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【名校精品解析系列】12月份名校试题解析分类汇编第四期 H单元 解析几何


H 单元 目录

解析几何

H 单元 解析几何 ........................................................................................................................... 1 H1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 ...................................................................................... 1 H2 两直线的位置关系与点到直线的距离 .................................................................................. 1 H3 圆的方程 .................................................................................................................................. 2 H4 直线与圆、圆与圆的位置关系 .............................................................................................. 3 H5 椭圆及其几何性质 .................................................................................................................. 4 H6 双曲线及其几何性质 ............................................................................................................ 19 H7 抛物线及其几何性质 ............................................................................................................ 21 H8 直线与圆锥曲线(AB 课时作业) ..................................................................................... 25 H9 曲线与方程 ............................................................................................................................ 33 H10 单元综合 .............................................................................................................................. 34

H1

直线的倾斜角与斜率、直线的方程

H2

两直线的位置关系与点到直线的距离

【数学理卷·2015 届重庆市巴蜀中学高三 12 月月考(201412) 】15.点 P(-1,0)在动直线

2ax ? ?a ? c ? y ? 2c ? 0?a ? R, c ? R ? 上的射影为 M,已知点 N(3,3),则线段 MN 长度的
最大值是____________ 【知识点】等差数列的性质;与直线关于点、直线对称的直线方程.D2H2 【答案】【解析】 5 ? 2 解析:易知动直线恒过定 A 点 ?1,?2 ? ,则动点 M 的轨迹为以
2

AP 为直径的圆 B x 2 ? ? y ? 1? ? 2 上,MN 长度的最大值为 BN ? r ? 5 ? 2 。故答案为

5? 2 。
【思路点拨】先求出直线恒过的定点坐标,然后求出动点 M 的轨迹,再计算最大值即可。

H3

圆的方程

【数学理卷·2015 届江苏省扬州中学高三上学期质量检测(12 月) (201412) 】12.若在给 定直线 y ? x ? t 上任取一点 P, 从点 P 向圆 x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 8 引一条切线,切点为 Q. 若存 在定点 M , 恒有 PM ? PQ, 则 t 的范围是_______. 【知识点】圆的标准方程;直线和圆的方程的应用.H3 H4 【答案】 【解析】 t ? (??,?2] ? [6,??)
2 2 2

解析: 设 M (m, n), P( x, x ? t ), 若恒有 PM ? PQ,
2

则有 ( x ? m) ? ( x ? t ? n) ? x ? ( x ? t ? 2) ? 8, 即有

(2m ? 2n ? 4) x ? (m 2 ? n 2 ? 2nt ? 4t ? 4) ? 0, ?x ? R 恒成立,
∴?

?2m ? 2n ? 4 ? 0
2 2

, 消去 m, 得 n 2 ? (t ? 2)n ? (2t ? 4) ? 0. ?m ? n ? 2nt ? 4t ? 4 ? 0
2

∴ ? ? (t ? 2) ? 4(2t ? 4) ? 0 ,∴ t ? (??,?2] ? [6,??) . 【思路点拨】假设存在这样的点 M (m, n) ,设点 P 的坐标,进而根据 PM ? PQ, 求得关于 x 的方程,进而列出方程组,消去 m,得到关于 n 的一元二次方程,分别讨论当判别式大于 0 或小于等于 0 时的情况.

【数学理卷·2015 届四川省成都外国语学校高三 12 月月考(201412) 】14.过点 A(11, 2) 作 圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ?164 ? 0 的弦,
2 2

其中弦长为整数的共有 【知识点】圆的方程 H3 【答案】 【解析】32

条。

解析:由题意可知过点 A(11, 2) 的最短的弦长为 10,最长的弦长为 26,所以共有弦长为整 数有 2+2×(26-10-1)=32. 【思路点拨】可先求出弦长的范围,弦与点 A 与圆心连线垂直时弦长最短,弦过圆心时弦长 为圆的直径,此时长度最大,取得最值的两个位置只有一条,中间的整数值都有两条.

