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高中数学选修2-1新教学案:2.4.2抛物线的简单几何性质(1)


选修 2—1

2.4.2 抛物线的简单几何性质(学案)
(第一课时)

【知识要点】 抛物线的有关几何性质及其应用. 【学习要求】 1.通过理解抛物线的定义及其方程,掌握抛物线的简单几何性质; 2.通过对抛物线的简单的几何性质的学习,进一步体会数形结合思想在解题中的应用并 能应用几何性质解决有关问题.

【预习提纲】 (根据以下提纲,预习教材第 68 页~第 70 页) 1. 通过对椭圆和双曲线几何性质的学习,请你以 y2 ? 2 px( p ? 0) 为例谈一下抛物线 的几何性质. 2. 模仿 y2 ? 2 px( p ? 0) 几何性质,把下列表格填完整. 标准 方程 图 形 范 围 对 称轴 顶点 坐标 焦点 坐标 准线 方程 离 心率 通 径长 通过表格的填写, 我们知道, 四种形式抛物线顶点相同, 均为 , 离心率均为 , 它们都是 对称图形,但是对称轴不同. 3. 和椭圆、双曲线的几何性质相比:它们都是 对称图形;椭圆、双曲线又是 对 称图形, 抛物线不是;顶点个数不同:椭圆有 ,双曲线有 ,抛物线由一个顶点;
1

y2 ? 2 px( p ? 0)

y2 ? ?2 px( p ? 0)

x2 ? 2 py( p ? 0)

x2 ? ?2 py( p ? 0)

焦点个数不同:椭圆和双曲线各有 焦点,抛物线只有一个焦点;离心率取值范围不同:椭 圆的离心率范围是 ,双曲线的离心率范围是 ,抛物线的离心率是 . 【基础练习】 1.已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点 M (2, ?2 2) ,求它的标 准方程. 2. 已知一抛物线的焦点 F (0, ?8), 准线是y ? 8 ,求抛物线的标准方程.

1 3. 过点 M (2,0)作斜率为 的直线l,交抛物线y =4x于A,B两点求 AB .
【典型例题】 例 1 某抛物线的顶点是椭圆 16x2 ? 9 y2 ? 144 的中心,而焦点为椭圆的左顶点,求此 抛物线的方程. 变式 1:P 是抛物线 y 2=4x 上一动点,以 P 为圆心,作与抛物线准线相切的圆,则这个 圆一定经过一个定点 Q,点 Q 的坐标是 . 例2 斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y2 ? 4x 的焦点 F ,且与抛物线相交于 A, B 两点,求

2

线段 AB 的长. 变式 2:已知抛物线的焦点在 x 轴上,且截直线 2 x ? y ? 1 ? 0 所得的弦长为 15 ,求此 抛物线的方程. 变式 3: 已知 A, B 是抛物线 y2 ? 2 px( p ? 0) 上两点, O 为坐标原点,若 OA ? OB , 且 ?AOB 的垂心恰是此抛物线的焦点,求直线 AB 的方程.

1. 圆心在抛物线 y 2=2x 上,且与 x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是 ( ) (A)x2+ y 2-x-2 y -

1 =0 4

(B)x2+ y 2+x-2 y +1=0 (D)x2+ y 2-x-2 y +

(C)x2+ y 2-x-2 y +1=0

1 =0 4
) (D)y 2=-16x

2. 平面内过点 A(-2,0) ,且与直线 x=2 相切的动圆圆心的轨迹方程是( (A) y 2=-2x (B) y 2=-4x (C)y 2=-8x

3. 过抛物线 y 2=4x 的焦点作直线, 交抛物线于 A(x1, y 1) , 2, y 2)两点, B(x 如果 x1+ x2=6, 那么|AB|= (A)8 ( (B)10 ) (C)6 (D) 4 ).

4. 顶点在原点,对称轴为坐标轴的抛物线过点(-2,3) ,它的方程是 (

2

9 4 y或y 2 ? x 2 3 9 (C) y 2 ? ? x 2
(A) x2 ? ?

