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四川省木里县中学高三数学总复习 数列经典例题精析 新人教A版

四川省木里县中学高三数学总复习 数列经典例题精析 新人教 A 版
类型一:叠加法求数列的通项公式 1.求分别满足下列条件的数列 (1) , ; (2) 的通项公式 , ,可以判断数列 . . 是等差数列,因此可

思路点拨: 分析(1)题的结构 以利用通项公式求解, (2)题的结构

与(1)题相似,虽然不是等差数列,

但可以利用等差数列的通项公式的推导过程中的方法(叠加法)求解. 解析: (1)∵ ∴ (2)∵ 当 时, , , , , ,∴数列 是等差数列,且首项为 . ,公差为

将上面

个式子相加得到:

∴ 当 故 时, .

( 符合上式

) ,

1

总结升华: 1. 在数列中 是一个常数,而是 关于 的式子,则数列 2. 当数列的递推公式是 举一反三: 【变式 1】数列 【答案】 当 时, , , , 中 , ,求通项公式 . 不是等差数列. ,可以利用叠加的方法求数列的通项公式 . ,若 为常数,则数列 是等差数列;若 不

将上面

个式子相加得到:

∴ 当 故 时, .

( 符合上式

) ,

【变式 2】数列 【答案】 当 时, , ,





,求通项公式

.

2



将上面

个式子相加得到:

∴ 当 故 时, .



) ,

符合上式

类型二:叠乘法求数列的通项公式 2.求分别满足下列条件的数列 的通项公式 .

(1)



; (2)



.

思路点拨: 分析(1)题的结构

,可以判断数列

是等比数列,因此可以利

用通项公式求解, (2)题的结构

与(1)题相似,虽然不是等比数列,但可以利

用等比数列的通项公式的推导过程中的方法(叠乘法)求解. 解析:

(1)∵ ∴

,∴数列 .

是等比数列,且首项为

,公比为

(2)∵



当 将上面

时,





,… ,

个式子相乘得到:

3

, ∴ 当 故 举一反三: 时, ( ) , 符合上式 .

【变式 1】数列 【答案】





,求通项公式

.

时, 当 ∴ 时, 符合上式



【变式 2】已知数列 【答案】

中,



(n∈N+) ,求通项公式

.





,∴















当 ∴

时,

符合上式

4

类型三:变形为新的等差、等比数列求通项公式

3.已知数列 解析:



,

(

),求

的通项公式

.

方法一:∵

(

),



,



,



,则





是首项为

且公比为

的等比数列,



,



方法二:



②,

②-①得:



成等比数列且公比为

, 首项



∴ ∴当 时

,

5

. 当 时, 符合上式

∴ 总结升华: 第一种解法通过两边同加一个数成为一个新的数列, 这个新数列成等比数列. 一般地,对已知数列 的项满足 , ( 为常数, ),则可



得 转化为求等比数列

,利用已知得



,从而将数列

的通项,第二种方法利用了递推关系式的累差法.这两种方

法均是常用的方法. 举一反三: 【变式 1】已知数列 【答案】 , ∴ , 中 , ,求

令 ∴ ∴ ∴

,则 是首项为 , 公比为 的等比数列

【变式 2】已知数列





,求
6

【答案】



,则





,即







为等比数列,且首项为

,公比







故 4.数列 中, , ,求 .

思路点拨:对

两边同除以



即可.

解析:∵

,∴两边同除以







成等差数列,公差为

,首项







∴ 总结升华:两边同时除以

. 可使等式左边出现关于 和 的相同代数式的差,

右边为一常数, 这样把数列

的每一项都取倒数, 这又构成一个新的数列

, 而

恰是等差数列.其通项易求,先求

的通项,再求

的通项.

7

举一反三: 【变式 1】数列 【答案】 中, , ,求 .



,∴





成等差数列,公差为

,首项









.

【变式 2】 已知数列 【答案】

满足

,而且

, 求这个数列的通项公式

.



,∴



,则

,即



∴数列

是以

为首项,3 为公比的等比数列,



,∴

.