【数学文卷·2015 届江苏省扬州中学高三上学期质量检测(12 月) (201412) 】12.在平面 直角坐标系 xOy 中,抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为 F,点 P 在抛物线上,且位于 x 轴上方。若点 P 到坐标原点 O 的距离为 4 2 ,则过点 F,O,P 三点的圆的方程是 【知识点】抛物线的简单性质;圆的一般方程.H3 H7
2 2 【答案】 【解析】 ( x ? ) ? (y ? ) ?

1 2

7 2

25 2

解析:∵抛物线的方程为 y 2 ? 4 x ,∴抛物线焦

骣 骣 t2 t2 琪 琪 P , t P 点为 F (1,0) ,设 琪 ,则 琪 , t ,解之得 t = 4 (舍负) ,∴ P 坐标为 ( 4,4) , 4 4 桫 桫
设经过 F , O, P 三点的圆的方程为 x2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 ,将 O(0,0) ,F(1,0) ,P

ì F =0 ? ? 1+ D + F = 0 (4,4)代入,得 í ,解之得 D=﹣1,E=﹣7,F=0 ? ? ? 16 +16 + 4 D + 4 E + F = 0
2 2 ∴经过 F , O, P 三点的圆的方程为 x2 + y 2 - x - 7 y = 0 .即 ( x ? ) ? (y ? ) ? 2 2 故答案为: ( x ? ) ? (y ? ) ?

1 2

7 2

25 。 2

1 2

7 2

25 。 2

【思路点拨】根据抛物线方程,求出焦点 F 的坐标和满足条件|OP|= 4 2 的 P 点的坐标,再 设经过 F、O、P 三点圆的一般式方程,将 O、F、P 坐标代入,解关于 D、E、F 的方程组, 即可得到所求圆的方程.

H4

直线与圆、圆与圆的位置关系

【数学理卷·2015 届黑龙江省大庆市铁人中学高三 12 月月考(期中) (201412) 】7.圆心

在直线 y=x 上,经过原点,且在 x 轴上截得弦长为 2 的圆的方程为( A.(x-1)2+(y-1)2=2 B.(x-1)2+(y+1)2=2 C.(x-1)2+(y-1)2=2 或(x+1)2+(y+1)2=2 D.(x-1)2+(y+1)2=或(x+1)2+(y-1)2=2
【知识点】直线与圆 H4

)

【答案】C 【解析】由于圆心在 y=x 上,所以可设圆的方程为(x-a)2+(y-a)2=r2,将 y=0 代入得: x2-2ax+2a2=r2∴x1+x2=a,x1?x2=2a2-r2, ∴弦长=|x1-x2 |= ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 ? x2 =2
2

代入可得:7a2-4r2+4=0

①再将点(0,0)代入方程(x-a)2+(y-a)2=r2,

得 2a2=r2=0…②,联立①②即可解出 a=1、r2=2,或 a=-1,r2=2 (x-1)2+(y-1)2=2 或(x+1)2+(y+1)2=2 【思路点拨】根据直线与圆的位置关系根与系数的关系求出方程。

【数学理卷·2015 届江苏省扬州中学高三上学期质量检测(12 月) (201412) 】12.若在给 定直线 y ? x ? t 上任取一点 P, 从点 P 向圆 x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 8 引一条切线,切点为 Q. 若存 在定点 M , 恒有 PM ? PQ, 则 t 的范围是_______. 【知识点】圆的标准方程;直线和圆的方程的应用.H3 H4 【答案】 【解析】 t ? (??,?2] ? [6,??)
2 2 2

解析: 设 M (m, n), P( x, x ? t ), 若恒有 PM ? PQ,
2

则有 ( x ? m) ? ( x ? t ? n) ? x ? ( x ? t ? 2) ? 8, 即有

(2m ? 2n ? 4) x ? (m 2 ? n 2 ? 2nt ? 4t ? 4) ? 0, ?x ? R 恒成立,
∴?

