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第一章 1.3 全称量词与存在量词、逻辑联结词


§ 1.3
知识梳理: 1.全称量词与存在量词

全称量词与存在量词、逻辑联结词

(1)常见的全称量词有“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”等. (2)常见的存在量词有“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”等. 2.全称命题与特称命题 (1)含有全称量词的命题叫全称命题.(2)含有存在量词的命题叫特称命题. 3.命题的否定 (1)全称命题的否定是特称命题;特称命题的否定是全称命题. (2)p 或 q 的否定:非 p 且非 q;p 且 q 的否定:非 p 或非 q. 4.简单的逻辑联结词 (1)命题中的“且”、“或”、“非”叫作逻辑联结词.(2)简单复合命题的真值表: p 真 真 假 课前检测: 1.命题 p:任意 x∈R,sinx<1;命题 q:存在 x∈R,cosx≤-1,则下列结论是真命题的是 ( ) B.非 p 且 qC.p 或非 q D.非 p 且非 q 答案 B q 真 假 真 非p 假 假 真 非q 假 真 假 p或q 真 真 真 p且q 真 假 假

A.p 且 q

解析 ∵p 是假命题,q 是真命题,∴非 p 且 q 是真命题. 2.命题“存在实数 x,使 x2+x-1<0”的否定为( )

A.对任意实数 x,都有 x2+x-1≥0B.不存在实数 x,使 x2+x-1≥0 C.对任意实数 x,都有 x2+x-1<0D.存在实数 x,使 x2+x-1≥0 答案 A 解析 该命题的否定为对任意实数 x,都有 x2+x-1≥0,故选 A. 3.(2014· 重庆)已知命题 p:对任意 x∈R,总有 2x>0;q:“x>1”是“x>2”的充分不必要 条件.则下列命题为真命题的是( )

A.p 且 q

B.非 p 且非 qC.非 p 且 q D.p 且非 q 答案 D

解析 因为指数函数的值域为(0,+∞),所以对任意 x∈R,y=2x>0 恒成立,故 p 为真命 题; 因为当 x>1 时, x>2 不一定成立, 反之当 x>2 时, 一定有 x>1 成立, 故“x>1”是“x>2” 的必要不充分条件, 故 q 为假命题, 则 p 且 q、 綈 p 为假命题, 綈 q 为真命题, 綈 p 且綈 q、 綈 p 且 q 为假命题,p 且綈 q 为真命题,故选 D. 4.若命题“存在 x∈R,x2-mx-m<0”是假命题,则实数 m 的取值范围是________. 答案 解析 [-4,0] “存在 x∈R,x2-mx-m<0”是假命题,则“任意 x∈R,x2-mx-m≥0”是真命

题.即 Δ=m2+4m≤0,∴-4≤m≤0. 应用示例: 题型一 全(特)称命题的否定 例1 (1)下列命题中的假命题是( )

π A.存在 x∈R,lnx=0B.存在 x∈R,tanx= C.任意 x∈R,x2>0D.任意 x∈R,3x>0 2 (2)(2013· 四川)设 x∈Z,集合 A 是奇数集,集合 B 是偶数集.若命题 p:任意 x∈A,2x∈B, 则( )

A.非 p:任意 x∈A,2x?BB.非 p:任意 x?A,2x?B C.非 p:存在 x?A,2x∈BD.非 p:存在 x∈A,2x?B 思维点拨 含一个量词的命题的否定要改变量词,并对结论进行否定.答案 (1)C (2)D 解析 (1)当 x=1 时,lnx=0,所以排除 A;因为 y=tanx∈R,所以命题“存在 x∈R,tanx

π = ”为真命题,所以排除 B;命题“任意 x∈R,3x>0”为真命题,所以排除 D.应选 C. 2 (2)命题 p:任意 x∈A,2x∈B 是一个全称命题,其命题的否定綈 p 应为存在 x∈A,2x?B,选 D. 思维升华 (1)判定全称命题“任意 x∈M, p(x)”是真命题, 需要对集合 M 中的每个元素 x, 证明 p(x)成立;要判断特称命题是真命题,只要在限定集合内至少找到一个 x=x0,使 p(x0) 成立. (2)对全(特)称命题进行否定的方法

①找到命题所含的量词,没有量词的要结合命题的含义先加上量词,再改变量词. ②对原命题的结论进行否定. (1)下列命题中的真命题是( )

3 A.存在 x∈R,使得 sinx+cosx= B.任意 x∈(0,+∞),ex>x+1 2 C.存在 x∈(-∞,0),2x<3xD.任意 x∈(0,π),sinx>cosx (2)命题“存在实数 x,使 x>1”的否定 是( .. )

A.对任意实数 x,都有 x>1B.不存在实数 x,使 x≤1 C.对任意实数 x,都有 x≤1D.存在实数 x,使 x≤1 答案 (1)B (2)C 解析 π 3 (1)因为 sinx+cosx= 2sin(x+ )≤ 2< ,故 A 错误;当 x<0 时,y=2x 的图像在 y= 4 2

