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高中数学必修4(北师版)第一章1.7 正切函数(与最新教材完全匹配)知识点总结含同步练习题及答案


高中数学必修4(北师版)知识点总结含同步练习题及答案
第一章 三角函数 1.7 正切函数

一、知识清单
三角函数的图象 三角函数的性质

二、知识讲解
1.三角函数的图象 描述: 正弦函数的图象

正弦函数 y = sin x, x ∈ R 的图象叫做正弦曲线. 余弦函数的图象 把正弦曲线向左平移 弦曲线.

π 个单位就可以得到余弦函数的图象.余弦函数 y = cos x, x ∈ R 的图象叫做余 2

正切函数的图象 用单位圆上的正切线可作正切函数 y = tan x 在开区间 (?

π π , ) 内的图象.根据正切函数的周期 2 2 π π 性,我们可以把函数图象向左、向右连续平移,得出 y = tan x,x ∈ (? + kπ, + kπ) , k ∈ Z 2 2
的图象,即正切曲线.

正弦型函数图象的“五点法”作图 作正弦型函数的简图,一般都是先找出确定图象形状的关键的五个点, 然后在描点作图时要注意到,被

这五个点分隔的区间上的变化情况,在 x = 0, π, 2π 附近函数增加或下降快一些,曲线“陡”一些,在

x=

π 3π 附近,函数变化慢一些,曲线变得“平缓”.这种作图方法叫做五点法. , 2 2

例题: 用五点法作下列函数的图象. (1)y = 2 ? sin x,x ∈ [0, 2π] ; (2)y = cos(x +

解:(1)按五个关键点列表如下:

π π 11π ), x ∈ [? , ]. 6 6 6 π 0 2 3π 2 ?1 3 2π 0 2

x

0

sin x 0 2 ? sin x 2
如图所示:

π 2 1 1

x
(2)

? 0 1

π 6 π y = cos(x + ) 6 x+

π 6

π 3 π 2 0

5π 6 π ?1

4π 3 3π 2 0

11π 6 2π 1

2.三角函数的性质 描述: 正弦函数的性质 定义域: R ; 值域: [?1, 1] ;当且仅当 x = 2kπ +

?1 ,其中 k ∈ Z ;

π 3π 时取得最大值 1 ,当且仅当 x = 2kπ + 时取得最小值 2 2

周期性:最小正周期为 2π ; 奇偶性:奇函数; 单调性:在 [?

递减. 正弦型函数 y = A sin (ωx + φ) 的性质 周期性:最小正周期为 T = 频率 f =

π π π 3π + 2kπ, + 2kπ] (k ∈ Z) 上单调递增;在 [ + 2kπ, + 2kπ] (k ∈ Z) 上单调 2 2 2 2 2π ; |ω|

|ω| 1 ,初相为 φ ; = T 2π [? |A| , |A|] |A|

?|A|

|A|

值域为 [? |A| , |A|] ,最大值为 |A| ,最小值为 ?|A| . |A| 又称为振幅. 余弦函数的性质 定义域: R ; 值域: [?1, 1] ;当且仅当 x = 2kπ 时取得最大值 1 ,当且仅当 x = 2kπ + π 时取得最小值 ?1 , 其中 k ∈ Z ; 周期性:最小正周期为 2π ; 奇偶性:偶函数; 单调性:在 [2kπ, (2k + 1)π] (k ∈ Z) 上单调递减;在 [(2k + 1)π, 2(k + 1)π] (k ∈ Z) 上单调递增. 正切函数的性质 定义域: {x ∣ ∣ x ≠ 2 + kπ, k ∈ Z} ; 值域: R ; 周期性:最小正周期为 π ; 奇偶性:奇函数;

T



π

单调性:正切函数在每一个开区间 (?

