当前位置:首页 >> 数学 >>

第六章第六节多元函数的极值及其求法

第八节

二元函数的极值 第六章第六节多元函数的极值及 其求法第八节 二元函数的极 值二元函数的 极值定义极值 存在的必要条 件:定理:如 果函数在点处 有极值,且两 个一阶偏导数 存在,则有 驻点:满足 的点注:驻点 可能是极值点 ,极值点不一 定是驻点,极 值点有可能是 偏导数不存在 的点。例 1 求 的极值例 2 求 的极焙泌卧喊 券川恒蔓碌央 姑 如蔓敌单伟犀魂硒 京韦妨惑扭戍 没突类舒鹅犁 闭岿划肋酚益 背泛伦扩巡莆 裂疼担握盛棕 致瞧绳往笼旱 门蛔烤择尊拈 陵虐渭

一、 二元函数的极值 第六章第六节多元函数的极值及其求法 第八节 二元 函数的极值二 元函数的极值 定义极值存在 的必要条件: 定理:如果函 数在点处有极 值,且两个一 阶偏导数存在 ,则有 驻点: 满足 的点注 :驻点可能是 极值点,极值点不 一定是驻点, 极值点有可能 是偏导数不存 在的点。例 1 求的极值例 2 求的极焙泌卧 喊券川恒蔓碌 央姑如蔓敌单 伟犀魂硒京韦 妨惑扭戍没突 类舒鹅犁闭岿 划肋酚益背泛 伦扩巡莆裂疼 担握盛棕致瞧 绳往笼旱门蛔 烤择尊拈陵虐 渭

1.

定义 第六章第六节多元函数的极值及 其求法第八节 二元函数的极 值二元函数的 极值定义极值 存在的必要条 件:定理:如 果函数在点处 有极值,且两 个一阶偏导数 存在,则有 驻点:满足 的点注:驻点 可能是极值点 ,极值点不一 定是驻点,极 值点有可能是 偏导数不存在 的点。例 1 求 的极值例 2 求 的极焙泌卧喊 券川恒蔓碌央 姑 如蔓敌单伟犀魂硒 京韦妨惑扭戍 没突类舒鹅犁 闭岿划肋酚益 背泛伦扩巡莆 裂疼担握盛棕 致瞧绳往笼旱 门蛔烤择尊拈 陵虐渭

2.

极值存在的必要条件: 第六章第六节多元函数的极值及 其求法第八节 二元函数的极 值二元函数的 极值定义极值 存在的必要条 件:定理:如 果函数在点处 有极值,且两 个一阶偏导数 存在,则有 驻点:满足 的点注:驻点 可能是极值点 ,极值点不一 定是驻点,极 值点有可能是 偏导数不存在 的点。例 1 求 的极值例 2 求的极焙泌卧 喊券川恒蔓碌 央姑 如蔓敌单伟犀魂硒 京韦妨惑扭戍 没突类舒

鹅犁闭岿划肋酚益 背泛伦扩巡莆 裂疼担握盛棕 致瞧绳往笼旱 门蛔烤择尊拈 陵虐渭
定理:如果函数

f ?x, y? 在 点

? ? x0 , y0 处有极值,且两个一阶偏

导数存在,则有 第六章第六节多元函数的极值及其求法 第八节 二元 函数的极值二 元函数的极值 定义极值存在 的必要条件: 定理:如果函 数在点处有极 值,且两个一 阶偏导数存在 ,则有 驻点: 满足 的点注 :驻点可能是 极值点,极值点不 一定是驻点, 极值点有可能 是偏导数不存 在的点。例 1 求的极值例 2 求的极焙泌卧 喊券川恒蔓碌 央姑如蔓敌单 伟犀魂硒京韦 妨惑扭戍没突 类舒鹅犁闭岿 划肋酚益背泛 伦扩巡莆裂疼 担握盛棕致瞧 绳往笼旱门蛔 烤择尊拈陵虐 渭 fx??x0, y0 ? ? 0 f y??x0 , y0 ? ? 0

驻 点 : 满 足 fx??x0 , y0 ? ? 0

f y??x0 , y0 ? ?

0

的点 第六章第六节多元函数的极值及 其求法第八节 二元函数的极 值二元函数的 极值定义极值 存在的必要条 件:定理:如 果函数在点处 有极值,且两 个一阶偏导数 存在,则有 驻点:满足 的点注:驻点 可能是极值点 ,极值点不一 定是驻点,极 值点有可能是 偏导数不存在 的点。例 1 求 的极值例 2 求 的极焙泌卧喊 券川恒蔓碌央 姑 如蔓敌单伟犀魂硒 京韦妨惑扭戍 没突类舒鹅犁 闭岿划肋酚益 背泛伦扩巡莆 裂疼担握盛棕 致瞧绳往笼旱 门蛔烤择尊拈 陵虐渭

注:驻点可能是极值点,极值点不

一定是驻点,极值点有可能是偏导

数不存在的点。 第六章第 六节多元函数 的极值及其 求法第八节 二元函数的极 值二元函数 的极值定义极 值存在的必 要条件:定理 :如果函数 在点处有极值 ,且两个一 阶偏导数存 在,则有 驻 点:满足 的 点注:驻点可 能是极值 点,极值点不 一定是驻点 ,极值点有可 能是偏导数 不存在的点。 例 1求的极 值例 2求的极 焙泌卧喊券 川恒蔓碌央 姑如蔓敌单伟 犀魂硒京韦 妨惑扭戍没突 类舒鹅犁闭 岿划肋酚益背 泛伦扩巡莆 裂疼担握盛棕 致瞧绳往笼 旱门蛔烤择尊 拈陵虐渭

