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人教版高中数学必修1练习题.doc文件(集合与函数、基本初等函数)


高中数学必修 1 练习题

[高中数学]练习题

[必修 1]

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高中数学必修 1 练习题

高中数学练习题 (必修 1)

第一部份 第二部份 第三部份 第四部份

[元素与集合]练习题 ...................................................................................................... 2 [函数基础]练习题 .......................................................................................................... 3 [基本初等函数]练习题 ................................................................................................ 10 [函数的应用]练习题 .................................................................................................... 16

第一部份

[元素与集合]练习题

1、已知集合 A ? ?x ? 2 ? x ? 5?, B ? ?x m ? 1 ? x ? 2m ?1?,若 B ? A ,求实数 m 的 取值范围。 (数形结合) A
-2 m+1 0 2m-1 5

?m ? 1 ? 2 m ? 1 ? 解: (1)如果 B ? ? ,则 ?m ? 1 ? ?2 ?2 m ? 1 ? 5 ?
解得: 2 ? m ? 3 (2)如果 B ? ? ,则 m ? 1 ? 2m ? 1 ,解得 m ? 2 综合(1)和(2) ,得 m ? 3

2、已知{1,2} ? M ? {1,2,3,4,5} ,试列出符合条件的所有集合 M。
1,2,4? , ? 1,2,5?, ? 1,2,3,4?, ? 1,2,3,5?, ? 1,2,3,4?, ? 解: ? 1,2?, ? 1,2,3?, ? 1,2,3,4,5?共八个。

3、设 A ? x ( x 2 ? 16)( x 2 ? 5 x ? 4) ? 0 , 写出集合 A 的子集, 并指出哪些是真子集。
解:由 ( x ?16)(x ? 5x ? 4) ? 0 ,解得 x ? ?4,?1,4 ,则集合 A ? ?? 4,?1,4?,其子集有:
2 2

?

?

?, ?? 4?, ?? 1?, ?4?,?? 4,?1?,?? 4,4? ,?? 1,4?,?? 4,?1,4?。真子集有:?, ?? 4?, ?? 1?, ?4?,

?? 4,?1?, ?? 4,4? , ?? 1,4?。
4、已知集合 A ? y y ? x 2 ? 2 x ? 6, x ? R , B ? ?x 4 x ? 7 ? 5?,试判断集合 A 与 B 的关系。 (数形结合)
解:函数 y ? x ? 2 x ? 6 = ?x ? 1? ? 7 具有最小值, y最小 ? ?7 ,所以 A ? y y ? ?7
2

?

?

2

?

?
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高中数学必修 1 练习题

又 B ? x 4x ? 7 ? 5 ? x x ? 3 ,所以集合 B 是集合 A 的真子集,即 B

?

? ?

?

A。

5、设集合 A= ?x 2 ? x ? 4?,B= ?x 3x ? 7 ? 8 ? 2 x?,求 A ? B , A ? B 。 (数形结合)
解: B ? x x ? 3 ,则 A ? B = x x ? 2 , A ? B ? x 3 ? x ? 4

?

?

?

?

?

?

1,2,3? , C= ?3,4,5,6? ,求 A ? B , A ? C , 6、设 A= x x是小于9的正整数 , B= ?

?

?

A ? (B ? C) , A ? (B ? C) 。
解: A ? B ? ? 1,2,3?, A ? C ? ?3,4,5,6?, A ? ( B ? C) ? ? 1,2,3,4,5,6,7,8?? ? 1,2,3,4,5,6?

=? 1,2,3,4,5,6?, A ? ( B ? C ) = ? 1,2,3,4,5,6,7,8?? ?3?= ? 1,2,3,4,5,6,7,8? 7、已 知 集 合 A ? ?x 3 ? x ? 7? , B ? ?x 2 ? x ? 10? , 求 CR ( A ? B) , CR ( A ? B) ,
(CR A) ? B) 。 (数形结合)
解: A ? B ? x 2 ? x ? 10 , A ? B ? x 3 ? x ? 7 , CR A ? x x ? 3或x ? 7 所以 CR ( A ? B) ? x x ? 2或x ? 10

?

?

?

?

?

?

?

?
2 3

B A 7 10

CR ( A ? B) ? ?x x ? 3或x ? 7? (CR A) ? B) ? ?x 2 ? x ? 3或7 ? x ? 10?

? b ? 8、已知某集合既可表示为 ?a, ,1? , 又可表示为 a2 , a ? b,0 , 求 a 2010 ? b2010 的值。 a ? ?
2 解:因 a ? 0 ,根据集合元素的互异性,必有 b ? 0 ,集合可表示为 ?a,0,1? 或 a , a,0 ,得

?

?

?

?

a ? ?1 ,则 a 2010 ? b2010 =1

第二部份

[函数基础]练习题
0

1、求函数 y ? ( x ? 1) ?

2 的定义域。 x ?1

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解:要使函数有意义,则满足 ?

?x ?1 ? 0 ,解得 x ? ?1 且 x ? 1 ?x ? 1 ? 0

? 函数定义域为 ?x x ? ?1且x ? 1?