(B)

9 4 y 2 ? ? x或x 2 ? y 2 3 4 (D) x 2 ? y 3

5. 有一个正三角形的两个顶点在抛物线 y2 ? 2 px( p ? 0) 上,另一个顶点在原点,则 该三角形的边长是 (A) 2 3 p (C) 6 3 p ( ). (B) 4 3 p (D) 8 3 p

6. 已知抛物线的方程是 y2 ? 2 px( p ? 0) ,以抛物线上动点与焦点连线为直径的圆与

y 轴的位置关系
(A) 相交 (C) 相切

(

). (B) 相离 3 (D) 不确定

7. 抛物线 x2 ? ?4 y 过焦点垂直对称轴的直线交抛物线于 A, B 两点, O 为抛物线的顶 点,则( ).

(A) AB ? 8, s?AOB ? 4 (B) AB ? 4, s?AOB ? 2 (C) AB ? 4, s?AOB ? 4 (D) AB ? 8, s?AOB ? 2 8. 过抛物线 y ? ax2 (a ? 0) 的焦点 F 作一直线交抛物线于 P , Q 两点,若线段 PF 与

FQ 的长分别是 p, q ,则

1 1 ? 等于 p q





(A)

2a

(B)

1 2a

(C)

4a

(D)

4 a

9.已知直线 l 与抛物线 y2 ? 8x 交于 A, B 两点,且 l 经过抛物线的焦点 F , A 点的坐标为 (8,8) ,则线段 AB 的中点到准线的距离为 ( (A) )

25 4

(B)

25 2

(C)

25 6

(D) 25

10. 过抛物线 y2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 任作一条直线 l 与抛物线交于 P , P 两点,求 1 2 证:以 P P2 为直径的圆和这条抛物线的准线相切. 1

3

选修 2—1

2.4.2 抛物线的简单几何性质(教案)
(第一课时)

【教学目标】 要求学生熟练掌握抛物线的简单几何性质, : 能够运用几何性质处理有关的数 学问题,并且进一步体会数形结合思想在解题中的应用. 【重点】 :对抛物线几何性质的掌握与应用. 【难点】 :抛物线几何性质的应用.

【预习提纲】 (根据以下提纲,预习教材第 68 页~第 70 页) 1. 通过对椭圆和双曲线几何性质的学习,请你以 y2 ? 2 px( p ? 0) 为例谈一下抛物线 的几何性质. 范围: x ? 0, y ? R;顶点坐标: (0,0) ;对称轴为 x 轴;焦点坐标: F ( 程: x ? ?

p , 0) ;准线方 2

p ;离心率为 1;通径长为 2 p . 2

2. 模仿 y2 ? 2 px( p ? 0) 几何性质,把下列表格填完整.

标 2 y ? 2 px( p ? 0) 准 方 程 图 形

y2 ? ?2 px( p ? 0)

x2 ? 2 py( p ? 0)

x2 ? ?2 py( p ? 0)

范 围

x ? 0, y ? R

x ? 0, y ? R
对称轴为 x 轴

y ? 0, x ? R
对称轴为 y 轴

y ? 0, x ? R
对称轴为 y 轴

对 对称轴为 x 轴 称 轴 顶 (0,0)

(0,0)
4

(0,0)

(0,0)

点 坐 标 焦 点 坐 标 准 线 方 程 离 心 率 通 径 长

p F ( , 0) 2

F (?

p , 0) 2

p F (0, ) 2

p F (0, ? ) 2

x??

p 2

x?

p 2

y?

p 2

y??

p 2

e ?1

e ?1

e ?1

e ?1

2p

2p

2p

2p

通过表格的填写,我们知道,四种形式抛物线顶点相同,均为 (0, 0) ,离心率均为 1 , 它们都是 轴 对称图形,但是对称轴不同. 3. 和椭圆、 双曲线的几何性质相比: 它们都是 轴 对称图形; 椭圆、 双曲线又是 中心 对 称图形,抛物线不是;顶点个数不同:椭圆有 4个 ,双曲线有 2个 ,抛物线由一个顶点;焦点个 数不同:椭圆和双曲线各有 2个 焦点,抛物线只有一个焦点;离心率取值范围不同:椭圆的离 心率范围是 0<e<1 ,双曲线的离心率范围是 e>1 ,抛物线的离心率是 e=1 . 【基础练习】 1.已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点 M (2, ?2 2) ,求它的标 准方程. 解: 由题意可设抛物线的标准方程为 y2 ? 2 px( p ? 0) . 因为点 M 在抛物线上,所以 ?2 2

?

