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1.2.1任意角的三角函数(1)教师版


1.2 任意角的三角函数 1.2.1 任意角的三角函数(一) 教学目标分析: 知识目标: (1)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数 值在各象限的符号) ; (2)理解任意角的三角函数不同的定义方法; (3)了解如何利用与单位圆有关 的有向线段,将任意角α 的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来; (4) 掌握并能初步运用公式一; (5)树立映射观点,正确理解三角函数是以实数为自变量的函数. 过程与方法: 初中学过:锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数.引导学生把 这个定义推广到任意角,通过单位圆和角的终边,探讨任意角的三角函数值的求法 ,最终得到任意角 三角函数的定义.根据角终边所在位置不同,分别探讨各三角函数的定义域以及这三种函数的值在各 象限的符号.最后主要是借助有向线段进一步认识三角函数.讲解例题,总结方法,巩固练习. 情感目标:任意角的三角函数可以有不同的定义方法,而且各种定义都有自己的特点.过去习惯 于用角的终边上点的坐标的“比值”来定义,这种定义方法能够表现出从锐角三角函数到任意角的 三角函数的推广,有利于引导学生从自己已有认知基础出发学习三角函数,但它对准确把握三角函 数的本质有一定的不利影响, “从角的集合到比值的集合”的对应关系与学生熟悉的一般函数概念中 的“数集到数集”的对应关系有冲突,而且“比值”需要通过运算才能得到,这与函数值是一个确 定的实数也有不同,这些都会影响学生对三角函数概念的理解. 重难点分析: 重点:任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的 符号) ;终边相同的角的同一三角函数值相等(公式一). 难点:任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的 符号) ;三角函数线的正确理解. 互动探究: 一、课堂探究: 1、复习回顾:在初中我们通过直角三角形的边角关系,学习了锐角 ? 的正弦、余弦、正切等三个三 角函数。请回想,这三个三角函数分别是怎样规定的? sin ? ? BC AC BC , cos ? ? , tan ? ? AB AB AC B a A C 探究一、我们已经把锐角推广到了任意角,锐角的三角函数概念也能推广到任意角吗? 探究二、锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数数,你能用直角坐标系中角 的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗? y 2、锐角三角函数的坐标表示: P(a,b) x A(1,0) 如图,设锐角 ? 的顶点与原点 O 重合,始边与 x 轴的正半轴重合,那么它的终边在第一象限 .在 ? 的终边上任取一点 P(a, b) ,它与原点的距离 r ? a2 ? b2 ? 0 .过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 M ,则 1 线段 OM 的长度为 a ,线段 MP 的长度为 b .则 MP b OM a MP b ? ; cos ? ? ? ; tan ? ? ? . OP r OP r OM a 探究三、对于确定的角 ? ,这三个比值是否会随点 P 在 ? 的终边上的位置改变而改变呢? 显然,我们可以将点取在使线段 OP 的长 r ? 1 的特殊位置上,这样就可以得到用直角坐标系内 sin ? ? 的点的坐标表示锐角三角函数: sin ? ? 思考:上述锐角 ? 的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么,角的概念推广以后,我们 应该如何对初中的三角函数的定义进行修改,以利推广到任意角呢?本节课就研究这个问题――任 意

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