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高中数学基础练习:解三角形


第一章 解三角形 [基础训练 A 组]
一、选择题
1.在△ABC 中,若 C = 90 0 , a = 6, B = 30 0 ,则 c ? b 等于( . 等于( A.1 . B. ? 1 . C. 2 3 . D. ? 2 3 . 2.若 A 为△ABC 的内角,则下列函数中一定取正值的是( 的内角,则下列函数中一定取正值的是( . A. sin A . B. cos A . C. tan A . D. . ) )

1 tan A 3.在△ABC 中,角 A, B 均为锐角,且 cos A > sin B, 则△ABC 的形状是( . 均为锐角, 的形状是(
A.直角三角形 . B.锐角三角形 C.钝角三角形 . . D.等腰三角形 .
0

) )

4.等腰三角形一腰上的高是 3 ,这条高与底边的夹角为 60 ,则底边长为( . 则底边长为( A. 2 . B. .

5.在△ ABC 中,若 b = 2a sin B ,则 A 等于( . 等于( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 A. 30 或60 B. 45 或60 C.120 或60 D. 30 或150 . . . . 6.边长为 5, 7,8 的三角形的最大角与最小角的和是( 的三角形的最大角与最小角的和是( . ) A. 90 .
0

3 2

C. 3 .

D. 2 3 .

B.120 .

0

C.135 .

0

D.150 .

0

二、填空题 0 1.在 Rt △ABC 中, C = 90 ,则 sin A sin B 的最大值是 的最大值是_______________。 . 。 2 2 2 2.在△ABC 中,若 a = b + bc + c , 则A = _________。 . 。
3.在△ABC 中,若 b = 2, B = 30 0 , C = 135 0 , 则a = _________。 . 。 4.在△ABC 中,若 sin A ∶ sin B ∶ sin C = 7 ∶ 8 ∶ 13 ,则 C = _____________。 . 。 5.在△ABC 中, AB = .

6 ? 2 , C = 300 ,则 AC + BC 的最大值是 的最大值是________。 。

三、解答题
的形状是什么? 1. 在△ABC 中,若 a cos A + b cos B = c cos C , 则△ABC 的形状是什么?

a b cos B cos A ? = c( ? ) b a b a 3.在锐角△ABC 中,求证: sin A + sin B + sin C > cos A + cos B + cos C 。 求证: .在锐角△
2.在△ABC 中,求证: . 求证: 4.在△ABC 中,设 a + c = 2b, A ? C = .

π

3

, 求 sin B 的值。 的值。

[综合训练 B 组] 一、选择题
1.在△ABC 中, A : B : C = 1: 2 : 3 ,则 a : b : c 等于( . 等于( ) B. 3 : 2 :1 C.1: 3 : 2 D. 2 : 3 :1 A.1: 2 : 3 . . . . 2.在△ABC 中,若角 B 为钝角,则 sin B ? sin A 的值( 为钝角, 的值( . ) A.大于零 B.小于零 C.等于零 D.不能确定 . . . . 3.在△ABC 中,若 A = 2 B ,则 a 等于( 等于( . ) A. 2b sin A B. 2b cos A C. 2b sin B D. 2b cos B . . . . 4.在△ABC 中,若 lg sin A ? lg cos B ? lg sin C = lg 2 ,则△ABC 的形状是( 的形状是( . A.直角三角形 B.等边三角形 C.不能确定 D.等腰三角形 . . . . 5.在△ABC 中,若 (a + b + c )(b + c ? a ) = 3bc, 则 A = ( ) . A. 90 .
0



B. 60 .

0

C.135 .

0

D.150 .

0

13 则最大角的余弦是( ,则最大角的余弦是( ) 14 1 1 1 1 B. ? C. ? D. ? A. ? . . . . 5 6 7 8 A? B a ?b 7.在△ABC 中,若 tan = 的形状是( . ,则△ABC 的形状是( ) 2 a+b
6.在△ABC 中,若 a = 7, b = 8, cos C = . A.直角三角形 . C.等腰直角三角形 . B.等腰三角形 . D.等腰三角形或直角三角形 .

