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高一数学集体备课材料


第一章 数列
高一数学备课组 2015.3.18

§ 1 数列的概念与简单表示法
·教学目标

1、知识与技能:了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公 式) ;了解数列是一种特殊的函数; 2、过程与方法:通过三角形数与正方形数引入数列的概念;通过类比函数的思 想了解数列的几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式) ; 3、情态与价值:体会数列是一种特殊的函数;借助函数的背景和研究方法来研 究有关数列的问题, 可以进一步让学生体会数学知识间的联系,培养用已知去研 究未知的能力。
·重点难点

教学重点:理解数列的概念,认识数列是反映自然规律的基本数学模型。 教学难点:了解数列是一种特殊的函数;发现数列规律找出可能的通项公式。
·学法:学生以阅读与思考的方式了解数列的概念;通过类比函数的思想了解数

列的几种简单的表示方法;以观察的形式发现数列可能的通项公式。 教学设计
一、引入新课 有人说,大自然是懂数学的,不知你注意过没有,树木的分叉、花瓣的数量、植物种子 的排列等等, 都遵循着某种数学规律, 大家能想到它们涉及了那些数学规律吗?通过本课时 的学习,这些问题都会得到解决。 二、新课 学生阅读课本完成下列题目: (一) 、考考你 寻找规律,在空格出填写数字 1.1、

1 1 1 1 1 、 、 ( ) 、 、 、 ( ) 、 2 3 5 6 8
) 、-8、10、 ( )14 ) 、 72

2. 2、-4、 ( 3.

( ) 、 22 、 32 、 42 、 52 、 (

思考 1:以上几组数有什么特征?
1

观察、讨论、分析归纳特点:上面的数字都是有规律的。从具体例子引出数列概念,激发学 生的兴趣。 (二) 、知识探究 1、根据上面几组数归纳出数列的概念:数列是一列按一定次序排列的数。 思考 2 :数列 1、2、3、4??与 4、3、2、1??是同一数列吗? 答:不是,数列的有序性; 2、数列的项如何表示 数列的一般表示: a1 , a2 ,?, an ,表示法 ?an ? 练习:请大家举几个生活中数列的例子 3、数列的分类 ①按项数分有穷数列和无穷数列 ②按项的大小关系分递增数列、递减数列、常数列、摆动数列 4、常数列:各项均为常数的数列 (为等差、等比数列进一步学习作铺垫) 5、数列的通项公式 项数:1 2 3 4 5 ?? n 1 2 3 4 5 ?? n 项: 1 4 9 16 25?? (

n

2



2 4 6 8 10?? (2n)

仔细观察上面两个数列的项与它对应的项数, 你能发现它们的关系吗?请写出项数与项之间 的一个关系式。 数列中的每一个数都对应着一个序号,反过来,每个序号也都对应着一个数。 引出数列通项公式的定义:如果数列 ?an ? 的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个式 子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式。 6、数列与函数的关系 观察上面的数列 2、4、6、8、10??的通项公式与函数 y=2x 的图像你有什么发现? 该数列通项公式为 an ? 2n 它的图像是一个个孤立的点,并且这些点都在函数 y=2x 的图像 上。 数列可以看作特殊的函数,序号是其自变量,项是序号所对应的函数值,数列的定义域 是正整数集,或是正整数集的有限子集。 (三) 、解题研究 学生上黑板完成课堂练习 规范书写,落实目标 1、根据下列数列的前几项写出数列的通项公式 (1)1、3、5、7??

an ? 2n ? 1
an ?
2

(2)

1 1 1 1 、 、 、 ?? 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 4 ? 5

1 n?n ? 1?

(3)1、 2 、 3 、2、 5 ?? (4)-1、1、-1、1、-1、1?? (5)0、2、0、2、0、2??

an ? n
an ? ??1?
n

?0 n ? 奇数 an ? ? ?2 n ? 偶数

2、根据数列 ?an ?的通项公式写出它的前 3 项,并求出 a10 。 (1)

a

n

?

n n ?1

解:由题意可知

a

1 1 ? 1?1 2 3 3 a3 ? 3 ? 1 ? 4
1

?

a

2 2 ? 2 ?1 3 10 10 a10 ? 10 ? 1 ? 11
2

?

