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圆锥曲线知识点总结


命题与逻辑结构
1、命题:用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句. 真命题:判断为真的语句.假命题:判断为假的语句. 2、 “若 p ,则 q ”形式的命题中的 p 称为命题的条件, q 称为命题的结论. 3、对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,则这两个命题称为互逆命题.其 中一个命题称为原命题,另一个称为原命题的逆命题. 若原命题为“若 p ,则 q ” ,它的逆命题为“若 q ,则 p ”. 4、对于两个命题,如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定,则这两个命题称 为互否命题.中一个命题称为原命题,另一个称为原命题的否命题. 若原命题为“若 p ,则 q ” ,则它的否命题为“若 ? p ,则 ? q ”. 5、对于两个命题,如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定,则这两个命题称 为互为逆否命题。其中一个命题称为原命题,另一个称为原命题的逆否命题。 若原命题为“若 p ,则 q ” ,则它的否命题为“若 ? q ,则 ? p ” 。

6、四种命题的真假性: 原命题 逆命题 真 真 真 假 假 真 假 假 四种命题的真假性之间的关系:

否命题 真 假 真 假

逆否命题 真 真 假 假

?1? 两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; ? 2 ? 两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.

7、若 p ? q ,则 p 是 q 的充分条件, q 是 p 的必要条件. 若 p ? q ,则 p 是 q 的充要条件(充分必要条件) . 8、用联结词“且”把命题 p 和命题 q 联结起来,得到一个新命题,记作 p ? q . 当 p 、 q 都是真命题时, p ? q 是真命题;当 p 、 q 两个命题中有一个命题是假命题时, p ? q 是假命题. 用联结词“或”把命题 p 和命题 q 联结起来,得到一个新命题,记作 p ? q . 当 p 、 q 两个命题中有一个命题是真命题时, p ? q 是真命题;当 p 、 q 两个命题都是假命题时, p ? q 是假命 题. 对一个命题 p 全盘否定,得到一个新命题,记作 ? p . 若 p 是真命题,则 ? p 必是假命题;若 p 是假命题,则 ? p 必是真命题. 9、短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词,用“ ? ”表示. 、 含有全称量词的命题称为全称命题. 全称命题“对 ? 中任意一个 x ,有 p ? x ? 成立” ,记作“ ?x ? ? , p ? x ? ” . 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词,用“ ? ”表示. 、 含有存在量词的命题称为特称命题. 特称命题“存在 ? 中的一个 x ,使 p ? x ? 成立” ,记作“ ?x ? ? , p ? x ? ” . 10、全称命题 p : ?x ? ? , p ? x ? ,它的否定 ? p : ?x ? ? , ?p ? x ? 。全称命题的否定是特称命题。 特称命题 p : ?x ? ? , p ? x ? ,它的否定 ? p : ?x ? ? , ?p ? x ? 。特称命题的否定是全称命题。
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圆锥曲线的方程与性质
1.椭圆 (1)椭圆概念 平面内与两个定点 F1 、 F2 的距离的和等于常数 2 a (大于 | F1F2 | )的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆 的焦点,两焦点的距离 2c 叫椭圆的焦距。若 M 为椭圆上任意一点,则有 | MF | ? | MF2 |? 2a 。 1 椭圆的标准方程为: 上) 。 注:①以上方程中 a , b 的大小 a ? b ? 0 ,其中 b ? a ? c ;
2 2 2

x2 y 2 y2 x2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 ) (焦点在 x 轴上)或 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 ) (焦点在 y 轴 a2 b a b

x2 y 2 y 2 x2 ? 2 ? 1 和 2 ? 2 ? 1 两个方程中都有 a ? b ? 0 的条件,要分清焦点的位置,只要看 x 2 和 y 2 的分 a2 b a b 2 x y2 ? ? 1 ( m ? 0 , n ? 0 , m ? n )当 m ? n 时表示焦点在 x 轴上的椭圆;当 m ? n 时 母的大小。例如椭圆 m n 表示焦点在 y 轴上的椭圆。
②在 (2)椭圆的性质

