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2014届步步高大一轮复习讲义二.2.4


§ 2.4
2014 高考会这样考

二次函数与幂函数

1.求二次函数的解析式;2.求二次函数的值域或最值,考查和一元二次

方程、一元二次不等式的综合应用;3.利用幂函数的图像、性质解决有关问题. 复习备考要这样做 1.理解二次函数三种解析式的特征及应用;2.分析二次函数要抓住几个

关键环节:开口方向、对称轴、顶点、函数的定义域;3.充分应用数形结合思想把握二次函 数、幂函数的性质.

1. 二次函数的定义与解析式 (1)二次函数的定义 形如:f(x)=ax2+bx+c_(a≠0)的函数叫作二次函数. (2)二次函数解析式的三种形式 ①一般式:f(x)=ax2+bx+c_(a≠0). ②顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0). ③零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)_(a≠0). 2. 二次函数的图像和性质 解析式 f(x)=ax2+bx+c (a>0) f(x)=ax2+bx+c (a<0)

图像

定义域 值域

(-∞,+∞)

(-∞,+∞)

?4ac-b ,+∞? ? 4a ?

2

?-∞,4ac-b ? 4a ? ?

2

单调性

b? b? ? 在 x∈? ?-∞,-2a?上单调递减; 在 x∈?-∞,-2a?上单调递增; b ? 在 x∈? ?-2a,+∞?上单调递增 b ? 在 x∈? ?-2a,+∞?上单调递减

奇偶性 顶点

当 b=0 时为偶函数,b≠0 时为非奇非偶函数

?- b ,4ac-b ? 4a ? ? 2a

2

对称性 3. 幂函数

b 图像关于直线 x=- 成轴对称图形 2a

形如 y=xα (α∈R)的函数称为幂函数,其中 x 是自变量,α 是常数. 4. 幂函数的图像及性质 (1)幂函数的图像比较

(2)幂函数的性质比较 y=x y=x2 y=x3 1 y=x 2 y=x
-1

定义域

R

R

R

[0,+∞)

{x|x∈R 且 x≠0} {y|y∈R 且 y≠0} 奇函数 x∈(0,+∞)

值域

R

[0,+∞)

R

[0,+∞) 非奇非偶函 数

奇偶性

奇函数

偶函数 x∈[0,+∞)

奇函数

单调性



时, 增; x∈(- ∞,0]时,减





时, 减; x∈(- ∞,0)时,减

[难点正本 疑点清源] 1. 二次函数的三种形式 (1)已知三个点的坐标时,宜用一般式. (2)已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时,常使用顶点式. (3)已知二次函数与 x 轴有两个交点,且横坐标已知时,选用零点式求 f(x)更方便. 2. 幂函数的图像 (1)在(0,1)上,幂函数中指数越大,函数图像越靠近 x 轴,在(1,+∞)上幂函数中指数越 大,函数图像越远离 x 轴. 1 - (2)函数 y=x,y=x2,y=x3,y=x ,y=x 1 可作为研究和学习幂函数图像和性质的代表. 2

1. 已知函数 f(x)=x2+2(a-1)x+2 在区间(-∞,3]上是减函数,则实数 a 的取值范围为 ____________. 答案 解析 (-∞,-2] f(x)的图像的对称轴为 x=1-a 且开口向上,

∴1-a≥3,即 a≤-2. 2. (课本改编题)已知函数 y=x2-2x+3 在闭区间[0,m]上有最大值 3,最小值 2,则 m 的 取值范围为________. 答案 [1,2] 解析 y=x2-2x+3 的对称轴为 x=1. 当 m<1 时,y=f(x)在[0,m]上为减函数. ∴ymax=f(0)=3,ymin=f(m)=m2-2m+3=2. ∴m=1,无解. 当 1≤m≤2 时,ymin=f(1)=12-2×1+3=2, ymax=f(0)=3. 当 m>2 时,ymax=f(m)=m2-2m+3=3, ∴m=0,m=2,无解.∴1≤m≤2. 3. 若幂函数 y=(m2-3m+3)xm2-m-2 的图像不经过原点,则实数 m 的值为________. 答案 1 或 2 解析
?m2-3m+3=1 ? 由? 2 ,解得 m=1 或 2. ?m -m-2≤0 ?

