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2012高考数学总复习 第3章§3.1数列的概念精品课件 大纲人教版_图文

§3.1 数列的概念

3.1 数 列 的 概 念 双基研习·面对高考 考点探究·挑战高考 考向瞭望·把脉高考

双基研习·面对高考

基础梳理

1.数列的概念 按一定次序排列的一列数叫做数列.数列中 项 的每一个数叫做这个数列的___.数列可以 看作一个定义域为正整数集N*(或它的有限 子集{1,2,3,…,n})的函数,当自变量从小 函数值 到大依次取值时对应的一列______.它的图 一群孤立的点 象是____________.

数列{an}的第n项an与项数n的关系若能用一

个公式an=f(n)给出,则这个公式叫做这个
通项公式 数列的________.

2.数列的性质
(1)有界性:若存在正数A,使得|an|≤A,则

称数列{an}是有界数列.
(2)单调性

递增数列:数列{an}中,恒有 an+1>an(n∈N*) ______________; 递减数列:数列{an}中,恒有an+ <an(n∈N*); 1 an>an+1 摆动数列:数列{an}中,有时________,有 时an<an+1(n∈N*); 常数列:数列{an}中,恒有an=an+1(n∈N*) ______________. (3)周期性:若存在正整数k,使得an+k=an, 则{an}是周期数列,且周期为k.

3.数列的前 n 项和 数列的前 n 项和 Sn=a1+a2+…+an, 且下列关系成立
?S1 ?n=1? an=? ?Sn-Sn-1 ?n≥2?.

4.递推公式

如果已知数列{an}的第1项(或前几项),且任
一项an与它的前一项an-1(或前几项)间的关

系可以用一个公式来表示,那么这个公式就 递推 叫做这个数列的____公式.

思考感悟 (1){an}与an有何关系? (2)一个数列的通项公式是否唯一? 提示:(1){an}与an是两个不同的概念,{an} 表示数列a1,a2,a3,…,an,…,而an只 表示数列{an}中的第n项. (2)不一定,有的数列通项公式唯一,有的数 列有多个通项公式,有的数列没有通项公 式.

课前热身

3 8 15 24 1.(教材例 2 改编)数列 ,- , ,- ,…的 2 3 4 5 一个通项公式是( n2-1 A.an= n ) ?n+1?2-1 B.an= n+1

n2+2n ?n+1?2-1 n+1 C.an=(-1) D.an=(-1)n n+1 n+1

答案:C 2.已知a0=1,a1=3,a-an-1·n+1=(- a 1)n,(n∈N*),则a3等于( ) A.33 B.21 C.17 D.10 答案:A 3.已知an+1=an-2,则数列{an}是( ) A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.摆动数列 答案:B

4.如果数列{an}的前n项和为Sn=2n2+1, 则an=__________.
?3 答案:? ?4n-2

?n=1? ?n≥2?

5.在数列{an}中,a1=1,a2 -an+1-1=0,则 n 此数列的前 2012 项之和为________.
答案:-1004

考点探究·挑战高考

考点突破 由数列的前几项写数列的 通项公式

据所给数列的前几项求其通项公式时,需仔 细观察分析,抓住以下几方面的特征: (1)分式中分子、分母的特征; (2)相邻项的变化特征; (3)拆项后的特征; (4)各项符号特征等,并对此进行归纳、联 想.参考教材例2.

根据数列的前几项, 写出下列各数列的一个 通项公式: (1)0.8,0.88,0.888,…; 1 1 5 13 29 61 (2) , ,- , ,- , ,…; 2 4 8 16 32 64 3 7 9 (3) ,1, , ,…; 2 10 17 (4)0,1,0,1,….

例1

【思路分析】 (1)循环数借助于10n-1来解 决. (2)正负号交叉用(-1)n或(-1)n+1来调节, 这是因为n和n+1奇偶交错. (3)分式形式的数列,分子找通项,分母找通 项,要充分借助分子、分母的关系. (4)对于比较复杂的通项公式,要借助于等差 数列、等比数列和其他方法解决.