二、填空题
a+b+c =_______。 。 sin A + sin B + sin C 2.若 A, B 是锐角三角形的两内角,则 tan A tan B _____ 1 (填>或<) 是锐角三角形的两内角, . 或 ) 。 3.在△ABC 中,若 sin A = 2 cos B cos C , 则 tan B + tan C = _________。 . 。 4.在△ABC 中,若 a = 9, b = 10, c = 12, 则△ABC 的形状是 的形状是_________。 . 。
1.若在△ABC 中, ∠A = 60 , b = 1, S ?ABC = .若在△
0

3, 则

5.在△ABC 中,若 a = . 三、解答题

6+ 2 则A = _________。 。 2 6.在锐角△ABC 中,若 a = 2, b = 3 ,则边长 c 的取值范围是 的取值范围是_________。 .在锐角△ 。 3, b = 2 , c =

21, S ABC = 3 ,求 b, c 。 在锐角△ 求证: 2. 在锐角△ABC 中,求证: tan A ? tan B ? tan C > 1 。 A B C 求证: 3. 在△ABC 中,求证: sin A + sin B + sin C = 4 cos cos cos 。 2 2 2 a b 0 则求证: + = 1。 4. 在△ABC 中,若 A + B = 120 ,则求证: b+c a+c A 3b 2 C + c cos 2 = 则求证: 5.在△ABC 中,若 a cos ,则求证: a + c = 2b 2 2 2
0

1. 在△ABC 中, A = 120 , c > b, a =

[提高训练 C 组] 一、选择题
1. A 为△ABC 的内角,则 sin A + cos A 的取值范围是( . 的内角, 的取值范围是( A. ( 2 ,2) . B. (? 2 , 2 ) . C. (?1, 2 ] . 2.在△ABC 中,若 C = 90 0 , 则三边的比 . ) D. [? 2 , 2 ] .

a+b 等于( 等于( ) c A+ B A? B A+ B A? B A. 2 cos B. 2 cos C. 2 sin D. 2 sin . . . . 2 2 2 2 3.在△ABC 中,若 a = 7, b = 3, c = 8 ,则其面积等于( ) 则其面积等于( . 21 A.12 B. C. 28 D. 6 3 . . . . 2 0 0 0 则下列各式中正确的是( 4.在△ABC 中, ∠C = 90 , 0 < A < 45 ,则下列各式中正确的是( ) A. sin A > cos A B. sin B > cos A C. sin A > cos B D. sin B > cos B 5.在△ABC 中,若 ( a + c)( a ? c) = b(b + c) ,则 ∠A = ( . )
A. 90 .
0

B. 60 .

0

C.120 .

0

D.150 .

0

tan A a 2 = 的形状是( 6.在△ABC 中,若 ,则△ABC 的形状是( . tan B b 2



A.直角三角形 B.等腰或直角三角形 C.不能确定 . . .

D.等腰三角形 .

二、填空题
1.在△ABC 中,若 sin A > sin B, 则 A 一定大于 B ,对吗?填_________(对或错) . 对吗? (对或错) 2.在△ABC 中,若 cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C = 1, 则△ABC 的形状是 . 的形状是______________。 。 3.在△ABC 中,∠C 是钝角,设 x = sin C , y = sin A + sin B, z = cos A + cos B, 是钝角 . 的大小关系是___________________________。 则 x, y, z 的大小关系是 。 4.在△ABC 中,若 a + c = 2b ,则 cos A + cos C ? cos A cos C + .

