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湖北省武汉华中师大一附中2016届高三上学期期中考试数学(文)试卷

华中师大一附中2015—2016学年度上学期高三期中检测 数学试题(文科)
考试时限:120 分钟 卷面满分:150 分 命题人:方 帅建成 钢 党宇飞 审题人:

第 I 卷(选择题共 60 分)
注意事项:务必将每小题的答案填在答题卡的相应位置.答在试卷上无效. 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的,请将你认为正确的选项代号涂填在选择题的答题卡内. 1、设全集 U ? R ,集合 ? ? x log 2 x ? 2 , ? ? x ? x ? 3?? x ? 1? ? 0 ,则 ?U ? ? ? ? ( ) A. ? ??, ?1? B. ? ??, ?1? ? ? 0,3? C. ? 0,3? D. ? 0,3? )

?

?

?

?

?

?

2、已知复数 z1 ? 2 ? ai (a ? R ) , z 2 ? 1 ? 2i ,若 A. 2 B. 3

z1 为纯虚数,则 | z1 |? ( z2

C. 2
2

D. 5 ( )

3、已知命题 p : ?x ? R, x ? 1 ? lg 2 x ,命题 q : ?x ? R, x ? 0 ,则 A.命题 p ? q 是假命题 C.命题 p ? (?q ) 是真命题 B.命题 p ? q 是真命题 D.命题 p ? (?q ) 是假命题

4、已知向量 a ? ( x ? 1, 2), b ? (2,1) 错误!未找到引用源。 ,则“ x ? 0 ”是“ a 与 b 错误! 未找到引用源。夹角为锐角”的 ( A.充分不必要条件 要条件 5、在 ? ABC 中,已知 A ? 300 , a ? 8, b ? 8 3 ,则三角形的面积为 ( A. 32 3 6、已知 p ? a ? B. 16 C. 32 3 或 16 ) ) C.充要条件 D.既不充分也不必

?

?

?

?

B.必要不充分条件

D. 32 3 或 16 3 )

1 1 2 (a ? 2), q ? ( ) x ? 2 ( x ? R) ,则 p, q 的大小关系为 ( a?2 2

A. p ? q

B. p ? q

C. p ? q

D. p ? q

7 、 函 数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ? ? ) 的 图 象 如 图 所 示 , 为 了 得 到

g ( x) ? A sin ? x 的图象,可以将 f ( x) 的图象 (

)
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A.向右平移 C.向左平移

?
12

个单位长度 个单位长度

B.向右平移 D.向左平移

?
?
6

个单位长度 个单位长度

?

12

6

log (2 ? x), x ? 2 ? ? 2 8、已知函数 f ( x) ? ? 2 , 则不等式 f (3 x ? 1) ? 4 的解集为 ( 3 ? x , x ? 2 ?
A . {x ?5 ? x ? }



1 3

B . {x ?3 ? x ? }

5 3

C . {x ?5 ? x ? }

7 3

D. { x

1 ? x ? 2} 3

???? ? MD ???? 3 ???? 3 ???? ? ? 9、 M 是 ?ABC 所在平面内一点, MB ? MA ? MC ? 0 , D 为 AC 中点,则 ???? ? 的 2 2 BM
值为( A. )

1 3

B.

1 2

C. 1

D. 2

2 2 10、数列{ an }的通项公式为 an ? 2n ?1 ,则使不等式 a12 ? a2 ? ? ? an ? 5 ? 2n ?1 成立的 n 的

最大值为( A. 2

) B. 3 C. 4 D. 5

11、 已知 f ( x) ? x 3 ? 3 x ? m , 在区间 ? 0, 2? 上任取三个数 a, b, c ,均存在以 f (a ), f (b), f (c) 为边长的三 角形,则 m 的取值范围是 A. m ? 8 ( ) C. m ? 4 D. m ? 2

B. m ? 6

12、定义在 (1,??) 上的函数 f ( x) 满足下列两个条件: (1)对任意的 x ? (1,??) 恒有 (2)当 x ? ?1,2? 时, f ( x) ? 2 ? x .记函数 g ( x) ? f ( x) ? k ( x ? 1) ,若 f (2 x) ? 2 f ( x) 成立; 函数 g ( x) 恰有两个零点,则实数 k 的取值范围是 A. ? , 2 ? ?3 ? ( )

?4

?

B. ? ,2 ?

?4 ?3

? ?

C. ? , 2 ? 3

?4 ? ? ?

D. ?1,2 ?

第 II 卷(非选择题共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡内相应题号对应的 横线上.
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13、已知 tan ? ? ?2 ,则 ? sin ? ? cos ? ? ?
2



y
14、 f ?( x) 为定义在 R 上的函数 f ( x) 的导函数, 而y?3
f ?( x )

的图象如图所示, .

1 ?1

则 y ? f ( x) 的单调递增区间是______ 15 、 若 数 列 {an } 满 足 a1 ? a2 ? a3 ? ___________. 16 、设函数 f ( x) ? ln(1? | x |) ? _______.