经检验 m=1 或 2 都适合. 4. (人教 A 版教材例题改编)如图中曲线是幂函数 y=xn 在第一象限的图 1 像.已知 n 取± 2,± 四个值,则相应于曲线 C1,C2,C3,C4 的 n 值依 2 次为____________. 1 1 答案 2, ,- ,-2 2 2 解析 可以根据函数图像是否过原点判断 n 的符号,然后根据函数凸凹性确定 n 的值. 5. 函数 f(x)=x2+mx+1 的图像关于直线 x=1 对称的充要条件是 A.m=-2 C.m=-1 答案 A B.m=2 D.m=1 ( )

m m 解析 函数 f(x)=x2+mx+1 的图像的对称轴为 x=- , 且只有一条对称轴, 所以- = 2 2 1,即 m=-2.

题型一 求二次函数的解析式 例1 已知二次函数 f(x)满足 f(2)=-1,f(-1)=-1,且 f(x)的最大值是 8,试确定此二次函 数. 思维启迪:确定二次函数采用待定系数法,有三种形式,可根据条件灵活运用. 解 方法一 设 f(x)=ax2+bx+c (a≠0), a=-4, ? ? 解之,得?b=4, ? ?c=7,

4a+2b+c=-1, ? ?a-b+c=-1, 依题意有? 4ac-b ? ? 4a =8,
2

∴所求二次函数解析式为 f(x)=-4x2+4x+7. 方法二 设 f(x)=a(x-m)2+n,a≠0.∵f(2)=f(-1), 2+?-1? 1 1 ∴抛物线对称轴为 x= = .∴m= . 2 2 2 又根据题意函数有最大值为 n=8, 1?2 ∴y=f(x)=a? ?x-2? +8. 1?2 ∵f(2)=-1,∴a? ?2-2? +8=-1,解之,得 a=-4. 1?2 2 ∴f(x)=-4? ?x-2? +8=-4x +4x+7. 方法三 依题意知,f(x)+1=0 的两根为 x1=2,x2=-1,故可设 f(x)+1=a(x-2)(x+1),a≠0. 即 f(x)=ax2-ax-2a-1. 又函数有最大值 ymax=8,即 4a?-2a-1?-a2 =8, 4a

解之,得 a=-4 或 a=0(舍去). ∴函数解析式为 f(x)=-4x2+4x+7. 探究提高 二次函数有三种形式的解析式,要根据具体情况选用:如和对称性、最值有 关,可选用顶点式;和二次函数的零点有关,可选用零点式;一般式可作为二次函数的 最终结果. 已知二次函数 f(x)同时满足条件:

(1)f(1+x)=f(1-x); (2)f(x)的最大值为 15; (3)f(x)=0 的两根平方和等于 17. 求 f(x)的解析式. 解 依条件,设 f(x)=a(x-1)2+15 (a<0),

即 f(x)=ax2-2ax+a+15. 令 f(x)=0,即 ax2-2ax+a+15=0, 15 ∴x1+x2=2,x1x2=1+ . a
2 2 x2 1+x2=(x1+x2) -2x1x2

15? 30 =4-2? ?1+ a ?=2- a =17, ∴a=-2,∴f(x)=-2x2+4x+13. 题型二 二次函数的图像与性质 例2 已知函数 f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6]. (1)当 a=-2 时,求 f(x)的最值; (2)求实数 a 的取值范围,使 y=f(x)在区间[-4,6]上是单调函数; (3)当 a=1 时,求 f(|x|)的单调区间. 思维启迪:对于(1)和(2)可根据对称轴与区间的关系直接求解,对于(3),应先将函数化为 分段函数,再求单调区间,注意函数定义域的限制作用. 解 (1)当 a=-2 时,f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1,由于 x∈[-4,6],

