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江苏省泰州中学附中2015-2016学年八年级上第一次月考数学试卷含答案解析


2015-2016 学年江苏省泰州中学附中八年级(上)第一次月考数 学试卷
一、选择题(每题 3 分,共 18 分) 1.下列四副图案中,不是轴对称图形的是( )

A.

B.

C.

D.

2.如果等腰三角形两边长是 8cm 和 4cm,那么它的周长是( A.20cm B.16cm C.20cm 或 16cm D.12cm

)

3.小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图的四块(即图中标有 1、2、3、4 的四块) ,你 ) 认为将其中的哪一块带去玻璃店, 就能配一块与原来一样大小的三角形玻璃. 应该带(

A.第 1 块

B.第 2 块

C.第 3 块

D.第 4 块

4.将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数,得到的三角形是( ) A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形

5.如图,在△ ABC 中,分别以点 A 和点 B 为圆心,大于 AB 的长为半径画弧,两弧相交 N, AB=7, 于点 M, 作直线 MN, 交 BC 于点 D, 连接 AD. 若△ ADC 的周长为 10, 则△ ABC ( ) 的周长为

A.7

B.14

C.17

D.20

6.如图,△ ABE、△ ADC 和△ ABC 分别是关于 AB,AC 边所在直线的轴对称图形,若∠1: ) ∠2:∠3=7:2:1,则∠α 的度数为(

A.90° B.108° C.110° D.126°

二、填空题(每题 3 分,共 30 分) 7.如图,若∠1=∠2,加上一个条件__________,则有△ AOC≌△BOC.

8.等腰三角形的一个角为 40°,则它的底角为__________. 9.如图,△ ABC 与△ A′B′C′关于直线 l 对称,则∠B 的度数为__________度.

10.如图,已知△ ABC 中,∠ACB=90°,以△ ABC 的各边为边在△ ABC 外作三个正方形, S1、S2、S3 分别表示这三个正方形的面积,若 S1=9,S2=16,则 S3=__________.

11.已知一个直角三角形的三边的平方和为 1800cm2,则斜边长为__________cm. 12.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 30°,则它的顶角为__________. 13.如图,△ ABC 中,CD⊥AB 于 D,E 是 AC 的中点.若 AD=6,DE=5,则 CD 的长等 于__________.

14.如图,方格纸中△ ABC 的 3 个顶点分别在小正方形的顶点(格点)上,这样的三角形 叫格点三角形,图中与△ ABC 全等的格点三角形共有__________个(不含△ ABC) .

15.如图,AD 是△ ABC 中∠BAC 的角平分线,DE⊥AB 于点 E,S△ ABC=7,DE=2,AB=4, 则 AC 长是__________.

16.如图,∠AOB=30°,点 M、N 分别在边 OA、OB 上,且 OM=5,ON=12,点 P、Q 分 别在边 OB、OA 上,则 MP+PQ+QN 的最小值是__________.

三、解答题(共 102 分) 17.如图,在 11×11 的正方形网格中,网格中有一个格点△ ABC(即三角形的顶点都在格点 上) . (1)在图中作出△ ABC 关于直线 l 对称的△ A1B1C1 (要求 A 与 A1,B 与 B1,C 与 C1 相 对应) ; (2)在直线 l 上找一点 P,使得△ PAC 的周长最小.

18.如图,∠D=∠C=90°,AC=BD.求证:AD=BC.

19.已知,如图,AB=AE,BC=ED,∠B=∠E,AF⊥CD,F 为垂足,求证:FC=FD.

20.如图,在△ ABC 中,CD⊥AB 于 D,AD=9,BD=16,CD=12. (1)求△ ABC 的周长; (2)△ ABC 是直角三角形吗?请说明理由.

21. AC 于 E、 F. △ ABC 中, ∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点 O, 过点 O 作一直线交 AB、 且 BE=EO. (1)说明 OF 与 CF 的大小关系; (2)若 BC=12cm,点 O 到 AB 的距离为 4cm,求△ OBC 的面积.

