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2014届高考数学一轮复习课件(理)浙江专版-第14讲 导数的概念及运算


1.了解导数概念的实际背景. 2.理解导数的几何意义. 3.能根据导数的定义求函数 y ? C (C 为常数 ), 1 y ? x, y ? x , y ? x , y ? , y ? x的导数. x 4.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数
2 3

的四则运算法则求简单函数的导函数,能求简单 的复合函数 (仅限于形如 f ( ax+ b )的复合函数 )的导数.

1.平 均变化率 对于函数 y= f ? x ?, P ( x0, y0 )是函数图象上一点, Q ( x1, y1 )是图象上另一点,自变量 x从 x0 变化到 x1 时,相应的函数值则由 y0 变化到 y1,其中① ____ 叫做自变量 x的增量,记为 ? x, y1- y 0叫做函数 y = f ? x ?的增量,记为 ? y,即 ? y=② ?y 则 =③  ?x 到 x1的平均变化率. 叫做函数 f ? x ? 从 变量 x0 ,

2.曲线的切线 设函数 y= f ? x ?的图象 C 上一点 P ( x0, y 0 ) 及邻近一点 Q ( x0+ ? x, y 0+ ? y ),过点 P、 Q作 C的割线 PQ,那么 ?x 曲线逐渐向点 P ( x0, y 0 ) 接近时,割线 PQ 将绕着点 P 逐渐转动,当点 Q 沿曲线无限地接近点 P,即 ? x ? 0时, 如果割线有一个极限位置 PT ,那么直线 PT 叫做曲线在 P点的切线,割线 PQ的斜率的极限就是曲线在点 P处的 ?y 切线 的斜率,即:切线的斜率 k= lim ?x ? 0 ? x f ? x+ ? x ?- f ? x ? = lim ,切线方程为 y- y 0= k ( x- x0 ). ?x ? 0 ?x 割线 PQ的斜率为 ?y ,当点 Q ( x0+ ? x, y 0+ ? y )沿着

3.瞬时速度 物体作直线运动时,设物体的运动方程 ( 位移公式 ) 为: s= s ? t ?.如果物体在时刻 t 0 至 t 0+ ? t时位移增量 ? s= s (t 0+ ? t )- s ? t 0 ?,那么,位移增量 ? s与时间增 量 ? t的比,就是这段时间内物体的平均速度 v, 即v=④ ________ ,当 ? t ? 0时, v的极限就是物体在 ?s 时刻 t 0的瞬时速度 ,即: v= lim lim . ?t ? 0 ?t ? 0 ? t

4.导数的概念 一般的,函数 y= f ? x ? 在 x= x0 处的瞬时变化率是
?x ? 0

lim

f ? x0+ ? x ?- f ? x0 ?

?x ? 0 ? x ?x y= f ? x ? 在 x= x0 处的导数,记作 f ? ? x0 ? 或 y ? | x= x0,

= lim

?y

,我们称它为函数

即 f ? ? x0 ?= lim

f ? x0+ ? x ?- f ? x0 ?

?x 如果函数 y= f ? x ? 在区间( a, b )内的每一点处都有导数,
?x ? 0

.  

此时对于每一个 x ? ( a, b ),都 对应着一个确定的导数 f ? ? x ?,从而构成了一个新的 函数 f ? ? x ?,称这个函数 f ? ? x ? 为函数 y= f ? x ? 在开区间内的导数,简称导数,也 记做 y ?,即 f ? ? x ?= lim ?y f ? x+ ? x ?- f ? x ? = lim . ?x ? 0 ? x ?x ? 0 ?x

5.导数的几何意义 函数 y= f ? x ? 在 x= x0 处的导数的几何意义,就是曲线 y= f ? x ? 在点 P ( x0, f ? x0 ?)处的切线的斜率, 即 k=⑤ ________ ,相应地,切线方程为⑥ 6. 常用函数的 导 数 公式 C ?=0(C 为常数 );

? x ? ?=⑦ ________(n ? Q );
n

? sin x ? ?= cos x;cos x ? ?=⑧ ________ ; ?