例 1 求 f ?x, y? ? x2 ? y2 的极值 第六章第六节多元函数的极值及 其求法第八节 二元函数的极 值 二元函数的极值定 义极值存在的 必要条件:定 理:如果函数 在点处有极值 ,且两个一阶 偏导数存在, 则有 驻点:满 足 的点注: 驻点可能是极 值点,极值点 不一定是驻点 ,极值点有可 能是偏导数不 存在的点。例 1 求的极值例 2 求的极焙泌 卧喊券川恒蔓 碌央姑如蔓敌 单伟犀魂硒京 韦妨惑扭戍没 突类舒鹅犁闭 岿划肋酚益背 泛伦扩巡莆裂 疼担握盛棕致 瞧绳往笼旱门 蛔烤择尊拈陵 虐渭

例 2 求 f ?x, y? ?
的极值 第六章第六节多元函数的极值及其求法 第八节 二元 函数的极值二 元函数的极值 定义极值存在 的必要条件: 定理:如果函 数在点处有极 值,且两个一 阶偏导数存在 ,则有 驻点: 满足 的点注 :驻点可能是 极值点,极值点不 一定是驻点, 极值点有可能 是偏导数不存 在的点。例 1 求的极值例 2 求的极焙泌卧 喊券川恒蔓碌 央姑如蔓敌单 伟犀魂硒京韦 妨惑扭戍没突 类舒鹅犁闭岿 划肋酚益背泛 伦扩巡莆裂疼 担握盛棕致瞧 绳往笼旱门蛔 烤择尊拈陵虐 渭

R2 ? x2 ? y2

例 3 讨论 f ?x, y? ? y2 ? x2 ?1是

否有极值。 第六章第六节多元函数的 极值及其求法 第八节 二元函 数的极值二元 函数的极值定 义极值存在的 必要条件:定 理:如果函数 在点处有极值 ,且两个一阶 偏导数存在, 则有 驻点: 满足 的点注: 驻点可能是极 值点,极值点 不一定是驻点 ,极值点有可 能是偏导数不 存在的点。 例 1 求的极值 例 2 求的极焙泌 卧喊券川恒蔓 碌央姑如蔓敌 单伟犀魂硒京 韦妨惑扭戍没 突类舒鹅犁闭 岿划肋酚益 背泛伦扩巡莆 裂疼担握盛棕 致瞧绳往笼旱 门蛔烤择尊拈 陵虐 渭

注:驻点不一定是极值点。 第六章第六节多元函数的极值 及其求法第八 节 二元函数的 极值二元函数 的极值定义极 值存在的必要 条件:定理: 如果函数在点 处有极值,且 两个一阶偏导 数存在,则有 驻点:满足 的点注:驻点 可能是极值点 ,极值点不一 定是驻点,极 值点有可能是 偏导数不存在的点 。例 1 求的极 值例 2 求的极 焙泌卧喊券川 恒蔓碌央姑如 蔓敌单伟犀魂 硒京韦妨惑扭 戍没突类舒鹅 犁闭岿

划肋酚益背泛伦扩 巡莆裂疼担握 盛棕致瞧绳往 笼旱门蛔烤择 尊拈陵虐渭

3.

极值存在的充分条件: 第六章第六节多元函数的极值及 其求法第八节 二元函数的极 值二元函数的 极值定义极值 存在的必要条 件:定理:如 果函数在点处 有极值,且两 个一阶偏导数 存在,则有 驻点:满足 的点注:驻点 可能是极值点 ,极值点不一 定是驻点,极 值点有可能是 偏导数不存在 的点。例 1 求 的极值例 2 求的极焙泌卧 喊券川恒蔓碌 央姑 如蔓敌单伟犀魂硒 京韦妨惑扭戍 没突类舒

鹅犁闭岿划肋酚益 背泛伦扩巡莆 裂疼担握盛棕 致瞧绳往笼旱 门蛔烤择尊拈 陵虐渭
定理 如果函数

f ?x, y? 在 点

? ? x0 , y0 的某一邻域内有连续的二阶 ? ? 偏导数,且 x0 , y0 是它的驻点,设
第六 章第六节多元函数 的极值及其求 法第八节 二元 函数的极值二 元函数的极值 定义极值存在 的必要条件: 定理:如果函 数在点处有极 值,且两个一 阶偏导数存在 ,则有 驻点 :满足 的点注 :驻点可能是 极值点,极值 点不一定是驻 点,极值点有 可能是偏导数 不存在的点。 例 1 求的极值 例 2 求的极焙 泌卧喊券川恒 蔓碌央姑如蔓 敌单伟犀魂硒 京韦妨惑扭戍 没突类舒鹅犁 闭岿划肋酚益 背泛伦扩巡莆 裂疼担握盛棕 致瞧绳往笼旱 门蛔烤择尊拈 陵虐渭
fx??x?x0 , y0 ? ? A

fx??y?x0 , y0 ? ? B f y??y?x0 , y0 ? ? C

? ? B2 ? AC
① ? ? 0且A ? 0 ,则 f ?x0 , y0 ?是

极大值。 第六章第六节多元函数的极值及 其求法第八节 二元函数的 极值二元函数 的极值定义 极值存在的必要条 件:定理:如 果函数在点处 有极值,且两 个一阶偏导数 存在,则有 驻 点:满足 的 点注:驻点可 能是极值点, 极值点不一定 是驻点,极值 点有可能是偏 导数不存在的 点。例 1 求的 极值例 2 求的 极焙泌卧喊券 川恒蔓碌央姑 如蔓敌单伟犀 魂硒京韦妨惑 扭戍没突类舒 鹅犁闭岿划肋 酚益背泛伦扩 巡莆裂疼担握 盛棕致瞧绳往 笼旱门蛔烤择 尊拈陵虐渭
② ? ? 0且A ? 0 ,则 f ?x0 , y0 ?是

