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圆锥曲线综合.板块三.切线问题.学生版


板块三.切线问题

典例分析
【例1】 抛物线 y ? x 2 上的点到直线 2 x ? y ? 4 的最短距离是( A.
3 5 5


D.
9 5 20

B.

4 5 5

C.

13 5 20

【例2】 若曲线 y ? 2 x2 的一条切线 l 与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直, 则切线 l 的方程为 ( A. x ? 4 y ? 3 ? 0 B. x ? 4 y ? 9 ? 0 C. 4x ? y ? 3 ? 0 D. 4x ? y ? 2 ? 0



【例3】 与直线 2x ? y ? 4 ? 0 平行的抛物线 y ? x 2 的切线方程是



【例4】 过 点 P( 0 1 且 与 抛 物 线 y 2 ? 2 x 只 有 一 个 公 共 点 的 直 线 方 程 为 , ) _______________________.

【例5】 已知过定点 A (2,0) 的直线和抛物线 y ? 方程.

1 2 求满足条件的直线 x 有且只有一个交点, 4

【例6】 已知圆 O : x2 ? y 2 ? 2 交 x 轴于 A , B 两点,曲线 C 是以 AB 为长轴,离心率为

2 2 的椭圆,其左焦点为 F .若 P 是圆 O 上一点,连结 PF ,过原点 O 作直线 PF 的垂 线交直线 x ? ?2 于点 Q . ⑴求椭圆 C 的标准方程; ⑵若点 P 的坐标为 (1 , 1) ,求证:直线 PQ 与圆 O 相切.

⑶试探究:当点 P 在圆 O 上运动时(不与 A , B 重合) ,直线 PQ 与圆 O 是否保 持相切的位置关系?若是,请证明;若不是,请说明理由.

【例7】 如图, P 是抛物线 C : y ?
Q.

1 2 x 上一点,直线 l 过点 P 且与抛物线 C 交于另一点 2

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⑴若直线 l 与过点 P 的切线垂直,求线段 PQ 中点 M 的轨迹方程; ⑵若直线 l 不过原点且与 x 轴交于点 S ,与 y 轴交于点 T ,试求 范围.
y

ST SP

?

ST SQ

的取值

Q

M

T P l

O

S

x

【例8】 已知椭圆 C1 :

y 2 x2 0) ? ? 1 (a ? b ? 0) 的右顶点为 A(1, ,过 C1 的焦点且垂直长轴 a 2 b2

的弦长为 1 . ⑴求椭圆 C1 的方程;
⑵设点 P 在抛物线 C2 : y ? x2 ? h(h ? R) 上, C2 在点 P 处的切线与 C1 交于点 M , N .当线段 AP 的中点与 MN 的中点的横坐标相等时,求 h 的最小值.

【例9】 已知双曲线

x ? y 2 ? 1 的左、右顶点分别为 A1 , A2 ,点 P ? x1 ,y1 ? , Q ? x1 ,? y1 ? 2 是双曲线上不同的两个动点. ⑴ 求直线 A1 P 与 A2Q 交点的轨迹 E 的方程

⑵ 若过点 ? 0 , h ? 的两条直线 l1 和 l2 与轨迹 E 都只有一个交点, l1 ? l2 , h 的值. 且 求

【例10】 已知抛物线的焦点 F 在 y 轴上,抛物线上一点 A(a , 4) 到准线的距离是 5 ,过点

F 的直线与抛物线交于 M , N 两点,过 M , N 两点分别作抛物线的切线,这两条 切线的交点为 T . ⑴求抛物线的标准方程; ??? ???? ? ? ⑵求 FT ? MN 的值; ??? ? ???? ? ???? ⑶求证: | FT | 是 | MF | 和 | NF | 的等比中项. 2 0 x2 y 2 【例11】 已知椭圆 2 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0 ? 和圆 O :0x 2 ? y 2 ? b2 ,过椭圆上一点 P 引圆 O 的 a b 9 两条切线,切点分别为 A , B . 0 ⑴(ⅰ)若圆 O 过椭圆的两个焦点,求椭圆的离心率 e ; 4 (ⅱ)若椭圆上存在点 P ,使得 ?APB ? 90? ,求椭圆离心率 e 的取值范围. 2 a2 b2 ? ⑵设直线 AB 与 x 轴、 y 轴分别交于点 M 3 N ,求证: , 为定值. 2 2 ON OM

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【例12】 给定椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,称圆心在原点 O ,半径为 a 2 ? b2 的圆是椭 a 2 b2 圆 C 的“准圆”.若椭圆 C 的一个焦点为 F ( 2 , 0) ,其短轴上的一个端点到 F 的

距离为 3 . (I)求椭圆 C 的方程和其“准圆”方程; (II)点 P 是椭圆 C 的“准圆”上的一个动点,过点 P 作直线 l1 , l2 ,使得 l1 , l2 与椭 圆 C 都只有一个交点,且 l1 , l2 分别交其“准圆”于点 M , N . ⑴当 P 为“准圆”与 y 轴正半轴的交点时,求 l1 , l2 的方程; ⑵求证: MN 为定值.

【例13】 已知中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆 C 的离心率为

3? 1 ? ,且经过点 ? ?1, ? ,过 2? 2 ? 点 P ? 2, 1? 的直线 l 与椭圆 C 在第一象限相切于点 M .

⑴求椭圆 C 的方程; ⑵求直线 l 的方程以及点 M 的坐标;

??? ??? ???? 2 ? ? ? ⑶是否存过点 P 的直线 l1 与椭圆 C 相交于不同的两点 A , B , 满足 PA ? PB ? PM ?

若存在,求出直线 l1 的方程;若不存在,请说明理由. 【例14】 已知圆 O : x2 ? y 2 ? 2 交 x 轴于 A , B 两点,曲线 C 是以 AB 为长轴,离心率为
2 2

的椭圆,其左焦点为 F .若 P 是圆 O 上一点,连结 PF ,过原点 O 作直线 PF 的垂 线交直线 x ? ?2 于点 Q . ⑴求椭圆 C 的标准方程; ⑵若点 P 的坐标为 (1 , 1) ,求证:直线 PQ 与圆 O 相切. ⑶试探究:当点 P 在圆 O 上运动时(不与 A , B 重合) ,直线 PQ 与圆 O 是否保持相 切的位置关系?若是,请证明;若不是,请说明理由.

【例15】 如图,设抛物线方程为 x 2 ? 2 py( p ? 0) , M 为 直线 y ? ?2 p 上任意一点,过 M 引 抛物线的切线,切点分别为 A , B . ⑴ 求证: A , M , B 三点的横坐标成等差数列; ⑵ 已知当 M 点的坐标为 (2 , 2 p) 时, AB ? 4 10 ,求此时抛物线的方程; ? ⑶ 是否存在点 M , 使得点 C 关于直线 AB 的对称点 D 在抛物线 x 2 ? 2 py ( p>0) 上,
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???? ??? ??? ? ? 其中,点 C 满足 OC ? OA ? OB ( O 为坐标原点) .若存在,求出所有适合题意的点 的坐标;若不存在,请说明理由. M

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