8 8 【解】 (1)将数列变形为 (1-0.1), (1- 9 9 8 8 1 0.01), (1-0.001),…,∴an= (1- n). 9 9 10 (2)各项的分母分别为 21,22,23,24,…,易看出 第 2,3,4 项的分子分别比分母少 3.因此把第 1 2-3 21-3 项变为- ,至此原数列已化为- 1 , 2 2 22-3 23-3 24-3 ,- 3 , 4 ,…, 22 2 2 2n-3 ∴an=(-1)n· n . 2

3 5 7 9 (3)将数列统一为 , , , ,…,对 2 5 10 17 于分子 3,5,7,9,…是序号的 2 倍加 1, 可得分子的通项公式为 bn=2n+1, 对 于 分 母 2,5,10,17 , … 联 想 到 数 列 1,4,9,16,…,即数列{n2},可得分母的 通项公式为 cn=n2+1, 2n+1 ∴可得它的一个通项公式为 an= 2 . n +1

?n为奇数? , ?n为偶数? 1 1 1 1 又 0= - ,1= + , 2 2 2 2 n 1+?-1? ∴也可为 an= . 2 若考虑到三角函数的特征,此数列的通
?0 (4)an=? ?1

项公式也可以写为 an=sin 1+cosnπ * = (n∈N ). 2

2?n+1?π

2

或 an

【领悟归纳】 (1)借助(-1) 或(-1) 来解决项的符号问题. (2)当项为分式的数列时,可进行恰当的 变形,寻找分子、分母各自的规律以及 分子、分母间的关系. (3)对较复杂的数列通项公式的探求,可
2

n

n+1

1 借助熟知的数列, 如{n }, }, n}, { {2 {(- n 1)n}等以及等差数列、等比数列和其他 方法来解决.

由数列递推关系求通项公式

已知数列的递推关系式求数列的通项公式的 方法大致分两类:一类是根据前几项的特点 归纳猜想出an的表达式,然后用数学归纳法 证明;另一类是将已知递推关系式,用代数 的一些变形技巧整理变形,然后采用累差法、 累乘法、迭代法、换元法或转化为基本数列 (等差或等比数列)等方法求得通项.

例2 根据下列条件,确定数列{a }的通 n

项公式. n-1 (1)a1=1,an= a (n≥2); n n- 1 (2)Sn=3n-2.

【思路分析】 (1)转化后利用累乘法求解. (2)利用an=Sn-Sn-1(n≥2).

n-1 【解】 (1)∵an= a (n≥2), n n-1 n-2 ∴an-1= an-2, n-1 … 1 a2= a1. 2 以上(n-1)个式子相乘得 1 2 n-1 a1 1 an=a1··· n = n =n. …· 23

(2)∵Sn=3n-2, ∴当 n=1 时,a1=S1=1; 当 n≥2 时, - an=Sn-Sn-1=3n-2-(3n 1-2) - =2×3n 1. 显然 n=1 时不适合上式. ∴
?1 ? n-1 ?2×3

an ?n=1?, * ?n≥2,且n∈N ?.



【误区警示】

an与Sn的关系式an=Sn-Sn

-1的使用条件是n≥2,求an时切勿漏掉n=1

的情况.

互动 探究 (1)a1 = 1, an = an - 1 + n- 1(n≥2) 1 3 n+1 (2)Sn= ×3 - . 2 2 求通项公式.

解:(1)由 an-an-1=n-1 (n≥2) 可得 a2-a1=1 a3-a2=2 a4-a3=3 … an-an-1=n-1 以上 n-1 个等式相加得 an-a1=1+2+3+…+(n-1) n?n-1? ∴an=1+ (n∈N*) 2

1 3 n+1 (2)∵Sn= ×3 - 2 2 1 3 当 n=1 时,S1=a1= ×9- =3. 2 2 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1 1 3 1 3 n+1 n = ×3 - -( ×3 - ) 2 2 2 2 =3n,适合 n=1. n ∴an=3 .

数列的性质 数列可看成自变量为N*(或其子集)的函数, 函数的某些性质如单调性、最值等,数列同 样适用.

例3 若 数 列 {an} 的 通 项 公 式 为 an =

2 2n-2 2 n- 1 5· ) -4· ) , ( ( 数列的最大项为第 x 5 5 项,最小项为第 y 项,求 x+y 的值. 2 2n- 2 2 n-1 【思路探究】 观察到( ) 与( ) 5 5 是平方关系,故考虑结合二次函数的知 识解决问题.

2 2n-2 2 n-1 【解】 ∵an=5· ) ( -4· ) ( 5 5 2 n- 1 2 2 n- 1 =5· ) ] -4· ) , [( ( 5 5 2 n- 1 ∴设 t=( ) ,∵n-1≥0,∴0<t≤1. 5 22 4 2 ∴an=5t -4t=5(t- ) - , 5 5 2 4 2 ∴当 t= 时,5t -4t 有最小值- , 5 5

2 n- 1 2 此时,t=( ) = ,n=2∈N*, 5 5 2 当 t=1 时,5t -4t 有最大值. 2 n- 1 * 此时,t=( ) =1,n=1∈N , 5 ∴x=1,y=2,x+y=3.