2 2、已知函数 f ( x) 的定义域为[0,1],求 f ( x ? 1) 的定义域。
2 2 2 解:函数中的 f ( x ? 1) 中的整体变量 x ? 1 相当于 f ( x) 中变量 x ,所以 0 ? x ? 1 ? 1,

2 即 ? 1 ? x ? 0 ,解 x ? o ,即函数 f ( x ? 1) 的定义域为 ?0? 。
2

3、已知函数 f (2 x ? 1) 的定义域为[0,1],求 f (1 ? 3 x) 的定义域。 解:因为 f (2 x ? 1) 的定义域为[0,1],即 0 ? x ? 1 ,求得 ? 1 ? 2 x ? 1 ? 1 ,所以函数 f ( x ) 的 定义域为 ?? 1,1? 。对于函数 f (1 ? 3 x) ,满足 ? 1 ? 1 ? 3 x ? 1 ,解得 2 ? x ? 即函数 f (1 ? 3 x) 的定义域为 ?2, ?

2 3

? 2? ? 3?

4、求函数 y ?

2x2 ? 4x ? 7 的值域。 x2 ? 2 x ? 3
2

解:函数变形为: ? y ? 2?x ? 2? y ? 2?x ? 3 y ? 7 ? 0 (1)当 y ? 2 ? 0 即 y ? 2 时,上式 ? 0 ,所以 y ? 2 ; (2)上式 ? ? ?2? y ? 2?? ? 4? y ? 2??3 y ? 7? ? 0 ,解得 ?
2

9 ? y?2 2

综合(1) (2)得,函数的值域为 ? y ?

? ?

? 9 ? y ? 2? 2 ?

5、求 下 列 函 数 的 值 域 : (1) y?

2 ( 2 ) y ? x ? 4 x ? 6, x ?[1,5); ( 3 ) x2 ? 5 ;

1 2x ?1 (4) y ? 2 x ? x ? 1 ; (5) y ? y ? ? x4 ? x2 ? , x ? R ; 4 3x ? 5
2

解: (1) (观察法) :? x ? 0 ,? x2 ? 5 ? 5 ,函数的值域为 y y ? 5
2

?

?
? ?

(2)(配方法) : y ? x2 ? 4x ? 6 ? ?x ? 2? ? 2 ,因为 x ? [1,5) ,所以值域为 y 2 ? y ? 11

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2 (3)(换元法) : 令x ?t, 则原式 ? ?t 2 ? t ?

2 1 1 ? 1? 1 当t ? 即 x ? ? 时, ? ?? t ? ? ? , 2 4 2 ? 2? 2

2

函数有最大值

? 1? 1 ,所以函数的值域为 ? y y ? ? 2? 2 ?
x ?1 ,则 t ? 0, x ? t 2 ? 1 ,得 y ? 2 t 2 ? 1 ? 2t ,配方得

(4)(换元法)令 t ?
2

?

?

? 1 ? 15 y ? 2? t ? ? ? ? 15? 1 9 15 8 ,当 t ? 即 x ? 时,函数有最小值 ,所以值域 ? y y ? ? ? 4? 8? 4 8 8 ?
(5)函数式化解为 ?2 ? 3 y ?x ? 1 ? 5 y ? 0 ,如果 2 ? 3 y ? 0 即 y ? 都成立,但据题意,分母 3x ? 5 ? 0 即 x ? ?

2 时,上式对于任意 x 值 3
2? ? 3?

? 5 2 ,所以 y ? ,即函数值域 ? y y ? 3 3 ?

6、已知函数 f ? x ? ? ?

x ? ?2 ? 1, x ? 1 ,若 f ? f ?0?? ? 4a ,求 a 的值。 2 ? x ? ax , x ? 1 ?

0 解: f ? f ?0?? ? f 2 ? 1 = 2 ? 2a ? 4 ? 2a ,
2

?

?

所以得 4 ? 2a ? 4a ,求得 a ? 2

1 2 ( x ? 3) ,若 g[ f ( x)] ? x 2 ? x ? 1 ,求 a 的值。 4 1 1 2 2 2 解: g[ f ( x)] ? g ?2 x ? a ? = ?2 x ? a ? ? 3 = x ? ax ? ?a ? 3? ,按题意, 4 4 1 1 x 2 ? ax ? ?a 2 ? 3? = x 2 ? x ? 1 是恒等式,所以满足: a ? 1 ,且 ?a 2 ? 3? ? 1 ,解得 a ? 1 4 4
7、已知 f ( x) ? 2 x ? a , g ( x) ?

?

?

8、求使函数 y ?

x 2 ? ax ? 2 的值域为 ( ??,2) 的 a 的取值范围。 x2 ? x ? 1
2

x 2 ? ax ? 2 1? 3 ? ? 2 ,因为 x2 ? x ? 1 ? ? x ? ? ? ? 0 ,所以上式化简为: 解:令 y ? 2 x ? x ?1 2? 4 ?

x2 ? ?a ? 2?x ? 4 ? 0 , 则 二 次 函 数 图 像 开 口 向 上 , 且 与 X 轴 没 有 交 点 , 满 足 :

? ? ?? ?a ? 2?? ? 4 ? 4 ? 0 ,解得 ? 6 ? a ? 2
2

所以,使函数 y ?

x 2 ? ax ? 2 的值域为 ( ??,2) 的 a 的取值范围为 ?? 6,2? x2 ? x ? 1
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9、已知函数 f ( x) ? (a 2 ? 1) x 2 ? (a ? 1) x ? 解:依题意, (a ? 1) x ? (a ? 1) x ?
2 2

2 的定义域为 R,求实数 a 的取值范围。 a ?1

2 ? 0 恒成立 a ?1

?a 2 ? 1 ? 0 ? (1)当满足 ?a ? 1 ? 0 时,上式恒成立,解得 a ? 1 ?a ? 1 ? 0 ?
(2)当 a ? 1 ? 0 时,上式为二次函数式,则满足图像开口向上,并与 X 轴只有一个交点
2

?a 2 ? 1 ? 0 ? 2 ? 2 2 ? 0 ,解得 1 ? a ? 9 (即相切) ,即满足: ?? ? ?a ? 1? ? 4 a ? 1 ? a ?1 ? ? ?a ? 1 ? 0

?