0

1

3

x

??? ? an ? n 2 ? 3n ? 2 , 则 数 列 {an } 的 通 项 公 式 为

1 ,则使得 f ( x) ? f (2 x ? 1) 成立的 x 的取值范围为 1 ? x2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17、(本小题满分 10 分)已知函数 f ( x) ? 3(cos 2 x ? sin 2 x) ? 2sin x cos x . (Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ)设 x ? [?

? ?

, ] ,求 f ( x) 的值域和单调递减区间. 3 3

18、(本小题满分 12 分)已知等差数列{an}的前 n 项和为 S n , S n ? kn(n ? 1) ? n(k ? R ) ,公 差 d 为 2. (Ⅰ)求 k 与 an ; (Ⅱ)若数列 ?bn ? 满足 b1 ? 2, bn ? bn ?1 ? n ? 2 n (n ? 2) ,求 bn .
a

19、(本小题满分 12 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知 c ? 2 ,向量

?? m ? (c, 3b),
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?? ? ? n ? (cos C ,sin B) ,且 m ∥ n .
(Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)若 sin( A ? B ),sin 2 A,sin( B ? A) 成等差数列,求边 a 的大小.

20、(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ax 2 ? bx ? ln x , a, b ? R . (Ⅰ)若 a ? 0 且 b ? 2 ? a ,试讨论 f ( x) 的单调性; (Ⅱ)若 b ? ?8 ,总存在 x ? ? 0, ? 使得 f ( x) ? 0 成立,求实数 a 的取值范围. e

? ?

1? ?

21 、 ( 本 小 题 满 分

12

分 ) 已 知 数 列 {a n } 的 前 n 项 和 为 S n ,

1 a1 ? , S n ? n 2 an ? n(n ? 1), n ? 1, 2, L 2
(Ⅰ)证明:数列 ? (Ⅱ)设 bn ?

? n ?1 ? S n ? 是等差数列,并求 S n ; ? n ?

Sn 5 ,求证: b1 ? b2 ? L ? bn ? . 2 n ? 3n 12
3

22、 (本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? x ? a ln x , 在 x ? 1 处的切线与直线 x ? 2 y ? 0 垂直, 函数 g ? x ? ? f ? x ? ?

1 2 x ? bx . 2

(Ⅰ)求实数 a 的值;

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(Ⅱ)设 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) 是函数 g ? x ? 的两个极值点,记 t ? ①求 t 的取值范围;②求 g ? x1 ? ? g ? x2 ? 的最小值.

x1 13 ,若 b ? , 3 x2

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华中师大一附中2015—2016学年度上学期高三期中检测 数学试题(文科)答案
一、选择题
1 题号 C 答案 二、填空 2 D 3 C 4 B 5 D 6 A 7 B 8 C 9 A 10 C 11 B 12 A

13、

9 5

14、 ? ??,3?

15、 an ? ? n ? 2

?6 ?

, n ?1
?

, n ? 2, n ? N ? ? n

16、 ? ,1?

?1 ? ?3 ?

三、解答题 17、 (1) f ( x) ? 3 cos 2 x ? sin 2 x ? 2sin(2 x ? (2)∵ x ? [?

?
3

)

T ? ? ??????????5 分

? ?
3 3 ,

] , ??

?
3

? 2x ?

?
3

?? ,

??

3 ? ? sin( 2 x ? ) ? 1 . 2 3
??????????7 分 ??????????10

? f ( x) 的值域为 [? 3, 2] . f ( x) 的递减区间为 ?


?? ? ? , ?. ?12 3 ?

18、 (1)由题意可得 a1 ? S1 ? 2k ? 1 , 分

a2 ? S 2 ? S1 ? 4k ? 1 ??????????2

所以 a2 ? a1 ? 2k ? 2 ,即 k ? 1 故数列 ?an ? 是首项为 1 ,公差为 2 的等差数列,即 an ? 2n ? 1 分 (2)由题意 b1 ? 2, bn ? bn ?1 ? n ? 2 n (n ? 2)
a

??????????4

即 b1 ? 2, bn ? bn ?1 ? n ? 22 n ?1 (n ? 2)

由累加法可得 n ? 2时,bn ? (bn ? bn ?1 ) ? (bn ?1 ? bn ? 2 ) ? ??? ? (b2 ? b1 ) ? b1

? 1? 21 ? 2 ? 23 ? ??? ? (n ? 1) ? 22 n ?3 ? n ? 22 n ?1


???? 6

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错位相减法 bn ? 10 分 显然 n ? 1 ,也成立, 分

2[(3n ? 1)4n ? 1] 9

??????????

故 bn ?

2[(3n ? 1)4n ? 1] ,n? N? 9

??????????12

19、 (1) m ∥ n ,得 c sin B ? 3b cos C ? 0 , 由正弦定理可得 sin C sin B ? 3 sin B cos C ? 0 分 ?????????? 2

??