∴f(x)在[-4,2]上单调递减,在[2,6]上单调递增, ∴f(x)的最小值是 f(2)=-1,又 f(-4)=35,f(6)=15,故 f(x)的最大值是 35. (2)由于函数 f(x)的图像开口向上,对称轴是 x=-a,所以要使 f(x)在[-4,6]上是单调函 数,应有-a≤-4 或-a≥6,即 a≤-6 或 a≥4. (3)当 a=1 时,f(x)=x2+2x+3, ∴f(|x|)=x2+2|x|+3,此时定义域为 x∈[-6,6],
2 ? ?x +2x+3,x∈?0,6] 且 f(x)=? 2 , ?x -2x+3,x∈[-6,0] ?

∴f(|x|)的单调递增区间是(0,6], 单调递减区间是[-6,0]. 探究提高 (1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型:轴定区间定、轴动区间定、

轴定区间动,不论哪种类型,解决的关键是考查对称轴与区间的关系,当含有参数时, 要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论;(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函 数图像的对称轴进行分析讨论求解.

若函数 f(x) = 2x2 + mx - 1 在区间 [ - 1 ,+∞) 上递增,则 f( - 1) 的取值范围是 ____________. 答案 (-∞,-3]

m 解析 ∵抛物线开口向上,对称轴为 x=- , 4 m ∴- ≤-1,∴m≥4. 4 又 f(-1)=1-m≤-3,∴f(-1)∈(-∞,-3]. 题型三 二次函数的综合应用 例3 若二次函数 f(x)=ax2+bx+c (a≠0)满足 f(x+1)-f(x)=2x,且 f(0)=1. (1)求 f(x)的解析式; (2)若在区间[-1,1]上,不等式 f(x)>2x+m 恒成立,求实数 m 的取值范围. 思维启迪:对于(1),由 f(0)=1 可得 c,利用 f(x+1)-f(x)=2x 恒成立,可求出 a,b,进 而确定 f(x)的解析式.对于(2),可利用函数思想求得. 解 (1)由 f(0)=1,得 c=1.∴f(x)=ax2+bx+1.

又 f(x+1)-f(x)=2x, ∴a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x,
?2a=2, ?a=1, ? ? 即 2ax+a+b=2x,∴? ∴? ?a+b=0, ? ? ?b=-1.

因此,f(x)=x2-x+1. (2)f(x)>2x+m 等价于 x2-x+1>2x+m,即 x2-3x+1-m>0,要使此不等式在[-1,1]上恒 成立,只需使函数 g(x)=x2-3x+1-m 在[-1,1]上的最小值大于 0 即可. ∵g(x)=x2-3x+1-m 在[-1,1]上单调递减, ∴g(x)min=g(1)=-m-1,由-m-1>0 得,m<-1. 因此满足条件的实数 m 的取值范围是(-∞,-1). 探究提高 二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”,它们常结合在一起, 而二次函数又是“三个二次”的核心,通过二次函数的图像贯穿为一体.因此,有关二 次函数的问题,数形结合,密切联系图像是探求解题思路的有效方法.用函数思想研究 方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点. 已知函数 f(x)=x2+mx+n 的图像过点(1,3), 且 f(-1+x)=f(-1-x)对任意实数都 成立,函数 y=g(x)与 y=f(x)的图像关于原点对称. (1)求 f(x)与 g(x)的解析式; (2)若 F(x)=g(x)-λf(x)在(-1,1]上是增函数,求实数 λ 的取值范围. 解 (1)∵f(x)=x2+mx+n,

