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2019年人教A版选修2-2高中数学1.7定积分的简单应用1.7.1 导学案及答案

1.7 定积分的简单应用 1.7.1 定积分在几何中的应用 [学习目标] 1.会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积. 2.在解决问题的过程中,通过数形结合的思想方法,加深对定积分 的几何意义的理解. [知识链接] 1.怎样利用定积分求不分割型图形的面积? 答 求由曲线围成的面积,要根据图形,确定积分上下限,用定积分 来表示面积,然后计算定积分即可. 2.当 f(x)<0 时,f(x)与 x 轴所围图形的面积怎样表示? 答 如图,因为曲边梯形上边界函数为 g(x)=0,下边界函数为 f(x),所 b ?b 以 S=? ? (0-f(x))dx=-? f(x)dx. ?a ?a [预习导引] 曲边梯形面积的表达式 (1)当 x∈[a,b]时,若 f(x)>0,由直线 x=a,x=b(a≠b),y=0 和 b 曲线 y=f(x)所围成的曲边梯形的面积 S=? ? f(x)dx. ?a (2)当 x∈[a,b]时,若 f(x)<0,由直线 x=a,x=b(a≠ b b),y=0 和曲线 y=f(x)围成的曲边梯形的面积 S=-? ? f(x)dx. ?a (3)(如图)当 x∈[a, b]时, 若 f(x)>g(x)>0 时, 由直线 x=a, x=b(a≠b) b 和曲线 y = f(x) , y = g(x) 围成的平面图形的面积 S = ? ? [f(x) - ?a g(x)]dx. 要点一 不分割型图形面积的求解 例 1 求由抛物线 y=x2-4 与直线 y=-x+2 所围成图形的面积. 解 2 ? ?y=x -4, 由? ?y=-x+2, ? 得 ? ?x=-3, ? ?y=5 ? 或? ? ?x=2, ?y=0, ? 所以直线 y=-x+2 与抛物线 y=x2-4 的 交点为(-3,5)和(2,0),设所求图形面积为 S,根据图形可得 2 2 2-3[(-x+2)-(x -4)]dx= 2-3(-x -x+6)dx S=? ? ? ? 2 ? 1 3 1 2 ?? ? =?- x - x +6x?? 2 ? 3 ??-3 22 ? 27? 125 = -?- ?= . 3 ? 2? 6 规律方法 不分割型图形面积的求解步骤: (1)准确求出曲线的交点横坐标; (2)在坐标系中画出由曲线围成的平面区域; (3)根据图形写出能表示平面区域面积的定积分; (4)计算得所求面积. 跟踪演练 1 求由曲线 y=2x-x2, y=2x2-4x 所围成的图形的面积. 解 2 ? ?y=2x-x , 由? 2 ?y=2x -4x, ? 得 x1=0,x2=2.由图可知,所求图形的面积为 2 2 2 S=? ? [(2x-x )-(2x -4x)]dx ?0 2 2 =? ? (-3x +6x)dx ?0 ?2 =(-x +3x )? ? ?0 3 2 =4. 要点二 分割型图形面积的求解 1 例 2 求由曲线 y= x,y=2-x,y=- x 所围成图形的面积. 3 解 法一 画出草图,如图所示. 解方程组 ? ?y= x, ? ?x+y=2, ? ? ?y= x, ? 1 y =- x, ? 3 ? 及 x+y=2, ? ? 1 ? y =- x, ? 3 ? 所以 S= ? ?1? ?? ?0 得交点分别为(1,1),(0,0),(3,-1). 3 ? x-?- x??dx+? ? ? ? 1 ?? 3 ?? ? ? 1? ? 1 ?? -x -?- x??dx ? 3 ?? ? ? 1 ? 2 ? 1 ? x+ x?dx+?3?2- x?dx =? ?? ?? 3 ? 3 ? ? ? 0 1 1 ?2 3 1 2?? ? =? x + x ?? ?3 2 6 ??0 3 ? 1 2?? ? +?2x- x ?? 3 ??1 ? 5 1 1 13 = +6- ×9-2+ = . 6 3 3 6 法二 若选积分变量为 y,则三个函数分别为 x=y2,x=2-y,x=-3y. 因为它们的交点分别为(1,1),(0,0),(3,-1). 所以 S=?0-1[(2-y)-(-3y)]dy+?10[(2-y)-y2]dy ? ? =?0-1(2+2y)dy+?10(2-y-y2)dy ? ? ?0 =(2y+y )? ? ?-1 2 1 ? 1 2 1 3?? ? +?2y- y - y ?? 2 3 ??0 ? 1 1 13 =-(-2+1)+2- - = . 2 3 6 规律方法 由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形, 在不同 的区间段内位于上方或下方的函数有所变化时, 可通过解方程组求出 曲线的不同的交点坐标,可以将积分区间进行细化区间段,然后根据 图象对各个区间段分别求面积进而求和, 在每个区段上被积函数均是 由上减下;若积分变量选取 x 运算较为复杂,可以选 y 为积分变量, 同时更改积分的上下限. 跟踪演练 2 计算由曲线 y2=x,y=x3 所围成图形的面积 S. 解 作出曲线 y2=x,y=x3 的草图,所求面积为图中阴影部分的面积.解 2 ? ?y =x, 方程组? 3 ? ?y=x , 得交点横坐标为 x=0 及 x=1. 因此,所求图形的面积为 1 S=? ? ?0 2 3? 1 xdx-? x d x = x ? ? 3 2? ?0 ? 1 3 0 1 ? - x4? 4 ? ?0 1 2 1 5 = - = . 3 4 12 要点三 定积分的综合应用 例 3 设 y=f(x)是二次函数,方程 f(x)=0 有两个相等的实根,且 f′(x)=2x+2. (1)求 y=f(x)的表达式; (2)求 y=f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积. 解 (1)设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则 f′(x)=2ax+b. 又 f′(x)=2x+2,所以 a=1,b=