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第八讲、不等式5——简单的线性规划及不等式的应用 [讲义]


五,简单的线性规划

x + y 1 ≥ 0 (1)对于变量 x, y, z 有下面的结论: z = 3 x 3 y 在 x y + 1 ≥ 0 的约束下取得最 x ≤ 1
大值和最小值, 指出这个线性规划问题的线性目标函数, 线性约束条件, 可行域, 可行解,最优解.

x ≥ 1 (2)已知变量 x, y 满足条件 x y ≤ 0 ,求 x + y 的最大值. x + 2 y 9 ≤ 0

六,不等式的应用
1.已知函数 y = kx 2 6kx + 8 + k 的定义域为 R ,求实数 k 的取值范围. 2.设函数 f ( x ) = lg ( ax 2 + x + 1)

(1) f ( x ) 的定义域是 ( ∞, +∞ ) ,求实数 a 的取值范围. (2) f ( x ) 的值域是 ( ∞, +∞ ) ,求实数 a 的取值范围.
3.已知 f ( x ) = 32 x ( k + 1) 3x + 2 ,当 x ∈ R 时, f ( x ) 恒为正值,求 k 的取值范围. 4 .设 a ∈ R ,关于 x 的一元二次方程 7 x 2 ( a + 13) x + a 2 a 2 = 0 有两个实根 x1 , x2 ,且 0 < x1 < 1 < x2 < 2 ,求 a 的取值范围. 5.设二次函数 f ( x ) = ax 2 + bx + c ( a > 0 ) ,方程 f ( x ) x = 0 的两个根 x1 与 x2 满足

0 < x1 < x2 <

1 . a

(1)当 x ∈ ( 0, x1 ) 时,求证: x < f ( x ) < x1 . (2)设函数 f ( x ) 的图象关于直线 x = x0 对称,求证: x <
x1 . 2

6 .设 a, b, c 是实数,函数 f ( x ) = ax 2 + bx + c , g ( x ) = ax + b ,当 1 ≤ x ≤ 1 时,
f ( x ) ≤ 1.

(1)求证: c ≤ 1 ;

(2)求证:当 1 ≤ x ≤ 1 时, g ( x ) ≤ 2 ; (3)设 a > 0 ,当 1 ≤ x ≤ 1 时, g ( x ) 的最大值为 2 ,求 f ( x ) .
7.一种设备的价值费为 a 元,设备维修,消耗费用第一年为 b 元,以后每年增

加 b 元.若 t 表示设备使用年数,设备年平均维修,消耗费用与设备的年平均价 值费用之和为 y 元.当 a = 450000 ,b = 1000 时,求这种设备的最佳更新年限(使
y 取最小值时 t 的值) .


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