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全国通用2018高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第3节函数的奇偶性与周期性教师用书文


第三节

函数的奇偶性与周期性

———————————————————————————————— [考纲传真] 1.了解函数奇偶性的含义.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的奇偶 性.3.了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性.

1.函数的奇偶性 奇偶性 偶函数 定义 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 图象特点 关于 y 轴对称

f(-x)=f(x),那么函数 f(x)就叫做偶函数
如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有

奇函数

f(-x)=-f(x),那么函数 f(x)就叫做奇函数

关于原点对称

2.函数的周期性 (1)周期函数:对于函数 f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的任何 值时,都有 f(x+T)=f(x),那么就称函数 f(x)为周期函数,称 T 为这个函数的周期. (2)最小正周期:如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最 小正数就叫做 f(x)的最小正周期.

1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)偶函数图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点.( ) ) )

(2)若函数 y=f(x+a)是偶函数,则函数 y=f(x)关于直线 x=a 对称.( (3)若函数 y=f(x+b)是奇函数,则函数 y=f(x)关于点(b,0)中心对称.(

(4)函数 f(x)在定义域上满足 f(x+a)=-f(x),则 f(x)是周期为 2a(a>0)的周期函 数.( )

[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√ 2.已知 f(x)=ax +bx 是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么 a+b 的值是(
2

)

【导学号:31222032】 1 A.- 3 C. B 1 2 [依题意 b=0,且 2a=-(a-1), B. 1 3

1 D.- 2

1

1 1 ∴b=0 且 a= ,则 a+b= .] 3 3 3.(2015·广东高考)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( A.y=x+sin 2x C.y=2 + D
x

)

B.y=x -cos x D.y=x +sin x
2

2

1 x 2

[A 项,定义域为 R,f(-x)=-x-sin 2x=-f(x),为奇函数,故不符合题意;
2

B 项,定义域为 R,f(-x)=x -cos x=f(x),为偶函数,故不符合题意; 1 1 -x x C 项,定义域为 R,f(-x)=2 + -x=2 + x=f(x),为偶函数,故不符合题意; 2 2 D 项,定义域为 R,f(-x)=x -sin x,-f(x)=-x -sin x,因为 f(-x)≠-f(x), 且 f(-x)≠f(x),故为非奇非偶函数.] 4. (2016·四川高考)若函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数, 当 0<x<1 时, f(x)
2 2

? 5? x =4 ,则 f?- ?+f(2)=________. ? 2?
-2
1 ? 5? ? 1? ?1? [∵f(x)是周期为 2 的奇函数, ∴f?- ?=f?- ?=-f? ?=-42=-2, f(2)=f(0) ? 2? ? 2? ?2?

? 5? =0,∴f?- ?+f(2)=-2+0=-2.] ? 2?
5.(教材改编)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x(1+x),则

x<0 时,f(x)=________. x(1-x) [当 x<0 时,则-x>0,∴f(-x)=(-x)(1-x).
又 f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x)=(-x)(1-x), ∴f(x)=x(1-x).]

2

函数奇偶性的判断 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=x -2x; (2)f(x)=(x+1)
2 2 3

1-x ; 1+x

(3)f(x)=?

?x +x,x>0, ? ? ?x -x,x<0.

[解] (1)定义域为 R,关于原点对称, 又 f(-x)=(-x) -2(-x)=-x +2x=-(x -2x)=-f(x). ∴该函数为奇函数.4 分 1-x (2)由 ≥0 可得函数的定义域为(-1,1]. 1+x ∵函数定义域不关于原点对称, ∴函数为非奇非偶函数.8 分 (3)易知函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,又当 x>0 时,f(x) =x +x, 则当 x<0 时,-x>0, 故 f(-x)=x -x=f(x); 当 x<0 时,f(x)=x -x,则当 x>0 时,-x<0, 故 f(-x)=x +x=f(x),故原函数是偶函数.12 分 [规律方法] 1.利用定义判断函数奇偶性的步骤:
2 2 2 2 3 3 3