? e ? ?= e ;a ? ?= ⑨ ________ ; ?
x x x

1 ? ln x ? ?= ;log a x ? ?=⑩ ________ . ? x

7.导数的运算法则

?1? ? f ? x ? ? g ? x ? ? ?= f ? ? x ? ? g ? ? x ? ; ? ? ; ? 2 ? ? f ? x ? ? g ? x ? ? ?=? ? ? ? 3? [
f ? x? g? x? ]?=?   ? x ? ? 0). (g

8.复合函 数的导 数 复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间 变量的导数与中间变量对自变量的导数的乘积, 即:设 y= f ? u ? , u= g ? x ? ,则 y x ?= f ? ? u ?· ? ? x ?. g

【要点指南】 ① x1- x0;② y1- y 0= f ? x1 ? - f ? x0 ? ;③ ④ ?s ?t f ? x1 ?- f ? x 0 ? x1- x0 ;

;⑤ f ? ? x0 ? ;⑥ y- f ? x0 ?= f ? ? x0 ? ( x- x0 ); ;⑧- sin x;⑨ a ln a;⑩
x

⑦ nx

n-1

1 xlna



f ? ? x ? g ? x ?+ f ? x ? ? g ? ? x ?; f ?? x ? g ? x ?- f ? x ? g ?? x ? [ g ? x ? ]2

13 52 1.一物体作直线运动,其运动方程 s(t)=3t -2t (单位: 米),则它在时刻 t=3 秒的瞬时速度为( A.-13.5 米/秒 C.-6 米/秒 B.13.5 米/秒 D.6 米/秒 )

【解析】v=s′(t)=t2-5t, 所以 v0=s′(3)=9-5×3=-6,故选 C.

2.已知函数 f(x)=asinx 且 f′(π)=2,则 a 的值为( A.1 C. 2 B.2 D.-2

)

【解析】因为 f′(x)=acosx, 所以 f′(π)=acosπ=-a=2,所以 a=-2,故选 D.

2x 3.曲线 y= 在点(-1,-2)处的切线方程为( x+2 A.y=2x+1 C.y=-2x+3 B.y=4x+2 D.y=-4x-2

)

2?x+2?-2x 4 【解析】 因为 y′= = 2 2, ?x+2? ?x+2? 所以切线斜率 k=y′|x=-1=4,又切点为(-1,-2), 所以切线方程为 y+2=4(x+1),即 y=4x+2,故选 B.

x2 1 4.已知曲线 y= 4 -3lnx 的一条切线的斜率为2,则切点 的横坐标为 3 .

1 3 【 解 析 】 因 为 y′ = 2 x - x , 设 切 点 为 (x0 , y0)(x0>0), 1 3 1 则 k=2x0-x =2,即 x2-x0-6=0, 0 0 所以 x0=3 或 x0=-2(舍去),所以切点的横坐标 为 3.

5.已知 f(x)=x2+3xf′(2),则 f′(2)= -2 .

【解析】因为 f′(x)=2x+3f′(2),所以 f′(2) =4+3f′(2), 所以 2f′(2)=-4,所以 f′(2)=-2.



平均变化率与导数的概念

【例 1】已知函数 f(x)=8-3x2. (1)求 f(x)在 x0 到 x0+Δx 之间的平均变化率; (2)过曲线 y=f(x)上两点 P(1,f(1))和 Q(1+Δx,f(1+Δx)) 作割线,求当 Δx=0.1 时割线的斜率; (3)求 f(x)在点(1,f(1))处的导数.

Δy Δy 【分析】 (1)平均变化率为Δx;(2)割线的斜率 k=Δx;(3) Δy 导数为 f′(x)=lim Δx. Δx→0

【解析】 (1)Δy=f(x0+Δx)-f(x0) =8-3(x0+Δx)2-(8-3x2) 0 =-6x0Δx-3(Δx0)2. -6x0·Δx-3?Δx0?2 Δy 平均变化率Δx= =-6x0-3Δx0. Δx Δy (2)kPQ=Δx=-6×1-3×0.1=-6.3. Δy (3)f′(1)=lim Δx=lim (-6-3Δx0)=-6. Δx→0 Δx→0

【点评】 紧扣平均变化率, 导数的定义处理此类问题.

素材1

(1)函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数不可以表示为( Δy A.Δx→0 Δx lim f?Δx? C.lim Δx Δx→0

C

)

f?x0+Δx?-f?x0? B.lim Δx→0 Δx f?x1?-f?x0? D.x1lim 0 →x x1-x0

(2)一物体的运动路程 s 关于时间 t 的函数关系式是 s(t)=3 +t2,则在时间段[2,2.1]内相应的平均速度为( A.0.41 C.4 B.3 D.4.1 )

s?2.1?-s?2? ?3+2.12?-?3+22? 【解析】 -= v = =4.1,故选 D. 0.1 2.1-2



导数的计算
【例 2】求下列函数的导数: (1)y=x(x+1)(x+2); (2)y=3x·x-2x+e; e ln x x x (3)y=x-sin2· 2; (4)y= x . cos

【分析】 正确掌握求导公式结构, 对于与求导公式结构不 同的函数式,要灵活变形化简,以便求导.