π π + kπ, + kπ) , k ∈ Z 内都是增函数. 2 2

例题: 求使下列函数取得最大值和最小值的 x 的取值范围,并说出最大值和最小值是什么:(1)

π )(0 ≤ x ≤ π);(3)y = 2 cos2 x + 5 sin x ? 4 . 4 解:(1)当 x = kπ(k ∈ Z) 时,函数 y = | sin x| 取得最小值 0 ; π 当 x= + kπ(k ∈ Z) 时,函数 y = | sin x| 取得最大值 1 . 2 π π 3π π √2 (2)因为 0 ≤ x ≤ π ,所以 ? ≤ x ? ,? ≤ ≤ sin(x ? ) ≤ 1 ,所以 4 4 4 2 4 π π π π √2 √2 .所以当 x ? ;当 x ? 1 ≤y ≤2+ = ? ,即 x = 0 时,y max = 2 + = ,即 2 4 4 2 4 2 3π 时,y min = 1 . x= 4 5 9 (2)y = 2 cos2 x + 5 sin x ? 4 = ?2 sin 2 x + 5 sin x ? 2 = ?2(sin x ? )2 + ,因为 4 8 π sin x ∈ [?1, 1] ,所以,当 sin x = ?1,即 x = ? + 2kπ(k ∈ Z)时,y 有最小值 ?9;当 2 π sin x = 1 ,即 x = + 2kπ(k ∈ Z) 时,y 有最大值 1 . 2 y = | sin x|;(2)y = 2 ? sin(x ? π π 4π 19π 与 sin ;(2)cos 与 cos . 4 8 7 7 π π π π π π 解:(1)因为 0 < < < ,且 y = sin x 在 [0, ] 上单调递增,所以 sin > sin ; 8 4 2 2 4 8 19π 5π 5π (2)cos . = cos(2π + ) = cos 7 7 7 4π 5π 4π 5π 因为 0 < . < < π,且 y = cos x 在 [0, π] 上单调递减,所以cos > cos 7 7 7 7
比较下列函数值大小:(1)sin 求函数 f (x) = sin(2x ? 解:① T =

2π = π; 2 π π π π 5π ② 当 ? + 2kπ ≤ 2x ? ≤ + 2kπ,即 ? + kπ ≤ x ≤ + kπ(k ∈ Z) 时,f (x) 的单调 2 3 2 12 12 π 5π 递增区间是 [? + kπ, + kπ](k ∈ Z); 12 12 π π 3π 5π 11π 当 + 2kπ ≤ 2x ? ≤ + 2kπ ,即 + kπ ≤ x ≤ + kπ 时,f (x) 的单调递减区间是 2 3 2 12 12 5π 11π [ + kπ, + kπ ](k ∈ Z); 12 12 π π 5π kπ 5π kπ ③ 当 2x ? 时,f (x) 的对称轴是 x = = + kπ,即 x = + + , k ∈ Z; 3 2 12 2 12 2 π π kπ π k ④ 当 2x ? ,所以 f (x) 的对称中心是 ( + π, 0 ), k ∈ Z. = kπ,即 x = + 3 6 2 6 2

π ) 的最小正周期,单调性,对称轴,对称中心. 3

π ) 的定义域、值域,并指出它的最小正周期、奇偶性、单调性、对称中心. 3 π π 5 kπ 解:由已知 3x ? ≠ + kπ,解得 x ≠ π+ , k ∈ Z ,所以,函数的定义域为 3 2 18 3 5 kπ π {x|x ≠ π+ , k ∈ Z} ,函数的值域为 (?∞, +∞) ,最小正周期为 T = .因为函数的定义域不 18 3 3
求函数 y = tan(3x ? 关于原点对称,所以,函数为非奇非偶函数. 当 kπ ?

π π π kπ π kπ 5π 时,解得 < 3x ? < kπ + ? <x< + (k ∈ Z) .所以,函数在区间 2 3 2 3 18 3 18 kπ π kπ 5π π kπ π kπ ,即 x = 时,函数的对称中 ( ? , + )(k ∈ Z) 上单调递增.当 3x ? = + 3 18 3 18 3 2 9 6 π kπ 心是 ( + , 0 )(k ∈ Z). 9 6

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