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湖北省八校2014届高三12月第一次联考 文科数学 Word版含答案


湖北省

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八校

2014 届高三第一次联考

数学试题(文科)
考试时间:2013 年 12 月 13 日下午 15︰00—17︰00 试卷满分 150 分 考试用时 120 分钟 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共4页。全卷满分150分,考试时间 120分钟.

★ 祝考试顺利 ★
注意事项: 1.考生在答题前,请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上. 2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号,答在试卷上无效. 3.填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内. 答在试题 卷上无效.

第Ⅰ卷(选择题,共50分)
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.已知全集 U ? R ,集合 M ? {x | 2 x ? 1} ,集合 N ? {x | log 2 x ? 1} ,则下列结论中成立的是 ( ) B. M ? N ? N D. (CU M ) ? N ? ? 2.命题“ ?x ? R , e x ? x 2 ”的否定是( A.不存在 x ? R ,使 e ? x
x 2

A. M ? N ? M

C



M ? (CU N ) ? ?

) B. ?x ? R ,使 e x ? x 2 D. ?x ? R ,使 e x ≤ x 2 2 ) 4 4 ) 4
正视图

C. ?x ? R ,使 e x ≤ x 2 3.已知 ?、? 为锐角, cos ? ? A.
1 3

B. 3

3 1 , tan(? ? ? ) ? ? ,则 tan ? 的值为( 5 3 13 9 C. D. 9 13
a6 的值为( a4

4.已知各项均为正数的等比数列 {an } 满足 a6 ? a5 ? 2a4 ,则 A.4 B.2 C.1 或 4 D .1

侧视图

4

5.已知一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体的表面积为( A. 10? ? 96 C. 8? ? 96 B. 9? ? 96 D. 9? ? 80



俯视图 第 5 题图

6.将函数 y ? sin(2x ? ? ) 的图象向左平移 心对称,那么 | ? | 的最小值为( A.

? 4? 个单位后得到的函数图象关于点 ( , 0) 成中 4 3

) C.

? 6

B.

? 4

? 3

D.

? 2

7.定义方程 f ( x) ? f ?( x) 的实数根 x0 叫做函数的“新驻点”,若函数 g ( x) ? sin x (0 ? x ? ? ) ,
h( x) ? ln x ( x ? 0), ? ( x) ? x3 ( x ? 0) 的“新驻点”分别为 a , b , c ,则 a , b , c 的大小关

系为( ) A. a ? b ? c

B. c ? b ? a

C. a ? c ? b

D. b ? a ? c

8.若 x, y ? (0 , 2] 且 xy ? 2 ,使不等式 a(2 x ? y) ≥ (2 ? x)(4 ? y ) 恒成立,则实数 a 的取值范围
为(


1 2

A. a ≤

B. a ≤ 2

C. a ≥ 2

D. a ≥

1 2

9 . 已 知 集 合 M ? ?( x, y) | y ? f ( x)? , 若 对 于 任 意 ( x1 , y1 ) ? M , 存 在 ( x2 , y2 ) ? M , 使 得
x1x2 ? y1 y2 ? 0 成立, 则称集合 M 是“理想集合”, 则下列集合是“理想集合”的是 (
1 A. M ? {( x , y) | y ? } x



B. M ? {( x , y) | y ? cos x} D. M ? {( x , y) | y ? log 2 ( x ? 1)}

C. M ? {( x , y) | y ? x 2 ? 2 x ? 2}

10.如图,点 P 从点 O 出发,分别按逆时针方向沿周长均为 12 的正三角形、正方形运动一
O, P 两点连线的距离 y 与点 P 走过的路程 x 的函数关系分别记为 y ? f ( x), y ? g ( x) , 周,

定义函数 h( x ) ? ? ( )

? ? f ( x) ,f ( x ) ≤ g ( x ), 对于函数 y ? h( x) ,下列结论正确的个数是 ? ? g ( x) ,f ( x) ? g ( x).