【解析】(1)因为 y=x3+3x2+2x,所以 y′=3x2+6x+2. (2)y′=(3x)′·x+3x· x)′-(2x)′+(e)′ e (e =3xln3·x+3x·x-2xln2 e e =3x·x(ln3+1)-2xln2. e 1 1 (3)因为 y=x-2sinx,所以 y′=1-2cosx. lnx (4)因为 y= 2x , 1 · x-lnx 1-lnx 1 lnx 1x 所以 y′=2· x )′=2· x2 = 2x2 . (

【点评】(1)仔细判断函数结构形式,准确选用求导公式; (2)对较复杂的函数可先化简再求导; (3)对于复合函数的导数,要适当选择中间变量,正确分解 复合关系,分步求导.

素材2

(1)已知函数 y=exlnx,则 y′=

ex ex· lnx+ x 5

; ; .

(2)已知函数 f(x)=e2x+sin3x,则 f′(0)=
3 2

10 (3)已知 f(x)=ax +3x +2, f′(-1)=4, a= 3 若 则

ex 【解析】 (1)y′=(ex)′· lnx+ex(lnx)′=ex· lnx+ x . (2)因为 f′(x)=2e2x+3cos3x, 所以 f′(0)=2e0+3cos0=5. (3)因为 f′(x)=3ax2+6x,所以 f′(-1)=3a-6=4, 10 所以 a= 3 .



导数的几何意义及应用

1 【例 3】设函数 f(x)=ax+ (a,b∈Z),曲线 y=f(x) x+b 在点(2,f(2))处的切线方程为 y=3. (1)求 y=f(x)的解析式; (2)证明:曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=1 和 直线 y=x 所围三角形的面积为定值,并求出此定值.

【分析】(1)求 y=f(x)的解析式, 即求 a, 的值, b 可根据 f′(2) =0 及 f(2)=3 解得;(2)可设切点坐标为(x0,y0),由切线及 直线 x=1 和 y=x 确定三角形及顶点坐标,求面积,进而证 明.

1 【解析】 (1)f ′(x)=a- ,由已知,有 ?x+b?2
? ?f′?2?=a- 1 2=0 ?2+b? ? ? 1 ? ?2a+2+b=3 ?

2 1 ,得 + =3, ?b+2?2 b+2

? ?a=9 ?a=1 4 ? 2 即 3b +11b+8=0,解得? 或? 8 ? ?b=-1 ?b=-3 ?

.

1 因为 a,b∈Z,所以 a=1,b=-1,故 f(x)=x+ . x-1

1 (2)证明:在曲线 y=f(x)上任取一点 P(x0,x0+ ). x0-1 1 由 f ′(x0)=1- 知,过 P 点的切线 l 的方程为 ?x0-1?2 x2-x0+1 1 0 y- =[1- ](x-x0). x0-1 ?x0-1?2

x0+1 x0+1 令 x=1, y= 得 , 切线与直线 x=1 的交点为(1, ). x0-1 x0-1 令 y=x,得 y=2x0-1,切线与直线 y=x 的交点为(2x0- 1,2x0-1). 又直线 x=1 与直线 y=x 的交点为(1,1).

从而可得△ABC 的面积 1 x0+1 S△ABC=2| -1||2x0-1-1| x0-1 1 2 =2| ||2x -2|=2. x0-1 0 所以所围三角形的面积为定值,且其定值为 2.

【点评】 已知切点求切线方程, 关键由导函数求切线斜率, 然后由直线的点斜式方程写切线方程;已知切线斜率,由导函 数求切点坐标,再由斜率与切点坐标写切线方程;而求三角形 面积应注意数形结合解题.

素材3

设函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),曲线 y=f(x)通过点(0,2a +3),且在点(-1,f(-1))处的切线垂直于 y 轴. (1)用 a 分别表示 b 和 c; (2)当 bc 取得最小值时, 求函数 g(x)=-f(x)e x 在点(0, g(0)) 处的切线方程.


【解析】(1)因为 f(x)=ax2+bx+c,所以 f ′(x)=2ax+b.
?c=2a+3 由已知,f(0)=2a+3,f′(-1)=0,所以? , ?-2a+b=0

所以 c=2a+3,b=2a.