5.在△ABC 中,若 2 lg tan B = lg tan A + lg tan C , 则 B 的取值范围是 . 的取值范围是_______________。 。 6.在△ABC 中,若 b = ac ,则 cos( A ? C ) + cos B + cos 2 B 的值是 . 的值是_________。 。
2

1 sin A sin C = ______。 。 3

三、解答题
1.在△ABC 中,若 ( a 2 + b 2 ) sin( A ? B ) = ( a 2 ? b 2 ) sin( A + B ) ,请判断三角形的形状。 . 请判断三角形的形状。
2 2 的圆, 如果△ 2. 如果△ABC 内接于半径为 R 的圆,且 2 R (sin A ? sin C ) = ( 2a ? b) sin B, 的面积的最大值。 求△ABC 的面积的最大值。

已知△ 3. 已知△ABC 的三边 a > b > c 且 a + c = 2b, A ? C =

,求 a : b : c 2 4.在△ABC 中,若 (a + b + c)( a ? b + c) = 3ac ,且 tan A + tan C = 3 + 3 , AB 边上的 . 高为 4 3 ,求角 A, B, C 的大小与边 a, b, c 的长

π

参考答案与解析 第一章 [基础训练 A 组]
一、选择题 b = tan 300 , b = a tan 300 = 2 3, c = 2b = 4 4, c ? b = 2 3 1.C a 2.A 0 < A < π , sin A > 0
3.C

cos A = sin( ? A) > sin B, ? A, B 都是锐角,则 ? A > B, A + B < , C > 都是锐角, 2 2 2 2 2

π

π

π

π

π

4.D 作出图形 5.D

1 b = 2a sin B,sin B = 2sin A sin B,sin A = , A = 300 或 1500 2 2 2 2 5 +8 ?7 1 = , θ = 600 ,1800 ? 600 = 1200 为所求 6.B 设中间角为 θ ,则 cos θ = 2×5×8 2 二、填空题 1 1 1 1. sin A sin B = sin A cos A = sin 2 A ≤ 2 2 2 2 2 2 b +c ?a 1 0 2. 120 cos A = = ? , A = 1200 2bc 2 a b b sin A 6 ?2 0 3. 6 ? 2 A = 15 , = ,a = = 4 sin A = 4 sin150 = 4 × sin A sin B sin B 4 0 a ∶ b ∶ c = sin A ∶ sin B ∶ sin C = 7 ∶ 8 ∶ 13 , 4. 120

a 2 + b2 ? c2 1 = ? , C = 1200 2ab 2 AC BC AB AC + BC AB 5. 4 = = , = , AC + BC sin B sin A sin C sin B + sin A sin C A+ B A? B = 2( 6 ? 2)(sin A + sin B ) = 4( 6 ? 2) sin cos 2 2 A? B = 4 cos ≤ 4, ( AC + BC ) max = 4 2 三、解答题 1. 解: a cos A + b cos B = c cos C ,sin A cos A + sin B cos B = sin C cos C sin 2 A + sin 2 B = sin 2C , 2 sin( A + B ) cos( A ? B ) = 2 sin C cos C cos( A ? B ) = ? cos( A + B ), 2 cos A cos B = 0
令 a = 7 k , b = 8k , c = 13k cos C =

cos A = 0 或 cos B = 0 ,得 A =
所以△ 是直角三角形。 所以△ABC 是直角三角形。 2. 证明:将 cos B = 证明:

π
2

或B =

π
2

a2 + c2 ? b2 b2 + c2 ? a2 , cos A = 代入右边 2ac 2bc a 2 + c 2 ? b2 b2 + c2 ? a2 2a 2 ? 2b 2 ? )= 得右边 = c ( 2abc 2abc 2ab 2 2 a ?b a b = = ? = 左边, 左边, ab b a a b cos B cos A ? ) ∴ ? = c( b a b a

3.证明:∵△ABC 是锐角三角形,∴ A + B > .证明: 是锐角三角形, ∴ sin A > sin(

π

? B ) ,即 sin A > cos B ;同理 sin B > cos C ; sin C > cos A 2 ∴ sin A + sin B + sin C > cos A + cos B + cos C A+C A?C B B 4.解:∵ a + c = 2b, ∴ sin A + sin C = 2sin B ,即 2 sin cos = 4 sin cos , 解 2 2 2 2 B 1 A?C 3 B π B 13 = ∴ sin = cos ,而 0 < < , ∴ cos = , 2 2 2 4 2 2 2 4 B B 3 13 39 × = ∴ sin B = 2sin cos = 2 × 2 2 4 4 8