22.如图,△ ABC 中,∠ACB=90°,∠B=30°,AD 平分∠CAB,延长 AC 至 E,使 CE=AC. (1)求证:DE=DB; (2)连接 BE,试判断△ ABE 的形状,并说明理由.

23.如图,将边长为 a 与 b、对角线长为 c 的长方形纸片 ABCD,绕点 C 顺时针旋转 90°得 到长方形 FGCE,连接 AF.通过用不同方法计算梯形 ABEF 的面积可验证勾股定理,请你 写出验证的过程.

24.如图,△ ABC 中,∠A=60°. (1)试求作一点 P,使得点 P 到 B、C 两点的距离相等,并且到 AC、BC 两边的距离也相 等(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹) . (2)在(1)的条件下,若∠ABP=15°,求∠BPC 的度数.

25.我们学习了勾股定理后,都知道“勾三、股四、弦五”. 观察:3、4、5;5、12、13;7、24、25;9、40、41;…,发现这些勾股数的勾都是奇数, 且从 3 起就没有间断过. (1)请你根据上述的规律写出下一组勾股数:__________; (2)若第一个数用字母 n(n 为奇数,且 n≥3)表示,那么后两个数用含 n 的代数式分别表 示为__________和__________,请用所学知识说明它们是一组勾股数. 26. (14 分) (1)问题发现:如图 1,△ ACB 和△ DCE 均为等边三角形,当△ DCE 旋转至 点 A,D,E 在同一直线上,连接 BE. 填空:①∠AEB 的度数为__________;②线段 AD、BE 之间的数量关系是__________. (2)拓展研究:

如图 2,△ ACB 和△ DCE 均为等腰三角形,且∠ACB=∠DCE=90°,点 A、D、E 在同一直 线上,若 AE=15,DE=7,求 AB 的长度. (3)探究发现: 图 1 中的△ ACB 和△ DCE,在△ DCE 旋转过程中当点 A,D,E 不在同一直线上时,设直 线 AD 与 BE 相交于点 O, 试在备用图中探索∠AOE 的度数, 直接写出结果, 不必说明理由.

2015-2016 学年江苏省泰州中学附中八年级(上)第一次 月考数学试卷
一、选择题(每题 3 分,共 18 分) 1.下列四副图案中,不是轴对称图形的是(

)

A.

B.

C.

D.

【考点】轴对称图形. 【分析】关于某条直线对称的图形叫轴对称图形. 【解答】解:A、沿某条直线折叠后直线两旁的部分不能够完全重合,不是轴对称图形,故 A 符合题意; B、C、D 都是轴对称图形,不符合题意. 故选:A. 【点评】轴对称图形的判断方法:如果一个图形沿一条直线折叠后,直线两旁的部分能够互 相重合,那么这个图形叫做轴对称图形. 2.如果等腰三角形两边长是 8cm 和 4cm,那么它的周长是( A.20cm B.16cm C.20cm 或 16cm D.12cm )

【考点】等腰三角形的性质;三角形三边关系. 【分析】分腰长为 8cm 和 4cm 两种情况,再利用三角形的三边关系进行判定,再计算周长 即可. 【解答】解:当腰长为 8cm 时,则三角形的三边长分别为 8cm、8cm、4cm,满足三角形的 三边关系,此时周长为 20cm; 当腰长为 4cm 时,则三角形的三边长分别为 4cm、4cm、8cm,此时 4+4=8, 不满足三角形 的三边关系,不符合题意; 故选 A. 【点评】 本题主要考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系, 分两种情况并利用三角形的 三边关系进行验证是解题的关键. 3.小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图的四块(即图中标有 1、2、3、4 的四块) ,你 ) 认为将其中的哪一块带去玻璃店, 就能配一块与原来一样大小的三角形玻璃. 应该带(

A.第 1 块

B.第 2 块

C.第 3 块

D.第 4 块

【考点】全等三角形的 应用. 【分析】根据题意应先假定选择哪块,再对应三角形全等判定的条件进行验证.

