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2014年高二数学学业水平测试训练(41)


数学水平测试训练(41)
1. (2014 年安庆市高三二模)如图, E 是以 AB 为直径的半圆 O 上异于 A 、 B 的点, 矩形 ABCD 所在的平面垂直于半圆 O 所在的平面,且 AB ? 2 AD ? 2a .若异面直线 AE 和

DC 所成的角为


? ,平面 DCE 与平面 AEB 所成的锐二面角的余弦 6
.

解析:如图,以点 O 为坐标原点, AB 所在的直线为 y 轴,过点 O 与 BC 平行的直线为

z 轴,建立空间直角坐标系 O ? xyz .由异面直线 AE
和 DC 所成的角为 ∴ ?BOE ?

?
3

? ? , AB / / DC 知 ?BAE ? , 6 6



∴ E(

3 1 a , a, ) a, a, 0) , 由 题 设 可 知 C ( 0 , 2 2

uuu r uur 3 3 3 1 D(0, ?a, a) ,∴ DE ? ( a, a, ?a) ,CE ? ( a, ? a, ?a) .设平面 DCE 的一个法向 2 2 2 2
量为 p ? ( x0 , y0 , z0 ) , 由 DE ? p ? 0 , CE ? p ? 0 得 z0 ?

u r

uuu r u r

uur u r

3 x0 , y0 ? 0 ,取 x0 ? 2 ,得 2

z0 ? 3 .
∴ p ? (2,0, 3) .又平面 AEB 的一个法向量为 q ? (0,0,1) ,∴ cos ? p, q ??

u r

r

u r r

21 . 7

平面 DCE 与平面 AEB 所成的锐二面角的余弦值

21 . 7

2.(2014 年广州市普通高中毕业班综合测试惠州市)如图 1,在直角梯形 ABCD 中,

AB // CD , AB ? AD ,且 AB ? AD ?

1 CD ? 1 .现以 AD 为一边向梯形外作正方形 2

ADEF ,然后沿边 AD 将正方形 ADEF 翻折,使平面 ADEF 与平面 ABCD 垂直, M 为 ED 的中点,如图 2.
则点 D 到平面 BEC 的距离是 .

E

D

C
1

F

A

B

E M F D
C

A

图2

B

解析:解法一:因为 BC ? 平面 BCE , 所以平面 BDE ? 平面 BEC . 过点 D 作 EB 的垂线交 EB 于点 G ,则 DG ? 平面 BEC 所以点 D 到平面 BEC 的距离等于线段 DG 的长度 在直角三角形 BDE 中, S ?BDE ? 所以 DG ?

1 1 BD ? DE ? BE ? DG 2 2

BD ? DE 2 6 ? ? BE 3 3
6 . 3

所以点 D 到平面 BEC 的距离等于

解法二: BE ? 平面 BDE ,所以 BC ? BE 所以 S ?BCD ?

1 1 BD ? BC ? ? 2 ? 2 ? 1, 2 2

S ?BCE ?

1 1 6 BE ? BC ? ? 2 ? 3 ? . 2 2 2

又 VE ? BCD ? VD? BCE ,设点 D 到平面 BEC 的距离为 h . 则

1 1 S ?BCD ? DE ? ? S ?BCE ? h ,所以 3 3

h?

S ?BCD ? DE 1 6 ? ? S ?BCE 3 6 2

所以点 D 到平面 BEC 的距离等于

6 . 3

3.(2014年广州市普通高中毕业班综合测试)如图 在棱长为 a 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,点 E 是棱 D1D 的中点,点 F 在棱 B1B 上,且满足 B1F ? 2FB .则平面 AEF 与平面

ABCD 所成二面角的余弦值是

D1
E



A1

B1
2

D F
A

解析:由(1)知 AE ? ? ?a ,0,

? ?

1 ? 1 ? ? a ? , AF ? ? 0, a, a ? . 2 ? 3 ? ?

设 n ? ? x, y, z ? 是平面 AEF 的法向量,

? ?n AE ? 0, 则? ? ?n AF ? 0.

1 ? ? ax ? az ? 0, ? ? 2 即? ? ay ? 1 az ? 0. ? 3 ?

取 z ? 6 ,则 x ? 3 , y ? ?2 .

所以 n ? ?3, ?2,6? 是平面 AEF 的一个法向量. 而 DD1 ? ? 0,0, a ? 是平面 ABCD 的一个法向量, 设平面 AEF 与平面 ABCD 所成的二面角为 ? , 则 cos ? ?

n DD1 n DD1
0 ? 3 ? 0 ? ? ?2 ? ? a ? 6
2

?

6 ? . 7 32 ? ? ?2 ? ? 62 ? a

故平面 AEF 与平面 ABCD 所成二面角的余弦值为

6 . 7

3


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