O

P O
第 10 题图

O

P O

① h(4) ? 10

; ;

②函数 h( x ) 的图象关于直线 x ? 6 对称;
(0 ,) 5 . ④函数 h( x ) 增区间为

? ③函数 h( x ) 值域为 ? ? 0 , 13 ?

A.1

B.2

C.3

D.4

第Ⅱ卷(非选择题,共100分)
二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分,请将答案填在答题卡对应题号的位 置上. 11.如果复数 z ?
1 ? mi 1 ? 2i

的实部与虚部互为相反数,则实数 m=



12 . 设 x, y ? R , 向 量 a ? ( x , 1), b ? (1 , y ) , c ? (3 , ?6) , 且 a ? c , b ∥ c , 则
(a ? b) ?c =



13.直线 y ? k ( x ? 1) 与曲线 f ( x) ? ln x ? ax ? b 相切于点 P (1 , 2) ,则 2a ? b ? ________. b cos C ? c cos B 14.在△ ABC 中, . = a 15.已知数列 {an } ,若点 (n , an ) (n ? N* ) 在直线 y ? 3 ? k ( x ? 6) 上,则数列 {an } 的前 11 项 和 S11 = .

16.设点 P ( x, y ) 为平面上以 A (4 , 0) ,B 为顶点的三角形区域(包括边界) (0 , 4) , C( 1 , 2) ??? ? ??? ? ??? ? 上一动点, O 为原点,且 OP ? ? OA ? ? OB ,则 ? +? 的取值范围为 . 17.用符号 [x) 表示超过 x 的最小整数,如 [?) ? 4, [?1.5) ? ?1 ,记 {x} ? [x) ? x . (1)若 x ? (1 , 2) ,则不等式 {x} ? [x) ? x 的解集为
2 2

; .

(2)若 x ? (1 , 3) ,则方程 cos [x) ? sin {x} ? 1 ? 0 的实数解为

三、解答解:本大题共 5 个小题,共 65 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
2 18. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 2 cos x ? 2 3 sin x cos x,x ? R .

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 [ ?
? 6 , ? 4

] 上的值域.

19. (小题满分 12 分)如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,
AA ?2 1 ? AC A= B2 ,且 BC1 ? A1C .

A1 B1

D

C1

(Ⅰ)求证:平面 ABC1 ⊥平面 A1C ; (Ⅱ)设 D 是 A1C1 的中点,判断并证明在线段 BB1 上是否存在点 E , 使 DE ‖平面 ABC1 ;若存在,求三棱锥 E ? ABC1 的体积. B A 第 19 题图 C

20. (本小题满分 13 分)若数列 { An } 满足 An ?1 ? An 2 ,则称数列 { An } 为“平方递推数列”.已知 数列 {an } 中,
a1 ? 9 ,点 (an , an ?1 ) 在函数 f ( x) ? x 2 ? 2 x 的图象上,其中 n 为正整数.

(Ⅰ)证明数列 {an ? 1} 是“平方递推数列”,且数列 {lg(an ? 1)} 为等比数列; (Ⅱ) 设 (Ⅰ)中“平方递推数列”的前 n 项积为 Tn , 即 Tn ? (a1 ? 1)(a2 ? 1)?(an ? 1) , 求 lg Tn ; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,记 bn ? 的 n 的最小值.
lg Tn ,求数列 {bn } 的前 n 项和 S n ,并求使 Sn ? 2014 lg( an ? 1)

21. (本小题满分 14 分)某校课外兴趣小组的学生为了给学校边的一口被污染的池塘治污, 他们通过实验后决定在池塘中投放一种能与水中的污染物质发生化学反应的药剂. 已知 每投放 m(1 ≤ m ≤ 4, 且m ? R) 个单位的药剂,它在水中释放的浓度 y (克/升)随着时间
? 16 ? 8 ? x , 0 ≤ x ≤ 4, 若多次 x (天)变化的函数关系式近似为 y ? m ? f ( x) ,其中 f ( x) ? ? ? ?5 ? 1 x, 4 ? x ≤ 10. ? ? 2

投放, 则某一时刻水中的药剂浓度为各次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和. 根 据经验,当水中药剂的浓度不低于 4(克/升)时,它才能起到有效治污的作用. (Ⅰ)若一次投放 4 个单位的药剂,则有效治污时间可达几天? (Ⅱ)若第一次投放 2 个单位的药剂,6 天后再投放 m 个单位的药剂,要使接下来的 4 天 中能够持续有效治污,试求 m 的最小值.