【解答】解:1、3、4 块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素,所以不 能带它们去, 只有第 2 块有完整的两角及夹边,符合 ASA,满足题目要求的条件,是符合题意的. 故选:B. 【点评】 本题主要考查三角形全等的判定, 看这 4 块玻璃中哪个包含的条件符合某个判定. 判 定两个三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、ASA、AAS、HL. 4.将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数,得到的三角形是( ) A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形 【考点】相似三角形的 性质. 【分析】根据三组对应边的比相等的三角形相似,依据相似三角形的性质就可以求解. 【解答】解:将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数,得到的三角形与原三角形相似, 因而得到的三角形是直角三角形. 故选 C. 【点评】本题主要考查相似三角形的判定以及性质.

5.如图,在△ ABC 中,分别以点 A 和点 B 为圆心,大于 AB 的长为半径画弧,两弧相交 N, AB=7, 于点 M, 作直线 MN, 交 BC 于点 D, 连接 AD. 若△ ADC 的周长为 10, 则△ ABC ( ) 的周长为

A.7

B.14

C.17

D.20

【考点】线段垂直 平分线的性质. 【专题】几何图形问题;数形结合. 【分析】首先根据题意可得 MN 是 AB 的垂直平分线,即可得 AD=BD,又由△ ADC 的周长 为 10,求得 AC+BC 的长,则可求得△ ABC 的周长. 【解答】解:∵在△ ABC 中,分别以点 A 和点 B 为圆心,大于 AB 的长为半径画弧,两弧 相交于点 M,N,作直线 MN,交 BC 于点 D,连接 AD. ∴MN 是 AB 的垂直平分线, ∴AD=BD, ∵△ADC 的周长为 10, ∴AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=10, ∵AB=7, ∴△ABC 的周长为:AC+BC+AB=10+7=1 7. 故选 C.

【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质与作法.题目难度不大,解题时要注意数形结合 思想的应用. 6. AC 边所在直线的轴对称图形, △ ABE、 △ ADC 和△ ABC 分别是关 于 AB, 如图, 若∠1: ) ∠2:∠3=7:2:1,则∠α 的度数为(

A.90° B.108° C.110° D.126° 【考点】轴对称的性质. 【分析】根据三角形的内角和定理和折叠的性质计算即可. 【解答】解:∵∠1:∠2:∠3=7:2:1, ∴设∠1=7x,∠2=2x,∠3=x, 由∠1+∠2+∠3=180°得: 7x+2x+x=180°, 解得 x=18, 故∠1=7×18=126°,∠2=2×18=36°,∠3=1×18=18°, ∵△ABE 和△ ADC 是△ ABC 分别沿着 AB、AC 边翻折 180°形成的, ∴∠DCA=∠E=∠3=18°,∠2=∠EBA=∠D=36°,∠4=∠EBA+∠E=36°+18°=54°, ∠5=∠2+∠3=18°+36°=54°, 故∠EAC=∠4+∠5=54°+54°=108°, 在△ EGF 与△ CAF 中,∠E=∠DCA,∠DFE=∠CFA, ∴△EGF∽△CAF, ∴α=∠EAC=108°. 故选 B.

【点评】 本题考查图形的折叠变化及三角形的内角和定理. 关键是要理解折叠是一种对称变 换,它属于轴对称,根据轴对称的性质,折叠前后图形的形状和大小不变,只是位置变化. 二、填空题(每题 3 分,共 30 分) 7.如图,若∠1=∠2,加上一个条件∠A=∠B,则有△ AOC≌△BOC.