?

综合(1) (2)得, a ? ?1,9?

10、已知函数 y ? mx2 ? 6mx? m ? 8 的定义域为 R,求实数 m 的取值范围。 解:依题意, m x ? 6m x ? m ? 8 ? 0 恒成立
2 2 (1)当 m ? 0 时, m x ? 6m x ? m ? 8 ? 8 ? 0 ,? m ? 0 成立

(2)当 m ? 0 时,则二次函数式的图像开口向上,且跟 X 轴只有一个交点(即相切) ,则 满足: ?? 6m? ? 4m?m ? 8? ? 0 ,即 m?m ? 1? ? 0 解得 0 ? m ? 1
2

综合(1) (2)得 m 的取值范围为 ?0,1?

11、若 f ( x) 是二次函数,且满足 f (0) ? 1 , f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2 x ,求 f ( x) 。
2 解:设二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c?a ? 0?,根据题意, f (0) ? 1 ,解得: c ? 1

又: f ( x ?1) ? f ( x) ? a?x ?1? ? b?x ?1? ? 1 ? ax2 ? bx ? 1 = 2 x
2

?

??

?

即: 2ax ? ?a ? b? ? 2 x ,得 ?
2 所以 f ( x) = ? x ? x ? 1

?2 a ? 2 ? ? ,解得 a ? 1, b ? ?1 ?a ? b ? 0 ?

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12、若 f ( f ( f ( x))) ? 27x ? 26 ,求一次函数 f ( x) 的解析式。
2 解:设一次函数 f ( x) = ax ? b ?a ? 0? ,则 f ? f ?x ?? ? a?ax ? b? ? b = a x ? ab ? b

f ( f ( f ( x))) ? a a2 x ? ab ? b ? b = a3 x ? a 2b ? ab ? b = 27 x ? 26 是恒等式
得: a ? 27 , a b ? ab ? b ? 26 ,解得: a ? 3, b ? 2 ,所以 f ( x ) = 3 x ? 2
3

?

?

2

13、设 3 f ( x) ? 2 f ? ? ? 4 x ,求 f ( x) 。

?1? ? x?

解:因为 x 同

4 1 1 ?1? 互为倒数,所以可用 代替方程中的 x ,得 3 f ? ? ? 2 f ?x ? ? ,同原式 x x x ? x?

? ?1? ?3 f ?x ? ? 2 f ? x ? ? 4 x 12 8 ? ? ? x? 组成联立方程组: ? 解得: f ( x) = 5 5x 1? 4 ?3 f ? ? ? ? 2 f ?x ? ? ? x ? ? x?
14、设 3 f ( x ? 1) ? 2 f (1 ? x) ? 2 x ,求 f ( x) 。 解:因为 x ? 1 同 1 ? x 互为相反数,令 x ? 1 ? t ,则 1 ? x ? ?t , x ? t ? 1 ,代入原式得: 再用 ? t 代替式中的 t 得:3 f (?t ) ? 2 f (t ) ? 2 x , 组成联立方程: 3 f (t ) ? 2 f (?t ) ? 2?t ? 1? ,

?3 f (t ) ? 2 f (?t ) ? 2?t ? 1? 2 2 ? ?3 f (?t ) ? 2 f (t ) ? 2?1 ? t ? ,解得: f ?t ? ? 2t ? 5 ,所以 f ? x ? ? 2 x ? 5

15、设 f ( x ? 1) ? x ? 2 x ,求 f ( x) 。 解:设 x ? 1 ? t ?t ? 1? ,则 x ? ?t ?1? ,代入原式,得 f ?t ? ? ?t ?1? ? 2?t ?1? ? t 2 ?1
2

2

所以: f ?x? ? x ?1?x ? 1?
2

16、证明函数 f ( x) ? 2x ?1 在 (??,??) 上是增函数。 证明:任取 x1, x2 ? (??,??) 且 x1 ? x2 ,则 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? ?2 x1 ? 1? ? ?2 x2 ? 1? = 2? x1 ? x2 ? 因为 x1 ? x2 ,所以 x1 ? x2 ? 0 ,所以 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? 0 ,所以 f ( x) 是增函数。

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17、写出函数 y ? 3x ? 2 x ? 1 的单调增区间、单调减区间,并求其最值。
2

解:函数 y ? 3x ? 2 x ? 1 = 3? x ? ? ?
2

? ?

1? 3?

2

2 1 ,则函数图像开口向上,对称轴为 x ? ? , 3 3
? ? 1? 3?

单调增区间为 ?? ,?? ? ,单调减区间为 ? ? ?,? ? ,当 x ? ? 时,函数有最小值

? 1 ? 3

? ?

1 3

2 。 3

18、已知偶函数 f ( x) 在区间 ?0,??? 上单调递增,求满足 f ?2 x ? 1? ? f ? ? 的 x 取值范围。 解:因为 f ( x) 是偶函数,则有 f (? x) = f ( x) = f ( x ) ,因为 x ? ?0,??? ,根据函数 f ( x) 单 调递的题意,则有 2 x ? 1 ?