∴ 类型四: 与 5.数列 (1)用 表示

。 的关系式的综合运用 满足 ; 是等比数列; , ,

(2)证明:数列 (3)求 和

的表达式.
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思路点拨: 由

推出



,要证明

是等比数列,只需利

用定义证明 和反过来求 解析: (1)∵ 当

是常数,这需要探求 或直接利用关系式



的关系,再由等比数列 求 .

的前 n 项

,∴ 时, 即

当 所以

时 , . ,∴ ,显然 ,



(2)证明:∵

(常数) , 所以数列 (3)由(2)知: ∴ ∴ 方法一: 是等比数列,首项为 ,公比 . ,

是以 2 为公比的等比数列,首项为 ,即 , ,

方法二:∵数列

的前 n 项和:

, 即 ,

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∴ 方法三:∵ ∴ ,∴

. , .

总结升华: 1. 把数列的递推公式进行适当的变形,使之出现熟悉的等差数列或者是等比数列,从 而利用已知的通 项公式求出递推数列的通项公式. 2. 正确掌握和理解 举一反三: 【变式 1】已知数列 (1)设 , ,证明 , 是等比数列并求 ; 和 之间的关系是解这类题目的关键.

(2)设 (3)求数列 【答案】 (1) ∵ 当 当 ∴ ∵

,证明

是等差数列并求

.

的通项公式.

, 时, 时, , ,



∴ ∴数列 ∴ (2) 由(1)知:

,即

(

), ,公比为 . .

是等比数列,首项为

,∴

.



,即


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,即

,

∴数列

为首项

,公差为

的等差数列.



.

(3) 由(2)知: 【变式 2】在数列 成立. (1)求 【答案】 (1)由已知得 又∵ 若 ,∴ ,则当 时, 矛盾,∴ ,∴ 的值; (2)求证 中,

,所以 ,若存在常数 ,使得对任意的正整数 ,均有

是等差数列.

, ,得 ,即 ,∴ , 或 . ,得 ,

这与已知 当 时,得



,∴

,∴

.

(2)由(1)知







解得

,即

.

所以



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即 又因为 所以数列 类型五:应用题 成等差数列.

. (常数) ,

6. 某单位用分期付款的方式购买一套设备,共需 1150 万元,购买当天先付 150 万元,以后每月这一天都交付 50 万元,并加付欠款利息,月利率为 1%.若交付 150 万元后 的第一个月开始算分期付款的第一个月,问分期付款后的第 10 个月应该付多少钱?全部贷 款付清后,实际花了多少钱? 解析:因购设备时已付 150 万元,则欠款 1000 万元,依题意分 20 次付清, 则每次付款的数额顺次构成数列 (万元) (万元) (万元) …… ,

(万元) (

,

)

∴数列

是首项为

,公差为

的等差数列.



(万元),

(万元)

∴ 20 次 分 期 付 款 总 和 为 :

( 万 元 ), 实 际 共 付

1105+150=1255(万元) 答:第 10 个月付 55.5 万元,实际花 1255 万元. 总结升华:存款、贷款与人民的生活休戚相关,解决此类问题常常转化为数列求解. 7. 一工厂为提高产品质量、 扩大再生产, 需要征地、 扩建厂房、 购置新机器设备、 改造旧设备、培训职工,因而需要大量资金.已知征地、农户拆迁费需 40 万元,新建厂房需 100 万元,购置新机器需 60 万元,旧设备改造及培训职工需 15 万元,而该厂现有资金 125 万元,但流动备用资金需 40 万元,厂内干部 30 人每人投资 4000 元,工人 180 人每人投资 1000 元(不计利息在每年年底利润中分红),尚缺少的资金准备在今年年底向银行贷款,按 照年利率 9%的复利计算,若从次年年底开始分 5 年平均还清贷款及全部利息,那么该厂平