【考点】全等三角形的判定. 【分析】此题是一道开放型的题目,答案不唯一,如∠A=∠B,或者 OA=OB 等. 【解答】解:∠A=∠B, 理由是:在△ AOC 和△ BOC 中, , ∴△AOC≌△BOC(AAS) . 故答案为:∠A=∠B. 【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用,注意:全等三角形的判定定理有 SAS, ASA,AAS,SSS. 8.等腰三角形的一个角为 40°,则它的底角为 40°或 70°. 【考点】等腰三角形的性质. 【分析】由于不明确 40°的角是等腰三角形的底角还是顶角,故应分 40°的角是顶角和底角 两种情况讨论. 【解答】解:当 40°的角为等腰三角形的顶角时, 底角的度数= =70°;

当 40°的角为等腰三角形的底角时,其底角为 40°, 故它的底角的度数是 70°或 40°. 故答案为:40°或 70°. 【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质这一知识点的理解和掌握,由于不明确 40° 的角是等腰三角形的底角还是顶角,所以要采用分类讨论的思想. 9.如图,△ ABC 与△ A′B′C′关于直线 l 对称,则∠B 的度数为 100 度.

【考点】轴对称的性质. 【分析】根据轴对称的性质先求出∠C 等于∠C′,再利用三角形内角和定理即可求出∠B. 【解答】解:∵△ABC 与△ A′B′C′关于直线 l 对称, ∴∠C=∠C′=30°, ∴∠B=180°﹣∠A﹣∠C =180°﹣50°﹣30° =100°.

故应填 100. 【点评】 此题考查关于某直线对称的两图形全等, 全等三角形的对应角相等以及三角形的内 角和定理. 10.如图,已知△ ABC 中,∠ACB=90°,以△ ABC 的各边为边在△ ABC 外作三个正方形, S1、S2、S3 分别表示这三个正方形的面积,若 S1=9,S2=16,则 S3=7.

【考点】勾股定理. 【分析】根据勾股定理求出 BC2=AB2﹣AC2=7,即可得出结果. 【解答】解:根据题意得:AB2=16,AC2=9, ∵∠ACB=90°, ∴BC2=AB2﹣AC2=16﹣9=7, 则 S3=BC2=7. 故答案为:7. 【点评】考查了勾股定理、正方形的性质、正方形的面积;熟练掌握勾股定理,由勾股定理 求出 BC 的平方是解决问题的关键. 11.已知一个直角三角形的三边的平方和为 1800cm2,则斜边长为 30cm. 【考点】勾股定理. 【分析】设出直角三角形的两直角边分别为 acm,bcm,斜边为 ccm,利用勾股定理列出关 系式,再由三边的平方和为 1800,列出关系式,联立两关系式,即可求出斜边的长. 【解答】解:设直角三角形的两直角边分别为 acm,bcm,斜边为 ccm, 根据勾股定理得:a2+b2=c2, ∵a2+b2+c2=1800, ∴2c2=1800,即 c2=900, 则 c=30cm; 故答案为:30. 【点评】此题考查了勾股定理的应用,熟练掌握勾股定理是解本题的关键. 12.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 30°,则它的顶角为 60°或 120°. 【考点】等腰三角形的性质. 【专题】计算题;分类讨论. 【分析】等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系,三角形内部,三角形的外部,三角 形的边上. 根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成了, 因而应分两种情况进行 讨论. 【解答】解:当高在三角形内部时,顶角是 120°; 当高在三角形外部时,顶角是 60°. 故答案为:60°或 120°. 【点评】 此题主要考查等腰三角形的性质, 熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是 解题的关键,本题易出现的错误是只是求出 120°一种情况,把三角形简单的认为是锐角三 角形.因此此题属于易错题.

13.如图,△ ABC 中,CD⊥AB 于 D,E 是 AC 的中点.若 AD=6,DE=5,则 CD 的长等 于 8.

【考点】勾股定理;直角三角形斜边上的中线. 【专题】计算题. 【分析】由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一 半”求得 AC=2DE=10;然后在直角 △ ACD 中,利用勾股定理来求线段 CD 的长度即可. 【解答】解:如图,∵△ABC 中,CD⊥AB 于 D,E 是 AC 的中点,DE=5, ∴DE= AC=5, ∴AC=10. 在直角△ ACD 中,∠ADC=90°,AD=6,AC=10,则根据勾股定理,得 CD= = =8.