【思维总结】 由于数列可以视为一类特殊 的函数,所以在研究数列问题时,可以借助 研究函数的许多方法进行求解.本题正是利 用了换元的思想,将数列的项的最值问题转 化为二次函数的最值问题,但必须注意的是, 数列中的项,即n的值只能取正整数,从而 换元后变量t的取值范围也相应地被限制.

方法感悟 方法技巧 1.已知递推关系求通项 这类问题要求不高,主要掌握由a1和递推关 系先求出前几项,再归纳、猜想an的方法, 以及“化归法”、“累加法”等. 常见的解题规律有: (1)an-an-1=f(n)满足一定规律时,可有 an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1) +a1.如互动探究(1)

an (2) =g(n)满足一定条件时,可有. an - 1 an an-1 a2 an = · · …· ·1.如例 2(1). a a1 an-1 an-2 (3){an}为周期数列,则周期为 T(T 为正 整数)时,an=an+T,可将 an 转化为 a1, a2,…,aT 处理.如课前热身 5 2. 数列是特殊的函数, 研究数列性质时, 要借用函数的性质.如例 3.

失误防范 1.数列中项的有序性是数列定义的灵魂, 要注意辨析数列的项和数集中元素的异 同.数列可看作是一个定义域为正整数集或 它的有限子集{1,2,…,n}的函数,因此在 研究数列问题时,既要注意函数方法的普遍 性,又要注意数列方法的特殊性.切记,两 者不能混为一谈.如例3.

2.数列由Sn求an时,要注意检验n=1的情 况是否适合an=Sn-Sn-1;a1由S1来求,不 能由an=Sn-Sn-1来求.如例2的(2)和互动 探究(2).

考向瞭望·把脉高考

考情分析
数列的概念在高考试题中很少独立命题,但 是,数列的递推关系、归纳、猜想的数学推 理思想会渗透在数列的试题之中,如猜想通 项公式、单调性、周期性,进一步求数列中 的某些项或和,近几年的高考中,涉及到数 学史中的一些数列(数阵)等.多数都用到Sn 与an的递推关系.

如2010年的高考中四川卷第8题,上海理第 10题,由矩阵转化为数列,课标全国卷理第 17题,由递推关系累和求通项公式,陕西理 9和12分别考查了数列的单调性和归纳法. 预测2012年的高考中,以递推归纳为主,出 现新的递推模型,考查数列的性质及计算.

真题透析 (2010年高考陕西卷)对于数列{an},“an+ ) 1>|an|(n=1,2,…)”是“{an}为递增数列”的( A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件


【解析】 由an+1>|an|可得an+1>an. ∴{an}是递增数列. ∴“an+1>|an|”是“{an}为递增数列”的充分条 件. 当数列{an}为递增数列时,不一定有an+ 1>|an|,如:-3,-2,-1,0,1,…. ∴“an+1>|an|”不是“{an}为递增数列”的必要 条件.

【答案】

B
本题以“充要条件”的知识考

【名师点评】

查数列的单调性质,设计新颖,难度不大,
只要理解数列的递增性质an+1>an,此题就

容易得出答案,否则就错选为C.

名师预测
1.数列{an}满足a1=1,a2=3,an+1=(2n- λ)an(n=1,2,…),则a3等于( ) A.15 B.10 C.9 D.5 解析:选A.由a2=(2-λ)a1,可得2-λ=3, 解得λ=-1,∴a3=(2×2+1)×3=15,故 应选A.

6 2 . 已 知 数 列 {an} 中 , a1 = , an + 1 = 7 ? 1 ?2a 0≤an≤ , n ? 2 ? 则 a2012 等 1 ? ≤an≤1, ?2an-1 2 ? 于( ) 3 4 A. B. 7 7 5 6 C. D. 7 7

6 解析:选 C.由递推公式可得 a1= ,a2 7 5 3 6 = ,a3= ,a4= ,…, 7 7 7 5 ∴a2012=a3×670+2=a2= . 7

3.某少数民族的刺绣有着悠久的历史,下 图甲、乙、丙、丁为她们刺绣最简单的四个 图案,这些图案都是由小正方形构成,小正 方形数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺 绣(小正方形的摆放规律相同),设第n个图 形包含f(n)个小正方形,则f(n)的表达式为 __________.

解析:本题考查归纳推理.根据所给图形的
规律,f(1)=1,f(n+1)-f(n)=4n,由累加

法可得f(n)=2n2-2n+1.
答案:f(n)=2n2-2n+1

4.已知数列{an}是递增数列,且对于任意的 n∈N*,an=n2+λn恒成立,则实数λ的取值 范围是__________. 解析:由数列{an}是递增数列,得an<an+1对 于n∈N*恒成立,即n2+λn<(n+1)2+λ(n+ 1). 整理得λ>-2n-1.而-2n-1≤-3, ∴λ>-3. 答案:(-3,+∞)