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【创新方案】2015高考数学(文)一轮热点题型突破:第8章 第6节 双曲线


第六节

双 曲 线

考点一

双曲线的定义、标准方程

x2 y2 [例 1] (1)(2013· 天津高考)已知抛物线 y2=8x 的准线过双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一 a b 个焦点, 且双曲线的离心率为 2,则该双曲线的方程为______________. x2 y2 (2)(2013· 辽宁高考)已知 F 为双曲线 C: - =1 的左焦点,P,Q 为 C 上的点.若 PQ 9 16 的长等于虚轴长的 2 倍,点 A(5,0)在线段 PQ 上,则△PQF 的周长为________. [自主解答] (1)由抛物线 y2=8x 可知其准线方程为 x=-2, 所以双曲线的左焦点为(-2,0),即 c=2; c 又因为离心率为 2,所以 e= =2,故 a=1, a 由 a2+b2=c2 知 b2=3, y2 所以该双曲线的方程为 x2- =1. 3 x2 y2 (2)由 - =1,得 a=3,b=4,c=5, 9 16 所以|PQ|=4b=16>2a, 又因为 A(5,0)在线段 PQ 上, 所以 P,Q 在双曲线的一支上,且 PQ 所在直线过双曲线的右焦点,由双曲线定义知: ? ?|PF|-|PA|=2a=6,
? ?|QF|-|QA|=2a=6. ?

所以|PF|+|QF|=28. 即△PQF 的周长是|PF|+|QF|+|PQ|=28+16=44. y2 [答案] (1)x2- =1 (2)44 3 【互动探究】 本例(2)中“若 PQ 的长等于虚轴长的 2 倍”改为“若 PQ 的长等于实轴长的 2 倍”, 则 结果如何? 解:依题意知|PQ|=4a=12>2a. 又∵A(5,0)在线段 PQ 上, ∴PQ 在双曲线的一支上. 同样|PF|-|PA|=2a=6,|QF|-|QA|=2a=6. ∴|PF|+|QF|=24. ∴△PQF 的周长是|PF|+|QF|+|PQ|=24+12=36. 【方法规律】 双曲线定义运用中的两个注意点 (1)在解决与双曲线的焦点有关的距离问题时,通常考虑利用双曲线的定义; (2)在运用双曲线的定义解题时,应特别注意定义中的条件 “差的绝对值”,弄清楚是 指整条双曲线还是双曲线的一支. 1.已知 F1,F2 为双曲线 C:x2-y2=2 的左、右焦点,点 P 在 C 上,|PF1|=2|PF2|,则 cos∠F1PF2=( ) 1 3 3 4 A. B. C. D. 4 5 4 5 解析:选 C ∵由双曲线的定义有

x2 y2 2. 已知△ABP 的顶点 A, B 分别为双曲线 - =1 的左、 右焦点, 顶点 P 在双曲线上, 16 9 |sin A-sin B| 则 的值等于( ) sin P 4 7 5 A. B. C. D. 7 5 4 4 解析:选 A 在△ABP 中,由正弦定理知 |sin A-sin B| ||PB|-|PA|| 2a 8 4 = = = = . sin P |AB| 2c 10 5 考点二 直线和双曲线的综合

|PF1|-|PF2|=|PF2|=2a=2 2, ∴|PF1|=2|PF2|=4 2, |PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2 则 cos∠F1PF2= 2|PF1|· |PF2| ?4 2?2+?2 2?2-42 3 = = . 4 2×4 2×2 2

x2 y2 [例 2] (2013· 全国高考)已知双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1, a b F2,离心率为 3,直线 y=2 与 C 的两个交点间的距离为 6. (1)求 a,b; (2)设过 F2 的直线 l 与 C 的左、 右两支分别交于 A, B 两点, 且|AF1|=|BF1|, 证明: |AF2|, |AB|,|BF2|成等比数列. a2+b2 c [自主解答] (1)由题设知 =3,即 2 =9, a a 故 b2=8a2. 所以 C 的方程为 8x2-y2=8a2. 1 将 y=2 代入上式,解得 x=± a2+ . 2 1 由题设知,2 a2+ = 6,解得 a2=1. 2 所以 a=1,b=2 2. (2)证明:由(1)知,F1(-3,0),F2(3,0),C 的方程为 8x2-y2=8.① 由题意可设 l 的方程为 y=k(x-3),|k|<2 2,代入①并化简,得(k2-8)x2-6k2x+9k2+8 =0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 9k2+8 6k2 x1≤-1,x2≥1,x1+x2= 2 ,x1x2= 2 . k -8 k -8
2 2 于是|AF1|= ?x1+3?2+y2 1= ?x1+3? +8x1-8=-(3x1+1), 2 2 |BF1|= ?x2+3?2+y2 2= ?x2+3? +8x2-8=3x2+1. 由|AF1|=|BF1|,得-(3x1+1)=3x2+1, 2 即 x1+x2=- . 3 6k2 2 4 19 故 2 =- ,解得 k2= ,从而 x1x2=- . 3 5 9 k -8 2 2 由于|AF2|= ?x1-3?2+y2 1= ?x1-3? +8x1-8=1-3x1, 2 2 |BF2|= ?x2-3?2+y2 2= ?x2-3? +8x2-8=3x2-1, 故|AB|=|AF2|-|BF2|=2-3(x1+x2)=4, |AF2|· |BF2|=3(x1+x2)-9x1x2-1=16.