x2 y 2 ? ? 1 知 | x |? a ,| y |? b ,说明椭圆位于直线 x ? ? a , y ? ?b 所围成的矩形里; a 2 b2 ②对称性:在曲线方程里,若以 ? y 代替 y 方程不变,所以若点 ( x, y ) 在曲线上时,点 ( x, ? y ) 也在曲线上, 所以曲线关于 x 轴对称,同理,以 ?x 代替 x 方程不变,则曲线关于 y 轴对称。若同时以 ?x 代替 x , ? y 代替 y
①范围:由标准方程 方程也不变,则曲线关于原点对称。 所以,椭圆关于 x 轴、 y 轴和原点对称。这时,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是对称中心,椭圆的对称中心 叫椭圆的中心; ③顶点:确定曲线在坐标系中的位置,常需要求出曲线与 x 轴、 y 轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中,令

x ? 0 ,得 y ? ?b ,则 B1 (0, ?b) , B2 (0, b) 是椭圆与 y 轴的两个交点。同理令 y ? 0 得 x ? ? a ,即 A1 (?a, 0) ,

A2 (a,0) 是椭圆与 x 轴的两个交点。
所以,椭圆与坐标轴的交点有四个,这四个交点叫做椭圆的顶点。 同时,线段 A1 A2 、 B1B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴,它们的长分别为 2a 和 2b , a 和 b 分别叫做椭圆的长 半轴长和短半轴长。 由椭圆的对称性知: 椭圆的短轴端点到焦点的距离为 a ; Rt ?OB2 F2 中, OB2 |? b , OF2 |? c , B2 F2 |? a , 在 | | |
2 2 2 且 | OF2 | ?| B2 F2 | ? | OB2 | ,即 c ? a ? b ;
2 2 2

c 叫椭圆的离心率。∵ a ? c ? 0 ,∴ 0 ? e ? 1 ,且 e 越接近 1 , c 就 a 越接近 a ,从而 b 就越小,对应的椭圆越扁;反之, e 越接近于 0 , c 就越接近于 0 ,从而 b 越接近于 a ,这时 2 2 2 椭圆越接近于圆。当且仅当 a ? b 时, c ? 0 ,两焦点重合,图形变为圆,方程为 x ? y ? a 。
④离心率:椭圆的焦距与长轴的比 e ? 2.双曲线 (1)双曲线的概念 平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线( || PF1 | ? | PF2 ||? 2a ) 。 注 意 : ① 式 中 是 差 的 绝 对 值 , 在 0 ? 2a ?| F F2 | 条 件 下 ; | PF | ? | PF2 |? 2a 时 为 双 曲 线 的 一 支 ; 1 1

| PF2 | ? | PF1 |? 2a 时为双曲线的另一支(含 F1 的一支) ;②当 2a ?| F1F2 | 时, || PF1 | ? | PF2 ||? 2a 表示两条射 线;③当 2a ?| F1F2 | 时,|| PF1 | ? | PF2 ||? 2a 不表示任何图形;④两定点 F1 , F2 叫做双曲线的焦点,| F1F2 | 叫做
焦距。

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椭圆和双曲线比较: 椭 定义 方程
x2 y 2 ? ?1 a 2 b2


x2 y 2 ? ?1 b2 a 2


x2 y 2 ? ?1 a 2 b2



线
y 2 x2 ? ?1 a 2 b2

| PF1 | ? | PF2 |? 2a(2a ?| F1F2 |)

|| PF1 | ? | PF2 ||? 2a(2a ?| F1F2 |)
F (?c, 0) F (0, ?c)

F (?c, 0) F (0, ?c) 焦点 注意:如何用方程确定焦点的位置! (2)双曲线的性质
①范围:从标准方程

x2 y2 ? ? 1 ,看出曲线在坐标系中的范围:双曲线在两条直线 x ? ? a 的外侧。即 a2 b2 x 2 ? a 2 , x ? a 即双曲线在两条直线 x ? ? a 的外侧。 x2 y2 ②对称性:双曲线 2 ? 2 ? 1 关于每个坐标轴和原点都是对称的,这时,坐标轴是双曲线的对称轴,原点 a b 2 2 x y 是双曲线 2 ? 2 ? 1 的对称中心,双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。 a b x2 y2 ③顶点:双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线 2 ? 2 ? 1 的方程里,对称轴是 x , y 轴,所 a b x2 y2 以令 y ? 0 得 x ? ? a ,因此双曲线和 x 轴有两个交点 A (?a,0) A2 (a,0) ,他们是双曲线 2 ? 2 ? 1 的顶点。 a b 令 x ? 0 ,没有实根,因此双曲线和 y 轴没有交点。
1)注意:双曲线的顶点只有两个,这是与椭圆不同的(椭圆有四个顶点) ,双曲线的顶点分别是实轴的两个 端点。 2)实轴:线段 A A2 叫做双曲线的实轴,它的长等于 2a, a 叫做双曲线的实半轴长。虚轴:线段 B B2 叫做双 曲线的虚轴,它的长等于 2b, b 叫做双曲线的虚半轴长。 ④渐近线:注意到开课之初所画的矩形,矩形确定了两条对角线,这两条直线即称为双曲线的渐近线。从 图上看,双曲线