?2m ? 2n ? 4 ? 0
2 2

, 消去 m, 得 n 2 ? (t ? 2)n ? (2t ? 4) ? 0. ?m ? n ? 2nt ? 4t ? 4 ? 0
2

∴ ? ? (t ? 2) ? 4(2t ? 4) ? 0 ,∴ t ? (??,?2] ? [6,??) . 【思路点拨】假设存在这样的点 M (m, n) ,设点 P 的坐标,进而根据 PM ? PQ, 求得关于 x 的方程,进而列出方程组,消去 m,得到关于 n 的一元二次方程,分别讨论当判别式大于 0 或小于等于 0 时的情况.

H5

椭圆及其几何性质

【数学理卷·2015 届黑龙江省大庆市铁人中学高三 12 月月考(期中) (201412) 】12.已

知点 P 是椭圆 + =1(x≠0,y≠0)上的动点,F1、F2 分别为椭圆的左、右焦 16 8 点,O 是坐标原点,若 M 是∠F1PF2 的平分线上一点,且 F1 M ? MP ? 0 ,则 | OM | 的取值范围是( A.[0,3) ) C.[2 2,3) D.(0,4]

x2

y2

B.(0,2 2)

【知识点】椭圆及其几何性质 H5 【答案】B 【解析】如图,

当点 P 在椭圆与 y 轴交点处时,点 M 与原点 O 重合, 此时| OM | 取最小值 0. 当点 P 在椭圆与 x 轴交点处时,点 M 与焦点 F1 重合,此时| OM | 取最大值 2 2 . ∵xy≠0,∴| 2 |的取值范围是(0,2 2 ). x2 y2 【思路点拨】作出椭圆 + =1 的图象,通过观察图象可以发现,当点 P 在椭圆与 y 轴交 16 8 点处时,点 M 与原点 O 重合,此时| OM | 取最小值 0.当点 P 在椭圆与 x 轴交点处时,点 M 与焦点 F1 重合,此时| OM | 取最大值 2 2 .由此能够得到| OM |的取值范围.

第 II 卷(非选择题) 二.填空题(每小题 5 分,共 20 分)
【数学理卷·2015 届重庆市巴蜀中学高三 12 月月考(201412) 】20.已知点 A?2,0 ? ,椭圆 E:

y2 x2 3 3 ? 2 ? 1?a ? b ? 0 ? 的离心率为 ;F 是椭圆 E 的下焦点,直线 AF 的斜率为 ,O 2 a b 2 2
为坐标原点。 (1)求 E 的方程; (2)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 M,N 两点,当 ?OMN 的面积最大时,求 l 的直线方

程。 【知识点】椭圆的标准方程;直线与圆锥曲线 H5 H8

【答案】【解析】(1)

y2 ? x 2 ? 1 (2) y ? ? 2 x ? 3 解析:设椭圆的下焦点坐标为 4

? 0, ?c ? ,所以 AF 的斜率
y2 ? x2 ? 1; 4

0?c 3 ? ?c ? 3 , 2?0 2

c 3 ? ? a ? 2 ? a 2 ? 4, b2 ? 1 , a 2

(2)依题直线 l 的斜率存在。 设 l : y ? kx ? 3

? y ? kx ? 3 ? 联立方程 ? y 2 消去 y 得: ?k 2 ? 4 ?x 2 ? 2 3kx ? 1 ? 0 , 2 ? ? x ?1 ?4
? 2 3k x ?x ?? 2 ? ? 1 2 k ?4 设 M ( x1 , y1 ), N ? x2 , y2 ? ,则 ? ?x x ? ? 1 1 2 ? k2 ? 4 ?
1 3 S△ MON ? ? 3 ? x1 ? x2 ? 2 2 ? ? 3 16 k 2 ? 1 3 ? 2 2 2 k2 ? 4

?x1 ? x2 ?2 ? 4 x1 x2
16 k 2 ? 1

?