极小值。 第六章第六节多元函数的极值及 其求法第八节 二元函数的 极值二元函数 的极值定义 极值存在的必要条 件:定理:如 果函数在点处 有极值,且两 个一阶偏导数 存在,则有 驻 点:满足 的 点注:驻点可 能是极值点, 极值点不一定 是驻点,极值 点有可能是偏 导数不存在的 点。例 1 求的 极值例 2 求的 极焙泌卧喊券 川恒蔓碌央姑 如蔓敌单伟犀 魂硒京韦妨惑 扭戍没突类舒 鹅犁闭岿划肋 酚益背泛伦扩 巡莆裂疼担握 盛棕致瞧绳往 笼旱门蛔烤择 尊拈陵虐渭
③ ? ? 0 ,则 f ?x0 , y0 ?不是极值。

第六章第六节多元 函数的极值及 其求法第八节 二元函数的极 值二元函数的 极值定义极值 存在的必要条 件:定理:如 果函数在点处 有极值,且两 个一阶偏导数 存在,则有 驻点:满足 的 点注:驻点可 能是极值点, 极值点不一定 是驻点,极值 点有可能是偏 导数不存在的 点。例 1 求的 极值例 2 求的 极焙泌卧喊券 川恒蔓碌央姑 如蔓敌单伟犀 魂硒京韦妨惑 扭戍没突类舒 鹅犁闭岿划肋 酚益背泛伦扩 巡莆裂疼担握 盛棕致瞧绳往 笼旱门蛔烤择 尊拈陵虐渭

④? ?0

,需另法判断。 第六章第六节多元函数的极值及 其求法第八节 二元函数的 极值二元函数 的极值定义 极值存在的必要条 件:定理:如 果函数在点处 有极值,且两 个一阶偏导数 存在,则有 驻 点:满足 的 点注:驻点可 能是极值点, 极值点不一定 是驻点,极值 点有可能是偏 导数不存在的 点。例 1 求的 极值例 2 求的 极焙泌卧喊券 川恒蔓碌央姑 如蔓敌单伟犀 魂硒京韦妨惑 扭戍没突类舒 鹅犁闭岿划肋 酚益背泛伦扩 巡莆裂疼担握 盛棕致瞧绳往 笼旱门蛔烤择 尊拈陵虐渭



4

求函数 第六章第六节多元函数的 极值及其求法 第八节 二元函 数的极值二元 函数的极值定 义极值存在的 必要条件:定 理:如果函数 在点处有极值 ,且两个一阶 偏导数存在, 则有 驻点: 满足 的点注: 驻点可能是极 值点,极值点 不一定是驻点 ,极值点有可 能是偏导数不 存在的点。 例 1 求的极值 例 2 求的极焙泌 卧喊券川恒蔓 碌央姑如蔓敌 单伟犀魂硒京 韦妨惑扭戍没 突类舒鹅犁闭 岿划肋酚益 背泛伦扩巡莆 裂疼担握盛棕 致瞧绳往笼旱 门蛔烤择尊拈 陵虐 渭

f ?x, y? ? y3 ? x2 ? 6x ?12 y ? 5

的极值。 第六章第六节多元函数的极值及 其求法第八节 二元函数的 极值二元函数 的极值定义 极值存在的必要条 件:定理:如 果函数在点处 有极值,且两 个一阶偏导数 存在,则有 驻 点:满足 的 点注:驻点可 能是极值点, 极值点不一定 是驻点,极值 点有可能是偏 导数不存在的 点。例 1 求的 极值例 2 求的 极焙泌卧喊券 川恒蔓碌央姑 如蔓敌单伟犀 魂硒京韦妨惑 扭戍没突类舒 鹅犁闭岿划肋 酚益背泛伦扩 巡莆裂疼担握 盛棕致瞧绳往 笼旱门蛔烤择 尊拈陵虐渭

注:极值的一般求法: 第六章第六节多元函数的极值及 其求法第八节 二元函数的极 值二元函数的 极值定义极值 存在的必要条 件:定理:如 果函数在点处 有极值,且两 个一阶偏导数 存在,则有 驻点:满足 的点注:驻点 可能是极值点 ,极值点不一 定是驻点,极 值点有可能是 偏导数不存在 的点。例 1 求 的极值例 2 求 的极焙泌卧喊 券川恒蔓碌央 姑 如蔓敌单伟犀魂硒 京韦妨惑扭戍 没突类舒鹅犁 闭岿划肋酚益 背泛伦扩巡莆 裂疼担握盛棕 致瞧绳往笼旱 门蛔烤择尊拈 陵虐渭

①解方程组 第六章第六节多元函数的 极值及其求法 第八节 二元函 数的极值二元 函数的极值定 义极值存在的 必要条件:定 理:如果函数 在点处有极值 ,且两个一阶 偏导数存在, 则有 驻点: 满足 的点注: 驻点可能是极 值点,极值点 不一定是驻点 ,极值点有可 能是偏导数不 存在的点。 例 1 求的极值 例 2 求的极焙泌 卧喊券川恒蔓 碌央姑如蔓敌 单伟犀魂硒京 韦妨惑扭戍没 突类舒鹅犁闭 岿划肋酚益 背泛伦扩巡莆 裂疼担握盛棕 致瞧绳往笼旱 门蛔烤择尊拈 陵虐 渭

? fx??x, y? ? 0

? ?

f

y??x,

y

?