π 3x 的图像上方,故 C 错误;因为 x∈(0, )时,有 sinx<cosx,故 D 错误.所以选 B. 4 (2)“存在实数 x,使 x>1”的否定是“对任意实数 x,都有 x≤1”.故选 C. 题型二 含有逻辑联结词命题的真假判断 例2 π π 2x- ?的图像; (1)命题 p:将函数 y=sin2x 的图像向右平移 个单位得到函数 y=sin? 3? ? 3

π? ?π ? 命题 q: 函数 y=sin? 则命题“p 或 q”“p 且 q”“綈 p” ?x+6?cos?3-x?的最小正周期为 π, 中真命题的个数是( )A.1 B.2 C.3 D.0

(2)已知命题 p:若 a>1,则 ax>logax 恒成立;命题 q:在等差数列{an}中,m+n=p+q 是 an+am=ap+aq 的充分不必要条件(m,n,p,q∈N+).则下面选项中真命题是( A.(非 p)且(非 q) 解析 B.(非 p)且(非 q)C.p 或(非 q) D.p 或 q 答案 (1)B ) (2)B

π ?x-π?? = (1) 函数 y = sin2x 的图像向右平移 个单位后,所得函数为 y = sin ? 2 ? ? 3?? 3

π 2π π π π π 2x- ?,∴命题 p 是假命题.又 y=sin?x+ ?cos? -x?=sin?x+ ?cos? -?x+6??= sin? 3? ? ? ? 6? ?3 ? ? 6? 2 ?

?

?

π? 1 1 ? π? 2π sin2? ?x+6?=2-2cos?2x+3?,∴其最小正周期为 T= 2 =π,∴命题 q 为真. 由此,可判断命题“p 或 q”真,“p 且 q”假,“綈 p”真.所以真命题的个数是 2. (2)当 a=1.1,x=2 时,ax=1.12=1.21,logax=log1.12>log1.11.21=2,

此时,ax<logax,故 p 为假命题. 命题 q,由等差数列的性质,当 m+n=p+q 时,an+am=ap+aq 成立, 当公差 d=0 时,由 am+an=ap+aq 不能推出 m+n=p+q 成立,故 q 是真命题. 故非 p 是真命题,非 q 是假命题,所以 p 且 q 为假命题,p 或(非 q)为假命题,(非 p)且(非 q)为假命题,(非 p)或(非 q)为真命题. 思维升华“p 或 q”“p 且 q”“非 p”等形式命题真假的判断步骤:(1)确定命题的构成形 式; (2)判断其中命题 p、 q 的真假; (3)确定“p 且 q”“p 或 q”“非 p”等形式命题的真假. (1)(2014· 湖南)已知命题 p:若 x>y,则-x<-y;命题 q:若 x>y,则 x2>y2.在命 题①p 且 q;②p 或 q;③p 且(非 q);④(非 p)或 q 中,真命题是( A.①③ B.①④C.②③ D.②④ (2)“p 或 q”为真命题是“p 且 q”为真命题的________条件.答案 解析 (1)C(2)必要不充分 )

(1)当 x>y 时,-x<-y,故命题 p 为真命题,从而非 p 为假命题.

当 x>y 时,x2>y2 不一定成立,故命题 q 为假命题,从而綈 q 为真命题. 由真值表知,①p 且 q 为假命题;②p 或 q 为真命题;③p 且(綈 q)为真命题;④(綈 p)或 q 为假命题.故选 C. (2)若命题“p 或 q”为真命题, 则 p、 q 中至少有一个为真命题. 若命题“p 且 q”为真命题, 则 p、q 都为真命题,因此“p 或 q”为真命题是“p 且 q”为真命题的必要不充分条件. 题型三 逻辑联结词与命题真假的应用 例 3 (1)设 p:关于 x 的不等式 ax>1 的解集是{x|x<0};q:函数 y= ax2-x+a的定义域为 R.若 p 或 q 是真命题,p 且 q 是假命题,则实数 a 的取值范围是________________. (2)已知命题 p:“任意 x∈[0,1],a≥ex”;命题 q:“存在 x∈R,使得 x2+4x+a=0”.若 命题“p 且 q”是真命题,则实数 a 的取值范围是__________. 答案 解析 1 0, ?∪[1,+∞) (2)[e,4] (1)? ? 2? (1) 根据指数函数的单调性,可知命题 p 为真命题时,实数 a 的取值集合为 P=

{a|0<a<1},

对于命题 q:函数的定义域为 R 的充要条件是 ax2-x+a≥0 恒成立. 当 a=0 时,不等式为-x≥0,解得 x≤0,显然不成立; 当 a≠0 时,不等式恒成立的条件是
?a>0, ? 1 1 ? , 解得 a≥ .所以命题 q 为真命题时, a 的取值集合为 Q={a|a≥ }. 2 2 2 ?Δ=?-1? -4a×a≤0 ?

