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【轻松突破120分】2014高考数学精炼19 理


2014 高考数学(理)轻松突破 120 分 19
【选题明细表】 知识点、方法 用正、余弦定理解三角形 三角形面积问题 判定三角形的形状 实际应用题 综合应用 一、选择题 1.已知△ABC,sin A∶sin B∶sin C=1∶1∶ (A)60° (B)90° (C)120° (D)135° ,且 c 最大. ,则此三角形的最大内角的度数是( B ) 题号 1、2、7、10 4 3、9 6、11 5、8、12

解析:依题意和正弦定理知,a∶b∶c=1∶1∶ 设 a=k,b=k,c= k(k>0),

由余弦定理得,cos C=

=0,

又 0°<C<180°,所以 C=90°.故选 B. 2.在△ABC 中,已知 b=40,c=20,C=60°,则此三角形的解的情况是( (A)有一解 (B)有两解 (C)无解 (D)有解但解的个数不确定 解析:由正弦定理得 = ,

C )

∴sin B=

=

=

>1.

∴角 B 不存在,即满足条件的三角形不存在.故选 C. 3.若 = = ,则△ABC 是( C )

(A)等边三角形 (B)直角三角形,且有一个角是 30° (C)等腰直角三角形 (D)等腰三角形,且有一个角是 30° 解析:在△ABC 中,将 a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C,代入 = = 得 = = ,

所以

=

=1.所以 tan B=tan C=1,
-1-

所以 B=C=45°.所以△ABC 是等腰直角三角形.故选 C. 4.在△ABC 中,角 A、 B、 C 所对应的边分别为 a、 b、 c,若角 A、 B、 C 依次成等差数列,且 a=1,b= 则 S△ABC 等于( C ) (A) (B) (C) (D)2 ,

解析:∵A、B、C 成等差数列, ∴A+C=2B,∴B=60°. 又 a=1,b= ,



=

,

∴sin A=

= × = ,

∴A=30°,∴C=90°. ∴S△ABC= ×1× = .故选 C.
2 2 2

5.在△ABC 中,角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c,若 a +b =2c ,则 cos C 的最小值为( C ) (A) (B) (C) (D)-

解析:由余弦定理,知 cos C= = = ≥ = ,

当且仅当 a=b 时, cos C 取得最小值 .故选 C. 6. 如图所示,我炮兵阵地位于 A 处,两观察所分别设于 B,D 处,已知△ABD 为边长等于 a 的正三 角形,当目标出现于 C 处时,测得∠BDC=45°,∠CBD=75°,则炮击目标的距离 AC 为( D )

(A)2

a

(B)

a

(C)

a

(D)

a

-2-

解析:在△BCD 中,由正弦定理得

=

,

所以 BC= a.在△ABC 中,由余弦定理得: AC =AB +BC -2AB·BC·cos∠ABC, 所以 AC= a,
2 2 2

即炮击目标的距离 AC 为 二、填空题

a.故选 D.

7.在△ABC 中,若 a=2,b+c=7,cos B=- ,则 b=
2 2 2

.

解析:在△ABC 中,由 b =a +c -2accos B 及 b+c=7 知, b =4+(7-b) -2×2×(7-b)×
2 2

.

整理得 15b-60=0,∴b=4. 答案:4 8.在△ABC 中,设角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 a=(cos C,2a-c),b=(b,-cos B)且 a⊥ b,则 B= . 解析:由 a⊥b,得 a·b=bcos C-(2a-c)cos B=0, 利用正弦定理,可得 sin Bcos C-(2sin A-sin C)cos B= sin Bcos C+cos Bsin C-2sin Acos B=0, 即 sin(B+C)=sin A=2sin Acos B, 因为 sin A≠0,故 cos B= ,因此 B= .

答案: 9.在△ABC 中,内角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c 若 sin C+sin(B-A)=sin 2A,则△ABC 的 形状为 . 解析:由 sin C+sin (B-A)=sin 2A 得 sin(A+B)+sin(B-A)=sin 2A, 2sinBcos A=2sin Acos A. ∴cos A=0 或 sin A=sin B. ∵0<A、B<π ,∴A= 或 A=B,

-3-

∴△ABC 为直角三角形或等腰三角形. 答案:等腰或直角三角形 三、解答题 10.△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 cos(A-C)+cos B=1,a=2c,求 C. 解:由 B=π -(A+C),得 cos B=-cos(A+C). 于是 cos(A-C)+cos B=cos(A-C)-cos(A+C)= 2sin Asin C, 由已知得 sin Asin C= .① 由 a=2c 及正弦定理得 sin A=2sin C.② 由①②得 sin C= ,
2

于是 sin C=- (舍去),或 sin C= .

又 a=2c,所以 C= . 11.在某海域,以点 E 为中心的 7 海里以内海域是危险区域,点 E 正北 55 海里处有一个雷达观 测站 A,某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点 A 北偏东 45°且与点 A 相距 40 置 B,经过 40 分钟又测得该船已行驶到点 A 北偏东 45°+θ (其中 cos θ = ,0°<θ <90°)且与点 A 相距 10 海里的位置 C. 海里的位

(1)求该船的行驶速度(单位:海里/小时); (2)若该船不改变航行方向继续行驶,判断它是否会进入危险水域,并说明理由. 解:(1)由题知 AB=40 ,AC=10 ,

∠BAC=θ ,0°<θ <90°,cos θ =
2 2 2

,

由余弦定理得 BC =AB +AC -2AB·ACcos θ , 得 BC= =10 ,
-4-

所以船的行驶速度为

=15

(海里/小时).

(2)如图所示,设直线 AE 与 BC 的延长线相交于点 Q.

在△ABC 中,由余弦定理得, cos B=

=

=

,

从而 sin B=

=

=

,

在△ABQ 中,由正弦定理得, AQ= = =40,

所以 AE=55>40=AQ,且 QE=AE-AQ=15. 过点 E 作 EP⊥BC 于点 P,在 Rt△QPE 中, PE=QE·sin∠PQE=QE·sin∠AQC =QE·sin(45°-B) =15×

=3

<7.

所以船会进入危险水域. 12.已知 A、B 是直线 y=0 与函数 f(x)=2cos
2

+cos

-1(ω >0)图象的两个相邻交点,且

-5-

AB= . (1)求ω 的值; (2)在锐角△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,若 f(A)=- ,c=3,△ABC 的面积为 3 求 a 的值. 解:(1)f(x)=cos ω x+ cos ω x- sin ω x ,

= cos ω x- sin ω x

=-

sin

,

由函数的图象及 AB= ,

得到函数的周期 T= =2× , 解得ω =2. (2)∵f(A)=sin =- ,

∴sin

= .

又∵△ABC 是锐角三角形, ∴- <2A- < ,

∴2A- = ,

即 A= ,

由 S△ABC= bcsin A= × =3 由余弦定理得

,得 b=4,

-6-

a =b +c -2bccos A=4 +3 -2×4×3× =13,

2

2

2

2

2

∴a=

.

-7-


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