(2) an ? (?1) n
n

解:由题意可知

a ? (?1) ? 1 ? ?1
1 1

a ? (?1) ? 2 ? 2
2 2

a ? (?1) ? 3 ? ?3
3 3

a

10

? (?1) ? 10 ? 10
10

(强调规范书写过程。巩固概念,使学生对 an 与 n 的关系有更深刻的认识。 ) 3、画出下列数列的图像 (1)4、5、6、7、8、9?? (2)1、2、4、8、16?? 通过图像进一步加深同学们对数列是一种特殊函数的理解。 三、课后作业 习题 2.1 2,3,4 题 四、小结 1、数列的定义 2、数列的分类 3、数列的通项公式 4、数列的实质—特殊的函数(离散函数)

第二课时
·教学目标

等差数列

1、知识与技能:通过实例,理解等差数列的概念;探索并掌握等差数列的通项 公式; 能在具体的问题情境中, 发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的 问题;体会等差数列与一次函数的关系。 2、过程与方法:让学生对日常生活中实际问题分析,引导学生通过观察,推导,

3

归纳抽象出等差数列的概念; 由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单 的问题, 进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中,通过类比函数 概念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的研究。 3、情态与价值:培养学生观察、归纳的能力,培养学生的应用意识。
·重点难点

教学重点:理解等差数列的概念及其性质,探索并掌握等差数列的通项公式;会 用公式解决一些简单的问题,体会等差数列与一次函数之间的联系。 教学难点:概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。
·学法:引导学生首先从四个现实问题(数数问题、女子举重奖项设置问题、水

库水位问题、储蓄问题)概括出数组特点并抽象出等差数列的概念;接着就等差 数列的特点, 推导出等差数列的通项公式;可以用多种方法对等差数列的通项公 式进行推导。
·教学设计

一、复习引入:
1.回忆数列的定义,请举出一个具体的例子。表示数列有哪几种方法——列举法、通项公 式、递推公式。我们这节课接着学习一类特殊的数列——等差数列。 2.由生活中具体的数列实例引入 (1).国际奥运会早期,撑杆跳高的记录近似的由下表给出: 年份 1900 1904 3.53 1908 3.73 1912 3.93

高度(M) 3.33

你能看出这 4 次撑杆条跳世界记录组成的数列,它的各项之间有什么关系吗? (2)某剧场前 10 排的座位数分别是: 48、46、44、42、40、38、36、34、32、30 引导学生观察:数列①、②有何规律? 引导学生得出“从第 2 项起,每一项与前一项的差都是同一个常数”,我们把这样的数 列叫做等差数列. (板书课题)

二. 新课探究,推导公式
4

1. 等差数列的概念: 如果一个数列,从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数,这个数列就叫 等差数列, 这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母 d 来表示。 强调: ①“从第二项起”满足条件; ②公差 d 一定是由后项减前项所得; ③每一项与它的前一项的差必须是同一个常数(强调“同一个常数” ); 所以上面的 2、3 都是等差数列,他们的公差分别为 0.20 , -2。 [练习一] 判断下列各组数列中哪些是等差数列, 哪些不是?如果是, 写出首项 a1 和公差 d, 如果不是,说明理由。

1. 3,5,7,?? 2. 9,6,3,0,-3,??



d=2

√ d=-3

3. 0,0,0,0,0,0,??.; √ d=0 4. 1,2,3,2,3,4,??;× 5. 1,0,1,0,1,??×
通过练习,加深对概念的理解,由此强调:公差可以是正数、负数,也可以是 0 2.等差数列通项公式 如果等差数列 ?an ?首项是 a1 ,公差是 d ,那么根据等差数列的定义可得:

a2 - a1 =d 即: a2 =a1 +d a3 – a2 =d 即: a3 =a2 +d = a1 +2d a4 – a3 =d 即: a4 =a3 +d = a1 +3d ……
猜想: a40 = a1 +39d 进而归纳出等差数列的通项公式:an=a1+(n-1)d 此时指出:这种求通项公式的办法叫不完全归纳法,这种导出公式的方法不够严密,为了 培养学生严谨的学习态度,在这里向学生介绍另外一种求数列通项公式的办法------迭加法: n=a1+(n-1)d

a2 - a1 =d a3 - a2=d a4 –a3 =d …… an –an-1 =d
5

将这(n-1)个等式左右两边分别相加,就可以得到 an- a1 =(n-1)d 即 an = a1 +(n-1)d (Ⅰ)

当 n=1 时,(Ⅰ)也成立,所以对一切 n∈ N*,上面的公式(Ⅰ)都成立,因此它就是等差 数列{an}的通项公式。 三.应用举例 例 1:(1)求等差数列,12,8,4,0,…的第 10 项;20 项;第 30 项; (2)-401 是不是等差数列-5,-9,-13,…的项?如果是,是第几项? 解:(1)由 a1=12,d=8-12=-4,n=10 得 ∴ a10=12+(10-1)× (-4)= -24 (2)解:由 a1=-5,d=-9-(-5)=-4,得 ∴ an= -5+(n-1)× (-4)=-4n-1 令 -4n-1= -401,解得 n= 100 即 -401 是这个数列的第 100 项 例 2 在等差数列{an}中,已知 a4=7,a9 =22,求首项 a1 与公差 d。 在前面例 1 的基础上将例 2 当作练习作为对通项公式的巩固 四.反馈练习 1.练习 A 组第 1 题和第 2 题(要求学生在规定时间内做完上述题目,教师提问)。目的: 使学生熟悉通项公式对学生进行基本技能训练。 2.如果直角三角形的三条边的长度成等差数列,且较长的直角边的长度为 a,求较短直角边 与斜边的长度。 目的:对学生加强建模思想训练。 五.归纳小结 提炼精华(由学生总结这节课的收获)