32 9 (2)由(1)知,bc=2a(2a+3)=4(a+4) -4, 3 9 3 所以当 a=-4时,bc 取最小值-4,此时 a=-4, 3 3 3 2 3 3 b=-2,c=2,所以 f(x)=-4x -2x+2, 3 2 3 3 -x 3 所以 g(x)=(4x +2x-2)· ,g(0)=-2, e

3 3 -x 3 2 3 3 -x g′(x)=(2x+2)e -(4x +2x-2)e 3 2 =e (-4x +3).
-x

3 g′(0)=3,所以曲线 y=g(x)在点(0,-2)处的切线 3 方程为 y+2=3x,即 6x-2y-3=0.

备选例题

alnx b 已知函数 f(x)= + x,曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处 x+1 的切线方程为 x+2y-3=0. (1)求 a,b 的值; 1 k (2)设 g(x)=[f(x)- x]· (k≠0),过点 P(0,2)的直线中, lnx 是否有曲线 y=g(x)的切线?若有,有几条;若没有,说明 理由.

x+1 a? x -lnx? b 【解析】 f′(x)= -x2. ?x+1?2 1 由于直线 x+2y-3=0 的斜率为-2,且过点(1,1),
?f?1?=1 ? 故? 1 ?f′?1?=-2 ? ?b=1 ? ,即?a 1 ?2-b=-2 ? ?a=1 ,解得? . ?b=1

lnx 1 k (2)由(1)f(x)= +x ,则 g(x)= (x>0). x+1 x+1 设过 P(0,2)的直线中存在曲线 y=g(x)的切线,其切点 k 为(x0, ), x0+1 -k -k 则由 g′(x)= 2,所以 g′(x0)= 2, ?x+1? ?x0+1?

k k 切线方程为 y- =- 2 (x-x0),且切线过 x0+1 ?x0+1? kx0 k P(0,2),所以 2- = 2, x0+1 ?x0+1? 即 2x2+(4-2k)x0+2-k=0,(*) 0 Δ=(4-2k)2-8(2-k)=4k(k-2).

(ⅰ)当 Δ>0,即 k<0 或 k>2 时,方程(*)有两个不等实 根 x1,x2, 2-k 而当 k<0 时,x1+x2=k-2<0,x1x2= 2 >0, 故 x1<0,x2<0,不在 g(x)定义域内; 2-k 当 k>2,x1·2= 2 <0,方程有一正一负根,有正根 x 在 g(x)定义域内, 所以当 k>2 时, P 点的直线中有一条是 y=g(x)的切 过 线;当 k<0 时,过 P 点的直线中没有 y=g(x)的切线.

(ⅱ)当 k=2 时,x0=0,不在 y=g(x0)定义域内,故不 存在切线. (ⅲ)当 0<k<2 时,方程(*)无实根,不存在切线. 综上可知,当 k≤2 且 k≠0 时,过 P(0,2)的直线中不 k k 存在曲线 g(x)= 的切线; k>2 时, 当 存在 g(x)= 的 x+1 x+1 一条切线.

1.导数的核心是变化率,在给定的关系式中,会两 边同时对某一变量求导,得出相应的变化率. 2.导数的运算. 1 ?先化简,确定类型,再依次选用求导公式、运算法 则进行求导. 2 ?求复合函数的导数,关键是选择好中间变量 1 1 (如例 2中的 ? 4 ? y= ,若令 y= , u= v 4, 4 ?1-3 x ? u v=1-3 x,计算就麻烦了),然后逐层求导,每一步对 谁求导不能混淆,最后应把中间变量转换成自变量.

3?要弄清函数的导数与导数值的区别与联系,欲求 导数值,先求其导数,再将值 x0 代入,求出导数值 f ? ? x0 ?,导数是原来函数的导函数,而导数值是导 数函数在某一点的函数值,导函数值是常数. 3.切线. 注意是求在点 P处的切线,还是求过点 P 1? 的切线.在点 P处的切线以点 P为切点,过点 P的切 线,点 P不一定是切点,需要设出切点.

2 ?斜率 k= f ? ? x ? 不存在时,曲线在该点处并不一定 没有切线,要检验直线 x= x0是否为该曲线的切线. 3 ?直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征, 直线与曲线只有一个公共点,不能说明直线就是 曲线的切线,反之,直线是曲线的切线,也不能 说明直线与曲线只有一个公共点. 4 ?曲线未必在其切线的“同侧”,例如直线 y=0是曲 线 y= x 在点 ? 0, 0 ? 处的切线.
2


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