从而|AF2|· |BF2|=|AB|2, 所以|AF2|,|AB|,|BF2|成等比数列. 【方法规律】 求解双曲线综合问题的主要方法 双曲线的综合问题主要为直线与双曲线的位置关系. 解决这类问题的常用方法是设出直 线方程或双曲线方程, 然后把直线方程和双曲线方程联立成方程组, 消元后转化成关于 x(或 y)的一元二次方程, 利用根与系数的关系及整体代入的思想解题. 设直线与双曲线交于 A(x1, y1),B(x2,y2)两点,直线的斜率为 k,则|AB|= 1+k2|x1-x2|. x2 y2 过双曲线 - =1 的右焦点 F2,倾斜角为 30° 的直线交双曲线于 A,B 两点,O 为坐标 3 6 原点,F1 为左焦点. (1)求|AB|; (2)求△AOB 的面积. 解:(1)由双曲线的方程,得 a= 3,b= 6, ∴c= a2+b2=3,F1(-3,0),F2(3,0). 3 直线 AB 的方程为 y= (x-3). 3 设 A(x1,y1),B(x2,y2),

?y= 33?x-3?, 由? x y ? 3 - 6 =1,
2 2

得 5x2+6x-27=0.

6 27 ∴x1+x2=- ,x1x2=- . 5 5 ∴|AB|= 1+k2|x1-x2| 3?2 · ?x1+x2?2-4x1x2 ?3? 4 36 108 16 3 = · + = . 3 25 5 5 (2)直线 AB 的方程变形为 3x-3y-3 3=0. |-3 3| 3 ∴原点 O 到直线 AB 的距离为 d= = . 2 2 ? 3? +?-3? 2 1 1 16 3 3 12 3 ∴S△AOB= |AB|· d= × × = . 2 2 5 2 5 高频考点 考点三 双曲线的几何性质及应用 = 1+?

1.双曲线的几何性质及应用,是高考命题的热点,多以选择题或填空题的形式呈现, 试题难度不大,多为容易题或中档题. 2.高考对双曲线几何性质的考查主要有以下几个命题角度: (1)求双曲线的离心率(或范围); (2)求双曲线的渐近线方程; (3)求双曲线方程; (4)求双曲线的焦点(距)、实虚轴长. x2 y2 5 [例 3] (1)(2013· 新课标全国卷Ⅰ)已知双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率为 , a b 2 则 C 的渐近线方程为 ( )

1 A.y=± x 4 1 C.y=± x 2

1 B.y=± x 3 D.y=± x

x2 (2)(2013· 浙江高考)如图,F1,F2 是椭圆 C1: +y2=1 与双曲线 C2 的公共焦点,A,B 4 分别是 C1,C2 在第二、四象限的公共点.若四边形 AF1BF2 为矩形,则 C2 的离心率是( )

A. 2

B. 3 5 c = = 2 a

3 C. 2 b?2 1+? ?a? ,

D.