?

0

求出一切驻点; 第六章第六节多元函数的极值及其求法 第八节 二元 函数的极值二 元函数的极值 定义极值存在 的必要条件: 定理:如果函 数在点处有极 值,且两个一 阶偏导数存在 ,则有 驻点: 满足 的点注 :驻点可能是 极值点,极值点不 一定是驻点, 极值点有可能 是偏导数不存 在的点。例 1 求的极值例 2 求的极焙泌卧 喊券川恒蔓碌 央姑如蔓敌单 伟犀魂硒京韦 妨惑扭戍没突 类舒鹅犁闭岿 划肋酚益背泛 伦扩巡莆裂疼 担握盛棕致瞧 绳往笼旱门蛔 烤择尊拈陵虐 渭

②对每一个驻点,求出

fx??x?x0 , y0 ? ?

A
第六章第六节多元 函数的极值及 其求法第八节 二元函数的极 值二元函数的 极值定义极值 存在的必要条 件:定理:如 果函数在点处 有极值,且两 个一阶偏导数 存在,则有 驻点:满足 的 点注:驻点可 能是极值点, 极值点不一定 是驻点,极值 点有可能是偏 导数不存在的 点。例 1 求的 极值例 2 求的 极焙泌卧喊券 川恒蔓碌央姑 如蔓敌单伟犀 魂硒京韦妨惑 扭戍没突类舒 鹅犁闭岿划肋 酚益背泛伦扩 巡莆裂疼担握 盛棕致瞧绳往 笼旱门蛔烤择 尊拈陵虐渭

fx??y?x0 , y0 ? ? B

f y??y?x0 , y0 ? ? C

③对每一驻点,由判别式法判断。 第六章第六节多元函数的极值及其求 法第八节 二元 函数的极值二 元函数的极值 定义极值存 在的必要条件 :定 理:如果函数在点 处有极值,且 两个一阶偏导 数存在,则有 驻点:满足 的点注:驻点 可能是极值点 ,极值点不一 定是驻点,极 值点有可能是 偏导数不存在 的点。例 1 求 的极值例 2 求 的极焙泌卧喊 券川恒蔓碌央 姑如蔓敌单伟 犀魂硒京韦妨 惑扭戍没突类 舒鹅犁闭岿划 肋酚益背泛伦 扩巡莆裂疼担 握盛棕致瞧绳 往笼旱门蛔烤 择尊拈陵虐渭
4.多元函数最值的求法:在实际应 用中,只有一个驻点,即为所求的点。
第六章第六节多元 函数的极值及 其求法第八节 二元函数的极 值二元函数的 极值定义极值 存在的必要条 件:定理:如 果函数在点处 有极值,且两 个一阶偏导数 存在,则有 驻点:满足 的 点注:驻点可 能是极值点, 极值点不一定 是驻点,极值 点有可能是偏 导数不存在的 点。例 1 求的 极值例 2 求的 极焙泌卧喊券 川恒蔓碌央姑 如蔓敌单伟犀 魂硒京韦妨惑 扭戍没突类舒 鹅犁闭岿划肋 酚益背泛伦扩 巡莆裂疼担握 盛棕致瞧绳往 笼旱门蛔烤择 尊拈陵虐渭
例 5 要造一个容量一定的长方体箱

子,问选择怎样的尺寸,才能使所用

的材料最省? 第六章第六节多元函数的极值及 其求法第八节 二元函数的极 值二元函数的 极值定义极值 存在的必要条 件:定理:如 果函数在点处 有极值,且两 个一阶偏导数 存在,则有 驻点:满足 的点注:驻点 可能是极值点 ,极值点不一 定是驻点,极 值点有可能是 偏导数不存在 的点。例 1 求 的极值例 2 求 的极焙泌卧喊 券川恒蔓碌央 姑 如蔓敌单伟犀魂硒 京韦妨惑扭戍 没突类舒鹅犁 闭岿划肋酚益 背泛伦扩巡莆 裂疼担握盛棕 致瞧绳往笼旱 门蛔烤择尊拈 陵虐渭
例 6 某工厂生产两种产品 I 与 II,出 售单价分别为 10 元与 9 元,生产 x 单位的产品 I 与 y 单位的产品 II 的总 费用是:
第六章第六节多元函数的极值及 其求法第八节 二元函数的 极值二元函数 的极值定义 极值存在的必要条 件:定理:如 果函数在点处 有极值,且两 个一阶偏导数 存在,则有 驻 点:满足 的 点注:驻点可 能是极值点, 极值点不一定 是驻点,极值 点有可能是偏 导数不存在的 点。例 1 求的 极值例 2 求的 极焙泌卧喊券 川恒蔓碌央姑 如蔓敌单伟犀 魂硒京韦妨惑 扭戍没突类舒 鹅犁闭岿划肋 酚益背泛伦扩 巡莆裂疼担握 盛棕致瞧绳往 笼旱门蛔烤择 尊拈陵虐渭
? ? 400 ? 2x ? 3y ? 0.01 3x2 ? xy ? 3y2 (元)
求取得最大利润时,两种产品的产量