?1? ? 3?

1 1 2 ,解得 ? x ? 3 3 3

注:解答本题的关键是,利用 x ? 0 ,将 x 和 ? x 的问题转化到区间 ?0,??? 上。

2 19、已知二次函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 3 , ( 1 )当 x ? ?? 2,0? 时,求 f ( x) 的最值; ( 2 )当

x ? ?? 2,3?时,求 f ( x) 的最值。
2 解: f ( x) ? x ? 2 x ? 3 = ?x ? 1? ? 2 ,则图像开口向上,顶点坐标为(1,1) ,对称轴 x ? 1 ,

2

当 x ? 1 时,为减函数;当 x ? 1 时,为增函数。所以: (1)当 x ? ?? 2,0? 时,函数为减函数,所以当 x ? ?2 时,函数取得最大值为 f ?? 2? ? 11; 当 x ? 0 时,函数取得最小值 f ?0? ? 3 。 (2)当 x ? ?? 2,3?时, 函数在 ?? 2,1? 上是减函数, 在 ?1,3? 上是增函数, 取得最小值 f ?1? ? 2 ; 当 x ? ?2 时 , f ?? 2? ? 11 , 当 x ? 3 时 , f ?3? ? 6 , 所 以 当 x ? ?2 时 , 取 得 最 大 值

f ?? 2? ? 11。

20、判断函数 f ( x) ? x ? a ? x ? a (a ? R) 的奇偶性。 解:式中含有参数 a ,则分类讨论。 (1)当 a =0 时, f ( x) ? x ? x ? 0 ,则 f ?x ? 既是奇函数,又是偶函数。 (2)当 a ? 0 时, f (?x) ? ? x ? a ? ? x ? a ? x ? a ? x ? a
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高中数学必修 1 练习题

? ?? x ? a ? x ? a ? ? ? f ?x? ,所以 f ?x ? 是奇函数。
综上所述,当 a =0 时, f ?x ? 既是奇函数,又是偶函数;当 a ? 0 时, f ?x ? 是奇函数。

21、已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且 f ( x ) ? 数在 0 处有定义,则必有 f (0) ? 0 )

x?m ,试求 f ( x) 。 (提示:奇函 x ? nx ? 1
2

解:因为 f ( x) 在原点处有定义,所以 f (0) ? 0 ,求得 m ? 0 ,

x , x ? nx ? 1 x ?x ? ? f ?x ? = ? 2 又因为 f (? x) = ? f ( x) ,即 f (? x ) ? 2 x ? nx ? 1 x ? nx ? 1 ?x x 2 2 ?? 2 所以 2 是恒等式,则有 x ? nx ? 1 ? x ? nx ? 1 ,得 n ? 0 x ? nx ? 1 x ? nx ? 1 x 所以, f ( x) ? 2 x ?1
则 原式 f

?x ? ?

2

22、已知 f ( x) 是偶函数, g ( x) 是奇函数,且 f ( x) + g ( x) = 解:因为 f ( x) + g ( x) =

1 ,求 f ( x) , g ( x) 。 x ?1

1 1 ,所以 f (? x) + g (? x) = x ?1 ? x ?1

又因为: f (? x) ? f ?x ? , g (? x) = ? g ( x) ,所以 f (? x) + g (? x) = f ?x ? ? g ?x ? =

1 ? x ?1

1 ? f ?x ? ? g ?x ? ? ? 1 x ? x ?1 组成联立方程: ? ,解得 f ? x ? ? 2 , g ?x ? ? 2 x ?1 x ?1 ? f ?x ? ? g ?x ? ? 1 ? ? x ?1 ?
所以 f ? x ? ?

1 ?x ? ?1? , g ?x ? ? 2x ?x ? ?1? x ?1 x ?1
2

( x ? 1)(x ? a) 为奇函数,求 a 值。 x ( ? x ? 1)( ? x ? a ) 解: f (? x) = ,因为函数是奇函数,所以 f ( x) = ? f (? x) ,恒有 ?x ( ? x ? 1)( ? x ? a ) ( x ? 1)(x ? a) 2 2 =? ,即 x ? ?a ? 1?x ? a ? x ? ?a ? 1?x ? a 是恒等式 ?x x
23、已知 f ( x) = 则有: a ? 1 ? ??a ? 1? ,求得 a ? ?1

24、设函数 f ?x ? ? x e ? ae
x

?

?x

??x ? R? 是偶函数,求 a 值。
第9页

高中数学必修 1 练习题

解: f ?? x ? ? ? x e? x ? aex ,因为函数 f ?x ? 是偶函数,则恒有 f ?x ? ? f ?? x ? ,即

?

?

x e x ? ae? x ? ? x e? x ? aex ,整理得 ?a ? 1??e x ? e? x ? ? 0
要使上式在 x ? R 内恒成立,则必有 a ? 1 ? 0 ,即 a ? ?1 25、设 f ?x ? 为定义在 R 上的奇函数, 当 x ? 0 时,f ?x ? ? 2x ? 2 x ? b ( b 为常数) , 求 f ?? 1? 的值。 解:奇函数 f ?x ? 在原点处有定义,则必有 f ?0? ? 0 ,即 0 ? 2 ? 2 ? 0 ? b ,求得 b ? ?1
0

?

?

?