22. (本小题满分 14 分)已知实数 a ? 0, 函数 f ( x) ? e x ? ax ? 1 ( e 为自然对数的底数) . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间及最小值; (Ⅱ)若 f ( x) ≥ 0 对任意的 x ? R 恒成立,求实数 a 的值; (
ln(1 ?











? ? 2 4 8 2n * ) ? ln(1 ? ) ? ln(1 ? ) ? ? ? ln ?1 ? n ?1 ? ? 1 (n ? N ). n 2?3 3? 5 5?9 (2 ? 1)(2 ? 1) ? ?

湖北省八校 2014 届高三第一次联考 文科数学参考答案及评分细则
一、选择题(每小题 5 分,共 10 小题) . 1.D 2.C 3. B 4.A 5.C 6.A 7.B 8.D
3 16. [ , 1] 4

9.B

10.C

二、填空题(每小题 5 分,共 7 小题,) . 11. ?3 12. 15 13.2 14.1 15.33
4 17. ( , 2); 6 ?? 3

三、解答题(共 5 小题,共 65 分) 18. 解析:(I) f ( x) ? 2cos2 x ? 2 3 sin x ? cos x
=1 ? cos 2 x ? 3 sin 2 x

? 2sin(2 x ?

?
6

) ?1

……………4 分 ……………6 分 ……………8 分 ……………12 分

所以,周期 T ? ? . ? ? ? ? 2 (II)∵ x ? [? , ] , ∴ 2 x ? ? [? , ? ]. 6 4 6 6 3
sin(2 x ?

?

1 3? ) ? [? , 1] , ∴ f ( x) 的值域为 ? ?0 , ? 6 2

19. 解析: (I)证明:在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,有 A1 A ? 平面 ABC . ∴ A1 A ? AC , 又 A1 A ? AC , ∴ A1C ? AC1 . ……………2 分 ……………4 分

又 BC1⊥A1C,∴A1C⊥平面 ABC1 , 则平面 ABC1⊥平面 A1C .

(II)方法一:取 A1 A 中点 F,连 EF,FD,当 E 为 B1 B 中点时, EF ? AB , DF ∥ AC1

A1 即平面 EFD ∥平面 ABC1 , 则有 ED ∥平面 ABC1 . B1
F E

D

C1

……………8 分

A B 第 19 题图

C

1 1 1 当 E 为中点时, VE -ABC1 ? VC1 ? ABE ? = ? 2 ? ? 1 ? 1 ? 3 2 3

……………12 分

方法二:A1C 交 AC1 于 G 点连 BG,当 E 为中点时,有 BE 即 DE ∥平面 ABC1,求体积同上. D A1 B1
G E

DG ,则有 DE∥BG, C1

A B 第 19 题图

C

2 ? 2an , 20. 解析: (I)由题意得: an ?1 ? an

即 an ?1 ? 1 ? (an ? 1) 2 , ……………2 分

则 {an ? 1} 是“平方递推数列”.

又有 lg(an?1 ? 1) ? 2lg(an ? 1) 得 {lg(an ? 1)} 是以 lg(a1 ? 1) 为首项,2 为公比的等比数列. ……………4 分 (II)由(I)知 lg(an ? 1) ? lg(a1 ? 1) ? 2n ?1 ? 2n ?1 ,
lg Tn ? lg(a1 ? 1)(a2 ? 1)?(an ? 1) ? lg(a1 ? 1) ? lg(a2 ? 1) ? ? ? lg(an ? 1) ?