2.判断分段函数的奇偶性应分段分别证明 f(-x)与 f(x)的关系,只有对各段上的 x 都满足相同的关系时,才能判断其奇偶性;也可以利用函数的图象进行判断. [变式训练 1] (1)(2014·全国卷Ⅰ)设函数 f(x),g(x)的定义域都为 R,且 f(x)是奇 )

函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是( A.f(x)g(x)是偶函数

3

B.|f(x)|g(x)是奇函数 C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数 (2)判断函数 f(x)= 3-x + x -3的奇偶性. (1)C [A:令 h(x)=f(x)·g(x),则 h(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·g(x)=-
2 2

h(x),
∴h(x)是奇函数,A 错. B:令 h(x)=|f(x)|g(x),则 h(-x)=|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|g(x) =h(x), ∴h(x)是偶函数,B 错. C: 令 h(x)=f(x)|g(x)|, 则 h(-x)=f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|=-h(x), ∴h(x) 是奇函数,C 正确. D : 令 h(x) = |f(x)·g(x)| , 则 h( - x) = |f( - x)·g( - x)| = | - f(x)·g(x)| = |f(x)·g(x)|=h(x), ∴h(x)是偶函数,D 错.]
?3-x ≥0, ? (2)由? 2 ?x -3≥0, ?
2

得 x =3,∴x=± 3,3 分

2

即函数 f(x)的定义域为{- 3, 3}, 从而 f(x)= 3-x + x -3=0.8 分 因此 f(-x)=-f(x)且 f(-x)=f(x), ∴函数 f(x)既是奇函数又是偶函数.12 分 函数奇偶性的应用
2 2

(1)(2015· 全 国 卷 Ⅰ ) 若 函 数 f(x) = xln(x + a+x ) 为 偶 函 数 , 则 a = ________. (2)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=x -4x,则 f(x)=________.
2

2

x -4x,x>0, ? ? (1)1 (2)?0,x=0, ? ?-x2-4x,x<0
2

2

[(1)∵f(x)为偶函数,∴f(-x)-f(x)=0 恒成立,

∴-xln(-x+ a+x )-xln(x+ a+x )=0 恒成立,∴xln a=0 恒成立,∴ln a=0, 即 a=1. (2)∵f(x)是定义在 R 上的奇函数,∴f(0)=0. 又当 x<0 时,-x>0,∴f(-x)=x +4x.又 f(x)为奇函数,
2

2

4

∴f(-x)=-f(x), 即 f(x)=-x -4x(x<0),
2

x -4x,x>0, ? ? ∴f(x)=?0,x=0, ? ?-x2-4x,x<0.

2

]

[规律方法] 1.已知函数的奇偶性求参数, 一般采用待定系数法求解, 根据 f(x)±f(x) =0 得到关于待求参数的恒等式,由系数的对等性得参数的值或方程(组),进而得出参数的 值; 2.已知函数的奇偶性求函数值或解析式,将待求区间上的自变量转化到已知区间上, 再利用奇偶性求出,或充分利用奇偶性得出关于 f(x)的方程(组),从而可得 f(x)的值或解 析式. [变式训练 2] 则 f(-1)=( ) 【导学号:31222033】 A.-3 C.1 A B.-1 D.3
0

