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第二章 平面向量同步练习


2.1 平面向量的实际背景及基本概念 1.在下列判断中,正确的是( ) ①长度为 0 的向量都是零向量; ②零向量的方向都是相同的; ③单位向量的长度都相等; ④单位向量都是同方向; ⑤任意向量与零向量都共线. A.①②③ B.②③④ C.①②⑤ D.①③⑤ 2.下列关于向量的结论: (1)若|a|=|b|,则 a=b 或 a=-b; (2)向量 a 与 b 平行,则 a 与 b 的方向相同或相反; (3)起点不同,但方向相同且模相等的向量是相等向量; (4)若向量 a 与 b 同向,且|a|>|b|,则 a>b. 其中正确的序号为( ) A.(1)(2) B.(2)(3) C.(4) D.(3) 3.下列说法正确的是( ) → → ①向量AB与CD是平行向量,则 A、B、C、D 四点一定不在同一直线上 ②向量 a 与 b 平行,且|a|=|b|≠0,则 a+b=0 或 a-b=0 → → ③向量AB的长度与向量BA的长度相等 ④单位向量都相等 A.①③ B.②④ C.①④ D.②③ 2.2 向量的线性运算及其几何意义 ???? ???? ? ???? ???? ???? ? 1.向量 ( AB ? MB) ? ( BO ? BC ) ? OM 化简后等于 。 2.化简 PM ? PN ? MN 所得结果是 4.化简的 [ (2a ? 8b) ? (4a ? 2b)] 结果是 。 。 。 3. 四边形 ABCD 是平行四边形,则 BC ? CD ? BA 等于

5.已知向量 a , b ,且 3( x ? a) ? 2( x ? 2a) ? 4( x ? a ? b) ? 0 ,则 x =__________. 6.若向量 x 、 y 满足 2 x ? 3 y ? a, 3 x ? 2 y ? b , a 、 b 为已知向量,则 x =_____; y =______. ???? ???? ???? ???? 7.在矩形 ABCD 中,若 | AB |? 3 , | BC |? 4 ,则 | AB ? AD |? _________。 ???? ???? ???? 8.已知正方形 ABCD 边长为 1, AB ? a , BC ? b , AC ? c ,则 a ? b ? c 的模等于 。 ??? ? ??? ? 9.已知 | OA |?| a |? 3 , | OB |?| b |? 3 ,∠AOB=60 ? ,则 | a ? b |? __________。 10. 已知 E、 F 分别为四边形 ABCD 的边 CD、 BC 边上的中点, 设 AD ? a ,BA ? b , 则 EF = 11. 在△ABC 中, D、 E、 F 分别 BC、 CA、 AB 的中点, 点 M 是△ABC 的重心, 则 MA ? MB ? MC 等于 ? ? BE ? AD ? AD , BE BC , AC b ,则 AC 是( a, 12.已知 分别是 ?ABC 的边 上的中线,且 ) 4? 2? 2? 4? 4? 2? 2? 4? (A) a ? b (B) a ? b (C) a ? b (D) a ? b 3 3 3 3 3 ??? ? 3 ??? ? 3 ??? ? 3 13.设 P 是△ABC 所在平面内的一点, BC ? BA ? 2 BP ,则(

1 1 3 2

????

??? ?

????

。 。

??? ? ??? ? ? A. PA ? PB ? 0

? ??? ? 1 ??? 。 3 ?? ?? ??? ? ?? ?? ? ??? ? ?? ?? ? ??? ? ?? ?? ? 15. e1 、 e2 是两个不共线的向量,且 AB ? 2e1 ? ke2 ,CB ? e1 ? 3e2 ,CD ? 2e1 ? e2 .若 A、B、D 三点共线, 则 k 的值为______.
14.在 △ ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点,若 AD ? 2 DB, CD ? CA ? ? CB ,则 ? ? 16.已知 E,F 分别是平行四边形 ABCD 的边 BC,CD 中点,AF 与 DE 相交于点 G,若 AB ? a , AD ? b ,则 GC 用 a, b 表示为______.
-1-

??? ? ??? ? ? B. PB ? PC ? 0

??? ? ??? ? ? C. PC ? PA ? 0
????

??? ? ??? ?

??? ? ??? ? ??? ? ? D. PA ? PB ? PC ? 0

)

2.3 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 1.若 a=(2,3),b=(-4,7),则 a 在 b 方向上的投影为( ) 65 13 A. B. 65 C. D. 13 5 5 2.已知平面向量 a=(1,-3),b=(4,-2),λ a+b 与 a 垂直,则λ =( A.-1 B.1 C.-2 D.2 3. 已知| a |=| b |, a A. 1 B.-1
?

)

?

?

? b ,且( a + b ) ? (k a - b ) ,则 k 的值是(
C.0 D.-2
? ??
? ??

?

?

?

?

?

)

4.已知平面内三点 A(-1,0) ,B(x,6) ,P(3,4) ,且 AP = ? PB ,x 和 ? 的值分别为( ) A.-7,2 B.5,2 C.-7,

2 5

D.5,

2 5

5.已知向量 a=( 3,1),b 是不平行于 x 轴的单位向量,且 a·b= 3,则 b 等于( ) 3? ? 3 1? ?1 ?1 3 3? A.? , ? B.? , ? C.? , D.(1,0) ? ? 2 2? ?2 2 ? ?4 4 ? →2 → → → → → 6.设点 M 是线段 BC 的中点,点 A 在直线 BC 外,BC =16,|AB+AC|=|AB-AC|,则|AM|=( A.8 B.4 C.2 D.1 7.已知 a,b 是非零向量且满足(a-2b)⊥a, (b-2a)⊥b,则 a 与 b 的夹角是( ) A

)

? 6

B

? 3

C

2? 3

D

5? 6

8.已知向量 a ? (1,2), b ? (?2,?4), | c |? 5 , 若(a ? b) ? c ? A 30° B 60° C 120°

5 , 则a与c的夹角为 ( 2



D 150° 15 → → 9.已知△ABC 中,AB=a,AC=b,a·b<0,S△ABC= ,|a|=3,|b|=5,则 a 与 b 的夹角是( 4 A.30° B.150° C.210° D.30°或 150° 10.P 是△ABC 所在平面上一点,若 PA? PB ? PB ? PC ? PC ? PA ,则 P 是△ABC 的( A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心 )

)

11.已知向量 a=( cos ?,sin ? ),向量 b=( 3, ?1 ),则|2a-b|的最大值是 12.已知向量 a=(-3,2),b=(2,1),c=(3,-1),t∈R. (1)求|a+tb|的最小值及相应的 t 值; (2)若 a-tb 与 c 共线,求实数 t.

→ → → → → → → 13.已知AB=(6,1),BC=(x,y),CD=(-2,-3),若BC∥DA,AC⊥BD. (1)求 x、y 的值; (2)求四边形 ABCD 的面积

-2-


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