?

2

? 2 p?2,即p ? 2.

因此,所求抛物线的方程为 y 2 ? 4 x. 2. 已知一抛物线的焦点 F (0, ?8), 准线是y ? 8 ,求抛物线的标准方程. 解: 由题意可知

p ? 8,? p ? 16 .所以抛物线方程为 x2 ? ?32 y. 2

5

1 3. 过点 M (2,0)作斜率为 的直线l,交抛物线y =4x于A,B两点求 AB .
0)且斜率为1的直线 l 的方程为 y ? x ? 2 ,与抛物线的方程 y2 ? 4x 解: 过点M(2,
联立得 ?

2

? x1 ? 4 ? 2 3, ? ? y1 ? 2 ? 2 3; ?

? x2 ? 4 ? 2 3, ? ? ? y2 ? 2 ? 2 3. ?

设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 AB ? 【典型例题】

? x2 ? x1 ? ? ? y2 ? y1 ?
2

2

?4 6 .

例 1 某抛物线的顶点是椭圆 16x2 ? 9 y2 ? 144 的中心,而焦点为椭圆的左顶点,求此 抛物线的方程. 【审题要津】 因为椭圆的中心在坐标原点,左顶点为(-3,0),所以可直接设抛物线的标 准方程,代入 p 后可得方程. 解: 16x2 ? 9 y2 ? 144 得 由

y 2 x2 ? ? 1 ,所以椭圆的左顶点为(-3,0).由题意设所求抛 16 9

物线方程为 y2 ? ?2 px( p ? 0) ,由

p ? 3得p ? 6 ,所以所求方程为 y2 ? ?12x . 2

【方法总结】 顶点在原点,焦点在坐标轴上的抛物线方程可设为标准形式. 变式 1:P 是抛物线 y 2=4x 上一动点,以 P 为圆心,作与抛物线准线相切的圆,则这个 圆一定经过一个定点 Q,点 Q 的坐标是. (1, 0) 例2 斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y2 ? 4x 的焦点 F ,且与抛物线相交于 A, B 两点,求

线段 AB 的长. 【审题要津】 求出抛物线的焦点后,写出直线方程的点斜式,和抛物线联立解交点,然后 运用两点间的距离公式求 AB 的长. 解:抛物线 y2 ? 4x 的焦点为(1,0),直线 l 的方程为 y ? x ? 1 ,联立 ?

? y ? x ? 1,
2 ? y ? 4 x.



? x1 ? 3 ? 2 2, ? ? ? y1 ? 2 ? 2 2, ?
AB ?
2

? x2 ? 3 ? 2 2, ? ? ? y2 ? 2 ? 2 2. ?
2



A( x1, y1 ), B( x2 , y2 )

,



? x2 ? x1 ? ? ? y2 ? y1 ?

=8.

【方法总结】 直线和圆锥曲线的弦长问题,可先联立方程组求交点坐标,然后运用两点 间的距离公式求解. 变式 2:已知抛物线的焦点在 x 轴上,且截直线 2 x ? y ? 1 ? 0 所得的弦长为 15 ,求此 抛物线的方程. 解: 所求抛物线方程为 y2 ? 12x或y2 ? ?4x .