故答案是:8. 【点评】本题考查了勾股定理,直角三角形斜边上的中线.利用直角三角形斜边上的中线等 于斜边的一半求得 AC 的长度是解题的难点. 14.如图,方格纸中△ ABC 的 3 个顶点分别在小正方形的顶点(格点)上,这样的三角形 叫格点三角形,图中与△ ABC 全等的格点三角形共有 7 个(不含△ ABC) .

【考点】全等三角形的判定. 【专题】网格型. 【分析】本题考查的是用 SSS 判定两三角形全等.认真观察图形可得答案. 【解答】 解: 如图所示每个大正方形上都可作两个全等的三角形, 所以共有八个全等三角形, 除去△ ABC 外有七个与△ ABC 全等的三角形. 故答案为:7.

【点评】本题考查的是 SSS 判定三角形全等,注意观察图形,数形结合是解决本题的又一 关键. 15.如图,AD 是△ ABC 中∠BAC 的角平分线,DE⊥AB 于点 E,S△ ABC=7,DE=2,AB=4, 则 AC 长是 3.

【考点】角平分线的性质. 【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得 DE=DF,再根据三角形的面积公式 列式计算即可得解. 【解答】解:∵AD 是△ ABC 中∠BAC 的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC, ∴DE=DF, ∴S△ ABC= ×4×2+ AC?2=7, 解得 AC=3. 故答案为:3. 【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质,熟记性质是解题的关键. 16.如图,∠AOB=3 0°,点 M、N 分别在边 OA、OB 上,且 OM=5,ON=12,点 P、Q 分 别在边 OB、OA 上,则 MP+PQ+QN 的最小值是 13.

【考点】轴对称-最短路线问题. 【分析】首先作 M 关于 OB 的对称点 M′,作 N 关于 OA 的对称点 N′,连接 M′N′,即为 MP+PQ+QN 的最小值,易得△ ONN′为等边三角形,△ OMM′为等边三角形,∠N′OM′=90°, 继而求得答案. 【解答】解:作 M 关于 OB 的对称点 M′,作 N 关于 OA 的对称点 N′,连接 M′N′,即为 MP+PQ+QN 的最小值. 根据轴对称的定义可知:∠N′OQ=∠M′OB=30°,∠ONN′=60°,OM′=OM=5,ON′=ON=12,

∴△ONN′为等边三角形,△ OMM′为等边三角形, ∴∠N′OM′=90°, ∴在 Rt△ M′ON′中,M′N′= 故答案为:13. =13.

【点评】本题考查了最短路径问题,根据轴对称的定义,找到相等的线段,得到直角三角形 是解题的关键. 三、解答题(共 102 分) 17.如图,在 11×11 的正方形网格中,网格中有一个格点△ ABC(即三角形的顶点都在格点 上) . (1)在图中作出△ ABC 关于直线 l 对称的△ A1B1C1 (要求 A 与 A1,B 与 B1,C 与 C1 相 对应) ; (2)在直线 l 上找一点 P,使得△ PAC 的周长最小.

【考点】作图-轴对称变换;轴对称-最短路线问题. 【分析】 (1)分别作出点 A、B、C 关于直线 l 对称的点,然后顺次连接; (2)连接 AC1 与 l 的交点即为点 P,此时△ PAC 的周长最小. 【解答】解: (1)所作图形如图所示; (2)点 P 即为所求的点.

【点评】本题考查了根据轴对称变换作图,解答本题的关键是根据网格结构作出点 A、B、 C 关于直线 l 对称的点,然后顺次连接. 18.如图,∠D=∠C=90°,AC=BD.求证:AD=BC.

