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【全国卷】2018高三理科数学总复习第七节 抛物线(001)


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第七节

抛物线

1.抛物线的定义 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)的距离相等的 点的轨迹叫做抛物线. 2.抛物线的标准方程与几何性质

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1.(质疑夯基)判断下列结论的正误.(正确的打“√” ,错误的打 “×”) (1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹一 定是抛物线.( )

(2)方程 y=ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在 x 轴上的抛物线, 且其
?a ? a 焦点坐标是?4,0?,准线方程是 x=- .( 4 ? ?

) )

(3)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形.(

?p ? (4)AB 为抛物线 y2=2px(p>0)的过焦点 F?2,0?的弦,若 A(x1, ? ?

p2 y1),B(x2,y2),则 x1x2= ,y1y2=-p2,弦长|AB|=x1+x2+p.( 4 答案:(1)× (2)× (3)× (4)√

)

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1 2.(2014· 安徽卷)抛物线 y= x2 的准线方程是( 4 A.y=-1 C.x=-1 B.y=-2 D.x=-2

)

1 解析:∵y= x2,∴x2=4y.∴准线方程为 y=-1. 4 答案:A 3.抛物线 y=4x2 的焦点到准线的距离是( A.2 B.4 1 C. 8 1 D. 4 )

1 1 解析:∵y=4x2,∴x2= y,知 p= ,所以焦点到准线的距离为 4 8 1 . 8 答案:C 4.已知抛物线 C 与双曲线 x2-y2=1 有相同的焦点,且顶点在 原点,则抛物线 C 的方程是( A.y2=± 2 2x C.y2=± 4x ) B.y2=± 2x D.y2=± 4 2x

解析:因为双曲线的焦点为(- 2,0),( 2,0). p 设抛物线方程为 y2=± 2px(p>0),则 = 2,p=2 2. 2 所以抛物线方程为 y2=± 4 2x. 答案:D 5.(2015· 陕西卷)若抛物线 y2=2px(p>0)的准线经过双曲线 x2- y2=1 的一个焦点,则 p=____. p 解析: 抛物线的准线方程为 x=- , p>0, 双曲线的焦点为 F1(- 2
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p 2,0),F2( 2,0),所以- =- 2,p=2 2. 2 答案:2 2

?一个结论
?p ? 焦半径:抛物线 y2=2px(p>0)上一点 P(x0,y0)到焦点 F? 2,0?的 ? ?

p 距离|PF|=x0+ . 2 ?两种方法 1.定义法:根据条件确定动点满足的几何特征,从而求出抛物 线方程. 2.待定系数法:根据条件设出标准方程,再确定参数 p 的值, 这里要注意抛物线标准方程有四种形式.若焦点在 x 轴上,设为 y2 =ax(a≠0),若焦点在 y 轴上,设为 x2=by(b≠0). ?四点注意 1.抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件,当 定点在定直线上时,动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线. 2.求抛物线的标准方程,要由焦点位置(开口方向)判断是哪一 种标准方程. 3.重视应用抛物线定义中的距离相等的转化来解决问题,以简 化运算. 4.直线与抛物线有一个交点,并不表明直线与抛物线相切.

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一、选择题 1 1.抛物线 x2= y 的焦点坐标为( 2
?1 ? A.?2,0? ? ? ? ? ?1 ? C.?8,0? ? 1? B.?0,2? ? ? ? ? 1? D.?0,8? ?

)

? 1? 1 解析:抛物线 x2= y 的焦点坐标是?0,8?. 2 ? ?

答案:D 2. (2016· 课标全国Ⅰ卷)以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A, B 两点,交 C 的准线于 D,E 两点.已知|AB|=4 2,|DE|=2 5,则 C 的焦点到准线的距离为( A.2 ) D.8

B.4 C.6

解析:设出抛物线和圆的方程,将点的坐标代入,联立方程组求 解. 设抛物线的方程为 y2=2px(p>0),圆的方程为 x2+y2=r2. ∵|AB|=4 2,|DE|=2 5, p 抛物线的准线方程为 x=- , 2
?4 ? ? p ? ∴不妨设 A?p,2 2?,D?-2, 5?. ? ? ? ? ?4 ? ? p ? ∵点 A?p,2 2?,D?-2, 5?在圆 x2+y2=r2 上, ? ? ? ?

