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课件-2.4.2等比数列性质


一、旧知复习
等差数列
一般地,如果一个数列 从第2项起,每一项与 它的前一项的差都等于 同一个常数,那么这个 数列叫做等差数列 等比数列 一般地,如果一个数列 从第2项起,每一项与 它的前一项的比都等于 同一个常数,那么这个 数列叫做等比数列

定 义

符号 语言

an?1 ? an ? d ?n ? N? ?

an?1 ? q?n ? N ? , q ? 0? an

通项 公式

an ? a1 ? ?n ?1?d

an ? a1q

n ?1

等差数列的性质

设数列?an ?为等差数列,且 , n, p, q ? N ?, m 若m ? n ? p ? q, 则am ? an ? a p ? aq .

若m ? n ? 2 p, 则am ? an ? 2a p .
等比数列的性质一 若数列 {an}为等比数列,且 m , n , s , t ? + N

若m+n=s+t , 则aman=asat
则aman=as2 若m+n=2s ,

1.等比数列?an ?中,an ? 0, a3 ? a6 ? 32, 则 log 2 a1 ? log 2 a2 ? ? ? log 2 a8 ? ( C ) A.128
变式: 2.在正项等比数列?an ?中,a2 a4 ? 2a3 a5 ? a4a6 ? 25,

B .36

C .20

D .10

5 则a3 ? a5 ? _________
解析: a2 a4=a,a4a6=a, a+2a3a5+a=25. ? ? ? (a3+a5 )2=25. ? an>0, a3+a5=5. ?

等差数列的性质 若 ?an ? 是等差数列,
当下标n1 , n2 , n3 , n4 ,? , nk , ? 成等差数列, 则an1 , an2 , an3 , an4 , ? , ank , ? 成等差数列

等比数列的性质二
若?an ? 是等比数列, 当下标n1 , n2 , n3 , n4 ,? , nk ,?成等差数列, 则an1 , an2 , an3 , an4 , ? , ank , ?成等比数列

如:奇数项a1 , a3 , a5 , a7 ,?, a2k -1 ,?成等比数列,

等差数列的性质

若?an ? 是公差为d的等差数列,则

(1)c ? an ? 是公差为d的等差数列; ? (2)c ? an ? 是公差为cd的等差数列. ?

等比数列的性质三

q (1) c ? an ? ? 0)是公比为_____的等比数列; (c ?
q (2) an ? 是公比为 ______ 的等比数列. ?
?an ? bn ?
q1 ? q2 的等比数列; 是公比为 _____
(3)若 ?an ?、bn ? 是公比为q1 , q2的等比数列,则 ?

若 ?an ? 是公比为q的等比数列,则

4.将公比为q的等比数列?an ? 依次取相邻两项 的乘积组成新的数列a1a2,a2 a3,a3 a4, .则此 ? 数列( B )    A.是公比为q的等比数列 B.是公比为q 2的等比数列 C.是公比为q 3的等比数列 D.不一定是等比数列

5.有四个实数,前三个数成等比数列,且它们 的乘积为216,后三个数成等差数列, 且它们之 和为12,求这四个数.
a 【解】 法一:设前三个数为 ,a,aq, q a 则 · aq=216, a· q 6 3 ∴a =216.∴a=6.因此前三个数为 ,6,6q. q 由题意第 4 个数为 12q-6. 2 ∴6+6q+12q-6=12,解得 q= . 3

故所求的四个数为 9,6,4,2.

法二:设后三个数为 4-d,4,4+d, 1 则第一个数为 (4-d)2, 4 1 由题意 (4-d)2· (4-d)· 4=216,解得 4-d=6. 4 ∴d=-2. 故所求得的四个数为 9,6,4,2.

归纳小结 a (1)三个数成等比数列, 常设为 , aq(a≠0). a, q (2)四个数成等比数列,常设为 a,aq,aq , a a 3 aq ,而不设为 3, ,aq,aq ,这样设会因等 q q
3 2

比数列的公比为 q 而失根.

2

6.(2006全国卷I)已知{an}为等比数列, 公比q>1,a2+a4=10, a1.a5=16,求等比数列 {an}的通项公式.
解:a1 ? a5 ? a2 ? a4 =16 ? a2 ? a4 =16 ? a2 =2 解得 ? ? ? a2 +a4 =10 ? a4 =8 ? q ? 2, a1 ? 1,? an ? 2n?1

7. 等比数列{an}中,a2+a3=6 , a2a3=8 , 则公比q=________
当a2=2,a3=4时,q=2 当a2=4,a3=2时,q=1/2

知识小测验
1.在等比数列{an}中,a1+a2=2,a3+a4=50,则公比q的值为( D ) A.25 B.5 C.-5 D.±5
2.(2007福建文)等比数列{an}中,a4=4,则a2·6等于 a A.4 B.8 C.16 D.32 (C )

3. (2004全国Ⅰ卷文)已知等比数列{an} , a3=8 , a10=1024 则该数列的通项an= 2n . 4. 等比数列{an}中,a2+a3=6 , a2a3=8 ,则公比q=________

当a2=2,a3=4时,q=2 当a2=4,a3=2时,q=1/2

课堂小结:
1.若数列 {an}为等比数列,且 m , n , s , t ?+ N

若m+n=s+t , 则aman=asat 若m+n=2s , 则aman=as2

2.若?an ? 是等比数列, 当下标n1 , n2 , n3 , n4 ,? , nk ,?成等差数列, 则an1 , an2 , an3 , an4 , ? , ank , ?成等比数列
(1) c ? an ? 3.若 ?an ? 是公比为q的等比数列,则

q (2) an ? 是公比为 ______ 的等比数列. ? (3)若 ?an ?、bn ? 是公比为q1 , q2的等比数列,则 ?
_____ ?an ? bn ? 是公比为 q1 ? q2 的等比数列;

q (c ? ? 0)是公比为_____的等比数列;

形成性训练
1、在等比数列{an}中,已知a2 = 5,a4 = 10,则公比 q的值为________ 2、 2与8的等比中项为G,则G的值为_______ 3、在等比数列{an}中,an>0, a2a4+2a3a5+a4a6=36, 那么a3+a5=_________ 4、在等比数列中a7=6,a10=9,那么a4=_________.


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