π

2

,即

π

2

> A>

π

2

?B>0

[综合训练 B 组]
一、选择题
1.C 2.A 3.D 4.D

1 3 2 : : = 1: 3 : 2 6 3 2 2 2 2 A + B < π , A < π ? B ,且 A, π ? B 都是锐角, sin A < sin(π ? B ) = sin B 都是锐角, sin A = sin 2 B = 2 sin B cos B, a = 2b cos B sin A sin A lg = lg 2, = 2,sin A = 2 cos B sin C cos B sin C cos B sin C sin( B + C ) = 2 cos B sin C , sin B cos C ? cos B sin C = 0, A= ,B = ,C = , a : b : c = sin A : sin B : sin C =

π

π

π

sin( B ? C ) = 0, B = C ,等腰三角形
5.B

(a + b + c)(b + c ? a ) = 3bc, (b + c) 2 ? a 2 = 3bc, b 2 + c 2 ? a 2 = 3bc, cos A = b2 + c2 ? a 2 1 = , A = 600 2bc 2
1 7

6.C

c 2 = a 2 + b 2 ? 2ab cos C = 9, c = 3 , B 为最大角, cos B = ? 为最大角,
A+ B A? B 2 cos sin A ? B a ? b sin A ? sin B 2 2 , = = = tan A+ B A? B a + b sin A + sin B 2sin 2 cos 2 2 A? B tan A? B 2 , tan A ? B = 0 ,或 tan A + B = 1 tan = A+ B 2 2 2 tan 2
所以 A = B 或 A + B =

7.D

π

2

二、填空题
1.

2 39 3

1 1 3 S ?ABC = bc sin A = c × = 3, c = 4, a 2 = 13, a = 13 2 2 2 a+b+c a 13 2 39 = = = sin A + sin B + sin C sin A 3 3 2

sin( ? B ) 2 2. > A + B > , A > ? B ,即 tan A > tan( ? B ) = π 2 2 2 cos( ? B ) 2 cos B 1 1 = = , tan A tan B > 1 , tan A > sin B tan B tan B sin B sin C 3. 2 tan B + tan C = + cos B cos C sin B cos C + cos B + sin C sin( B + C ) 2sin A = = = 1 cos B cos C sin A sin A 2 为最大角, 4. 锐角三角形 C 为最大角, cos C > 0, C 为锐角

π

π

π

π

5. 60

0

b2 + c2 ? a2 cos A = = 2bc

6. ( 5, 13) .

8+4 3 ?3 3 +1 1 4 = = 6+ 2 2 × 2 × ( 3 + 1) 2 2 2× 2 2 2 2 2 ?a + b > c ?13 > c ? 2 2 2 ? 2 2 ?a + c > b , ? 4 + c > 9,5 < c < 13, 5 < c < 13 ?c 2 + b 2 > a 2 ?c 2 + 9 > 4 ? ? 2+

三、解答题

1.解: S ?ABC = 解

1 bc sin A = 3, bc = 4, 2 a 2 = b 2 + c 2 ? 2bc cos A, b + c = 5 ,而 c > b 所以 b = 1, c = 4

2. 证明:∵△ABC 是锐角三角形,∴ A + B > 证明: 是锐角三角形, ∴ sin A > sin(

π
2

,即

π
2

> A>

π
2

?B>0

π
2

? B ) ,即 sin A > cos B ;同理 sin B > cos C ; sin C > cos A
sin A sin B sin C >1 cos A cos B cos C

∴ sin A sin B sin C > cos A cos B cos C , ∴ tan A ? tan B ? tan C > 1

3. 证明:∵ sin A + sin B + sin C = 2sin 证明:

A+ B A? B cos + sin( A + B ) 2 2 A+ B A? B A+ B A+ B = 2 sin cos + 2 sin cos 2 2 2 2 A+ B A? B A+ B = 2 sin (cos + cos ) 2 2 2 C A B = 2 cos ? 2 cos cos 2 2 2 A B C = 4 cos cos cos 2 2 2 A B C ∴ sin A + sin B + sin C = 4 cos cos cos 2 2 2 2 2 a b a + ac + b + bc 4.证明:要证 + = 1 ,只要证 = 1, .证明: b+c a+c ab + bc + ac + c 2 2 2 2 即 a + b ? c = ab 0 0 而∵ A + B = 120 , ∴ C = 60
cos C =

a 2 + b2 ? c2 2 , a + b 2 ? c 2 = 2ab cos 600 = ab 2ab
2

∴原式成立。 原式成立。 5.证明:∵ a cos 证明:

C A 3b + c cos 2 = 2 2 2 1 + cos C 1 + cos A 3sin B + sin C ? = ∴ sin A ? 2 2 2 即 sin A + sin A cos C + sin C + sin C cos A = 3sin B ∴ sin A + sin C + sin( A + C ) = 3sin B 即 sin A + sin C = 2sin B ,∴ a + c = 2b

[提高训练 C 组] 一、选择题
1.C

sin A + cos A = 2 sin( A + ), 4 π π 5π 2 π ?? < sin( A + ) ≤ 1 而0 < A<π, < A+ < 4 4 4 2 4

π

2.B

3.D 4.D

a + b sin A + sin B = = sin A + sin B c sin C A+ B A? B A? B = 2 sin cos = 2 cos 2 2 2 1 1 cos A = , A = 600 , S ABC = bc sin A = 6 3 2 2 0 A + B = 90 则 sin A = cos B,sin B = cos A , 00 < A < 450 ,
sin A < cos A , 450 < B < 900 , sin B > cos B 1 a 2 ? c 2 = b 2 + bc, b 2 + c 2 ? a 2 = ?bc, cos A = ? , A = 1200 2 2 sin A cos B sin A cos B sin A ? = , = ,sin A cos A = sin B cos B cos A sin B sin 2 B cos A sin B sin 2 A = sin 2 B, 2 A = 2 B或2 A + 2 B = π sin A > sin B, 则 a b > ?a>b? A> B 2R 2R

5.C 6.B

二、填空题
1. 对

2. 直角三角形

1 (1 + cos 2 A + 1 + cos 2 B ) + cos 2 ( A + B ) = 1, 2 1 (cos 2 A + cos 2 B ) + cos 2 ( A + B ) = 0, 2 cos( A + B ) cos( A ? B ) + cos 2 ( A + B ) = 0 cos A cos B cos C = 0

? B,sin A < cos B, sin B < cos A, y < z 2 2 c < a + b,sin C < sin A + sin B, x < y, x < y < z A+C A?C A+C A+C 4.1 sin A + sin C = 2 sin B, 2sin cos = 4 sin cos . 2 2 2 2 A?C A+C A C A C cos = 2 cos , cos cos = 3sin sin 2 2 2 2 2 2 1 C 2 A sin 2 则 sin A sin C = 4 sin 3 2 2 1 cos A + cos C ? cos A cos C + sin A sin C 3 A C = ?(1 ? cos A)(1 ? cos C ) + 1 + 4 sin 2 sin 2 2 2 A C A 2C = ?2sin 2 ? 2 sin 2 + 4 sin 2 sin +1 = 1 2 2 2 2 π π tan A + tan C 2 5. [ , ) tan B = tan A tan C , tan B = ? tan( A + C ) = 3 2 tan A tan C ? 1 tan A + tan C tan B = ? tan( A + C ) = tan 2 B ? 1 tan 3 B ? tan B = tan A + tan C ≥ 2 tan A tan C = 2 tan B tan 3 B ≥ 3 tan B, tan B > 0 ? tan B ≥ 3 ? B ≥

3. x < y < z

A+ B <

π

,A<

π

π

3

6.1 .