∴f(-1+x)=(-1+x)2+m(-1+x)+n =x2-2x+1+mx+n-m =x2+(m-2)x+n-m+1, f(-1-x)=(-1-x)2+m(-1-x)+n =x2+2x+1-mx-m+n =x2+(2-m)x+n-m+1. 又 f(-1+x)=f(-1-x),∴m-2=2-m,即 m=2. 又 f(x)的图像过点(1,3), ∴3=12+m+n,即 m+n=2, ∴n=0,∴f(x)=x2+2x, 又 y=g(x)与 y=f(x)的图像关于原点对称, ∴-g(x)=(-x)2+2×(-x), ∴g(x)=-x2+2x. (2)∵F(x)=g(x)-λf(x)=-(1+λ)x2+(2-2λ)x, 2-2λ 1-λ 当 λ+1≠0 时,F(x)的对称轴为 x= = , 2?1+λ? λ+1 又∵F(x)在(-1,1]上是增函数. 1+λ<0 1+λ>0 ? ? ? ? ∴?1-λ 或?1-λ . ≤-1 ≥1 ? ? ?1+λ ?1+λ ∴λ<-1 或-1<λ≤0. 当 λ+1=0,即 λ=-1 时,F(x)=4x 显然在(-1,1]上是增函数. 综上所述,λ 的取值范围为(-∞,0]. 题型四 幂函数的图像和性质 例4 已知幂函数 f(x)=xm2-2m-3 (m∈N*)的图像关于 y 轴对称,且在(0,+∞)上是减函 m m 数,求满足(a+1)- <(3-2a)- 的 a 的取值范围. 3 3 思维启迪:由幂函数的性质可得到幂指数 m2-2m-3<0,再结合 m 是整数,及幂函数是 偶函数可得 m 的值. 解 ∵函数在(0,+∞)上递减,

∴m2-2m-3<0,解得-1<m<3. ∵m∈N*,∴m=1,2. 又函数的图像关于 y 轴对称,∴m2-2m-3 是偶数, 而 22-2×2-3=-3 为奇数,12-2×1-3=-4 为偶数,

1 ∴m=1.而 f(x)=x- 在(-∞,0),(0,+∞)上均为减函数, 3 1 1 ∴(a+1)- <(3-2a)- 等价于 a+1>3-2a>0 或 0>a+1>3-2a 或 a+1<0<3-2a. 3 3 2 3 解得 a<-1 或 <a< . 3 2 2 3? ? 故 a 的取值范围为?a|a<-1或3<a<2?.
? ?

探究提高

(1)幂函数解析式一定要设为 y=xα (α 为常数的形式);(2)可以借助幂函数的

图像理解函数的对称性、单调性. 已知幂函数 f(x)=x(m2+m) 1(m∈N*)


(1)试确定该函数的定义域,并指明该函数在其定义域上的单调性; (2)若该函数还经过点(2, 2),试确定 m 的值,并求满足条件 f(2-a)>f(a-1)的实数 a 的取值范围. 解 (1)m2+m=m(m+1),m∈N*,

而 m 与 m+1 中必有一个为偶数,∴m(m+1)为偶数. ∴函数 f(x)=x(m2+m) 1(m∈N*)的定义域为[0,+∞),并且在定义域上为增函数.


(2)∵函数 f(x)经过点(2, 2), 1 - - ∴ 2=2(m2+m) 1,即 2 =2(m2+m) 1. 2 ∴m2+m=2.解得 m=1 或 m=-2. 又∵m∈N*,∴m=1. 2-a≥0, ? ? 由 f(2-a)>f(a-1)得?a-1≥0 ? ?2-a>a-1. 3 解得 1≤a< . 2 3 ∴a 的取值范围为[1, ). 2

分类讨论思想在二次函数中的应用 典例:(14 分)设 a 为实数,函数 f(x)=2x2+(x-a)|x-a|. (1)若 f(0)≥1,求 a 的取值范围; (2)求 f(x)的最小值; (3)设函数 h(x)=f(x), x∈(a, +∞), 直接写出(不需给出演算步骤)不等式 h(x)≥1 的解集.