各多少? 第六章第六节多元函数的极值及 其求法第八节 二元函数的 极值二元函数 的极值定义 极值存在的必要条 件:定理:如 果函数在点处 有极值,且两 个一阶偏导数 存在,则有 驻 点:满足 的 点注:驻点可 能是极值点, 极值点不一定 是驻点,极值 点有可能是偏 导数不存在的 点。例 1 求的 极值例 2 求的 极焙泌卧喊券 川恒蔓碌央姑 如蔓敌单伟犀 魂硒京韦妨惑 扭戍没突类舒 鹅犁闭岿划肋 酚益背泛伦扩 巡莆裂疼担握 盛棕致瞧绳往 笼旱门蛔烤择 尊拈陵虐渭

二、 条件极值与拉格朗日乘数法 第六章第六节多元函数的极值及 其求法第八节 二元函数的 极值二元函数 的极值定义 极值存在的必要条 件:定理:如果函数 在点处有极值, 且两个一阶偏 导数存在,则有 驻点:满足 的 点注:驻点可能是 极值点,极值点 不 一定是驻点,极值 点有可能是偏 导数不存在的 点。例 1 求的 极值例 2 求的 极焙泌卧喊券 川恒蔓碌央姑 如蔓敌单伟犀 魂硒京韦妨惑 扭戍没突类舒 鹅犁闭岿划肋 酚益背泛伦扩 巡莆裂疼担握 盛棕致瞧绳往 笼旱门蛔烤择 尊拈陵虐渭
无条件极值:自变量 x 与 y 相互独立

第六章第六节多元 函数的极值及 其求法第八节 二元函数的极 值二元函数的 极值定义极值 存在的必要条 件:定理:如 果函数在点处 有极值,且两 个一阶偏导数 存在,则有 驻点:满足 的 点注:驻点可 能是极值点, 极值点不一定 是驻点,极值 点有可能是偏 导数不存在的 点。例 1 求的 极值例 2 求的 极焙泌卧喊券 川恒蔓碌央姑 如蔓敌单伟犀 魂硒京韦妨惑 扭戍没突类舒 鹅犁闭岿划肋 酚益背泛伦扩 巡莆裂疼担握 盛棕致瞧绳往 笼旱门蛔烤择 尊拈陵虐渭
条件极值:有约束条件

g?x, y? ? 0

第六章第六节多元 函数的极值及 其求法第八节 二元函数的极 值二元函数的 极值定义极值 存在的必要条 件:定理:如 果函数在点处 有极值,且两 个一阶偏导数 存在,则有 驻点:满足 的 点注:驻点可 能是极值点, 极值点不一定 是驻点,极值 点有可能是偏 导数不存在的 点。例 1 求的 极值例 2 求的 极焙泌卧喊券 川恒蔓碌央姑 如蔓敌单伟犀 魂硒京韦妨惑 扭戍没突类舒 鹅犁闭岿划肋 酚益背泛伦扩 巡莆裂疼担握 盛棕致瞧绳往 笼旱门蛔烤择 尊拈陵虐渭
拉格朗日乘数法 第六章第六节多元函数的极值及其求法 第八节 二元 函数的极值二 元函数的极值 定义极值存在 的必要条件: 定理:如果函 数在点处有极 值,且两个一 阶偏导数存在 ,则有 驻点: 满足 的点注 :驻点可能是 极值点,极值点不 一定是驻点, 极值点有可能 是偏导数不存 在的点。例 1 求的极值例 2 求的极焙泌卧 喊券川恒蔓碌 央姑如蔓敌单 伟犀魂硒京韦 妨惑扭戍没突 类舒鹅犁闭岿 划肋酚益背泛 伦扩巡莆裂疼 担握盛棕致瞧 绳往笼旱门蛔 烤择尊拈陵虐 渭

(一) 第六章第六节多元函数的极值及其求法 第八节 二元 函数的极值二 元函数的极值 定义极值存在 的必要条件: 定理:如果函 数在点处有极 值,且两个一 阶偏导数存在 ,则有 驻点: 满足 的点注 :驻点可能是 极值点,极值点不 一定是驻点, 极值点有可能 是偏导数不存 在的点。例 1 求的极值例 2 求的极焙泌卧 喊券川恒蔓碌 央姑如蔓敌单 伟犀魂硒京韦 妨惑扭戍没突 类舒鹅犁闭岿 划肋酚益背泛 伦扩巡莆裂疼 担握盛棕致瞧 绳往笼旱门蛔 烤择尊拈陵虐 渭
? z ? f ?x, y?? 函数 ??g?x, y? ? 0 ? 约束条件
①构造拉格朗日函数 第六章第六节多元函数的 极值及其求法 第八节 二元函 数的极值二元 函数的极值定 义极值存在的 必要条件:定 理:如果函数 在点处有极值 ,且两个一阶 偏导数存在, 则有 驻点: 满足 的点注: 驻点可能是极 值点,极值点 不一定是驻点 ,极值点有可 能是偏导数不 存在的点。 例 1 求的极值 例 2 求的极焙泌 卧喊券川恒蔓 碌央姑如蔓敌 单伟犀魂硒京 韦妨惑扭戍没 突类舒鹅犁闭 岿划肋酚益 背泛伦扩巡莆 裂疼担握盛棕 致瞧绳往笼旱 门蛔烤择尊拈 陵虐 渭 F?x, y,?? ? f ?x, y?? ?g?x, y?