【考点】全等三角形的判定与性质. 【专题】证明题. 【分析】根据 HL 证明 Rt△ ADB 与 Rt△ ACB 全等,进而证明 AD=BC. 【解答】证明:∵∠D=∠C=90°, 在 Rt△ ADB 与 Rt△ ACB 中, , ∴Rt△ ADB≌Rt△ ACB(HL) , ∴AD=BC. 【点评】 本题考查了全等三角形的判定及性质; 全等三角形的判定是重点, 本题是道基础题, 是对全等三角形的判定的训练. 19.已知,如图,AB=AE,BC=ED,∠B=∠E,AF⊥CD,F 为垂足,求证:FC=FD.

【考点】全等三角形的判定与性质. 【专题】证明题. 【分析】连接 AC、AD ,根据 SAS 推出△ ABC≌△AED,推出 AC=AD,根据等腰三角形 性质推出即可.

【解答】证明:

连接 AC、AD, ∵在△ ABC 和△ AED 中

∴△ABC≌△AED, ∴AC=AD, ∵AF⊥D, ∴FC=FD. 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定和等腰三角形性质的应用,注意:全等三角形 的对应边相等. 20.如图,在△ ABC 中,CD⊥AB 于 D,AD=9,BD=16,CD=12. (1)求△ ABC 的周长; (2)△ ABC 是直角三角形吗?请说明理由.

【考点】勾股定理;勾股定理的逆定理. 【分析】 (1)由勾股定理求出 BC、AC,即可得出结果; (2)由勾股定理的逆定理即可得出结论. 【解答】解: (1)∵CD⊥AB, ∴∠BDC=∠ADC=90°, ∴BC= =20,AC= =15,

∵AB=AD+BD=25, ∴△ABC 的周长=AB+BC+AC=25+20+15=60; 60; (2)△ ABC 是直角三角形;理由如下: ∵BC2+AC2=400+225=625=252=AB2, ∴△ABC 是直角三角形. 【点评】 本题考查了勾股定理、 勾股定理的逆定理; 熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理, BC AC 由勾股定理求出 和 是解决问题的关键. 21. AC 于 E、 F. △ ABC 中, ∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点 O, 过点 O 作一直线交 AB、 且 BE=EO. (1)说明 OF 与 CF 的大小关系;

(2)若 BC=12cm,点 O 到 AB 的距离为 4cm,求△ OBC 的面积.

【考点】角平分线的性质;平行线的性质. 【分析】 (1)由 BE=EO,根据等边对等角,可得∠EBO=∠EOB,又由△ ABC 中,∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点 O,可得∠EBO=∠OBC,即可判定 EF∥BC,则可证得 ∠FOC=∠OCB=∠OCF,由等角对等边,即可证得 OF=CF; (2)由点 O 到 AB 的距离为 4cm,根据角平分线的性质,即可得点 O 到 BC 的距离为 4cm, 则可求得△ OBC 的面积. 【解答】解: (1)OF=CF. 理由:∵BE=EO, ∴∠EBO=∠EOB, ∵△ABC 中,∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点 O, ∴∠EBO=∠OBC, ∴∠EOB=∠OBC, ∴EF∥BC, ∴∠FOC=∠OCB=∠OCF, ∴OF=CF; (2)过点 O 作 OM⊥BC 于 M,作 ON⊥AB 于 N, ∵△ABC 中,∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点 O,点 O 到 AB 的距离为 4cm, ∴ON=OM=4cm, ∴S△ OBC= BC?OM= ×12×4=24(cm2) .

【点评】 此题考查了角平分线的性质、 等腰三角形的判定与性质以及平行线的判定与性质. 此 题比较简单,解题的关键是注意数形结合思想的应用,注意辅助线 的作法. 22.如图,△ ABC 中,∠ACB=90°,∠B=30°,AD 平分∠CAB,延长 AC 至 E,使 CE=AC. (1)求证:DE=DB; (2)连接 BE,试判断△ ABE 的形状,并说明理由.