?

?

?

?k ?

2

?1 ? 6 k 2 ?1 ? 9 ? 3 16 ?1 2 12

?

?

2

?

?

?

3 2

16

?k

2

?1 ? 6 ?

?

?

9 k ?1
2

当且仅当 k 2 ? 2 时取等号,此时 l 的直线方程为 y ? ? 2 x ? 3 。 【思路点拨】根据已知条件可求出椭圆的几何量 a,b,c,再列出椭圆方程,根据直线与圆锥 曲线的关系可联立方程,找出所用条件求解.

【数学理卷· 2015 届河北省唐山一中高三 12 月调研考试 (201412) 】 15. 已知椭圆

x2 ? y2 ? 1 , 5

椭圆的中心为坐标原点 O ,点 F 是椭圆的右焦点,点 A 是椭圆短轴的一个端点,过点 F 的 直线 l 与椭圆交于 M 、N 两点, 与 OA 所在直线交于 E 点, 若 EM ? ?1 MF , EN ? ?2 NF , ,

则 ?1 ? ?2 ? __________. 【知识点】椭圆及其几何性质 H5 【答案】-10 【解析】设 M(x1,y1),N(x2,y2)(x1>x2)则∵椭圆

x2 ? y 2 ? 1 ∴c=2, 5

∵ EM ? ?1 MF , EN ? ?2 NF , ,∴λ1+λ2=

1 x2 x1 ?( + ) 2 2 ? x2 2 ? x1

设直线方程为 y=k(x-2),代入椭圆方程可得(1+5k2)x-20k2x+20k2-5=0, ∴x1+x2=

20k 2 20k 2 ? 5 x2 x , x x = ,∴ + 1 =-10,∴λ1+λ2=-5. 1 2 2 2 1 ? 5k 1 ? 5k 2 ? x2 2 ? x1

【思路点拨】设 M(x1,y1),N(x2,y2)(x1>x2)则由 EM ? ?1 MF , EN ? ?2 NF , 可得 λ1+λ2=

1 x2 x ?( + 1 ),设直线方程为 y=k(x-2),代入椭圆方程,利用韦达 2 2 ? x2 2 ? x1

定理,即可得出结论.

【数学理卷·2015 届江苏省扬州中学高三上学期质量检测(12 月) (201412) 】18.(本小 题满分 16 分) 如图所示, 已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的左、 右焦点分别为 F 1 ? ?1,0 ? , F 2 ?1,0 ? ,P 为 a 2 b2

椭圆上一点, Q 为上顶点, F 1 M ? 2MP , PO ? F 2M ? 0 . (1) 当椭圆离心率 e ?

3 1 时,若直线过点(0, ? )且与椭圆交于 A, B (不同于 Q ) 7 2

两点,求 ?AQB ; (2)求椭圆离心率 e 的取值范围.

【知识点】直线与圆锥曲线的关系;椭圆的简单性质.H5 H8

【答案】 【解析】 (1) ?AQB ? 解析: (1) c ? 1, e ?

?
2

; (2) e ? ê ,1÷ ÷

轹 1 ê 2 滕

c 1 ? , 得 a ? 2,? b2 ? a2 ? c2 ? 3 , a 2

所以椭圆的方程为

x2 y 2 3 ? ? 1 . 依题意可设 AB 所在的直线方程为 y ? kx ? ,代入椭 4 3 7

圆方程,得 3+4k 2 x 2 ?

?

?

8 3 576 kx ? ? 0 .设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , 7 49

则 x1 ? x2 ?

7 ? 3 ? 4k

8 3k

2

?

, x1 x2 ?

49 ? 3 ? 4k 2 ?

?576

.

因为 Q 0, 3 ,? QA ? QB ? x1 , y1 ? 3 ? x2 , y2 ? 3 ? ? x1 , kx1 ?

?

?

?

??

?

? ? ?