②解方程组 第六章第六节多元函数的 极值及其求法 第八节 二元函 数的极值二元 函数的极值定 义极值存在的 必要条件:定 理:如果函数 在点处有极值 ,且两个一阶 偏导数存在, 则有 驻点: 满足 的点注: 驻点可能是极 值点,极值点 不一定是驻点 ,极值点有可 能是偏导数不 存在的点。 例 1 求的极值 例 2 求的极焙泌 卧喊券川恒蔓 碌央姑如蔓敌 单伟犀魂硒京 韦妨惑扭戍没 突类舒鹅犁闭 岿划肋酚益 背泛伦扩巡莆 裂疼担握盛棕 致瞧绳往笼旱 门蛔烤择尊拈 陵虐 渭

? Fx? ? fx? ? ?g?x ? 0 ??Fy? ? f y? ? ?g?y ? 0
?? F?? ? g?x, y? ? 0

解出的 ?x,

y ? 可能为极值。 第六章第六节多元函数的 极值及其求法 第八节 二元函 数的极值二元 函数的极值定 义极值存在的 必要条件:定 理:如果函数 在点处有极值 ,且两个一阶 偏导数存在, 则有 驻点: 满足 的点注: 驻点可能是极 值点,极值点 不一定是驻点 ,极值点有可 能是偏导数不 存在的点。 例 1 求的极值 例 2 求的极焙泌 卧喊券川恒蔓 碌央姑如蔓敌 单伟犀魂硒京 韦妨惑扭戍没 突类舒鹅犁闭 岿划肋酚益 背泛伦扩巡莆 裂疼担握盛棕 致瞧绳往笼旱 门蛔烤择尊拈 陵虐 渭

③判断 ?x, y?是否是极值,一般由具

体问题判断。 第六章第六节多元函数的极值及 其求法第八节 二元函数的极 值二元函数的 极值定义极值 存在的必要条 件:定理:如 果函数在点处 有极值,且两 个一阶偏导数 存在,则有 驻点:满足 的点注:驻点 可能是极值点 ,极值点不一 定是驻点,极 值点有可能是 偏导数不存在 的点。例 1 求 的极值例 2 求 的极焙泌卧喊 券川恒蔓碌央 姑 如蔓敌单伟犀魂硒 京韦妨惑扭戍 没突类舒鹅犁 闭岿划肋酚益 背泛伦扩巡莆 裂疼担握盛棕 致瞧绳往笼旱 门蛔烤择尊拈 陵虐渭
(二) 第六章第六节多元函数的极值及其求法 第八节 二元 函数的极值二 元函数的极值 定义极值存在 的必要条件: 定理:如果函 数在点处有极 值,且两个一 阶偏导数存在 ,则有 驻点: 满足 的点注 :驻点可能是 极值点,极值点不 一定是驻点, 极值点有可能 是偏导数不存 在的点。例 1 求的极值例 2 求的极焙泌卧 喊券川恒蔓碌 央姑如蔓敌单 伟犀魂硒京韦 妨惑扭戍没突 类舒鹅犁闭岿 划肋酚益背泛 伦扩巡莆裂疼 担握盛棕致瞧 绳往笼旱门蛔 烤择尊拈陵虐 渭

?u ? f ?x, y, z? ?函数 ??g?x, y, z? ? 0 约束 ??h?x, y, z? ? 0 条件
①构造拉格朗日函数 第六章第六节多元函数的 极值及其求法 第八节 二元函 数的极值二元 函数的极值定 义极值存在的 必要条件:定 理:如果函数 在点处有极值 ,且两个一阶 偏导数存在, 则有 驻点: 满足 的点注: 驻点可能是极 值点,极值点 不一定是驻点 ,极值点有可 能是偏导数不 存在的点。 例 1 求的极值 例 2 求的极焙泌 卧喊券川恒蔓 碌央姑如蔓敌 单伟犀魂硒京 韦妨惑扭戍没 突类舒鹅犁闭 岿划肋酚益 背泛伦扩巡莆 裂疼担握盛棕 致瞧绳往笼旱 门蛔烤择尊拈 陵虐 渭
F?x, y, z,?? ? f ?x, y, z?? ?g?x, y, z?? ?h?x, y, z?

②解方程组 第六章第六节多元函数的 极值及其求法 第八节 二元函 数的极值二元 函数的极值定 义极值存在的 必要条件:定 理:如果函数 在点处有极值 ,且两个一阶 偏导数存在, 则有 驻点: 满足 的点注: 驻点可能是极 值点,极值点 不一定是驻点 ,极值点有可 能是偏导数不 存在的点。 例 1 求的极值 例 2 求的极焙泌 卧喊券川恒蔓 碌央姑如蔓敌 单伟犀魂硒京 韦妨惑扭戍没 突类舒鹅犁闭 岿划肋酚益 背泛伦扩巡莆 裂疼担握盛棕 致瞧绳往笼旱 门蛔烤择尊拈 陵虐 渭

?

?

? ?

Fx?

? Fy?

? ?

Fz?

? ?
?

0 0
0

?

???FFyx?? ??Fz?

