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球的体积公式的推导


球的体积公式的证明 已知球的半径为R,用V表示球的体积.
A A
r3
B2

O

O

C2

r2

r1

r1 ?

2R 2 R 2 2 R ? R, r2 ? R ? ( ) , r3 ? R ? ( ) . n n
2
2

球的体积 A
ri

O

R ( i ? 1) n

R

O
第i层“小圆片”下底面的 半径:
ri ? R R ? [ ( i ? 1)]2 , i ? 1,2? , n. n
2

球的体积
R ri ? R ? [ (i ? 1)]2 , i ? 1,2, ?, n n 3 R ? R i ?1 2 2 Vi ? ?ri ? ? [1 ? ( ) ], i ? 1,2?, n n n n
2

V半球 ? V1 ? V2 ? ? ? Vn
?R 3

1 22 (n ? 1) 2 ? {1 ? [1 ? 2 ] ? [1 ? 2 ] ? ? ? [1 ? ]} 2 n n n n

12 ? 2 2 ? ? ? (n ? 1) 2 ? [n ? ] 2 n n 1 ? 2 ? ? ? (n ? 1) ?R 3 1 (n ? 1) ? n ? (2n ? 1) (n ? 1)n(2n ? 1)
2 2

?R 3

2

n 6 1 (n ? 1)( 2n ? 1) 3 ? ?R [1 ? 2 ? ] n 6

?

n

[n ?

2

?

]

?

6

球的体积
1 1 (1 ? )( 2 ? ) n n ] V半球 ? ?R 3 [1 ? 6 1 当n ? ?时, ? 0. n

2 ?V半 球 ? ?R 3 3 4 从而V ? ?R 3 . 3

4 3 定理:半径是 R的球的体积为: V ? ?R 3

球的体积
在球的体积公式的推导过程中,使用了 “分割、求近似值、再将近似值转化为球的体 积”的方法: 即先将半径 n 等分;再求出每一部分体积 的近似值,并将这些近似值相加,得出半球的 近似体积;当 n 无限变大时,就可得到半球的 体积.


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