?

tan C ? 3 , C ? ? 0, ? ?
C?
分 (2) sin( A ? B ),sin 2 A,sin( B ? A) 成等差, 所以 sin( A ? B ) ? sin( B ? A) ? 2sin 2 A 化简整理得: cos A(sin B ? 2sin A) ? 0 分 即 cos A ? 0 或 sin B ? 2sin A 得A? 分 若 A= 分 若 b ? 2a,由a 2 ? b 2 ? ab ? 4得a ? 分 20、 (1)由 b ? 2 ? a ?????????? 6

?
3

?????????? 4

?
2

或b ? 2a

??????????8

?
2

,由C ?

?
2

,则a ?

c 4 ? 3 sin C 3

??????????10

2 3. 3

??????????12

f ?( x) ? 2ax ? b ?
分 当?

1 1 (ax ? 1)(2 x ? 1) ? 2ax ? 2 ? a ? ? ( x ? 0) ??????2 x x x

1 1 1 1 ? ,即 a ? ?2 时, f ( x) 的单调递增区间为 (? , ) , a 2 a 2
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单调递减区间为 (0, ? ), ? 4分 当? 分 当?

1 ?1 ? , ?? ? ?????? a ?2 ?

1 1 ? ,即 a ? ?2 时, f ( x) 的单调递增区间为 (0, ??) a 2 1 1 1 1 ? ,即 ?2 ? a ? 0 时, f ( x) 的单调递增区间为 ( , ? ) , a 2 2 a
单调递减区间为 (0, ), ? ?

??????5

1 ? 1 ? , ?? ? ?????? 2 ? a ?

6分 (2) f ( x) ? ax ? 8 x ? ln x
2

由题意总存在 x ? ? 0, ? ,使得 f ( x) ? 0 成立 e

? ?

1? ?

即存在 x ? ? 0, ? ,使 a ? e

? ?

1? ?

8 x ? ln x x2




g ( x) ?

8 x ? ln x x2

? 1? x ? ? 0, ? ? e?













a小于g ( x)的最大值 。?????????9 分
求导 g ?( x) ?

1 ? 8 x ? 2 ln x ? 1? , x ? ? 0, ? 3 x ? e?

1 1 8 ? 3? ? 0 e e e 1 ? 8 x ? 2 ln x 8 x ? ln x 1 可知 g ?( x) ? 在定义域内单调递增,最大最在 ? 0 ,即 g ( x) ? 3 2 x x e
而 1 ? 8 x ? 2 ln x 在定义域内递减,且 1 ? 8 ? 2 ln 处取得. 故

1 a ? g ( ) ? 8e ? e 2 e
21 、 ( 1 ) 由

?????????12 分

S n ? n 2 an ? n(n ? 1)
??????3 分







n ? 2时S n ? n 2 ( S n ? S n ?1 ) ? n(n ? 1)

即 n ? 2时(n 2 ? 1 )S n ? n 2 S n ?1 ? n(n ? 1)

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以 ??????5 分

n ?1 n n ? 2时, S n ? S n ?1 ? 1 n n ?1 1?1 而 S1 ? 1 1
故 数 列 ?

? n ?1 ? Sn ? 是 以 1 为 首 项 , 1 为 公 差 的 等 差 数 列 , 且 ? n ?
??????7 分 2 ) 因 ??????9 分 以 为

n2 Sn ? n ?1


bn ?


Sn 1 1 1 1 ? ? ( ? ) 2 n ? 3n (n ? 1)(n ? 3) 2 n ? 1 n ? 3
3

b1 ? b2 ? ??? ? bn ?


1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ? ? ? ? ??? ? ? )? ( ? ? ? ) ? ? 11 2 2 4 3 5 n ?1 n ? 3 2 2 3 n ? 2 n ? 3

1 5 5 ? ? ? 2 6 12
22、 (1) f ?( x) ? 1 ?

????12 分

a x
????

由题意知 f ?(1) ? 1 ? a ? 2 , 即a ?1 2分

x 2 ? (b ? 1) x ? 1 1 2 (2)由 g ( x) ? ln x ? x ? (b ? 1) x , g ?( x) ? x 2
4分 令

????

g ?( x) ? 0, x 2 ? (b ? 1) x ? 1 ? 0
????5 分



x1 ? x2 ? b ? 1, x1 x2 ? 1

( x1 ? x2 ) 2 x1 x 1 100 ? ? 2 ? 2 ? t ? 2 ? ? (b ? 1) 2 ? 而 x1 x2 x2 x1 t 9
由 x1 ? x2 ,即 0 ? t ? 1 ,解上不等式可得: 0 ? t ? 8分

1 9

????

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而 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? ln 10 分 构造函数 h(t ) ? ln t ?

x1 1 x1 x2 1 1 ? ( ? ) ? ln t ? (t ? ) x2 2 x2 x1 2 t

????

1 1 ? 1? (t ? ), t ? ? 0, ? 2 t ? 9?

(t ? 1) 2 ? 1? ? 0, 由 t ? ? 0, ? , h(t ) ? ? 2t 2 ? 9?
故 h(t ) 在定义域内单调递减, h(t ) min ? h( ) ? 所以 g ? x1 ? ? g ? x2 ? 的最小值为 12 分

1 9

40 ? 2 ln 3 9
????

40 ? 2 ln 3 9

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