?

f ?x? ? 2x ? 2 x ?1 , f ?1? ? 21 ? 2 ?1 ? 1 =3, f ?? 1? = ? f ?1? = ? 3
26、若函数 f ?x? ? ax7 ? bx5 ? cx3 ? dx ? 8 ,且 f ?? 5? ? ?15 ,求 f ?5? 的值。 解:令 g ?x ? ? f ?x ? ? 8 ,则 g ?x ? 是奇函数,所以 g ?5? ? g ?? 5? ? 0 即有: ? f ?5? ? 8? ? ? f ?? 5? ? 8? ? 0 ,求得 f ?5? =31

解 2: f ?? x? ? ?ax7 ? bx5 ? cx3 ? dx ? 8 = ? ax7 ? bx5 ? cx3 ? dx ? 8 ? 16 = ? f ?x ? ? 16 所以 f ?? 5? ? ? f ?5? ? 16 ,得 f ?5? =31

?

?

第三部份
2

[基本初等函数]练习题
? 2 3

? a ?1 b ?1 ? ? ?? 1、化简: 1 ? b a ? ? 3 ? a 2? b ? a3 b

? ?1 ? 1 ? a ?b 2 a ?b 解:原式= 1 1 ? ? 1 ? ? 3 2 a ?b ? b ? a2
2 3 1 2
7 6 1 6

2 2 ? ? 3 2 1 1 1 7 1 1 1 3 3 ? ? ? ?1? ? ?1 ? 3 ? ? ? 3 ? ? ? 3 2 2 3 6 6 2 2 ? ? 2 2? ? = a b ?? ?a b ? =a b ??a b ? ? ? ? ? ? ?

?

2

3 ? 2? ? 2? 7 1 7 1 1 5 ? ?3 ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?1 ?1 ? 2 ? 3? ? b 2 ? 3 ? ? = a 6 b 6 ? ?ab? = a 6 b 6 = a 6 b 6 =a b ? a ? ? ? ?

2、已知 a ? a

1 2

?

1 2

?1 2 ?2 ? 3 ,求下列各式的值: (1) a ? a ; (2) a ? a ; (3)

a2 ? a a ?a
1 2

3

? ?

3 2 1 2

; (4)

第 10 页

高中数学必修 1 练习题

a2 ? a?2 ? 2 a ? a ?3
解: (1) a 2 ? a
1 ? 1 2

3 2

?

3 2

? 3 两边同时平方得: a ? a ?1 ? 2 ? 9 ,则 a ? a ?1 =7

2 ?2 2 ?2 (2)将(1)式两边再平方,得 a ? a ? 2 ? 49 ,则。 a ? a =47

1 1 1 ? ?? ? ? ? 1 ? ? ?1 ? ? 1 ? a 2 ? ? ? a 2 ? ? a 2 ? a 2 ?? a ? a ?1 ? a 2 ? a 2 ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? = a ? a ?1 +1=8 (3)原式`= ? ?1 ? 1 ? = ? 1 1 ? ? a2 ? a 2 a2 ? a 2
3 2 3 2

3

3

(4)因为 a ? a

?

1 1 1 ? ?? ? ? ? 1 ? ? ?1 ? ? 1 2? ? a 2 ? = ? a 2 ? a 2 ?? a ? a ?1 ? a 2 ? a 2 ? = 3 a ? a?1 ? 1 =18 ?? a ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?

3

3

?

?

所以,原式=

47 ? 2 ?3 18 ? 3
m m ?n n 的值。 m? n

2 3、已知 m , n 是方程 x ? 5 x ? 3 ? 0 的二个根,求

解:因为 m , n 是方程的根,所以: m ? n ? ?(?5) ? 5 , m ? n ? m ? n ? 3 (一 元二次方程中的二次方的系数为 1 时)

原式`=

m?m ? n?n m ?n
1 2 1 2

1 2

1 2

=

m

1?

1 2 1 2

?n

1? 1 2

1 2

m ?n

1 1 1 ? 1 ?? ? ? m 2 ? n 2 ?? m ? n ?1 ? m 2 n 2 ? ? ?? ? ? ? ? ? = m ? n?1 ? mn = 1 1 m2 ? n2

?

?

=

?

m ? n ? mn =22
2 x

?

2

4、函数 y ? (a ? 3a ? 3)a 是指数函数,求 a 的值。

?a 2 ? 3a ? 3 ? 1 解:根据指数函数的定义,得 ? ,解得 a ? 1 ?a ? 0且a ? 1
5、已知函数 y ? a ? b 的图像经过第一、三、四象限,试确定 a, b 的取值范围。
x

a0 ? b ? 0 , 解: 图像经过上述三个象限, 则函数是增函数, 且当 x ? 0 时,y ? 0 , 所以 a ? 1 ,

即 a ? ?1,???, b ? ?? ?,?1? 。

第 11 页

高中数学必修 1 练习题

x 6、设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, 当 x ? 0 时, f ( x) = 2 ? 2 x ? b( b 为常数) , 求 f ( ?1)

的值。 解:此题函数 f ( x) 的定义域是 R,也是 x 值可为 0,根据奇函数关于原点对称的原则,则
0 此函数图像必定恒过点(0,0) ,因此,代入上式解得 2 ? 2 ? 0 ? b ? 0 ,则 b ? ?1。则函 x 数 f ( x) = 2 ? 2 x ? 1 。根据奇函数定义,求得: f ( ?1) = ? f (1) = ? 3 。

注意:不能直接将 ? 1 代入函数式求解,因为题意只有 x ? 0 时,该函数式才成立。

x ?x 7、设函数 f ( x) ? x(e ? ae )(x ? R) 是偶函数,求实数 a 的值。 ?x x 解: 根据偶函数定义, f (? x) ? f ( x) , 代入化简得:x(e ? e )(a ? 1) ? 0 , 因为题意 x ? R

即此式对于任意实数都成立,则 a ? 1 ? 0, a ? ?1。

8、已知 a ?

