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苏教选修2-1nbsp圆锥曲线的统一定义nbsp同步练习31


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圆锥曲线的统一定义 同步练习
一、选择题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 1. 已知双曲线
y2 x2 - =1 的左支上有一点 M 到右焦点 F1 的距离为 18,N 是 MF1 9 25

的 中 点 , O ( A.4 C.1 2. 已知双曲线方程 x - 椭圆方程是( A、
y2 +x2=1 3
2

为 坐 标 原 点 , 则 | ON | 等 于

A

) B.2 D.
2 3

y2 =1, 以它的共轭双曲线的焦点为顶点, 顶点为焦点的 3

C ) B、
y2 +x2=1 2

y2 C、 +x2=1 4

y2 x2 D、 + =1 3 4

3. ( B

方 )



?x ? 2?2 ? ? y ? 2?2

? x? y?3









线



A.直线 C.椭圆
2 2

B.双曲线 D.抛物线

4. 已知双曲线 m:9x -16y =144,若椭圆 n 以 m 的焦点为顶点,以 m 的顶点为 焦 ( A. x ? ? C 点 )
16 3 25 D. x ? ? 3









n





线







16 5 25 C. x ? ? 4

B. x ? ?

5. 抛物线的焦点是 (2, 1) , 准线方程是 x+y+1=0, 则抛物线的顶点是 ( A. (0,0) B. (1,0) C.(0, -1) D.(1,1) 二、填写题:本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分. 6. 已知椭圆

B )

x2 y2 x2 y2 + =1 与双曲线 - =1(m,n,p,q∈R+)有共同的焦点 m n p q

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F1、F2,P 是椭圆和双曲线的一个交点,则|PF1|·|PF2|=

7. 抛物线的准线为 y 轴,焦点运动的轨迹为 y2-4x2+8y=0 (y≠0),则其顶点 运动的轨迹方程为 .

8. 如下关于双曲线的四个命题: (1)若左焦点 F 对应的左准线与实轴相交于 N, 则双曲线的左顶点分有向线段

FN 所成的比等于离心率 e;
(2)双曲线的离心率越大,它的开口就越开阔; (3)当两条双曲线有共同的渐近线时,这两条双曲线的离心率相等; (4)若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于实半轴长,则双曲线的离 心率是 2 . 其中真命题的序号是 . 三、解答题:本大题共 5 小题,共 66 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤. 9. 求与双曲线 x 2 ?
y2 ? 1 有共同的渐近线,且过点 4

M(2,2)的双曲线方程.

10. 在面积为 1 的△PMN 中,tanM= 的椭圆方程.

1 ,tanN= -2,求出以 M、N 为焦点且过点 P 2

11. 抛物线 y2=4px(p>0) 上的动点 M 到定点 A (1, 0) 的距离|MA|达到最小值时, 点 M 的位置记为 M0,当|M0A|<1 时, (1)求 p 的取值范围;
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(2)求点 M0 的轨迹方程.

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12. 已知椭圆的一个焦点 F1(0,-2 2 ) ,对应的准线方程为 y=- 个顶点的坐标为(0,3) . (1)求椭圆方程;

9 2 ,且一 4

(2)是否存在直线 l ,使 l 与椭圆交于不同的两点 M、N,且线段 MN 恰被直线 x=-
1 平分,若存在求出 l 的倾斜角的范围,若不存在请说明理由. 2

13*.已知以 y 轴为右准线的双曲线 C 经过定点 M(1,2) ,它的右焦点 F 在圆弧 (x-1)2+(y-2)2=4(x>0)上运动. (1)求双曲线 C 的离心率 e 的值; (2)当直线 MF∥x 轴时求双曲线的方程; (3)求直线 MF 与双曲线 C 右支的另一交点 N 的轨迹方程.

14*.直线 l:y=mx+1 与椭圆 C:ax2+y2=2 交于 A、B 两点,以 OA、OB 为邻边作 平行四边形 OAPB(O 为坐标原点) (1)当 a=2 时,求点 P 的轨迹方程; (2)当 a,m 满足 a+2m2=1,且记平行四边形 OAPB 的面积函数 S(a) ,求证:2
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<S(a)<4.