8 3? ? 8 3? ? x , kx ? ? ? ? 2 2 ? 7 ? 7 ? ? ? ?

? ?1 ? k 2 ? x1 x2 ?
?

8 3 192 ?576 8 3 8 3k 192 k ? x1 ? x2 ? ? ? ?1 ? k 2 ? ? k ? 2 2 7 49 7 7 ? 3 ? 4k ? 49 49 ? 3 ? 4k ?
2

?576 ? 576k 2 ? 192k 2 ? 576 ? 768k 2 49 ? 3 ? 4k

?

? 0 ,所以 ?AQB ?

?
2

.

(2)因为 PO ?

1 1 PF1 ? PF2 , F2 M ? PM ? PF2 ? PF1 ? PF2 , 2 3

?

?

因为 PO ? F2 M ? 0 ,所以
2 2

1 ?1 ? PF1 ? PF2 ? ? PF1 ? PF2 ? ? 0 ,化简得 2 ?3 ?
2 2

?

?

PF1 ? 2 PF1 · PF2 - 3PF2 ? 0 ,即 PF1 ? 2 PF1 PF2 cos ?F1 PF2 ? 3 PF2
在 ?F1 PF2 中,由余弦定理,有 PF1 所以 4 PF2 即e ?
2 2 2

? 0,

? PF2 ? 2 PF1 PF2 cos ?F1 PF2 ? 4c 2 ,

? 4c2 , PF2 ? c , 又因为 a ? c ? PF2 ? a ? c,? a ? 2c ,

c 1 ?1 ? ? , 0 ? e ? 1? e ? ? ,1? . a 2 ?2 ?

【思路点拨】 ( 1 )利用已知条件求出 a = 2 ,求出椭圆的方程设 AB 所在的直线方程为

y ? kx ?

3 ,代入椭圆方程,设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,利用韦达定理,以及向量是数量 7

积为 0,即可求出 ?AQB ?

?
2

. (2)通过 PO ? F2 M ? 0 ,在 ?F1 PF2 中,由余弦定理,结

合 a - c #PF2

a + c ,推出 a ? 2c ,然后求出离心率的范围.

【数学理卷·2015 届山西省山大附中高三上学期中考试试题(201411) 】20. (本小题满分 2 2 x y 3 12 分) 椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 , 长轴端点与短轴端点间的距离为 5 . a b 2 (1)求椭圆 C 的方程; (2)设过点 D (0, 4) 的直线 l 与椭圆 C 交于 E , F 两点,O 为坐标原点,若 ?OEF 为直角三 角形,求直线 l 的斜率. 【知识点】椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系 H5 H8

x2 ? y2 ? 1 4 【答案】 (Ⅰ) ;(Ⅱ) ? 19 和 ? 5 .
c 3 ? , a 2 ? b2 ? 5 2 2 2 2 2 a 2 【解析】解析: (1)由已知 ,又 a ? b ? c ,解得 a ? 4, b ? 1 ,

x2 ? y2 ? 1 C 4 所以椭圆 的方程为 ;………………4 分
(2) 根据题意,过点 D(0, 4) 满足题意的直线斜率存在,设 l : y ? kx ? 4 ,

? x2 2 ? ? y ?1 ?4 2 2 ? y ? kx ? 4 联立 ? ,消去 y 得 (1 ? 4k ) x ? 32kx ? 60 ? 0 ,

? ? (32k )2 ? 240(1 ? 4k 2 ) ? 64k 2 ? 240 ,
令 ? ? 0 ,解得
k2 ? 15 4 .