1.等差数列的概念及数学表达式. 强调关键字:从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数 2.等差数列的通项公式 an= a1+(n-1) d 会知三求一 六.课后作业 运用巩固

必做题:课本 P284 习题 A 组第 3,4 ,5 题 选做题:已知等差数列{an}的首项 a1=-22 ,第 10 项是第一个大于 1 的项。求公差 d 的取 值范围。

第三课时
·教学目标

等差数列的前 n 项和

1.知识与技能:通过实例,理解等差数列的概念;探索并掌握等差数列的通项 公式; 能在具体的问题情境中, 发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的
6

问题;体会等差数列与一次函数的关系。 2. 过程与方法:通过对历史有名的高斯求和的介绍,引导学生发现等差数列的 第 k 项与倒数第 k 项的和等于首项与末项的和这个规律; 由学生建立等差数列模 型用相关知识解决一些简单的问题, 进行等差数列通项公式应用的实践操作并在 操作过程中, 通过类比函数概念、 性质、 表达式得到对等差数列相应问题的研究。 3.情态与价值:培养学生利用学过的知识解决与现实有关的问题的能力。
·重点难点

教学重点: 探索并掌握等差数列的前 n 项和公式; 学会用公式解决一些实际问题, 体会等差数列的前 n 项和与二次函数之间的联系。 教学难点:等差数列前 n 项和公式推导思路的获得,灵活应用等差数列前 n 项 公式解决一些简单的有关问题
·教学设想

(一) 、创设情景,提出问题
印度著名景点--泰姬陵, 传说陵寝中有一个三角形图案, 以相同大小的圆宝石镶饰而成, 共有 100 层。你知道这个图案一共花了多少颗宝石吗?从而提出问题怎样快速地计算 1+2+3+?+100=?(学生思考) ,著名的数学家高斯十岁时就用简便的方法计算出 1+2+3+? +100=5050 ,介绍高斯的算法。

(二) 、教授新课:
数学的方法并不是单一的,还有其他的方法计算 1+2+3+?+100 吗?(学生思考) ①老师介绍倒序相加求和法: 记 S=1+2+3+?+100

S=100+99+98+?+1
可发现上、下这两个等式对应项的和均是 101,所以

2S=(1+100)+(2+99)+(3+98)+ ? +(100+1) 2S= 101 ? 100 =10100 10100 S= =5050 2 ②如果要计算 1,2,3,?,(n-1),n 这 n 个数的和呢?(学生独立思考) ,老师引导,类似
上面的算法,可得 S=

?1 ? n ? ? n
2

7

③1,2,3,?,(n-1),n 这是一个以 1 为公差的等差数列,它的和等于 S= 对于公差为 d 的等差数列,它们的和也是如此吗?

?1 ? n ? ? n
2



首先,一般地,我们称 a1 ? a2 ? a3 ??? an 为数列 ?an? 的前 n 项和,用 Sn 表示,即

Sn ? a1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? an
类似地:

Sn ? a1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? an ① Sn ? an ? an
?1

? an

? 2

?· · · ? a1 ②

①+②: 2Sn ? ? a1 ? an? ? ? a2 ? an ? 1? ? ? a3 ? an ? 2 ? ??? ? an ? a1? ∵ ? a1 ? an? ? ? a2 ? an ? 1? ? ? a3 ? an ? 2 ? ? ?? ? an ? a1? ∴ 2S n ? n(a1 ? an ) 由此得: S n ?

n(a1 ? a n ) 2

公式 1

由等差数列的通项公式 an ? a1 ? ? n ? 1? d 有, Sn ? na1 ? (三) 、例题讲解: (1) 、利用上述公式求 1+2+3+?+100=?(学生独立完成)

n ? n ? 1? 2

d 公式 2

(2) 、例:等差数列 ?an? 中,已知: a1 ? ?4, a8 ? ?18, n ? 8 ,求前 n 项和 Sn 及公差 d. (教师引导,师生共同完成) 选用公式:根据已知条件选用适当的公式 S n ?

n(a1 ? a n ) 2

求出 Sn

变用公式:要求公差 d,需将公式 2 Sn ? na1 ?

n ? n ? 1? 2

d 变形运用,求 d

知三求二 等差数列的五个基本量知三可求另外两个 (四) 、课堂小结: 1、公式的推导方法:倒序求和 2、等差数列的前 n 项和公式

Sn ?

n ? n ? 1? n(a1 ? a n ) Sn ? na1 ? d 2 2

3、公式的应用。

8


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