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高中数学第1章集合与函数概念章末复习提升课件新人教A版必修1


第一章 集合与函数概念

章末复习提升

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要点归纳

主干梳理

知识点一

集合的含义与表示

(1) 某些指定的对象集在一起就成为一个集合,简称集 . 其中每个对象叫
做元素.集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.

(2) 集合常用的表示方法有:列举法、描述法 . 它们各有优点,要根据具
体需要选择恰当的方法.

知识点二 元素与集合、集合与集合之间的关系
元素与集合之间的关系是属于、不属于的关系,根据集合中元素的确定性,

对于任意一个元素a要么是给定集合A中的元素(a∈A),要么不是(a?A),不
能模棱两可.对于两个集合A,B,可分成两类A?B,A?B,其中A?B又可分

为A?B与A=B两种情况,在解题时要注意空集的特殊性及特殊作用,空集
是一个特殊集合,它不含任何元素,它是任何集合的子集,是任何非空集 合的真子集.在解决集合之间的关系时,要注意不要丢掉空集这一情形. 知识点三 集合与集合之间的运算 并、交、补是集合间的基本运算,Venn图与数轴是集合运算的重要工具.注 意集合之间的运算与集合之间关系的转化,如A?B?A∩B=A?A∪B=B.

知识点四

映射与函数的概念

已知A,B是两个非空集合,在对应关系f的作用下,对于A中的任意一个

元素x,在B中都有唯一的一个元素与之对应,这个对应叫做从A到B的映
射,记作f:A→B.由定义可知在A中的任意一个元素在B中都能找到唯一

的像,而B中的元素在A中未必有原像.若f:A→B是从A到B的映射,且B
中任一元素在A中有且只有一个原像,则这样的映射叫做从 A到B的一一

映射 .函数是一个特殊的映射,其特殊点在于 A, B都为非空数集,函数
有三要素:定义域、值域、对应关系.两个函数只有当定义域和对应关系

分别相同时,这两个函数才是同一函数.

知识点五

函数的单调性

1.函数的单调性主要涉及求函数的单调区间,利用函数的单调性比较函 数值的大小,利用函数的单调性解不等式等相关问题.深刻理解函数单调 性的定义是解答此类问题的关键.

2.函数单调性的证明
根据增函数、减函数的定义分为四个步骤证明,步骤如下:

(1)取值:任取x1,x2∈D,且x1<x2,得x2-x1>0;
(2)作差变形:Δy=y2-y1=f(x2)-f(x1)=?,向有利于判断差的符号的方

向变形;
(3)判断符号:确定Δy的符号,当符号不确定时,可以进行分类讨论;

(4)下结论:根据定义得出结论.

3.证明函数单调性的等价变形:(1)f(x)是单调递增函数?任意 x1<x2,都有 f?x1?-f?x2? f(x1)<f(x2)? >0?[f(x1)-f(x2)]· (x1-x2)>0; (2)f(x)是单调递减函数 x1-x2 f?x1?-f?x2? ?任意 x1<x2,都有 f(x1)>f(x2)? <0?[f(x1)-f(x2)]· (x1-x2)<0. x1-x2

知识点六

函数的奇偶性

判定函数奇偶性,一是用其定义判断,即先看函数f(x)的定义域是否关于 原点对称,再检验f(-x)与f(x)的关系;二是用其图象判断,考察函数的 图象是否关于原点或y轴对称去判断,但必须注意它是函数这一大前提.

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题型探究

重点突破

题型一

集合的运算

集合的运算是指集合间的交、并、补这三种常见的运算,在运算过程中
往往由于运算能力差或考虑不全面而出现错误,不等式解集之间的包含

关系通常用数轴法,而用列举法表示的集合运算常用Venn图法,运算时
特别注意对?的讨论,不要遗漏.

例1 已知集合A={x|0≤x≤2},B={x|a≤x≤a+3}.

(1)若(?RA)∪B=R,求a的取值范围;
解 A={x|0≤x≤2},

∴?RA={x|x<0,或x>2}.
∵(?RA)∪B=R.
? ?a≤0, ∴? ∴-1≤a≤0. ? ?a+3≥2,

解析答案

(2)是否存在a,使(?RA)∪B=R且A∩B=??

解 由(1)知(?RA)∪B=R时,
-1≤a≤0,而a+3∈[2,3],

∴A?B,这与A∩B=?矛盾.即这样的a不存在.

解析答案

跟踪训练1

(1) 已 知 集 合 U = {2,3,6,8} , A = {2,3} , B = {2,6,8} , 则

{6,8} (?UA)∩B=______. (2)已知集合A={x∈R||x|≤2},B={x∈R|x≤1},则A∩B等于( D )

A.(-∞,2] B.[1,2]
C.[-2,2] D.[-2,1]

解析 (1)∵U={2,3,6,8},A={2,3},∴?UA={6,8}.
∴(?UA)∩B={6,8}∩{2,6,8}={6,8}.

(2)A={x∈R||x|≤2}={x∈R|-2≤x≤2},
∴A∩B={x∈R|-2≤x≤2}∩{x∈R|x≤1}

={x∈R|-2≤x≤1}.
解析答案

题型二

函数的概念与性质

研究函数往往从定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性入手,分析函 数的图象及其变化趋势,从近几年的高考形式来看,对函数性质的考查 体现了“小”、“巧”、“活”的特征,做题时应注重上述性质知识间 的融合.

例2

mx2+2 5 已知函数 f(x)= 是奇函数,且 f(2)=3. 3x+n

(1)求实数m和n的值;

解 ∵f(x)是奇函数,
∴f(-x)=-f(x),
mx2+2 mx2+2 mx2+2 ∴ =- = . -3x+n 3x+n -3x-n

比较得n=-n,n=0.
4m+2 5 5 又 f(2)=3,∴ 6 =3,解得 m=2.