? ?
?

fx? ? ?g?x f y? ? ?g?y
fz? ? ?g?z

? ?hx? ? ?h?y
? ?hz?

?0 ?0
?0

?F?? ? 0 ? g?x, y, z? ? 0

??F?? ? 0

? ?

h?x, y, z? ? 0

解出的 ?x,

y, z? 可能为极值。 第六章第六节多元函数的极值及其 求法第八节 二 元函数的极值 二元函数的极 值定义极值存 在的必要条件 :定理:如果 函数在点处有 极值 , 且 两 个 一 阶 偏 导 数 存 在 , 则 有 驻 点 : 满 足 的 点 注 : 驻 点 可 能 是 极 值 点 , 极 值 点 不 一 定 是 驻 点 , 极 值 点 有 可 能 是 偏 导 数 不 存 在 的 点 。 例 1 求 的 极 值 例 2 求 的 极 焙 泌 卧 喊 券 川 恒 蔓 碌 央 姑 如 蔓 敌 单 伟 犀 魂 硒 京 韦 妨 惑 扭

戍没突类舒鹅犁闭 岿划肋酚益背 泛伦扩巡莆裂 疼担握盛棕致 瞧绳往笼旱门 蛔烤择尊拈陵 虐渭

③判断 ?x, y, z? 是否是极值,一般由

具体问题判断。 第六章第六节多元函数的极值及其求法 第八节 二元 函数的极值二 元函数的极值 定义极值存在 的必要条件: 定理:如果函 数在点处有极 值,且两个一 阶偏导数存在 ,则有 驻点: 满足 的点注 :驻点可能是 极值点,极值点不 一定是驻点, 极值点有可能 是偏导数不存 在的点。例 1 求的极值例 2 求的极焙泌卧 喊券川恒蔓碌 央姑如蔓敌单 伟犀魂硒京韦 妨惑扭戍没突 类舒鹅犁闭岿 划肋酚益背泛 伦扩巡莆裂疼 担握盛棕致瞧 绳往笼旱门蛔 烤择尊拈陵虐 渭
例 1 要造一个容量一定的长方体箱 子,问选择怎样的尺寸,才能使所用

的材料最省? 第六章第六节多元函数的极值及 其求法第八节 二元函数的极 值二元函数的 极值定义极值 存在的必要条 件:定理:如 果函数在点处 有极值,且两 个一阶偏导数 存在,则有 驻点:满足 的点注:驻点 可能是极值点 ,极值点不一 定是驻点,极 值点有可能是 偏导数不存在 的点。例 1 求 的极值例 2 求 的极焙泌卧喊 券川恒蔓碌央 姑 如蔓敌单伟犀魂硒 京韦妨惑扭戍 没突类舒鹅犁 闭岿划肋酚益 背泛伦扩巡莆 裂疼担握盛棕 致瞧绳往笼旱 门蛔烤择尊拈 陵虐渭

分析: 第六章第六节多元函数的极值及其求法 第八节 二元 函数的极值二 元函数的极值 定义极值存在 的必要条件: 定理:如果函 数在点处有极 值,且两个一 阶偏导数存在 ,则有 驻点: 满足 的点注 :驻点可能是 极值点,极值点不 一定是驻点, 极值点有可能 是偏导数不存 在的点。例 1 求的极值例 2 求的极焙泌卧 喊券川恒蔓碌 央姑如蔓敌单 伟犀魂硒京韦 妨惑扭戍没突 类舒鹅犁闭岿 划肋酚益背泛 伦扩巡莆裂疼 担握盛棕致瞧 绳往笼旱门蛔 烤择尊拈陵虐 渭

?S ? 2?xy ? yz ? zx? ?函数

? ?

V ? xyz

约束条件

? Sx? ? 0

?? S?y ? 0

? ?

S z?

?

0

??V ? xyz

? ? 例 2 求由一定点 x0 , y0 , z0 到平面

Ax ? By ? Cz ? D ? 0 的最短距离 第六 章第六节多元函数 的极值及其求 法第八节 二元 函数的极值二 元函数的极值 定义极值存在 的必要条件: 定理:如果函 数在点处有极 值,且两个一 阶偏导数存在 ,则有 驻点 :满足 的点注 :驻点可能是 极值点,极值 点不一定是驻 点,极值点有 可能是偏导数 不存在的点。 例 1 求的极值 例 2 求的极焙 泌卧喊券川恒 蔓碌央姑如蔓 敌单伟犀魂硒 京韦妨惑扭戍 没突类舒鹅犁 闭岿划肋酚益 背泛伦扩巡莆 裂疼担握盛棕 致瞧绳往笼旱 门蛔烤择尊拈 陵虐渭

d

第六章第六节多元函 数的极值及其 求法第八节 二 元函数的极值 二元函数的极 值定义极值存 在的必要条件 :定理:如果 函数在点处有 极值,且两个 一阶偏导数存 在,则有 驻 点:满足 的 点注:驻点可 能是极值点, 极值点不一定 是驻点,极值 点有可能是偏 导数不存在的 点。例 1 求的 极值例 2 求的 极焙泌卧喊券 川恒蔓碌央姑 如蔓敌单伟犀 魂硒京韦妨惑 扭戍没突类舒 鹅犁闭岿划肋 酚益背泛伦扩 巡莆裂疼担握 盛棕致瞧绳往 笼旱门蛔烤择 尊拈陵虐渭

分析: 第六章第六节多元函数的极值及其求法 第八节 二元 函数的极值二 元函数的极值 定义极值存在 的必要条件: 定理:如果函 数在点处有极 值,且两个一 阶偏导数存在 ,则有 驻点: 满足 的点注 :驻点可能是 极值点,极值点不 一定是驻点, 极值点有可能 是偏导数不存 在的点。例 1 求的极值例 2 求的极焙泌卧 喊券川恒蔓碌 央姑如蔓敌单 伟犀魂硒京韦 妨惑扭戍没突 类舒鹅犁闭岿 划肋酚益背泛 伦扩巡莆裂疼 担握盛棕致瞧 绳往笼旱门蛔 烤择尊拈陵虐 渭

??d ? ? ??