设 f(x)为定义在 R 上的奇函数. 当 x≥0 时, f(x)=2 +2x+b(b 为常数),

x

[因为 f(x)为定义在 R 上的奇函数,所以有 f(0)=2 +2×0+b=0,解得 b=-1,
x
1

所以当 x≥0 时,f(x)=2 +2x-1,所以 f(-1)=-f(1)=-(2 +2×1-1)=-3.] 函数的周期性及其应用 设定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+2)=f(x),且当 x∈[0,2)时,f(x)=2x -x ,则 f(0)+f(1)+f(2)+?+f(2 017)=________. 1 009 [∵f(x+2)=f(x),∴函数 f(x)的周期 T=2. 又当 x∈[0,2)时,f(x)=2x-x ,∴f(0)=0,f(1)=1,f(0)+f(1)=1. ∴f(0)+f(1)=f(2)+f(3)=f(4)+f(5)=?=f(2 016)+f(2 017)=1, ∴f(0)+f(1)+f(2)+?+f(2 017)=1 009.] [迁移探究 1] 何? [解] ∵f(x+1)=-f(x), ∴f(x+2)=f[(x+1)+1]=-f(x+1)=f(x).5 分 故函数 f(x)的周期为 2.8 分 由本例可知,f(0)+f(1)+f(2)+?+f(2 017)=1 009.12 分 [迁移探究 2] 何? 若将本例中“f(x+2)=f(x)”改为“f(x+1)= 1 ”,则结论如 f?x? 若将本例中“f(x+2)=f(x)”改为“f(x+1)=-f(x)”,则结论如
2 2

5

[解] ∵f(x+1)=

1 , f?x? 1

∴f(x+2)=f[(x+1)+1]= 故函数 f(x)的周期为 2.8 分

f?x+1?

=f(x).5 分

由本例可知,f(0)+f(1)+f(2)+?+f(2 017)=1 009.12 分 [规律方法] 1.判断函数的周期只需证明 f(x+T)=f(x)(T≠0)便可证明函数是周期

函数,且周期为 T,根据函数的周期性,可以由函数局部的性质得到函数的整体性质. 2.函数周期性的三个常用结论: (1)若 f(x+a)=-f(x),则 T=2a, (2)若 f(x+a)= 1 ,则 T=2a, f?x? 1 ,则 T=2a(a>0). f?x?

(3)若 f(x+a)=-

[变式训练 3] (2017·长沙模拟(一))已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+1)=-

f(x),且 f(x)=?
A.f(2.5)

? ?1,-1<x≤0, ?-1,0<x≤1, ?

则下列函数值为 1 的是( B.f(f(2.5)) D.f(2)

)

C.f(f(1.5)) D

[由 f(x+1)=-f(x)知 f(x+2)=-f(x+1)=f(x),于是 f(x)是以 2 为周期的周

期函数, 从而 f(2.5)=f(0.5)=-1, f(f(2.5))=f(-1)=f(1)=-1, f(f(1.5))=f(f(- 0.5))=f(1)=-1,f(2)=f(0)=1,故选 D.]

6

[思想与方法] 1.函数奇偶性的三个常用性质 (1)若奇函数 f(x)在 x=0 处有定义,则 f(0)=0. (2)若 f(x)为偶函数,则 f(|x|)=f(x). (3)设 f(x),g(x)的定义域分别是 D1,D2,那么在它们的公共定义域上:奇+奇=奇, 奇×奇=偶,偶+偶=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇. 2.利用函数奇偶性可以解决以下问题 (1)求函数值;(2)求解析式;(3)求函数解析式中参数的值;(4)画函数图象,确定函数 单调性. 3.在解决具体问题时,要注意结论“若 T 是函数的周期,则 kT(k∈Z 且 k≠0)也是函 数的周期”的应用. [易错与防范] 1.判断函数的奇偶性,应首先判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对 称是函数具有奇偶性的一个必要条件. 2.f(0)=0 既不是 f(x)是奇函数的充分条件,也不是必要条件.应用时要注意函数的 定义域并进行检验. 3.判断分段函数的奇偶性时,要以整体的观点进行判断,不能用函数在定义域某一区