∴实数m和n的值分别是2和0.
解析答案

(2)求函数f(x)在区间[-2,-1]上的最值.
解 2x2+2 2x 2 由(1)知 f(x)= 3x = 3 +3x.

任取x1,x2∈[-2,-1],且x1<x2,
? x1x2-1 1 ? 2 ? ? 2 则 f(x1)-f(x2)=3(x1-x2)?1-x x ?=3(x1-x2)· x x . ? 1 2? 1 2

∵-2≤x1<x2≤-1,

∴x1-x2<0,x1x2>1,x1x2-1>0,
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2). ∴函数f(x)在[-2,-1]上为增函数,
4 5 ∴f(x)max=f(-1)=-3,f(x)min=f(-2)=-3.
解析答案

跟踪训练2

设f(x)是定义在R上的函数,且满足f(-x)=f(x),f(x)在(-∞,0)

上单调递增,且f(2a2+a+1)<f(2a2-4a+3),求a的取值范围. 解 ∵f(x)是定义在R上的函数,且f(-x)=f(x),∴f(x)为偶函数. 又f(x)在(-∞,0)上单调递增, ∴f(x)在(0,+∞)上单调递减.
12 7 又 2a +a+1=2(a+4) +8>0,2a2-4a+3=2(a-1)2+1>0,
2

由f(2a2+a+1)<f(2a2-4a+3)知,
2 2a +a+1>2a -4a+3,得 5a>2,a>5.
2 2

2 ∴a 的取值范围是 a>5.
解析答案

题型三

函数图象及其应用

函数的图象是函数的重要表示方法,它具有明显的直观性,通过函数的 图象能够掌握函数重要的性质,如单调性、奇偶性等.反之,掌握好函数 的性质,有助于图象正确的画出.函数图象广泛应用于解题过程中,利用 数形结合解题具有直观、明了、易懂的优点. 例3 对于函数f(x)=x2-2|x|. (1)判断其奇偶性,并指出图象的对称性; 解 函数的定义域为R,关于原点对称,f(-x)=(-x)2-2|-x|=x2-2|x|. 则f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函数. 图象关于y轴对称.
解析答案

(2)画此函数的图象,并指出单调区间和最小值.

2 2 ? x - 2 x = ? x - 1 ? -1?x≥0?, ? 2 f(x)=x -2|x|=? 2 2 ? x + 2 x = ? x + 1 ? -1?x<0?. ?

画出图象如图所示,

根据图象知,函数f(x)的最小值是-1.
单调增区间是[-1,0],[1,+∞);

单调减区间是(-∞,-1],[0,1].

解析答案

跟踪训练 3

3 1 2 对于任意 x∈R,函数 f(x)表示-x+3,2x+2,x -4x+3 中

的较大者,则 f(x)的最小值是________.

解析答案

题型四

抽象函数问题

抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式,只是给出一些特殊关系
式的函数,它是高中数学中的一个难点,高考中经常出现关于抽象函数

的试题. 因为抽象,解题时思维常常受阻,思路难以展开 .抽象函数问题
一般是由所给的性质,讨论函数的单调性、奇偶性、图象的对称性,或

是求函数值、解析式等.主要处理方法是“赋值法”,通常是抓住函数特
性,特别是定义域上恒等式,利用变量代换解题.

例4

函数 f(x) 对一切实数 x , y ,都有 f(x + y) = f(x) + f(y) ,且当 x>0 时,

f(x)>0,试判断函数f(x)的单调性,并说明理由.

解析答案

跟踪训练4

已知函数f(x)的定义域是x≠0的一切实数,对定义域内的任

意x1,x2,都有f(x1x2)=f(x1)+f(x2),且当x>1时,f(x)>0. 求证:(1)f(x)是偶函数; 证明 令x1=x2=1,得f(1)=2f(1), ∴f(1)=0. 令x1=x2=-1,得f(1)=f[(-1)×(-1)] =f(-1)+f(-1), ∴f(-1)=0. ∴f(-x)=f[(-1)×x]=f(-1)+f(x)=f(x). ∴f(x)是偶函数.
解析答案

(2)f(x)在(0,+∞)上是单调递增的. 证明 设0<x1<x2,
x2 x2 x2 则 f(x2)-f(x1)=f[x1(x )]-f(x1)=f(x1)+f(x )-f(x1)=f(x ). 1 1 1

∵x2>x1>0,
x2 ∴x >1. 1
x2 ∴f(x )>0,即 f(x2)-f(x1)>0. 1

∴f(x2)>f(x1). ∴f(x)在(0,+∞)上是单调递增的.
解析答案

解题思想方法

分类讨论思想

分类讨论思想的实质:把整体问题化为部分来解决,化成部分后,从而 增加题设条件,在解决含有字母参数的问题时,常用到分类讨论思想, 分类讨论要弄清对哪个字母进行分类讨论,分类的标准是什么,分类时 要做到不重不漏 .本章中涉及到分类讨论的知识点为:集合运算中对 ?的 讨论,二次函数在闭区间上的最值问题,函数性质中求参数的取值范围 问题等. 例5 设函数f(x)=x2-2x+2,x∈[t,t+1],t∈R,求函数f(x)的最小值.

解析答案

跟踪训练5 解

已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|ax-2=0},且A∪B

=A,求实数a组成的集合C.
∵A∪B=A,∴B?A.

(1)当B≠?时,由x2-3x+2=0,得x=1或2.当x=1时,a=2;当x=2时,
a=1.

(2)当B=?时,即当a=0时,B=?,符合题意.
故实数a组成的集合C={0,1,2}.

解析答案

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