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2014-2015学年高中数学(人教版选修2-1)配套课件第二章 2.4.1 抛物线及其标准方程_图文

第二章 圆锥曲线与方程 物 线 2. 4 抛 2.4.1 抛物线及其标准方程 栏 目 链 接 www.gzjxw.net 1.了解抛物线的实际背景,了解抛物线在刻画 现实世界和解决实际问题中的作用. 2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程. 栏 目 链 接 www.gzjxw.net 栏 目 链 接 www.gzjxw.net 基 础 梳 理 1.抛物线的定义:平面内与一个定点 F 和一条不过该定 点的定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线, 点 F 叫做抛 物线的焦点,直线 l 叫做抛物线的准线. 例:点 M 与点 F(4,0)的距离等于它到直线 l:x+4=0 的 距离,点 M 的轨迹是( D ) A.圆 C.双曲线 D.抛物线 B.椭圆 栏 目 链 接 www.gzjxw.net 基 础 梳 理 2.如下图所示,建立直角坐标系 xOy,使 x 轴经过点 F 且垂直于直线 l,垂足为 K,并使原点与线段 KF 的中点重合, 得抛物线的标准方程为 y2=2px,它表示的抛物线的焦点在 x ?p ? p 轴的正半轴上,坐标是? ,0?,它的准线方程是 x=- . 2 ?2 ? 栏 目 链 接 www.gzjxw.net 基 础 梳 理 3.抛物线方程的几种形式. 图 形 标准方程 焦点坐标 ?p ? ? ,0? ?2 ? ? p ? ?- ,0? ? 2 ? ? p? ?0, ? 2? ? ? p? ?0,- ? 2? ? 准线方 程 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0) x=- p 2 栏 目 链 接 x= p 2 2 p y=- y= p 2 www.gzjxw.net 自 测 自 评 1.已知曲线 C:y2=2px 上一点 P 的横坐标为 4,P 到焦点 的距离为 5,则曲线 C 的焦点到准线的距离为( C ) 1 A. 2 B .1 C.2 D.4 栏 目 链 接 2.抛物线 y=4x2 上的一点 M 到焦点的距离为 1,则点 M 的纵坐标是( B ) 17 A. 16 7 C. 8 15 B. 16 D.0 www.gzjxw.net 自 测 自 评 3.准线方程为x=1的抛物线的标准方程是( B ) A.y2=-2x B.y2=-4x 栏 目 链 接 C.y2=-2x D. y2 =4x www.gzjxw.net 栏 目 链 接 www.gzjxw.net 题型一 例1 求抛物线的焦点坐标和准线方程 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程: (1)y2=-14x; (2)5x2-2y=0; (3)y2=ax(a>0). ? 7 ? 解析:(1)因为 p=7,所以焦点坐标是?- ,0?, ? 2 ? 栏 目 链 接 7 准线方程是 x= . 2 2 1 (2)抛物线方程化为标准形式为 x2= y,因为 p= , 5 5 www.gzjxw.net ? 1? 1 所以焦点坐标是?0, ?,准线方程是 y=- . 10? 10 ? ?a ? (3)由 a>0 知 p= ,所以焦点坐标是? ,0?,准线方程 2 ?4 ? a 是 x=- . 4 点评:求抛物线的焦点坐标和准线方程,首先将抛物线 方程化为标准方程,然后再按照抛物线的定义和 p 的几何意 义求解. a 栏 目 链 接 www.gzjxw.net 变 式 迁 移 1.(1)抛物线 y=ax2 的准线方程是 y=2,则 a 的值为 ________. (2)若抛物线 y2=2px 的焦点与椭圆 + =1 的右焦点 6 2 重合,则 p 的值为______________. 1 解析:(1)抛物线方程化为标准形式为 x = y,由题意得 a<0, 2 x 2 y2 栏 目 链 接 a 1 p 1 所以 2p=- ,所以 p=- ,所以准线方程为 y= =- =2,所 a 2a 2 4a 1 1 以 a=- . 8 www.gzjxw.net (2)由椭圆方程可知 a= 6,b= 2,c= a2-b2=2, 所以椭圆右焦点为(2,0),所以 =2,得 p=4. 2 1 答案:(1)- 8 (2)4 p 栏 目 链 接 www.gzjxw.net 题型二 例2 求抛物线的标准方程 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程. 栏 目 链 接 (1)顶点在原点,过点(3,-4); (2)顶点在原点,焦点在直线x+3y+15=0上. 解析:(1)方法一 ∵点(3,-4)在第四象限, ∴抛物线的标准方程为 y2=2px(p>0)或 x2=-2p1y(p1 >0). 把点(3, -4)的坐标分别代入 y2=2px 和 x2=-2p1y, 得 (-4)2=2p·3,32=-2p1·(-4). 16 9 即 2p= ,2p1= . 3 4 16 9 2 2 ∴所求抛物线的方程为 y = x 或 x =- y. 3 4 www.gzjxw.net 方法二 ∵点(3,-4)在第四象限, ∴抛物线的方程可设为 y2=ax 或 x2=by. 16 9 把点(3,-4)分别代入,可得 a= ,b=- , 3 4 16 9 2 ∴所求抛物线的方程为 y = x 或 x =- y. 3 4 2 栏 目 链 接 (2)令 x=0 得 y=-5;令 y=0 得 x=-15. ∴抛物线的焦点为(0,-5)或(-15,0). ∴所求抛物线的标准方程为 x2=-20y 或 y2=-60x. www.gzjxw.net 点评:求抛物线方程的主要方法是待定系数法,若 已知抛物线的焦点位置,则可设出抛物线的标准方程, 求出p值即可;若抛物线的焦点位置不确定,则要分情况 讨论.另外,焦点在x轴上的抛物线方程可统一设成y2= ax(a≠0),焦点在y轴上的抛物线方程可

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