【考点】等边三角形的判定;线段垂直平分线的性质;含 30 度角的直角三角形. 【分析】 (1)由直角三角形的性质和角平分线得出∠DAB°=∠ABC,得出 DA=DB,再由线 段垂直平分线的性质得出 DE=DA,即可得出结论; (2)由线段垂直平分线的性质得出 BA=BE,再由∠CAB=60°,即可得出△ ABE 是等边三 角形. 【解答】 (1)证明:∵∠ACB=90°,∠ABC=30°, ∴BC⊥AE,∠CAB=60°, ∵AD 平分∠CAB, ∴∠DAB= ∠CAB=30°=∠ABC, ∴DA=DB, ∵CE=AC, ∴BC 是线段 AE 的垂直平分线, ∴DE=DA, ∴DE=DB; (2)△ ABE 是等边三角形;理由如下: ∵BC 是线段 AE 的垂直平分线, ∴BA=BE, 即△ ABE 是等腰三角形, 又∵∠CAB=60°, ∴△ABE 是等边三角形. 【点评】本题考查了等边三角形的判定方法、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定等 知识;本题综合性强,难度适中. 23.如图,将边长为 a 与 b、对角线长为 c 的长方形纸片 ABCD,绕点 C 顺时针旋转 90°得 到长方形 FGCE,连接 AF.通过用不同方法计算梯形 ABEF 的面积可验证勾股定理,请你 写出验证的过程.

【考点】勾股定理的证明. 【分析】根据 S 梯形 ABEF=S△ ABC+S△ CEF+S△ ACF,利用三角形以及梯形的面积公式即可证明.

【解答】证明:∵S 梯形 ABEF= (EF+AB)?BE= (a+b)?(a+b)= (a+b)2, ∵Rt△ CDA≌Rt△ CGF, ∴∠ACD=∠CFG, ∵∠CFG+∠GCF=90°, ∴∠ACD+∠GCF=90°, 即∠ACF=90°, ∵S 梯形 ABEF=S△ ABC+S△ CEF+S△ ACF, ∴S 梯形 ABEF= ab+ ab+ c2, ∴ (a+b)2= ab+ ab+ c2 ∴a2+2ab+b2=2ab+c2, ∴a2+b2=c2. 【点评】 本题考查了用数形结合来证明勾股定理, 证明勾股定理常用的方法是利用面积证明, 本题锻炼了同学们的数形结合的思想方法. 24.如图,△ ABC 中,∠A=60°. (1)试求作一点 P,使得点 P 到 B、C 两点的距离相等,并且到 AC、BC 两边的距离也相 等(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹) . (2)在(1)的条件下,若∠ABP=15°,求∠BPC 的度数.

【考点】作图—复杂作图;角平分线的性质;线段垂直平分线的性质. 【分析】 (1)利用线段垂直平分线的作法结合角平分线的作法进而得出答案; (2)利用角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质得出∠ACD=∠DCB=∠PBC,结合三 角形内角和定理得出答案. 【解答】解: (1)如图所示:点 P 即为所求; (2)连接 BP,PC, 由题意可得:CD 是∠ACB 的角平分线,MN 垂直平分 BC, 则∠ACD=∠DCB,BP=PC, 故∠PBC=∠PCB, 则∠ACD=∠DCB=∠PBC, ∵∠A=60°,∠ABP=15°, ∴∠ACD=∠DCB=∠PBC= (180°﹣60°﹣15°)=35°, ∴∠BPC 的度数为:110°.

【点评】此题主要考查了线段垂 直平分线的性质与画法以及角平分线的性质与画法,正确 得出∠ACD=∠DCB=∠PBC 是解题关键. 25.我们学习了勾股定理后,都知道“勾三、股四、弦五”. 观察:3、4、5;5、12、13;7、24、25;9、40、41;…,发现这些勾股数的勾都是奇数, 且从 3 起就没有间断过. (1)请你根据上述的规律写出下一组勾股数:11,60,61; (2)若第一个数用字母 n(n 为奇数,且 n≥3)表示,那么后两个数用含 n 的代数式分别表 示为 和 ,请用所学知识说明它们是一组勾股数.