x2 y2 ? ? 1 的各支向外延伸时,与这两条直线逐渐接近。 a2 b2

⑤等轴双曲线: 1)定义:实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式: a ? b ; 2)等轴双曲线的性质: (1)渐近线方程为: y ? ? x ; (2)渐近线互相垂直。 注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一,即可推知双曲线为等轴双曲线,同时其 他几个亦成立。
2 2 3) 注意到等轴双曲线的特征 a ? b , 则等轴双曲线可以设为:x ? y ? ? (? ? 0) , ? ? 0 时交点在 x 轴, 当 当 ? ? 0 时焦点在 y 轴上。

⑥注意

x2 y2 y 2 x2 ? ? 1 与 ? ? 1 的区别:三个量 a, b, c 中 a , b 不同(互换) c 相同,还有焦点所在的坐标 16 9 9 16

轴也变了。 3.抛物线 (1)抛物线的概念 平面内与一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点 F 不在定直线 l 上)。定点 F 叫做 抛物线的焦点,定直线 l 叫做抛物线的准线。 方程 y ? 2 px
2

? p ? 0? 叫做抛物线的标准方程。
p p ,0) ,它的准线方程是 x ? ? ; 2 2

注意:它表示的抛物线的焦点在 x 轴的正半轴上,焦点坐标是 F(

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(2)抛物线的性质 一条抛物线,由于它在坐标系的位置不同,方程也不同,有四种不同的情况,所以抛物线的标准方程还有其 他几种形式: y 2 ? ?2 px , x 2 ? 2 py , x 2 ? ?2 py .这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如 下表: 标准方程

l
图形

y 2 ? 2 px ( p ? 0) y

y 2 ? ?2 px ( p ? 0)
y

x2 ? 2 py ( p ? 0)
y

x 2 ? ?2 py ( p ? 0)

l

F

o F
p ( , 0) 2 p x?? 2 x?0

x

F o

x

l

o

x

焦点坐标 准线方程 范围 对称性

(?

p , 0) 2 p x? 2 x?0

顶点 e ?1 e ?1 离心率 说明: (1)通径:过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径; (2)抛物线的几何性质的特点:有一个顶 点,一个焦点,一条准线,一条对称轴,无对称中心,没有渐近线; (3)注意强调 p 的几何意义:是焦点到准线 的距离。

x轴 (0, 0)

x轴 (0, 0)

p (0, ) 2 p y?? 2 y?0 y轴 (0, 0) e ?1

p (0, ? ) 2 p y? 2 y?0 y轴 (0, 0) e ?1

空间向量
1、空间向量的概念:

?1? 在空间,具有大小和方向的量称为空间向量. ? 2 ? 向量可用一条有向线段来表示.有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的方向表示向量的方向.
,记作 ?? . ? 3? 向量 ?? 的大小称为向量的模(或长度)

??? ?

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? 4 ? 模(或长度)为 0 的向量称为零向量;模为1 的向量称为单位向量. ? 5? 与向量 a 长度相等且方向相反的向量称为 a 的相反向量,记作 ? a . ? 6 ? 方向相同且模相等的向量称为相等向量.
2、空间向量的加法和减法:

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?1? 求两个向量和的运算称为向量的加法,它遵循平行四边形法则.即:
在空间以同一点 ? 为起点的两个已知向量 a 、 b 为邻边作平行四边形

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???? ? ? ??C ? ,则以 ? 起点的对角线 ?C 就是 a 与 b 的和,这种求向量和的方法,称为向量加法的平行四边形法则.