6 2

[自主解答] (1) b 1 所以 = , a 2

1 故所求的双曲线渐近线方程是 y=± x. 2 (2)设双曲线 C2 的实半轴长为 a,焦半距为 c,|AF1|=m,|AF2|=n, ?m+n=4, ? 由题意知 c= 3, ? 2 2 2 ? ?m +n =?2c? =12, 2mn=(m+n)2-(m2+n2)=4, (m-n)2=m2+n2-2mn=8,2a=|m-n|=2 2,a= 2, c 3 6 则双曲线 C2 的离心率 e= = = . a 2 2 [答案] (1)C (2)D 与双曲线几何性质有关问题的常见类型及解题策略 (1)求双曲线的离心率(或范围).依据题设条件,将问题转化为关于 a,c 的等式(或不等 式),解方程(或不等式)即可求得. (2)求双曲线的渐近线方程.依据题设条件,求双曲线中 a,b 的值或 a 与 b 的比值,进 而得出双曲线的渐近线方程. (3)求双曲线方程.依据题设条件,求出 a,b 的值或依据双曲线的定义,求双曲线的方 程. (4)求双曲线焦点(焦距)、实虚轴的长.依题设条件及 a,b,c 之间的关系求解. π x2 y2 y2 x2 1.(2013· 湖北高考)已知 0<θ< ,则双曲线 C1: 2 - 2 =1 与 C2: 2 - 2 =1 4 sin θ cos θ cos θ sin θ 的( ) A.实轴长相等 B.虚轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等 π 解析:选 D ∵0<θ< ,∴sin θ<cos θ. 4 x2 y2 由双曲线 C1: 2 - 2 =1 知实轴长为 2sin θ,虚轴长为 2cos θ,焦距为 2,离心率 sin θ cos θ 1 为 . sin θ

y2 x2 由双曲线 C2: 2 - 2 =1 知实轴长为 2cos θ,虚轴长为 2sin θ,焦距为 2,离心率 cos θ sin θ 1 为 . cos θ 3 2.(2013· 广东高考)已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 F(3,0),离心率等于 ,则 C 2 的方程是( ) x2 y2 x2 y2 A. - =1 B. - =1 4 4 5 5 2 2 x y x2 y2 C. - =1 D. - =1 2 5 2 5 解析:选 B 依题意 c=3, c 3 又∵e= = ,∴a=2, a 2 ∴b2= c2-a2= 32-22=5, x2 y2 ∴C 的方程为 - =1. 4 5 x2 y2 3.(2013· 湖南高考)设 F1,F2 是双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的两个焦点,P 是 C 上 a b 一点.若|PF1|+|PF2|=6a,且△PF1F2 的最小内角为 30° ,则 C 的离心率为________. 解析:不妨设点 P 在双曲线 C 的右支上且 F1,F2 分别为左、右焦点,由双曲线定义知 |PF1|-|PF2|=2a,① 又|PF1|+|PF2|=6a,② 由①②,得|PF1|=4a,|PF2|=2a. 因为 c>a,所以 2c>2a, 所以在△PF1F2 中,∠PF1F2 为最小内角, 因此∠PF1F2=30° . 在△PF1F2 中,由余弦定理可知, |PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2-2|PF1|· |F1F2|· cos 30° , 2 2 2 即 4a =16a +4c -8 3ac. 所以 c2-2 3ac+3a2=0, 两边同除以 a2 得 e2-2 3e+3=0. 解得 e= 3. 答案: 3 ——————————[课堂归纳——通法领悟]———————————————— 1 个规律——等轴双曲线的离心率及渐近线的关系 双曲线为等轴双曲线?双曲线的离心率 e= 2?双曲线的两条渐近线互相垂直(位置 关系). 2 种方法——求双曲线标准方程的两种方法 (1)定义法,根据题目的条件,若满足定义,求出相应的 a,b 的值即可求得方程. (2)待定系数法 ① 待定系数法的步骤 定位:确定焦点位置 设方程:由焦点位置设方程 定值:根据 条件确定相关参数 ②待定系数法求双曲线方程的常用方法

? ? b x y ?若渐近线方程为y=±ax,则可设为a -b =λ?λ≠0?; ? ?若过两个已知点则设为xm+yn =1?mn<0?.
2 2 2 2 2 2

x2 y2 x2 y2 与双曲线 2- 2=1共渐近线的可设为 2- 2=λ?λ≠0?; a b a b

3 个关注点——双曲线几何性质的关注点 双曲线的几何性质可从以下三点关注: (1)“六点”:两焦点、两顶点、两虚轴端点; (2)“四线”:两对称轴(实、虚轴)、两渐近线; (3)“两形”:中心、顶点、虚轴端点构成的三角形;双曲线上的一点(不包括顶点)与两 焦点构成的三角形. 3 个防范——双曲线问题的三个易混点 (1)区分双曲线中的 a,b,c 大小关系与椭圆中 a,b,c 大小关系,在双曲线中 c2= 2 2 a +b ,而在椭圆中 a2=b2+c2. (2)双曲线的离心率 e∈(1,+∞),而椭圆的离心率 e∈(0,1). x2 y2 b y2 x2 (3)双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的渐近线方程是 y=± x, 2- 2=1(a>0,b>0)的渐近线 a b a a b a 方程是 y=± x. b


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