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参考答案

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一、选择题: 1. A 2. C 3. B 二、填空题: 6. 【 答案】m-p 7. 【 答案】y2-16x2+8y=0(y≠0) 8. 【 答案】①②④ 三、解答题: 9. 【 解析】

4. C

5. B

10. 【 解析】 以 MN 所在直线为 x 轴, 以 MN 的中垂线为 y 轴, 建立直角坐标系, 设 M(-c,0) ,N(c,0) (c>0) ∴直线 MP:y=
1 (x+c), 直线 NP:y=2(x-c) 2

5 4 1 4 ∴P( c, c) ,1=S△PMN= ·2c c 3 3 2 3

∴c=

3 2

∴2a=|PM|+|PN|=2 5 c
4x 2 y 2 + =1 15 3

∴a=

15 2

∴椭圆方程

11. 【 解析】

(1)设抛物线 y2=4px(p>0)上的点 M(x,y) (x≥0) ,

∴|MA|= x 2 ? (4 p ? 2) x ? 1 ∵M0 在抛物线 y2=4px(p>0)上,且 x≥0 又 x=0 时,|M0A|=1 ∴x>0,
2

∵|M0A|<1,|MA|= [ x-(1 ? 2 p)] 2 ? 1 ? (1 ? 2 p) 2 ≥ 1 ? ?1 ? 2 p ? =|M0A| ∴1-2p>0,0<p<
1 ,此时 x=1-2p,∴0<x<1 2
? ? ? ? ?

(2)由(1)可知 M0(1-2p,± 4 p(1 ? 2 p)

x=1-2p y =4p(1-2p)
2

∴ 轨迹方程 2x2+y2-2x=0 (0<x<1) 12. 【 解析】
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(1)由题意:

a2 2 -c= c 4



c=2 2

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c+a=3+2 2 一定义) , a=3

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y2 =1(也可用统 9

又中心为(0,0) ∴椭圆方程为 x2+

(2)令: l :y=kx+m 代入 9x2+y2=9
? 2 km ? ? -1=x1+x2= 2 ? k ?9 2 2 2 2 ? ? △=4k m -4(k +9)(m -9) >0

得:(k2+9)x2+2kmx+m2-9=0

解之,k> 3 或 k<- 3 , 13. 【 解析】 (1)e=2

∴倾斜角θ ∈(

? ? ? 2? , )∪( , ) 3 3 2 2

(2)准线 x=0,F(3,2) ,e=2 双曲线方程:3x2―y2+6x+4y―13=0 (3)N(x,y),
`| NF | | NM | ?2 = =2, |x| |x|

( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 2 =2(x>0) |x|

化简得:3x2―y2+10x+4y―1=0(x>0) 14. 【 解析】 由? ?
? y ? mx ? 1
2 2 ? ?2 x ? y ? 2

x y 设 P(x,y) ,则 OP 中点为 E( , ) 2 2

消去 y 得(2+m2)x2+2mx-1=0 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则

x1 ? x 2 m =- , 2 2 ? m2

y1 ? y 2 x ? x2 2 =m 1 +1= 2 2 2 ? m2
即 AB 的中点为 E(-
m 2 , ) 2 2?m 2 ? m2

x m ?? 2 2 ? m2

于是

y 2 ? 2 2 ? m2

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消去 m,得点 P 的轨迹方程为 2x2+y2-2y=0

(2)证明:由?
? ?

? ?

y=mx+1 ax2+y2=2

消去 y 得(a+m2)x2+2mx-1=0

进一步就可以求出|AB|= 1 ? m 2

?

4(a ? 2m 2 ) a ? m2

∵O 到 AB 的距离 d= ∵a+2m2=1

1 1? m
2

·S(a)=|AB|d=

4(a ? 2m 2 ) a?m
2

?

4 a ?1

∴0<a<1

∴2<S(a)<4.

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