………………7 分

设 E 、 F 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) , ⅰ)当 ?EOF 为直角时,
x1 ? x2 ? ? 32k 60 , x1 x2 ? 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2 ,



因为 ?EOF 为直角,所以 OE ? OF ? 0 ,即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,
2 所以 (1 ? k ) x1 x2 ? 4k ( x1 ? x2 ) ? 16 ? 0 ,

15 ? (1 ? k 2 ) 32k 2 ? ?4?0 2 1 ? 4k 2 所以 1 ? 4k ,解得 k ? ? 19 .………………9 分
ⅱ)当 ?OEF 或 ?OFE 为直角时,不妨设 ?OEF 为直角,

y1 y1 ? 4 ? ? ?1 2 2 k ? k ? 1 x x OE 1 1 此时, ,所以 ,即 x1 ? 4 y1 ? y1 ……① x12 ? y12 ? 1 又 4 …………②
2 将①代入②,消去 x1 得 3 y1 ? 4 y1 ? 4 ? 0 ,

解得

y1 ?

2 3 或 y1 ? ?2 (舍去) ,



y1 ?

y ?4 2 2 k? 1 ?? 5 x1 ? ? 5, x 3 代入①,得 3 1 所以 ,

经检验,所求 k 值均符合题意。 综上,k 的值为 ? 19 和 ? 5 .

………………11 分 ………………12 分

c 3 ? , a 2 ? b2 ? 5 2 2 a 2 【思路点拨】 (1)由题意可得 , 即可求得 a ? 4, b ? 1 进而得到椭圆方程;

(2)过点 D(0, 4) 满足题意的直线斜率存在, 设 l : y ? kx ? 4 , 与椭圆联立, 因为 ?OEF 为 直角三角形,所以分 ?EOF 为直角和 ?OEF 或 ?OFE 为直角时,两种情况进行讨论, 利用向量的数量积为零,结合韦达定理求解.

【数学理卷· 2015 届山西省山大附中高三上学期中考试试题 (201411) 】 8. 若 等比中项,则圆锥曲线 A. B. C. 的离心率是( 或 ) D. 或

是 和 的

【知识点】等比中项 圆锥曲线的性质 D3 H5 H6
2 ? m ? ?4, 【答案】D【解析】解析:∵正数 m 是 2,8 的等比中项,? m ? 2 ? 8 ? 16,

若 m ? 4 ,∴椭圆
2

x2 ?
的方程为:

1 3 y2 e ? 1? ? ?1 4 2 , 4 ,∴其离心率

y2 x ? ?1 4 若 m ? ?4 ,则双曲线方程为 ,离心率 e ? 1 ? 4 ? 5 ,故选择 D.
【思路点拨】正数 m 是 2,8 的等比中项,可求得 m ,从而可曲线为椭圆或双曲线,可求得 其离心率. 【数学理卷·2015 届四川省成都外国语学校高三 12 月月考(201412) 】20. (本题满分 13

分) 已知椭圆 C :

x 2 y2 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 的左焦点 F ( ?1,0) ,离心率为 , 2 a b 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ) 设 P ( t ,0)(t ? 0) , 过 P 的直线 l 交椭圆 C 于 A, B 两点, 求 QA ? QB Q( f ( t ),0) , 的最小值,并求此时的 t 的值. 【知识点】椭圆,直线与椭圆位置关系 H5 H8 【答案】 【解析】 (Ⅰ)

x2 1 6 ? y2 ? 1 ; (Ⅱ)最小值为 ? ,此时 t ? ? . 2 2 3

?1 2 x2 ? ? ? y2 ? 1 解析: (Ⅰ) c ? 1 ,由 ? a 得 , 椭圆方程为 a ? 2 , b ? 1 2 2 ?a 2 ? b 2 ? 1 ?
(Ⅱ)若直线 l 斜率不存在,则 QA ? QB = (

1 3 2 ? t) ? 2 2t 4

设直线 l : y ? k ( x ? t ) , A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), Q( x0 ,0)

QA ? ( x1 ? x0 , y1 ), QB ? ( x2 ? x0 , y2 )
QA ? QB ? ( x1 ? x0 )( x 2 ? x0 ) ? y1 y2 ? ( x1 ? x0 )( x2 ? x0 ) ? k 2 ( x1 ? t )( x2 ? t )
2 ? ( k 2 ? 1) x1 x2 ? ( k 2 t ? x0 )( x1 ? x2 ) ? x0 ? k 2t 2