16 2 ? ? p2 +8=r , 16 p2 ∴? 2 ∴ 2 +8= +5,∴p=4(负值舍去). p 4 p 2 ? + 5 = r , ?4
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∴C 的焦点到准线的距离为 4. 答案:B 3.已知直线 l:x-y-m=0 经过抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦 点,l 与 C 交于 A、B 两点.若|AB|=6,则 p 的值为( 1 A. 2 3 B. 2 C.1 D.2 )

p 解析:因为直线 l 过抛物线的焦点,所以 m= . 2

?x-y-p=0 p2 2 2 联立? 得,x -3px+ =0. 4 2 ?y =2px
设 A(x1,y1)、B(x2,y2),则 x1+x2=3p,故|AB|=x1+x2+p= 3 4p=6,p= . 2 答案:B 4.O 为坐标原点,F 为抛物线 C:y2=4 2x 的焦点,P 为 C 上 一点,若|PF|=4 2,则△POF 的面积为( A.2 B.2 2 C.2 3 ) D.4

解析:如图,设点 P 的坐标为(x0,y0),

由|PF|=x0+ 2=4 2,得 x0=3 2, 代入抛物线方程得,y2 0=4 2×3 2=24,
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1 所以|y0|=2 6,所以 S△POF= |OF||y0| 2 1 = × 2×2 6=2 3. 2

答案:C 5.已知直线 l1:4x-3y+6=0 和直线 l2:x=-1,则抛物线 y2 =4x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是( 3 5 A. 5 B.2 C. 11 5 D.3 )

解析:由题可知 l2:x=-1 是抛物线 y2=4x 的准线,设抛物线 的焦点 F 为(1,0),则动点 P 到 l2 的距离等于|PF|,则动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值即为焦点 F 到直线 l1:4x-3y+6=0 的距离,所以最小值是 答案:B 二、填空题 6.设抛物线 y2=mx 的准线与直线 x=1 的距离为 3,则抛物线 的方程为________. m 解析:当 m>0 时,准线方程为 x=- =-2, 4 所以 m=8. 此时抛物线方程为 y2=8x; m 当 m<0 时,准线方程为 x=- =4,所以 m=-16. 4 此时抛物线方程为 y2=-16x. 所以所求抛物线方程为 y2=8x 或 y2=-16x. 答案:y2=8x 或 y2=-16x
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|4-0+6| =2. 5

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7.设抛物线 x2=4y 的焦点为 F,经过点 P(1,4)的直线 l 与抛物 → |+|BF → |的值为 线相交于 A,B 两点,点 P 为线段 AB 的中点,则|AF ________. 解析:如图,设 A(x1,y1),B(x2,y2),

→ |+|BF →| 则|AF =|AA1|+|BB1| =y1+1+y2+1 =y1+y2+2=8+2=10. 答案:10 8.已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点 O,并且经 过点 M(2 , y0) .若点 M 到该抛物线焦点的距离为 3 ,则 |OM| = ________. 解析:由题意设抛物线方程为 y2=2px(p>0),则 M 到焦点的距 p p 离为 xM+ =2+ =3, 2 2 所以 p=2,所以 y2=4x.
2 所以 y0 =4×2,所以 y0=± 2 2.