5 ?1 x ,函数 f ( x) ? a ,若实数 m, n 满足 f (m) ? f (n) ,比较 m, n 的大小。 2

解:因为 0 ? a ? 1 ,则函数为减函数,因 f (m) ? f (n) ,所以 m ? n 。

9、求函数 f ( x ) ?

4x ? 1 的图像的对称关系。 2x

x ?x 解:化简得 f ( x) ? 2 ? 2 ,因为 f (? x) ? f ( x) ,是偶函数,所以图像关于 Y 轴对称。

10、设 loga 3 ? m , loga 2 ? n ,求 a
m n

2 m? n

的值。
2 m? n

解:由已知条件得, a ? 3, a ? 2 ,则 a

= a 2 m a n = a m a n =18

? ?

2

11、设 3 ? 2,3 ? 5 ,试用 a , b 表示 log3 30 。
a b

解:由已知条件得, a ? log3 2 , b ? log3 5 ,则 log3 30 =

1 1 log3 30 = log3 ?3 ? 2 ? 5? 2 2

1 1 = log 3 ?log 3 3 ? log 3 2 ? log 3 5? = ?1 ? a ? b? 2 2

第 12 页

高中数学必修 1 练习题

12、计算: 2 解:设 x ? 2 以 x ? 20 。

2 ? log 2 5

2?log2 5

=2

log2 4? log2 5

=2

log2 ? 4?5 ?

=2

log 2 20

,则两边同取对数得, log2 x ? log2 20,所

13、计算: ?log4 3 ? log8 3??log3 2 ? log9 2? 解:原式= ? ?

? lg 3 lg 3 ?? lg 2 lg 2 ? ? lg 3 lg 3 ?? lg 2 lg 2 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 2 3 ?? 2 ? ?? ? ?=? ? ? lg 4 lg 8 ?? lg 3 lg 9 ? ? lg 2 lg 2 ?? lg 3 lg 3 ?

=? ?

? lg 3 lg 3 ?? lg 2 lg 2 ? 5 lg 3 3 lg 2 5 ? = ? ? ? ? ?? ? ?= ? 2 lg 2 3 lg 2 ?? lg 3 2 lg 3 ? 6 lg 2 2 lg 3 4

14、已知 lg 2 ? a, lg 7 ? b ,试用 a , b 表示 log8 9.8 。

解: log8 9.8 =

lg 9.8 ? lg 8

lg

72 ? 2 10 = 2 lg 7 ? lg 2 ? 1 = 2b ? a ? 1 3 lg 2 lg 23 3a

15、设 3 ? 4 ? 36 ,求
a b

2 1 ? 的值。 a b
a
b

解:两边取对数,得 log3 3 ? log3 36 , log4 4 ? log4 36 ,即 a ? log3 36 , b ? log4 36 则

2 1 2 1 ? = 2 log36 3 ? log36 4 = log36 32 ? log36 4 = log36 36 ? 1 ? = a b log3 36 log4 36

x y z 16、已知 2 ? 3 ? 5 ,且

1 1 1 ? ? ? 1 ,求 x, y, z 。 x y z

x y z 解:令 2 ? 3 ? 5 ? k ,两边同取对数,得 x ? log2 k , y ? log3 k , z ? log5 k

则:

1 1 1 ? ? ? 1 ,即 logk 2 ? logk 3 ? logk 5 ? 1 , log2 k log3 k log5 k

logk ?2 ? 3? 5? ? logk 30 ? 1,则 k ? 30
? x ? log2 30 ? log2 2 ?15 = 1 ? log2 15 , y ? log3 30 ? log3 3?10 ? 1 ? log3 10

z ? log5 30 ? log5 5 ? 6 ? 1 ? log5 6

第 13 页

高中数学必修 1 练习题

17、设方程 lg2 x ? (lg 7 ? lg 5) lg x ? lg 7 ? lg 5 ? 0 的根是 ? , ? ,求 ? ? ? 的值。 解: 将 lg x 看成一个整体变量, 因为

? , ? 是方程的根 x , 所以 lg ? , lg ? 可以看成是关于 lg x

的二次方程的根。根据根与二次方程系数之间的关系,则有 lg ? ? lg ? ? ??lg 7 ? lg 5? = ? lg 35 ? lg

1 1 1 ,即 lg ?? ? lg ,?? ? ? ? 35 35 35
x

18、已知函数 y ? a ? b?a ? 0, a ? 1? 的图像经过点 (1, 4) , 其反函数的图像经过点 (2, 0) , 求

a , b 的值。
1 0

解: 反函数的图像点 ( 2, 0) , 则原函数的图像经过点 (0, 2) , 代入得:a ? b ? 4, a ? b ? 2 。 解得: a ? 3, b ? 1 。

6 ? 5x ? x2 19、求函数 的定义域。 lg?x ? 3?

