? 2014 时,由(2)知

(1 ? b1 )(1 ? b2 ) (1 ? bn ) 1 ? b1 1 ? b2 1 ? b3 ? ? ? b1 ? b2 bn b1b2 b3 b4 2 a a ? ? 2? 3 3 a3 a4 ? 2?(

1 ? bn?1 ? (1 ? bn ) bn

an?1 2 a 1 ? bn ? (1 ? bn ) ? ? 2 ? (1 ? bn ) ? 2 ? an 3 an an ? 1 ) an?1

1 bn 1 1 1 ? ) ? 2( ? ? ? an an an a1 a2

即要证明的不等式转化为证明:

1 1 ? ? a1 a2

?

1 5 1 1 ? 即证明 1 ? ? ? an 3 3 7

?

1 5 ? 2 ?1 3
n

(注:忽略 n ? 1 的情形将之转化为 1 ? ? 又 an ? 2n ?1 ? 4 ? 2n?2 ?1 ? 3 ? 2n?2 (n ? 3)

1 1 ? 3 7

?

1 10 ? 的本小问 0 分) 2 ?1 3
n

1 1 ? 1? ? ? 3 7

?

1 1 1 1 ? 1? ? ? ? 2 ?1 3 3 ? 2 3 ? 22
n

?

1 3 ? 2n?2

1 1 (1 ? n?1 ) 2 1 2 5 3 2 ? 1? ? 1 ? ? (1 ? n?1 ) ? 1 ? ? 1 3 2 3 3 1? 2

-7-

? (1 ? b1 )(1 ? b2 )

(1 ? bn ) ?

10 b1b2 3

bn

综上, (1 ? b1 )(1 ? b2 )

(1 ? bn ) ?

10 b1b2 3

bn (n ? N * , n ? 2014) 成立. ????????14 分

-8-


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