【考点】勾股数. 【专题】规律型. 【分析】 (1)分析所给四组的勾股数:3、4、5;5、12、13;7、24、25;9、40、41;可得 下一组一组勾股数:11,60,61; (2)根据所提供的例子发现股是勾的平方减去 1 的二分之一,弦是勾的平方加 1 的二分之 一. 【解答】解: (1)11,60,61; (2)后两个数表示为 和 ,







∴ 又∵n≥3,且 n 为奇数, ∴由 n, ,



三个数组成的数是勾股数.

故答案为:11,60,61. 【点评】本题属规律性题目,考查的是勾股数之间的关系,根据题目中所给的勾股数及关系 式进行猜想、证明即可. 26. (14 分) (1)问题发现:如图 1,△ ACB 和△ DCE 均为等边三角形,当△ DCE 旋转至 点 A,D,E 在同一直线上,连接 BE.

填空:①∠AEB 的度数为 60°;②线段 AD、BE 之间的数量关系是 AD=BE. (2)拓展研究: 如图 2,△ ACB 和△ DCE 均为等腰三角形,且∠ACB=∠DCE=90°,点 A、D、E 在同一直 线上,若 AE=15,DE=7,求 AB 的长度. (3)探究发现: 图 1 中的△ ACB 和△ DCE,在△ DCE 旋转过程中当点 A,D,E 不在同一直线上时,设直 线 AD 与 BE 相交于点 O, 试在备用图中探索∠AOE 的度数, 直接写出结果, 不必说明理由.

【考点】全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质;等腰直角三角形. 【分析】 (1)由条件易证△ ACD≌△BCE,从而得到:AD=BE,∠ADC=∠BEC.由点 A, D,E 在同一直线上可求出∠ADC,从而可以求出∠AEB 的度数. (2)仿照(1)中的解法可求出∠AEB 的度数,证出 AD=BE;由△ DCE 为等腰直角三角形 及 CM 为△ DCE 中 DE 边上的高可得 CM=DM=ME,从而证到 AE=2CH+BE. (3)由(1)知△ ACD≌△BCE,得∠CAD=∠CBE,由∠CAB=∠ABC=60°,可知 ∠EAB+∠ABE=120°,根据三角形的内角和定理可知∠AOE=60°. 【解答】解: (1)①如图 1, ∵△ACB 和△ DCE 均为等边三角形, ∴CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°. ∴∠ACD=∠BCE. 在△ ACD 和△ BCE 中, , ∴△ACD≌△BCE(SAS) . ∴∠ADC=∠BEC. ∵△DCE 为等边三角形, ∴∠CDE=∠CED=60°. ∵点 A,D,E 在同一直线上, ∴∠ADC=120°. ∴∠BEC=120°. ∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=60°. 故答案为:60°. ②∵△ACD≌△BCE, ∴AD=BE. 故答案为:AD=BE. (2) ∵△ACB 和△ DCE 均 为等腰直角三角形,

∴CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=90°. ∴∠ACD=∠BCE. 在△ ACD 和△ BCE 中, , ∴△ACD≌△BCE(SAS) . ∴AD=BE=AE﹣DE=8 ∵△DCE 为等腰直角三角形, ∴∠CDE=∠CED=45°. ∵点 A,D,E 在同一直线上, ∴∠ADC=135°. ∴∠BEC=135°. ∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°. ∴AB= =17; =,∠ADC=∠BEC,

(3)如图 3,由(1)知△ ACD≌△BCE, ∴∠CAD=∠CBE, ∵∠CAB=∠CBA=60°, ∴∠OAB+∠OBA=120° ∴∠AOE=180°﹣120°=60°, 如图 4,同理求得∠AOB=60°, ∴∠AOE=120°, ∴∠AOE 的度数是 60°或 120°.

【点评】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于 斜边的一半、 三角形全等的判定与性质等知识, 考查了运用已有的知识和经验解决问题的能 力,是体现新课程理念的一道好题.


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