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? 2 ? 求两个向量差的运算称为向量的减法,它遵循三角形法则.即:在空间任取一点 ? ,作 ?? ? a , ?? ? b ,
则 ?? ? a ? b . 3、实数 ? 与空间向量 a 的乘积 ? a 是一个向量,称为向量的数乘运算.当 ? ? ? ? ? ? 0 时, ? a 与 a 方向相同;当 ? ? 0 时, ? a 与 a 方向相反;当 ? ? 0 时,

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? ? ? ? ? a 为零向量,记为 0 . ? a 的长度是 a 的长度的 ? 倍.
4、设 ? , ? 为实数, a , b 是空间任意两个向量,则数乘运算满足分配律 及结合律. 分配律: ? a ? b ? ? a ? ?b ;结合律: ? ? ?a ? ? ? ?? ? a . 5、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量称为共线向量或平行向量,并规定零向量 与任何向量都共线. 6、向量共线的充要条件:对于空间任意两个向量 a , b b ? 0 , a // b 的充要条件是存在实数 ? ,使 a ? ?b . 7、平行于同一个平面的向量称为共面向量. 8、向量共面定理:空间一点 ? 位于平面 ?? C 内的充要条件是存在有序实数对 x , y ,使 ?? ? x??? y?C ; 或对空间任一定点 ? ,有 ?? ? ?? ? x

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? ? ?? ? ? ?? ?y ? ; ? 若 四 点 ? , ? , ? , C 共 面 , 则 ? C 或

??? ? ???? ??? ? ???? ?? ? x?? ? y?? ? z?C ? x ? y ? z ? 1? .
9、已知两个非零向量 a 和 b ,在空间任取一点 ? ,作 ?? ? a , ?? ? b ,则 ???? 称为向量 a , b 的夹角, 记作 ?a, b ? .两个向量夹角的取值范围是: ? a, b ? ? ? 0, ? ? . 10、对于两个非零向量 a 和 b ,若 ? a , b ? ?

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2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 11、已知两个非零向量 a 和 b ,则 a b cos ?a, b ? 称为 a ,b 的数量积,记作 a ? b .即 a ?b ? a b cos?a ,b ? .零
向量与任何向量的数量积为 0 . 12、 a ? b 等于 a 的长度 a 与 b 在 a 的方向上的投影 b cos? a , b ? 的乘积. 13 若 a , b 为非零向量, e 为单位向量,则有 ?1? e ? a ? a ? e ? a cos?a, e ? ;

,则向量 a , b 互相垂直,记作 a ? b .

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? ? ? ? ? a b a与b同向 ? ? ?2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ,a ?a ? a , a ? a ?a ; ? 2 ? a ? b ? a ? b ? 0 ; ? 3? a ? b ? ? ? ? ? ? ?? a b a与b反向 ? ? ? a ?b ? ? ? ? ? ? ? 4 ? cos? a, b ? ? ? ? ; ? 5? a ? b ? a b . a b

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14.数量积的运算律: ?1? a ? b ? b ? a ; ? 2 ? ? ? a ? ? b ? ? a ? b ? a ? ?b ; ? 3? a ? b ? c ? a ? c ? b ? c .
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15、空间向量基本定理:若三个向量 a , b , c 不共面,则对空间任一向量 p ,存在实数组 ?x, y, z? ,使得

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? ? ? ? p ? xa ? yb ? zc .
16、三个向量 a , b , c 不共面,则所有空间向量组成的集合是

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? ? ? ? p p ? xa ? yb ? zc?, x, y, z ? R? .这个集合可看作是由向量 a? , b , c? 生成的, ?
?
? ? ? ?a, b , c? 称为空间的一个基底,a ,b ,c? 称为基向量.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.
17、设 e1 , e2 , e3 为有公共起点 ? 的三个两两垂直的单位向量(称它们为单位正交基底) ,以 e1 , e2 , e3 的公 共起点 ? 为原点,分别以 e1 , e2 , e3 的方向为 x 轴, y 轴, z 轴的正方向建立空间直角坐标系 ?xyz .则对于 空间任意一个向量 p ,一定可以把它平移,使它的起点与原点 ? 重合,得到向量 ?? ? p .存在有序实数组

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?x, y, z? ,使得 p ? xe1 ? ye2 ? ze3 .把 x , y , z 称作向量 p 在单位正交基底 e1 , e2 , e3 下的坐标,记作
? ? p ? ? x, y, z ? .此时,向量 p 的坐标是点 ? 在空间直角坐标系 ?xyz 中的坐标 ? x, y, z ? .
18、设 a ? ? x1 , y1 , z1 ? , b ? ? x2 , y2 , z2 ? ,则 ?1? a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 , z1 ? z2 ? .

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? 2 ? a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 , z1 ? z2 ? .