所以|OM|= 4+y2 0= 4+8=2 3.
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答案:2 3 三、解答题 9.抛物线的顶点在原点,对称轴为 y 轴,它与圆 x2+y2=9 相 交,公共弦 MN 的长为 2 5,求该抛物线的方程,并写出它的焦点 坐标与准线方程. 解:由题意,设抛物线方程为 x2=2ay(a≠0). 设公共弦 MN 交 y 轴于 A,则|MA|=|AN|, 且 AN= 5. ∵|ON|=3,∴|OA|= 32-( 5)2=2, ∴N( 5,±2). 5 ∵N 点在抛物线上,∴5=2a· (± 2),即 2a=± , 2 5 5 故抛物线的方程为 x2= y 或 x2=- y. 2 2
? 5? 5 抛物线 x2= y 的焦点坐标为?0,8?, 2 ? ?

5 准线方程为 y=- . 8
? 5? 5 抛物线 x2=- y 的焦点坐标为?0,-8?, 2 ? ?

5 准线方程为 y= . 8 10.已知抛物线 y2=2px(p>0),过点 C(-2,0)的直线 l 交抛物 → ·OB → =12. 线于 A、B 两点,坐标原点为 O,OA (1)求抛物线的方程; (2)当以|AB|为直径的圆与 y 轴相切时,求直线 l 的方程. 解:(1)设 l:x=my-2,代入 y2=2px 中, 得 y2-2pmy+4p=0.
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设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2=2pm,y1y2=4p,
2 y2 1y2 则 x1x2= 2 =4, 4p

→ ·OB → =x x +y y =4+4p=12,可得 p=2. ∵OA 1 2 1 2 则抛物线的方程为 y2=4x. (2)由(1)知 y2=4x,p=2,可知 y1+y2=4m,y1y2=8. 设 AB 的中点为 M, 则|AB|=2xM=x1+x2=m(y1+y2)-4=4m2-4,① 又|AB|= 1+m2|y1-y2|= (1+m2)(16m2-32),② 由①②得(1+m2)(16m2-32)=(4m2-4)2, 解得 m2=3,m=± 3, 所以,直线 l 的方程为 x+ 3y+2=0 或 x- 3y+2=0. 11.(2017· 广州一模)过点 P(a,-2)作抛物线 C:x2=4y 的两条 切线,切点分别为 A(x1,y1),B(x2,y2). (1)证明:x1x2+y1y2 为定值; (2)记△PAB 的外接圆的圆心为点 M,点 F 是抛物线 C 的焦点, 对任意实数 a, 试判断以 PM 为直径的圆是否恒过点 F?并说明理由. 解析: (1)设过点 P(a, -2)且与抛物线 C 相切的切线方程为 y+2 =k(x-a),
? ?y+2=k(x-a), 由? 2 消去 y 得 x2-4kx+4ka+8=0, ? ?x =4y,

由 Δ=16k2-4(4ak+8)=0,化简得 k2-ak-2=0. 所以 k1k2=-2. 1 1 由 x2=4y,得 y= x2,所以 y′= x. 4 2 1 所以直线 PA 的斜率为 k1= x1, 2
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1 直线 PB 的斜率为 k2= x2. 2 1 所以 x1x2=-2,即 x1x2=-8. 4 1 1 2 1 又 y1y2= x2 (x1x2)2=4, 1· x2= 4 4 16 所以 x1x2+y1y2=-4 为定值. (2)直线 PA 的垂直平分线方程为 y- y1-2 2 ? x1+a? ?, =- ?x- 2 x1? 2 ?

1 由于 y1= x2 ,代入切线方程可得 x2 1-8=2ax1, 4 1 所以直线 PA 的垂直平分线方程为 y- ax1 2 ? x1+a? ?.① =- ?x- 4 x 1? 2 ?

同理直线 PB 的垂直平分线方程为 y- ax2 2 ? x2+a? ?② =- ?x- 4 x 2? 2 ?

3 a2 由①②解得 x= a,y=1+ , 2 2
?3 a? 所以点 M?2a,1+ 2 ?, ? ? ? 3 a2? → → 抛物线 C 的焦点为 F(0,1),则MF=?-2a,- 2 ?,PF=(-a, ? ?
2

3a2 3a2 → → 3),由于MF·PF= - =0, 2 2 → ⊥PF → ,所以以 PM 为直径的圆恒过点 F. 所以MF

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