b 2 = ac, sin 2 B = sin A sin C , cos( A ? C ) + cos B + cos 2 B = cos A cos C + sin A sin C + cos B + 1 ? 2sin 2 B = cos A cos C + sin A sin C + cos B + 1 ? 2sin A sin C = cos A cos C ? sin A sin C + cos B + 1 = cos( A + C ) + cos B + 1 = 1

三、解答题
1. 解:

a 2 + b 2 sin( A + B ) a 2 sin A cos B sin 2 A = , = = a 2 ? b 2 sin( A ? B) b 2 cos A sin B sin 2 B cos B sin A = ,sin 2 A = sin 2 B, 2 A = 2 B或2A + 2 B = π cos A sin B

∴等腰或直角三角形 2. 解: 2 R sin A ? sin A ? 2 R sin C ? sin C = ( 2a ? b) sin B,

a sin A ? c sin C = ( 2a ? b)sin B, a 2 ? c 2 = 2ab ? b 2 ,

a 2 + b 2 ? c 2 = 2ab, cos C =

a2 + b2 ? c 2 2 = , C = 450 2ab 2

c = 2 R, c = 2 R sin C = 2 R, a 2 + b 2 ? 2 R 2 = 2ab, sin C 2R2 2 R 2 + 2ab = a 2 + b 2 ≥ 2ab, ab ≤ 2? 2 S= 1 2 2 2R2 , S max = ab sin C = ab ≤ ? 2 4 4 2? 2 2 +1 2 R 2

另法: 另法: S =

1 2 2 ab sin C = ab = × 2 R sin A × 2 R sin B 2 4 4

2 × 2 R sin A × 2 R sin B = 2 R 2 sin A sin B 4 1 = 2 R 2 × × [cos( A ? B ) ? cos( A + B )] 2 1 2 = 2 R 2 × × [cos( A ? B ) + ] 2 2 2R2 2 ) ≤ × (1 + 2 2 2 +1 2 ∴ S max = R 此时 A = B 取得等号 2 A+C A?C A+C A+C 3. 解: sin A + sin C = 2 sin B, 2sin cos = 4 sin cos 2 2 2 2 B 1 A?C 2 B 14 B B 7 sin = cos = , cos = ,sin B = 2sin cos = 2 2 2 4 2 4 2 2 4 π 3π B π B A ? C = , A + C = π ? B, A = ? ,C = ? 2 4 2 4 2 3π 3π 3π 7 +1 sin A = sin( ? B ) = sin cos B ? cos sin B = 4 4 4 4 =

π π π 7 ?1 sin C = sin( ? B ) = sin cos B ? cos sin B = 4 4 4 4 a : b : c = sin A : sin B : sin C = (7 + 7 ) : 7 : (7 ? 7 ) 1 2 2 2 0 4. 解: ( a + b + c )( a ? b + c ) = 3ac, a + c ? b = ac, cos B = , B = 60 2 tan A + tan C 3+ 3 tan( A + C ) = ,? 3 = , 1 ? tan A tan C 1 ? tan A tan C tan A tan C = 2 + 3 ,联合 tan A + tan C = 3 + 3 ? A = 750 ? A = 450 ? tan A = 2 + 3 ? tan A = 1 ? ? ? ? 或? 或? 得? ,即 ? 0 0 ? tan C = 1 ? tan C = 2 + 3 ?C = 45 ?C = 75 ? ? ? ?
4 3 = 4(3 2 ? 6), c = 8( 3 ? 1), a = 8 sin A 4 3 当 A = 450 , C = 750 时, b = = 4 6, c = 4( 3 + 1), a = 8 sin A 0 0 0 ∴当 A = 75 , B = 60 , C = 45 时, a = 8, b = 4(3 2 ? 6), c = 8( 3 ? 1),
当 A = 75 , C = 45 时, b =
0 0 0 0 0 当 A = 45 , B = 60 , C = 75 时, a = 8, b = 4 6, c = 4( 3 + 1) 。


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