审题视角

(1)求 a 的取值范围,是寻求关于 a 的不等式,解不等式即可;(2)求 f(x)的最

小值,由于 f(x)可化为分段函数,分段函数的最值分段求,然后综合在一起;(3)对 a 讨 论时,要找到恰当的分类标准. 规范解答 解 (1)因为 f(0)=-a|-a|≥1,所以-a>0,

即 a<0,由 a2≥1 知 a≤-1, 因此,a 的取值范围为(-∞,-1].[3 分] (2)记 f(x)的最小值为 g(a),则有 f(x)=2x2+(x-a)|x-a| a 2a ? x- ?2+ ,x>a ?3? ① 3 ? ? 3 =? [5 分] ??x+a?2-2a2,x≤a ② ? (ⅰ)当 a≥0 时,f(-a)=-2a2, 由①②知 f(x)≥-2a2,此时 g(a)=-2a2.[7 分] a? 2 2 (ⅱ)当 a<0 时,f? ?3?=3a , 2 若 x>a,则由①知 f(x)≥ a2. 3 2 2 若 x≤a,由②知 f(x)≥2a2> a2.此时 g(a)= a2, 3 3 -2a ,a≥0 ? ? 2 综上,得 g(a)=?2a .[10 分] ,a<0 ? ?3 (3)(ⅰ)当 a∈?-∞,-
2 2

?

6? ? 2 ? ∪ ,+∞ 时,解集为(a,+∞); 2? ?2 ?

(ⅱ)当 a∈?-

? ?

2 2? ?a+ 3-2a2 ? 时,解集为? , ,+∞?; 2 2? 3 ? ? 6 2? 时,解集为 ,- 2 2?

(ⅲ)当 a∈?-

? a- 3-2a2? ?a+ 3-2a2 ? ?a, ?∪? ,+∞?.[14 分] 3 3 ? ? ? ?
温馨提醒 分类讨论的思想是高考重点考查的数学思想方法之一.本题充分体现了分类 讨论的思想方法. 在解答本题时有两点容易造成失分: 一是求实数 a 的值时,讨论的过程中没注意 a 自身的取值范围,易出错;二是求函数最 值时,分类讨论的结果不能写在一起,不能得出最后的结论. 除此外,解决函数问题时,以下几点容易造成失分:

1.含绝对值的问题,去绝对值符号,易出现计算错误; 2.分段函数求最值时要分段求,最后写在一起时,没有比较大小或不会比较大小; 3.解一元二次不等式时,不能与一元二次函数、一元二次方程联系,思路受阻.

方法与技巧 1. 二次函数、二次方程、二次不等式间相互转化的一般规律: (1)在研究一元二次方程根的分布问题时,常借助于二次函数的图像数形结合来解,一般 从①开口方向;②对称轴位置;③判别式;④端点函数值符号四个方面分析. (2)在研究一元二次不等式的有关问题时,一般需借助于二次函数的图像、性质求解. 2. 与二次函数有关的不等式恒成立问题
?a>0 ? (1)ax2+bx+c>0,a≠0 恒成立的充要条件是? 2 . ?b -4ac<0 ? ?a<0 ? (2)ax2+bx+c<0,a≠0 恒成立的充要条件是? 2 . ?b -4ac<0 ?

3. 幂函数 y=xα(α∈R), 其中 α 为常数, 其本质特征是以幂的底 x 为自变量, 指数 α 为常数. 失误与防范 1. 对于函数 y=ax2+bx+c,要认为它是二次函数,就必须满足 a≠0,当题目条件中未说 明 a≠0 时,就要讨论 a=0 和 a≠0 两种情况. 2. 幂函数的图像一定会出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限,至于是否出现在第 二、三象限内,要看函数的奇偶性;幂函数的图像最多只能同时出现在两个象限内;如 果幂函数图像与坐标轴相交,则交点一定是原点.

A 组 专项基础训练 (时间:35 分钟,满分:57 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分)
? ?-x, x≤0, 1. (2011· 浙江)设函数 f(x)=? 2 若 f(α)=4,则实数 α 等于 ?x , x>0, ?