6

变式 3: 已知 A, B 是抛物线 y2 ? 2 px( p ? 0) 上两点, O 为坐标原点,若 OA ? OB , 且 ?AOB 的垂心恰是此抛物线的焦点,求直线 AB 的方程. 解: 由题意可知, 抛物线 y2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点坐标为 F ( 由抛物线的对称性可知,

p , 0) ,因为 OA ? OB , 2

A, B 两 点 关 于 x 轴 对 称 , 设 直 线 AB 的 方 程 为

2 x ? x0 , 设A,B两点的坐标为A(x0 , y0 ), 则y0 ? 2 px0 . 因为 ?AOB 的垂心恰是抛物线的焦

点 F ,所以 AF ? OB, AF ? (

??? ? ??? ??? ? ? p 5p . ? x0 , ? y 0 ), OB ? (x 0 , ?y 0 ) .由AF? OB=0得x 0 ? 2 2 5p 所以直线 AB 的方程为 x ? . 2

??? ?

1. 圆心在抛物线 y 2=2x 上,且与 x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是 ( D ) (A)x2+ y 2-x-2 y -

1 =0 4

(B)x2+ y 2+x-2 y +1=0 (D)x2+ y 2-x-2 y +

(C)x2+ y 2-x-2 y +1=0

1 =0 4
(D)y 2=-16x

2. 平面内过点 A(-2,0) ,且与直线 x=2 相切的动圆圆心的轨迹方程是( C ) (A) y 2=-2x (B) y 2=-4x (C)y 2=-8x

3. 过抛物线 y 2=4x 的焦点作直线, 交抛物线于 A(x1, y 1) , 2, y 2)两点, B(x 如果 x1+ x2=6, 那么|AB|= (A)8 ( A ) (B)10 (C)6 (D) 4

4. 顶点在原点,对称轴为坐标轴的抛物线过点(-2,3) ,它的方程是 ( B ).

9 4 y或y 2 ? x 2 3 9 (C) y 2 ? ? x 2
(A) x2 ? ?

(B)

9 4 y 2 ? ? x或x 2 ? y 2 3 4 (D) x 2 ? y 3

5. 有一个正三角形的两个顶点在抛物线 y2 ? 2 px( p ? 0) 上,另一个顶点在原点,则 该三角形的边长是 (A) 2 3 p (C) 6 3 p ( B ). (B) 4 3 p (D) 8 3 p

6. 已知抛物线的方程是 y2 ? 2 px( p ? 0) ,以抛物线上动点与焦点连线为直径的圆与

7

y 轴的位置关系
(A) 相交 (C) 相切

( C ). (B) 相离 3 (D) 不确定

7. 抛物线 x2 ? ?4 y 过焦点垂直对称轴的直线交抛物线于 A, B 两点, O 为抛物线的顶 点,则( B ). (A) AB ? 8, s?AOB ? 4 (B) AB ? 4, s?AOB ? 2 (C) AB ? 4, s?AOB ? 4 (D) AB ? 8, s?AOB ? 2 8. 过抛物线 y ? ax2 (a ? 0) 的焦点 F 作一直线交抛物线于 P , Q 两点,若线段 PF 与

FQ 的长分别是 p, q ,则

1 1 ? 等于 p q

( C )

(A)

2a

(B)

1 2a

(C)

4a

(D)

4 a

9.已知直线 l 与抛物线 y2 ? 8x 交于 A, B 两点,且 l 经过抛物线的焦点 F , A 点的坐标为 (8,8) ,则线段 AB 的中点到准线的距离为 ( A ) (A)

25 4

(B)

25 2

(C)

25 6

(D) 25

10. 过抛物线 y2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 任作一条直线 l 与抛物线交于 P , P 两点,求 1 2 证:以 P P2 为直径的圆和这条抛物线的准线相切. 1 证明:如图, 设P ( x1, y1 ), P ( x2 , y2 ), PP中 1 2 1 2

点P0 ( x0 , y0 ). P1P2 ? PF ? P2 F 1
x ?x p p ? x2 ? ? x1 ? x2 ? p , x0 ? 1 2 , 2 2 2 x ?x p 1 ? p0到准线的距离d ? 1 2 ? ? PP2 . 1 2 2 2
= x1 ? 所以以 P P2 为直径的圆和这条抛物线的准线相切. 1

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