?6 ? 5 x ? x 2 ? 0 ? 解:定义域符合条件 ? x ? 3 ? 0 ,解得定义域为 x ? ?x ? 3 ? x ? 1, 且x ? ?2? ?lg( x ? 2) ? 0 ?
1 的定义域。 log0.5 ?4 x ? 3?

20、求函数 y ?

解:定义域满足条件 log0.5 ?4 x ? 3? ? 0 ,从数形结合得, 0 ? 4 x ? 3 ? 1 ,即

3 ? x ?1 4

21、求函数 y ?

1 ? ln?x ?1? ( x ? 1) 的反函数。 2
2 y ?1

解:化简原式得, ln?x ? 1? ? 2 y ? 1 ,则 x ? 1 ? e

,即 x ? e

2 y ?1

?1

? 反函数为 f ?1 ( x) ? e2 x?1 ? 1 ,即 y ? e2 x?1 ? 1

x 22、若函数 y ? f ( x) 是函数 y ? a (a ? 0, a ? 1) 的反函数,其图像经过点( a , a )求函

数 y ? f ( x) 的解析式。

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高中数学必修 1 练习题

loga x 解:依题意,函数 y ? f ( x) = ,则 a ? loga

a?a?

1 2

? f ( x) ? log1 x
2

23、比较 log0.2 a, log0.5 a, log2 a 的大小(其中 a ? 1 ) 。 (数形结合) 解:数形结合,得

log2 a ? log0.2 a ? log0.5 a

(如果 0 ? a ? 1 时,试比较)

24、若不等式 x ? loga x ? 0 在 ? 0, ? 内恒成立,求 a 的取值范围。
2

? ?

1? 2?

解:不可能直接求解,只有通过数形结合来解答。即图像上,在 x ? ? 0, ? 时,函数 y ? x

? ?

1? 2?

2

的图像处于函数 y ? loga x 的图像的下方。得出 a ? ?

?1 ? ,1? ?16 ?

25、求方程 2

?x

? x 2 ? 3 的实数根的个数。
?x

解:方程变形得, 2

? 3 ? x 2 ,据数形结合,画出函数 y ? 2 ,函数 y ? 3 ? x 的图像,
2
?x

?x

看出它们有二个交点,即方程 2

? x 2 ? 3 有二个实根。

1 ? 0 的实数根的个数。 x ?1 1 1 解:方程变形得, ln x ? ,据数形结合,画出函数 y ? ln x ,函数 y ? 的图像, x ?1 x ?1 1 看出它们有二个交点,即方程 ln x ? ? 0 有二个实根。 x ?1
26、求方程 ln x ?

27、幂函数 f ( x ) 的图像经过点

?

1? ? 2 ,2 ,幂函数 g ( x) 的图像经过点 ? ? 2, ? ,当 x 为何值 4? ?

?

时,分别有(1) f ( x) ? g ( x) ; (2) f ( x) ? g ( x) ; (3) f ( x) ? g ( x) 。 解:设 f ( x ) = x a , g ( x) = x ? ,将点坐标分别代入,解得 a ? 2, ? ? ?2 则 f ( x ) = x 2 , g ( x) = x 。根据数形结合判断如下:
第 15 页
?2

高中数学必修 1 练习题

(1)当 x ? 1 或 x ? ?1时, f ( x) ? g ( x) ; (2)当 x ? ?1 时, f ( x) ? g ( x) (3)当 ? 1 ? x ? 1 且 x ? 0 时, f ( x) ? g ( x)

28、已知幂函数 f ( x) ? t ? t ? 1 x
2

?

?

1 1?4 t ?t 2 2

?

?

是偶函数,且在 ?0,??? 上是增函数,求函数的解

析式。 解:因为 f ( x) 是幂函数,所以 t ? t ? 1 ? 0 ,解得 t ? ?1或 t ? 0 或 t ? ?1,分别得出解析
2

式为: f ( x) ? x 2 , f ( x) ? x , f ( x) ? x ,其中 f ( x) ? x 2 是非奇非偶函数, f ( x) ? x
2 2

1

?2

1

?2

在区间 ?0,??? 上是减函数, 只有 f ( x) ? x 满足既是偶函数又在 ?0,??? 上是增函数的条件。

29、已知幂函数 f ( x) ? x 函数,求 P 的值。

1 3 ? p2 ? p? 2 2

? p ? Z ? 在区间 ?0,??? 上是增函数,且在其定义域内是偶

1 2 3 解:因为函数 f ( x) 在 ?0,??? 是增函数,所以 ? 2 p ? p ? 2 ? 0 ,解得 ? 1 ? p ? 3 ,

? p ? Z ,? p ? 0,1,2 ,分别得函数式: f ( x) ? x 2 , f ( x) ? x 2 , f ( x) ? x 2 ,其中只有

3

3

f ( x) ? x 2 是偶函数,所以 P=1。
1

30、已知 x 2 ? x 3 ,求 x 的取值范围。
1

解:数形结合。分别画出幂函数 f ( x) ? x 和 f ( x) ? x 3 的图像,得出 x 的取值范围为 x ? 0
2

或 x ?1 。

第四部份

[函数的应用]练习题

2 ?1 ? 1、判断下列方程在区间 ? ,8 ? 上是否存在实数解: ( 1) ? 2 x ? 0 ; (2) log2 x ? 2 ? 0 x ?2 ?
解: (1)令 f ( x) ?

2 65 ?1? ? 2 x ,则 f ? ? ? 5 ? 0 , f (8) ? ?0 x 4 ?2?