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均每年需还贷款多少万元(精确到 0.1 万元). 思路点拨:本题涉及资金有以下几个方面: (1)扩大再生产急需资金 40+100+60+15+40=255(万元) (2)已筹集资金 125+0.4×30+0.1×180=155(万元) (3)需向银行贷款 255-155=100(万元) (4)还款情况分析: 5 ① 向银行贷款 100 万元从次年年底起 5 年后若一次还清应为 100(1+0.09) (万元) ② 根据该厂的实际情况实行分期付款从次年年底算起, 连续 5 年每年向银行还相同 的贷款,到第 5 年 底还完. 解析:设该厂平均每年需还贷款 x 万元,则 4 第 1 年年底还款 x 万元到第 5 年年底应为 x·1.09 (万元); 3 第 2 年年底还款 x 万元到第 5 年年底应为 x·1.09 (万元); 2 第 3 年年底还款 x 万元到第 5 年年底应为 x·1.09 (万元) 第 4 年年底还款 x 万元到第 5 年年底应为 x·1.09(万元) 第 5 年年底还款 x 万元仅本金 x(万元) 4 3 2 5 于是得方程 x(1.09 +1.09 +1.09 +1.09+1)=100×1.09

所以

=100×1.09

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由计算器可计算得 x≈25.7(万元). 总结升华:分期付款问题可视作分期存款,即从次年年底每年存款 x 万元,按规定的利 率,求得 n 年的本利和,然后向银行一次付清,这样就构成了以 x 万元为首项,1.09 为公 比的等比数列求前 n 项之和,从而列出方程,求出 x. 举一反三: 【变式 1】一个家庭为了给孩子将来上大学付学费,从孩子一出生起,每年到银行储蓄 一笔钱,假设大学四年学费共需 1 万元,银行储蓄利率为月息 4.725‰,每年按复利计算, 为了使孩子到 18 岁上大学时本利共有 1 万元,他们每年要存入多少钱?(精确到 1 元) 【答案】设每年存入 a 元,n 年后本利和为 从 0 岁到 17 岁共往银行存入 18 笔钱,故本利和为 . .

所以 利用计算器,解得 .



故每年需存款 316 元. 【变式 2】国家计划在西部地区退耕还林 6370 万亩,2001 年底西部已退耕还林的土地 面积为 515 万亩,以后每年退耕还林的面积按 12%递增。 8 (1)试问从 2001 年底,到哪一年底西部地区才能完成退耕还林计划?(1.12 =2.476, 7 1.12 =2.211) (精确到年) (2) 为支持退耕还林工作, 国家财政从 2002 年起补助农民当年退耕地每亩 300 斤粮食, 每斤粮食按 0.7 元折算,并且补助当年退耕地每亩 20 元。试问:西部完成退耕还林计划,

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国家财政共需支付多少亿元?(精确到亿元) 【答案】 (1)设从 2001 年底起以后每年的退耕还林的土地依次为 a1,a2,a3,…,an,…万亩。 2 n 则 a1=515(1+12%),a2=515(1+12%) ,…,an=515(1+12%) ,…, n n ∴515×1.12×(1.12 -1)=5855×0.12,即 1.12 =2.218。 7 又∵n∈N*,当 n=7 时,1.12 =2.211,此时完不成退耕还林计划, ∴n=8 故到 2009 年底西部地区才能完成退耕还林计划。 (2)设才政补助费为 W 亿元,则 -4 W=(300×0.7+20)×(6370-515)×10 =134.7(亿元) , 故西部完成退耕还林计划,国家财政共需支付 134.7 亿元。 【变式 3】某国产名牌彩电,每月销售量为 a 台,改进技术的新产品投放市场后预计第 一月销售量的增长率为 200%,以后每月销售量的增长率为前一个月的一半. (1)当新产品投放市场 3 个月后,预计新产品的月销售量是老产品的多少倍? (2)由于国外企业参与竞争,国产新彩电实际月销售的增长率比预计减少 10%,那么经 过多少个月后, 国产新彩电实际月销售量达到最大?最大月销售量是老产品的多少倍 (结果 保留小数点后一位)? 【答案】 (1)设 n 个月后新彩电销量为 ,则

故三个月后预计国产彩电月销售量是老产品的 9 倍. (2)由于国外进口彩电参与竞争,实际月销售量的增长率比预计减少 10%,故

因为数列

是一个单调递减数列,

要使 又

取得最大值,只要 , 则



即经过 5 个月国产彩电实际月销售量达到最大,最大月销售是老产品的 9.1 倍

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