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? 3? ?a ? ? ? x1, ? y1, ? z1 ? .
? 4 ? a ? b ? x1x2 ? y1 y2 ? z1z2 . ? 5? 若 a 、 b 为非零向量,则 a ? b ? a ? b ? 0 ? x1x2 ? y1 y2 ? z1z2 ? 0 . ? 6 ? 若 b ? 0 ,则 a // b ? a ? ?b ? x1 ? ? x2 , y1 ? ? y2 , z1 ? ? z2 .
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? ? ? a ? a ? a ? x12 ? y12 ? z12 . ? ? xx ?y y ?z z a ?b ? ? ?8? cos? a, b ? ? ? ? ? 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 . a b x1 ? y1 ? z1 ? x2 ? y2 ? z2

? 9 ? ? ? x1, y1, z1 ? , ? ? ? x2 , y2 , z2 ? ,则 d?? ? ?? ? ? x2 ? x1 ? ? ? y2 ? y1 ? ? ? z2 ? z1 ?
2 2

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2



19、 在空间中, 取一定点 ? 作为基点, 那么空间中任意一点 ? 的位置可以用向量 ?? 来表示. 向量 ?? 称为点 ? 的 位置向量. ? 20、空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一个定点 ? 以及一个定方向确定.点 ? 是直线 l 上一点,向量 a 表 示直线 l 的方向向量, 则对于直线 l 上的任意一点 ? , ?? ? ta , 有 这样点 ? 和向量 a 不仅可以确定直线 l 的位置, 还可以具体表示出直线 l 上的任意一点.
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21、空间中平面 ? 的位置可以由 ? 内的两条相交直线来确定.设这两条相交直线相交于点 ? ,它们的方向向量 分别为 a ,b . ? 为平面 ? 上任意一点,存在有序实数对 ? x, y ? ,使得 ?? ? xa ? yb ,这样点 ? 与向量 a ,b 就 确定了平面 ? 的位置. ? ? 22、直线 l 垂直 ? ,取直线 l 的方向向量 a ,则向量 a 称为平面 ? 的法向量. 23、若空间不重合两条直线 a , b 的方向向量分别为 a , b ,则 a // b ? a // b ?

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? ? ? ? ? ? a ? ?b ? ? ? R ? , a ? b ? a ? b ? a ? b ? 0 .
24、若直线 a 的方向向量为 a ,平面 ? 的法向量为 n ,且 a ? ? ,则 a // ? ? a // ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a ? n ? a ? n ? 0 , a ? ? ? a ? ? ? a // n ? a ? ? n . 25、若空间不重合的两个平面 ? , ? 的法向量分别为 a , b ,则 ? // ? ? a // b ?

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? ? ? ? ? ? a ? ?b , ? ? ? ? a ? b ? a ? b ? 0 .
26、设异面直线 a , b 的夹角为 ? ,方向向量为 a , b ,其夹角为 ? ,则有

?

?

? ? a ?b cos ? ? cos ? ? ? ? . a b
27 、 设 直 线 l 的 方 向向 量为 l , 平 面 ? 的 法 向 量为 n , l 与 ? 所 成 的 角为 ? , l 与 n 的 夹角 为 ? , 则 有

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? ? l ?n sin? ? cos ? ? ? . ? l n ?? ?? ? ?? ?? ? 28、设 n1 , n2 是二面角 ? ? l ? ? 的两个面 ? , ? 的法向量,则向量 n1 , n2 的夹角(或其补角)就是二面角的 ?? ?? ? n1 ? n2 平面角的大小.若二面角 ? ? l ? ? 的平面角为 ? ,则 cos ? ? ?? ?? . ? n1 n2 ??? ? ??? ? 29、点 ? 与点 ? 之间的距离可以转化为两点对应向量 ?? 的模 ?? 计算. ? 30 、 在 直 线 l 上 找 一 点 ? , 过 定 点 ? 且 垂 直 于 直 线 l 的 向 量 为 n , 则 定 点 ? 到 直 线 l 的 距 离 为 ??? ? ? ?? ? n ??? ? ??? ? ? d ? ?? cos???, n? ? ? . n ? 31、点 ? 是平面 ? 外一点, ? 是平面 ? 内的一定点, n 为平面 ? 的一个法向量,则点 ? 到平面 ? 的距离为 ??? ? ? ?? ? n ??? ? ??? ? ? d ? ?? cos??? ,n? ? ? . n

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