(

)

A.-4 或-2 C.-2 或 4 答案 B

B.-4 或 2 D.-2 或 2

解析 当 α≤0 时,f(α)=-α=4,得 α=-4; 当 α>0 时,f(α)=α2=4,得 α=2.∴α=-4 或 α=2. 2. 已知函数 f(x)=x2-2x+2 的定义域和值域均为[1,b],则 b 等于 A.3 答案 C 解析 函数 f(x)=x2-2x+2 在[1,b]上递增, f?1?=1, ? ? 由已知条件?f?b?=b, ? ?b>1,
? ?b -3b+2=0, 即? 解得 b=2. ? ?b>1.
2

(

)

B.2 或 3

C .2

D.1 或 2

3. 设 abc>0,二次函数 f(x)=ax2+bx+c 的图像可能是

(

)

答案 D 解析 由 A,C,D 知,f(0)=c<0. b ∵abc>0,∴ab<0,∴对称轴 x=- >0, 2a 知 A,C 错误,D 符合要求. b 由 B 知 f(0)=c>0,∴ab>0,∴x=- <0,B 错误. 2a 4. 设二次函数 f(x)=ax2-2ax+c 在区间[0,1]上单调递减,且 f(m)≤f(0),则实数 m 的取值 范围是 A.(-∞,0] C.(-∞,0]∪[2,+∞) 答案 D 解析 二次函数 f(x)=ax2-2ax+c 在区间[0,1]上单调递减, 则 a≠0, f′(x)=2a(x-1)<0, x∈[0,1], 所以 a>0,即函数图像的开口向上,对称轴是直线 x=1. 所以 f(0)=f(2),则当 f(m)≤f(0)时,有 0≤m≤2. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 5. 二次函数的图像过点(0,1), 对称轴为 x=2, 最小值为-1, 则它的解析式为____________. 1 答案 y= (x-2)2-1 2 6. 已知函数 f(x)=x2+2(a-1)x+2 在区间(-∞,3]上是减函数,则实数 a 的取值范围为 B.[2,+∞) D.[0,2] ( )

____________. 答案 解析 (-∞,-2] f(x)的图像的对称轴为 x=1-a 且开口向上,

∴1-a≥3,即 a≤-2. 1 ? ? 7. 当 α∈?-1,2,1,3?时,幂函数 y=xα 的图像不可能经过第________象限.
? ?

答案 二、四 1 解析 当 α=-1、1、3 时,y=xα 的图像经过第一、三象限;当 α= 时,y=xα 的图像 2 经过第一象限. 三、解答题(共 22 分) 8. (10 分)已知二次函数 f(x)的二次项系数为 a,且 f(x)>-2x 的解集为{x|1<x<3},方程 f(x) +6a=0 有两相等实根,求 f(x)的解析式. 解 设 f(x)+2x=a(x-1)(x-3) (a<0), 则 f(x)=ax2-4ax+3a-2x, f(x)+6a=ax2-(4a+2)x+9a, Δ=[-(4a+2)]2-36a2=0,即(5a+1)(a-1)=0, 1 解得 a=- 或 a=1(舍去). 5 1 因此 f(x)的解析式为 f(x)=- (x-1)(x-3). 5 9. (12 分)是否存在实数 a,使函数 f(x)=x2-2ax+a 的定义域为[-1,1]时,值域为[-2,2]? 若存在,求 a 的值;若不存在,说明理由. 解 f(x)=(x-a)2+a-a2.

当 a<-1 时,f(x)在[-1,1]上为增函数,
?f?-1?=1+3a=-2, ? ∴? ?a=-1(舍去); ? ?f?1?=1-a=2
2 ? ?f?a?=a-a =-2, ? 当-1≤a≤0 时, ?a=-1; ?f?1?=1-a=2 ? 2 ? ?f?a?=a-a =-2, 当 0<a≤1 时,? ?a 不存在; ?f?-1?=1+3a=2 ?

当 a>1 时,f(x)在[-1,1]上为减函数,
? ?f?-1?=1+3a=2, ∴? ?a 不存在. ?f?1?=1-a=-2 ?

综上可得 a=-1. B 组 专项能力提升

(时间:25 分钟,满分:43 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1. 已知幂函数 f(x)=xα 的图像经过点?2,

?