?1 ? ?1 ? ?1? ? 函数 f ( x) 在区间 ? ,8 ? 上无零点, ? f ? ? ? f ?8? ? 0 , 即该方程在 ? ,8 ? 上没有实数解。 ?2 ? ?2 ? ?2?
第 16 页

高中数学必修 1 练习题

(2)令 f ( x) ? log2 x ? 2 ,则 f ? ? ? ?3 ? 0 , f (8) ? 1 ? 0

?1? ?2?

?1 ? ?1 ? ?1? ? 函数 f ( x) 在区间 ? ,8 ? 上有零点, ? f ? ? ? f ?8? ? 0 , 即该方程在 ? ,8 ? 上存在实数解。 ?2 ? ?2 ? ?2?

2、已知函数 f ( x) ? ?

1 2 5 x ? 3x ? 2 2

(1)求图像的开口方向、对称轴、顶点坐标、与 X 轴的交点坐标; (2)求函数的单调区间、最值、零点; (3)设图像与 X 轴交于 ? x1 ,0 ? , ? x2 ,0 ? ,求 x1 ? x2 的值; (4)已知 f ? ?

? 5? ? 7 ? 15 ? ? ,不计算函数值,求 f ? ? ? ; ? 2? ? 2? 8 ? 1? ? 15 ? ? 与 f ? ? ? 的大小。 ? 4? ? 4?

(5)不计算函数值,试比较 f ? ? 解:原式= f ( x) ? ?

1 ?x ? 3?2 ? 2 ,令 f ( x) ? 0 ,得 ?x ? 3?2 ? 4 ,得 x1 ? ?5, x2 ? ?1 2

(1)图像开口向下,对称轴为直线 x ? ?3 ,顶点坐标为 ?? 3,2? ,与 X 轴的交点坐标为

?? 5,0?, ?? 1,0? ;
(2)单调增区间为 ?? ?,?3? ,单调减区间为 ?? 3,??? ,最大值为 2,无最小值,零点为-5, -1; (3) x1 , x2 是方程 f ( x) ? ?

1 2 5 x ? 3x ? =0 的根,即方程 x 2 ? 6 x ? 5 ? 0 的二根,根据根 2 2

与系数的关系,有 x1 ? x2 ? ?6 , x1 ? x2 ? 5 ? x1 ? x2 =

?x1 ? x2 ?2 ? 4 x1x2 =4

(4)? 对称轴为直线 x ? ?3 ,所以 f (?3 ? x) ? f (?3 ? x)

1? ? 1 ? ? 7 ? 15 ? 5? ? ? f ?? ? = f ?? 3? ?= f ?? 3? ? = f ?? ? = 2? ? 2? ? 2? 8 ? 2? ?
(5) f ? ?

3? ? 15 ? ? ? = f ??3? ?= 4? ? 4? ?

3? ? f ??3? ?= 4? ?

? 9? f ?? ? ? 4?

1 9 1 9 ? 1? ? 15 ? ? ? ,? ? ?? 3,??? ,是单调减区间,又 ? ? ? ,所以 f ? ? ? ? f ? ? ? 4 4 4 4 ? 4? ? 4?

第 17 页

高中数学必修 1 练习题

3、函数 f ( x) ? kx ? 1 在区间(-1,1)上存在零点,求 K 的取值范围。 解:若存在零点,则 f (?1) ? f (1) ? 0 ,即 ?k ? 1??1 ? k ? ? 0 ,求得 k ? 1 或 k ? ?1

4、求证:方程 5 x ? 7 x ? 1 ? 0 的根一个在区间 ?? 1,0 ? 内,一个在区间 ?1, 2 ? 内。
2

解:即求证在上述二个区间内有零点。即 f (?1) ? f (0) ? 0 , f (1) ? f (2) ? 0

5、设函数 y ? x3 , y ? ? ?

?1? ?2?
x ?2

x ?2

的图像的交点为 ?x0 , y0 ? ,则 x0 所在的区间为下列中的哪一个

区间: (1) (0,1) ; (2) (1,2) ; (3) (2,3) ; ( 4) (3,4)

?1? 解:设 f ( x) ? x ? ? ? ?2?
3

,判断该函数在上述各区间内是否存在零点。答案(2)

6、若方程 ax ? x ? 1 ? 0?a ? 0?在 ?0,1?内有解,求 a 的取值范围。
2 2 解:因为 ax ? x ? 1 ? 0?a ? 0?在 ?0,1?内有解,即函数 f ?x ? ? ax ? x ?1 在 ?0,1?内有零点 2

所以 f ?0?? f ?1? ? 0 ,即 ? 1? ?a ? 2? ? 0 ,求得 a ? 2 。

7、若函数 f ( x) ? a ? x ? a(a ? 0, a ? 1) 有二个零点,求 a 的取值范围。
x
x 解:数形结合。函数有二个零点,即函数 y ? a 与函数 y ? x ? a 的图像有二个交点,求得

a ?1。
8、用“二分法”求解方程 x3 ? 2 x ? 5 ? 0 在区间 ?2,3? 内的实根,取区间的中点为 x0 ? 2.5 , 求下一个有根的区间。
3 解:令 f ( x) ? x ? 2 x ? 5 ,则 f (2) ? ?1, f (3) ? 16

? f (2.5) ?

45 ? 0 ,? 下一个有根的区间是 ?2,2.5? 。 8

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