由“p 或 q 是真命题,p 且 q 是假命题”,可知命题 p,q 一真一假, 1 1 当 p 真 q 假时,a 的取值范围是 P∩(?RQ)={a|0<a<1}∩{a|a< }={a|0<a< }; 2 2 1 当 p 假 q 真时,a 的取值范围是(?RP)∩Q={a|a≤0 或 a≥1}∩{a|a≥ }={a|a≥1}. 2 1 0, ?∪[1,+∞). 综上,a 的取值范围是? ? 2? (2)若命题“p 且 q”是真命题, 那么命题 p, q 都是真命题. 由任意 x∈[0,1], a≥ex, 得 a≥e; 由存在 x∈R,使 x2+4x+a=0,知 Δ=16-4a≥0,a≤4,因此 e≤a≤4. 思维升华 以命题真假为依据求参数的取值范围时,首先要对两个简单命题进行化简,然

后依据“p 且 q”“p 或 q”“綈 p”形式命题的真假, 列出含有参数的不等式(组)求解即可. (1)已知命题 p:“任意 x∈[1,2],x2-a≥0”,命题 q:“存在 x∈R,使 x2+ 2ax+2-a=0”,若命题“p 且 q”是真命题,则实数 a 的取值范围是( )

A.{a|a≤-2 或 a=1}B.{a|a≥1}C.{a|a≤-2 或 1≤a≤2}D.{a|-2≤a≤1} (2)命题“存在 x∈R,2x2-3ax+9<0”为假命题,则实数 a 的取值范围为________. 答案 解析 (1)A (2)[-2 2,2 2] (1)由题意知,p:a≤1,q:a≤-2 或 a≥1,∵“p 且 q”为真命题,

∴p、q 均为真命题,∴a≤-2 或 a=1. (2)因题中的命题为假命题,则它的否定“任意 x∈R,2x2-3ax+9≥0”为真命题,也就是常 见的“恒成立”问题,因此只需 Δ=9a2-4×2×9≤0,即-2 2≤a≤2 2. 常用逻辑用语与一元二次不等式(高频小考点) 一、命题的真假判断 典例:已知命题 p:存在 x∈R,x2+1<2x;命题 q:若 mx2-mx-1<0 恒成立,则-4<m<0, 那么( )

A.“非 p”是假命题 B.q 是真命题 C.“p 或 q”为假命题 D.“p 且 q”为真命题 解析 由于 x2-2x+1=(x-1)2≥0,即 x2+1≥2x,所以 p 为假命题;对于命题 q,当 m=0 时,有-1<0,恒成立,所以命题 q 为假命题.综上可知:非 p 为真命题,p 且 q 为假命题, p 或 q 为假命题,故选 C.答案 C 温馨提醒 判断和一元二次不等式有关的命题的真假,首先要分清是要求解一元二次不等

式,还是要求一元二次不等式恒成立(有解、无解),然后再利用逻辑用语进行判断. 二、确定参数的取值范围 典例:(1)已知 p:存在 x∈R,mx2+1≤0,q:任意 x∈R,x2+mx+1>0,若 p 或 q 为假命 题,则实数 m 的取值范围为(
2

)A.m≥2B.m≤-2C.m≤-2 或 m≥2D.-2≤m≤2

(2)若命题“存在实数 x, 使 x +ax+1<0”的否定是真命题, 则实数 a 的取值范围为________. 解析 (1)依题意知,p,q 均为假命题.当 p 是假命题时,任意 x∈R,mx2+1>0 恒成立,

则有 m≥0;当 q 是假命题时,则有 Δ=m2-4≥0,m≤-2 或 m≥2.因此由 p,q 均为假命
? ?m≥0 题得? ,即 m≥2. ?m≤-2或m≥2 ?

(2) 方法一

由题意,命题 “ 对任意实数 x ,使 x2 + ax + 1≥0” 是真命题,故 Δ = a2 -

4×1×1≤0,解得-2≤a≤2. 方法二 若命题“存在实数 x, 使 x2+ax+1<0”是真命题, 则 Δ=a2-4×1×1>0, 解得 a>2 或 a<-2.故原命题实数 a 的取值范围是取其补集,即[-2,2].答案 课堂小结: 方法与技巧:1.把握含逻辑联结词的命题的形式,特别是字面上未出现“或”、“且”时,要 结合语句的含义理解.2.要写一个命题的否定,需先分清其是全称命题还是特称命题,再 对照否定结构去写,并注意与否命题区别;否定的规律是“改量词,否结论”. 失误与防范:1.p 或 q 为真命题,只需 p、q 有一个为真即可;p 且 q 为真命题,必须 p、q 同时为真.2.p 或 q 的否定:非 p 且非 q;p 且 q 的否定:非 p 或非 q.3.命题的否定与否 命题,“否命题”是对原命题“若 p,则 q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题,它既否 定其条件,又否定其结论;“命题的否定”即“非 p”,只是否定命题 p 的结论. (1)A (2)[-2,2]


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