7

间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性. 课时分层训练(六) 函数的奇偶性与周期性 A 组 基础达标 (建议用时:30 分钟) 一、选择题 1.(2016·广东肇庆三模)在函数 y=xcos x,y=e +x ,y=lg x -2,y=xsin x 中, 偶函数的个数是( A.3 C.1 B
2

x

2

2

) B.2 D.0
x
2

[y=xcos x 是奇函数,y=lg x -2和 y=xsin x 是偶函数,y=e +x 是非奇非偶

函数,故选 B.] 1+x 2.函数 y=log2 的图象( 1-x A.关于原点对称 C.关于 y 轴对称 A 1+x [由 >0 得-1<x<1, 1-x ) 【导学号:31222034】 B.关于直线 y=-x 对称 D.关于直线 y=x 对称

即函数定义域为(-1,1), 1-x 1+x 又 f(-x)=log2 =-log2 =-f(x), 1+x 1-x 1+x ∴函数 y=log2 为奇函数,故选 A.] 1-x 3. (2016·山东高考)已知函数 f(x)的定义域为 R.当 x<0 时, f(x)=x -1; 当-1≤x≤1 1 ? 1? ? 1? 时,f(-x)=-f(x);当 x> 时,f?x+ ?=f?x- ?,则 f(6)=( 2 ? 2? ? 2? A.-2 C.0 D B.-1 D.2 )
3

1 ? 1? ? 1? [由题意知当 x> 时,f?x+ ?=f?x- ?, 2 ? 2? ? 2?

则 f(x+1)=f(x). 又当-1≤x≤1 时,f(-x)=-f(x), ∴f(6)=f(1)=-f(-1). 又当 x<0 时,f(x)=x -1, ∴f(-1)=-2,∴f(6)=2.故选 D.] 4.已知 f(x)在 R 上是奇函数,且满足 f(x+4)=f(x),当 x∈(0,2)时,f(x)=2x ,则
2 3

8

f(2 019)=(
A.-2 C.-98 A

) B.2 D.98

[∵f(x+4)=f(x),

∴f(x)是以 4 为周期的周期函数, ∴f(2 019)=f(504×4+3)=f(3)=f(-1). 又 f(x)为奇函数,∴f(-1)=-f(1)=-2×1 =-2, 即 f(2 019)=-2.] 5.对于函数 f(x),若存在常数 a≠0,使得 x 取定义域内的每一个值,都有 f(x)=f(2a -x),则称 f(x)为准偶函数.下列函数中是准偶函数的是( A.f(x)= x C.f(x)=tan x D B.f(x)=x
2 2

)

D.f(x)=cos(x+1)

[由 f(x)为准偶函数的定义可知, 若 f(x)的图象关于 x=a(a≠0)对称, 则 f(x)为准

偶函数,A,C 中两函数的图象无对称轴,B 中函数图象的对称轴只有 x=0,而 D 中 f(x)= cos(x+1)的图象关于 x=kπ -1(k∈Z)对称.] 二、填空题 6. 函数 f(x)在 R 上为奇函数, 且 x>0 时, f(x)= x+1, 则当 x<0 时, f(x)=________. 【导学号:31222035】 - -x-1 [∵f(x)为奇函数,x>0 时,f(x)= x+1, ∴当 x<0 时,-x>0,

f(x)=-f(-x)=-( -x+1),
即 x<0 时,f(x)=-( -x+1)=- -x-1.] 7 . (2017· 安 徽 蚌 埠 二模 ) 函 数 f(x) = ________. -2 [由题意知,g(x)=(x+2)(x+a)为偶函数, ?x+2??x+a?

x

是奇函数,则实数 a=

∴a=-2.] 8.(2017·郑州模拟)已知函数 f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,当 x∈[0,2)时,f(x) =x ,若对于任意 x∈R,都有 f(x+4)=f(x),则 f(2)-f(3)的值为________. 1 [由题意得 f(2)=f(-2+4)=f(-2)=-f(2),
2

∴f(2)=0. ∵f(3)=f(-1+4)=f(-1)=-f(1)=-1, ∴f(2)-f(3)=1.] 三、解答题
9

9.若 f(x),g(x)是定义在 R 上的函数,f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且 f(x)+g(x) = 1 ,求 f(x)的表达式. x -x+1
2