……………5 分
1(1 ? 2n ) ? 2n ? 1 . 1? 2 ……………8 分

(III) bn ?

lg Tn 2n ? 1 1 ? n ?1 ? 2 ? ( )n ?1 , lg(an ? 1) 2 2
1?

……………9 分

1 n 1 2 S n ? 2n ? ? 2n ? 2 ? n ?1 , 1 2 1? 2

……………10 分

又 Sn ? 2014 ,即 2n ? 2 ? 又 0?
1 ?1 , 2n

1 1 ? 2014 , n ? n ? 1008 , n ?1 2 2

? nmin ? 1008 .

……………13 分

21. 解析: (I)∵ m ? 4

? 64 (0 ≤ x ≤ 4) ? ∴ y ? ?8 ? x . ? ?20 ? 2 x(4 ? x ≤ 10)

……………2 分

当 0 ≤ x ≤ 4 时,由

64 ≥ 4 ,解得 x ≥ ?8 ,此时 0 ≤ x ≤ 4 ; 8? x

当 4 ? x ≤10 时,由 20 ? 2x ≥ 4 ,解得 x ≤ 8 ,此时 4 ? x ≤ 8 .

……………4 分

综上,得 0 ≤ x ≤8 .故若一次投放 4 个单位的药剂,则有效治污的时间可达 8 天.

……………6 分
1 16 16m 16m (II) 当 6≤ x≤ ] ? 10 ? x ? ? 14 ? x ? ?4, 1 0 时,y ? 2 ? (5 ? x) ? m[ 2 8 ? ( x ? 6) 14 ? x 14 ? x

……………9 分 又 14 ? x ?[4,8] , m ? [1, 4] ,则 y ≥ 2 16m ? 4 ? 8 m ? 4 . 当且仅当 14 ? x ?
16m ,即 14 ? x ? 4 m ? [4,8] 时取等号. 14 ? x

令 8 m ? 4 ≥ 4 ,解得 m ≥1 , 故所求 m 的最小值为 1 . 22. 解析: (I)当 a ? 0 时, f ?( x) ? e x ? a , 由 e x ? a ? 0 , 得单调增区间为 ? ln a, ?? ? ; 由 e x ? a ? 0 ,得单调减区间为 (??,ln a) , 由上可知 f ( x)min ? f (ln a) ? a ? a ln a ? 1 (II)若 f ( x) ≥ 0 对 ?x ? R 恒成立,即 f ( x)min ≥ 0 , 由(I)知问题可转化为 a ? a ln a ? 1≥ 0 对 a ? 0 恒成立 . 令 g (a) ? a ? a ln a ? 1(a ? 0) , , g ?( a)? ? l na ……………6 分 ……………2 分 ……………4 分 ……………14 分

g (a ) 在 (0,1) 上单调递增,在 (1, ??) 上单调递减,

∴ g (a)max ? g (1) ? 0 . 即 a ? a ln a ? 1 ? 0 , ∴ a ? a ln a ? 1 ? 0 . 由 g (a ) 图象与 x 轴有唯一公共点,知所求 a 的值为 1. ……………9 分 (III)证明:由(II)知 e ? x ? 1≥ 0 ,
x

……………8 分

则 ln( x ? 1) ≤ x 在 [0, ??) 上恒成立. ……………11 分



(2

n ?1

2n 1 1 ? 2( n ?1 ? n ), n ? 1)(2 ? 1) 2 ?1 2 ?1

∵ ln(1 ?


2 4 8 2n ) ? ln(1 ? ) ? ln(1 ? ) ? ? ? ln(1 ? n ?1 ) 2?3 3? 5 5?9 (2 ? 1)(2n ? 1)

2 4 8 2n ? ? ? ? ? n ?1 2 ? 3 3? 5 5? 9 (2 ? 1)(2n ? 1)

……………12 分

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2[( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( n ?1 ? )] ? 2[( ? n )] ? 1 2 2 ?1 2 3 3 5 5 9 2 ? 1 2n ? 1 .

……………14 分


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