2? ,则 f(4)的值等于 2?

(

)

A.16 C.2 答案 D 解析 将点?2,

1 B. 16 1 D. 2

?

2 1 2? 代入得:2α= ,所以 α=- , 2 2 2?

1 故 f(4)= . 2 2. 已知函数 f(x)=2mx2-2(4-m)x+1,g(x)=mx,若对于任一实数 x,f(x)与 g(x)的值至少 有一个为正数,则实数 m 的取值范围是 A.(0,2) C.(2,8) 答案 B 4-m 解析 当 m≤0 时, 显然不合题意; 当 m>0 时, f(0)=1>0, ①若对称轴 ≥0, 即 0<m≤4, 2m 结论显然成立; 4-m ②若对称轴 <0, 即 m>4, 只要 Δ=4(4-m)2-8m=4(m-8)(m-2)<0 即可, 即 4<m<8, 2m 综上,0<m<8,选 B. 3. 已知二次函数 y=x2-2ax+1 在区间(2,3)内是单调函数,则实数 a 的取值范围是( A.a≤2 或 a≥3 C.a≤-3 或 a≥-2 答案 A 解析 由函数图像知,(2,3)在对称轴 x=a 的左侧或右侧,∴a≥3 或 a≤2. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 3 ? 4. 已知二次函数 y=f(x)的顶点坐标为? ?-2,49?,且方程 f(x)=0 的两个实根之差等于 7, 则此二次函数的解析式是______________. 答案 f(x)=-4x2-12x+40 B.2≤a≤3 D.-3≤a≤-2 ) B.(0,8) D.(-∞,0) ( )

3 3 x+ ?2+49 (a<0), 解析 设二次函数的解析式为 f(x)=a? 方程 a(x+ )2+49=0 的两个根 ? 2? 2 分别为 x1,x2,

则|x1-x2|=2



49 =7, a

∴a=-4,故 f(x)=-4x2-12x+40. 5. 若方程 x2-11x+30+a=0 的两根均大于 5,则实数 a 的取值范围是________. 1 答案 0<a≤ 4 解析 令 f(x)=x2-11x+30+a,结合图像有 Δ≥0?图像与x轴有交点?, ? ?f?5?>0?图像与x轴交点在x=5的右侧?, ? 11 ? ??无需考虑对称轴,因为对称轴方程x= 2 >5?. 1 ∴0<a≤ . 4 1 6. 已知函数 f(x)=x ,给出下列命题: 2 ①若 x>1, 则 f(x)>1; ②若 0<x1<x2, 则 f(x2)-f(x1)>x2-x1; ③若 0<x1<x2, 则 x2f(x1)<x1f(x2); f?x1?+f?x2? ?x1+x2? ④若 0<x1<x2,则 <f 2 ? 2 ?. 则所有正确命题的序号是________. 答案 ①④ 1 解析 对于①,f(x)=x 是增函数,f(1)=1, 2 当 x>1 时,f(x)>1,①正确; f?x2?-f?x1? 对于②, >1,可举例(1,1),(4,2),故②错; x2-x1 f?x1?-0 f?x2?-0 对于③, < ,说明图像上两点 x1,x2 到原点连线的斜率越来越大,由图像 x1-0 x2-0 可知,③错; f?x1?+f?x2? ?x1+x2? 对于④, <f 2 ? 2 ?,根据图像可判断出④正确. 三、解答题 7. (13 分)已知函数 f(x)=-x2+2ax+1-a 在 x∈[0,1]时有最大值 2,求 a 的值. 解 f(x)=-(x-a)2+a2-a+1,

当 a≥1 时,ymax=f(1)=a; 当 0<a<1 时,ymax=f(a)=a2-a+1; 当 a≤0 时,ymax=f(0)=1-a.
? ? ? ?a≥1, ?0<a<1, ?a≤0 根据已知条件:? 或? 2 或? ?a=2 ?a -a+1=2 ? ? ? ?1-a=2,

解得 a=2 或 a=-1.


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