[解]

在 f(x) + g(x) =

1

x2-x+1

中 用 - x 代 替 x , 得 f( - x) + g( - x) =

1 ,3 分 2 ?-x? -?-x?+1 又 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数, 所以-f(x)+g(x)= 1

x2+x+1

,6 分

1 ? ?f?x?+g?x?=x -x+1, 联立方程? 1 ? ?-f?x?+g?x?=x +x+1,
2 2

9分

1 1 1? x ?= - 2 两式相减得 f(x)= ? 2 ? 4 2 .12 分 2?x -x+1 x +x+1? x +x +1 10.已知定义在 R 上的奇函数 f(x)有最小正周期 2,且当 x∈(0,1)时,f(x)= (1)求 f(1)和 f(-1)的值; (2)求 f(x)在[-1,1]上的解析式. [解] (1)∵f(x)是周期为 2 的奇函数, ∴f(1)=f(2-1)=f(-1)=-f(1),3 分 ∴f(1)=0,f(-1)=0.5 分 (2)由题意知,f(0)=0.当 x∈(-1,0)时,-x∈(0,1). 由 f(x)是奇函数, 2 ∴f(x)=-f(-x)=- -x =- x ,9 分 4 +1 4 +1 2
-x

2 . 4 +1
x

x

x

? ? 2 综上,在[-1,1]上,f(x)=? - ,x∈?-1,0?, 4 +1 ? ?0,x∈{-1,0,1}.
2 ,x∈?0,1?, 4 +1
x x x

x

12 分

B 组 能力提升 (建议用时:15 分钟) 1.已知函数 f(x)是 R 上的偶函数,g(x)是 R 上的奇函数,且 g(x)=f(x-1),若 f(2) =2,则 f(2 018)的值为( A.2 ) B.0
10

C.-2 A [∵g(-x)=f(-x-1),

D.±2

∴-g(x)=f(x+1). 又 g(x)=f(x-1), ∴f(x+1)=-f(x-1), ∴f(x+2)=-f(x),

f(x+4)=-f(x+2)=f(x),则 f(x)是以 4 为周期的周期函数,∴f(2 018)=f(4×504+
2)=f(2)=2.] 2 . 设 f(x) 是 定 义 在 R 上 且 周 期 为 2 的 函 数 , 在 区 间 [ - 1,1] 上 , f(x) =

ax+1,-1≤x<0, ? ? ?bx+2 ,0≤x≤1, ? ? x+1

?1? ?3? 其中 a,b∈R.若 f? ?=f? ?,则 a+3b 的值为________. ?2? ?2?
【导学号:31222036】

-10 [因为 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数,

?3? ? 1? 所以 f? ?=f?- ?, ?2? ? 2? ?1? ? 1? 且 f(-1)=f(1),故 f? ?=f?- ?, ?2? ? 2?
1 b+2 2 1 从而 =- a+1, 1 2 +1 2 即 3a+2b=-2.① 由 f(-1)=f(1),得-a+1= 即 b=-2a.② 由①②得 a=2,b=-4,从而 a+3b=-10.] -x +2x,x>0, ? ? 3.已知函数 f(x)=?0,x=0, ? ?x2+mx,x<0 (1)求实数 m 的值; (2)若函数 f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数 a 的取值范围. [解] (1)设 x<0,则-x>0, 所以 f(-x)=-(-x) +2(-x)=-x -2x.2 分 又 f(x)为奇函数, 所以 f(-x)=-f(x), 于是 x<0 时,
2 2 2

b+2
2



是奇函数,

f(x)=x2+2x=x2+mx,
所以 m=2.5 分
11

(2)由(1)知 f(x)在[-1,1]上是增函数, 要使 f(x)在[-1,a-2]上单调递增. 结合 f(x)的图象知? 所以 1<a≤3, 故实数 a 的取值范围是(1,3].12 分
?a-2>-1, ? ? ?a-2≤1,

9分

12


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