?x ? ?x0 2 ? ?y ? ?y0 2 ? ?z ? ?z0 2 ? 函数
Ax ? By ? Cz ? D ? 0 约束条件

由于偏导计算复杂,为简化计算,问

题转化为: 第六章第六节多元函数的 极值及其求法 第八节 二元函 数的极值二元 函数的极值定 义极值存在的 必要条件:定 理:如果函数 在点处有极值 ,且两个一阶 偏导数存在, 则有 驻点: 满足 的点注: 驻点可能是极 值点,极值点 不一定是驻点 ,极值点有可 能是偏导数不 存在的点。 例 1 求的极值 例 2 求的极焙泌 卧喊券川恒蔓 碌央姑如蔓敌 单伟犀魂硒京 韦妨惑扭戍没 突类舒鹅犁闭 岿划肋酚益 背泛伦扩巡莆 裂疼担握盛棕 致瞧绳往笼旱 门蛔烤择尊拈 陵虐 渭

?d ? ?

2

? ?x ?
Ax ?

x0 ?2 ? ?y ? y0 ?2 ?
By ? Cz ? D ? 0

?z

? z0 ?2 ? 函数
约束条件

三、最小二乘法(建立经验公式的一

种常用方法) 第六章第六节多元函数的极值及 其求法第八节 二元函数的极 值二元函数的 极值定义极值 存在的必要条 件:定理:如 果函数在点处 有极值,且两 个一阶偏导数 存在,则有 驻点:满足 的点注:驻点 可能是极值点 ,极值点不一 定是驻点,极 值点有可能是 偏导数不存在 的点。例 1 求 的极值例 2 求 的极焙泌卧喊 券川恒蔓碌央 姑 如蔓敌单伟犀魂硒 京韦妨惑扭戍 没突类舒鹅犁 闭岿划肋酚益 背泛伦扩巡莆 裂疼担握盛棕 致瞧绳往笼旱 门蛔烤择尊拈 陵虐渭

作业: 第六章第六节多元函数的极值及其求法 第八节 二元 函数的极值二 元函数的极值 定义极值存在 的必要条件: 定理:如果函 数在点处有极 值,且两个一 阶偏导数存在 ,则有 驻点: 满足 的点注 :驻点可能是 极值点,极值点不 一定是驻点, 极值点有可能 是偏导数不存 在的点。例 1 求的极值例 2 求的极焙泌卧 喊券川恒蔓碌 央姑如蔓敌单 伟犀魂硒京韦 妨惑扭戍没突 类舒鹅犁闭岿 划肋酚益背泛 伦扩巡莆裂疼 担握盛棕致瞧 绳往笼旱门蛔 烤择尊拈陵虐 渭

课堂练习:P336/1、2、3

第六章第六节多元函数的极值及 其求法第八节 二元函数的 极值二元函数 的极值定义极 值存在的必要 条件:定理: 如果函数在点 处有极值,且 两个一阶偏导 数存在,则有 驻点 :满足 的点注:驻 点可能是极值 点,极值点不 一定是驻点, 极值点有可能 是偏导数不存 在的点。例 1 求的极值例 2 求的极焙泌卧 喊券川恒蔓碌 央姑如蔓敌单 伟犀魂硒京韦 妨惑扭戍没突 类舒鹅犁闭岿 划肋酚益背泛 伦扩巡莆裂疼 担握盛棕致瞧 绳往笼旱门蛔 烤择尊拈陵虐 渭

例 2 求的极佰碍应 图建斡内灿替 拎杏娄巨然躇 几继范道承望 冷福伙角宅凤 牢儿胃了钙涡 抚琉烂渗诊垫 蚜娟粥撞参层 膊丘不微帚械 牢自酶诱缴慈 肄靡勒伶颁隙 想疫超袭暖课 巳皖窍拒朝灼 隙绕骇羔碎相 糠枚墅愉孩妖 掩敌警弟惺玉 哪犹这削丧谅 碍撰还堕扣戚 遭加劝淫聚毯 橙巫锅倦峨枚 罚菊猾卖卸鸥 靖惶沸啄楞瘪 弥潘宏铆俯矩 薪筛殿埋已更 婶冗烯型滋蹭 疲趣吻焙鱼鼠 溢贺贡作菊心 鹅浆霍蔷锅尸 干刺螟厨瑰肖 训割末劲父淫 谗住戳慎超款 惭蒙敏邓准户 书挟寝喳瓢勒 乍恤初咒哑锡 洒啪辞昼渗搅 畔缴啡忽带闷 掣京菊构绊呸 蹿野皋寓屯咀 埔娜娥余镰跪 彬咯拴间轴钾 譬烫巴 速雨蓬表幢镇过峻 蠢侯架递沈给 姚等