? x2 ? ? y2 ? 1 2 2 2 2 2 由? 2 得 ( 2k ? 1) x ? 4k tx ? 2k t ? 2 ? 0 ? ? y ? k( x ? t )

? 4k 2 t x ? x ? 2 ? ? 1 1 ? 2k 2 所以 ? 2 2 ? x x ? 2k t ? 2 ? 1 2 1 ? 2k 2 ?
2 故QA ? QB ? x0 ? 2? (

1 3 2 1 3 2 1 ? t ) ? 2 ? ?2 ? (2 ? t) ? ? 2t 4 2t 4 2
1 6 ,此时 t ? ? . 2 3

故 QA ? QB 的最小值为 ?

【思路点拨】在圆锥曲线与向量的综合应用中,出现向量关系,一般把向量关系转化为坐标 关系,再通过联立方程,利用韦达定理转化为系数关系进行解答.

【数学理卷·2015 届四川省成都外国语学校高三 12 月月考(201412) 】9.已知椭圆 C:

x2 ? y 2 ? 1 ,点 M1 , M 2 , ?, M5 为其长轴 AB 的 6 等分点,分别过这五点作斜率为 2
k ( k ? 0) 的一组平行线,交椭圆 C 于 P1 , P2 , ?, P10 ,则直线 AP1 , AP2 , ?, AP10 这 10
条直线的斜率乘积为 ( A. ? )

1 16

B. ?

1 32

C.

1 64

D. ?

1 1024

【知识点】椭圆的标准方程 椭圆的性质 H5 【答案】 【解析】B 解析:由椭圆的性质可得 k AP1 ? k BP1 ? k AP2 ? k BP10 ? ?

1 ,由椭圆的对称性可得 2

kBP1 ? k AP10 , kBP10 ? k AP1 ,同理可得
1 k AP3 ? k AP8 ? k AP5 ? k AP6 ? k AP7 ? k AP4 ? k AP9 ? k AP2 ? ? ,则直线 AP1 , AP2 , ?, AP10 这 2
10 条直线的斜率乘积为 ? ? ? ? ?

? 1? ? 2?

5

1 ,所以选 B. 32

. 【思路点拨】抓住椭圆上的点与长轴端点的连线的斜率为定值是本题的关键.

【数学理卷·2015 届四川省成都外国语学校高三 12 月月考(201412) 】5.某几何体是由直 三棱柱与圆锥的组合体,其直观图和三视图如图所示,正视图为正方形,其中俯视图中椭圆 的离心率为 A. 2 B.

1 2

C.

2 4

D.

2 2

正视图

侧视图

直观图

俯视图

(第 5 题)

【知识点】三视图 椭圆的性质 G2 H5 【答案】 【解析】D 解析:设正视图中正方形的边长为 2b,由三视图可知,俯视图中的矩形一边长为 2b,另一 边 长 为 圆 锥 底 面 直 径 , 即 为 正 视 图 中 的 对 角 线 长 , 计 算 得 2 2b , 所 以

2a ? 2 2b, a ? 2b,e ?

c a 2 ? b2 b 2 ,则选 D. ? ? ? a a 2 2b

【思路点拨】由三视图解答几何问题,注意三视图与原几何体的长宽高的对应关系,求椭圆 的离心率,抓住其定义寻求 a,b,c 关系即可解答.

【数学文卷·2015 届黑龙江省大庆市铁人中学高三 12 月月考(期中) (201412) 】21. (本 小题 12 分)已知椭圆 C 的中心在原点 O ,焦点在 x 轴上,离心率为 距离为 1 . (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; ( Ⅱ ) 是 否 存 在 与 椭 圆 C 交 于 A, B 两 点 的 直 线 l : y ? kx ? m(k ? R ) , 使 得

1 ,右焦点到右顶点的 2

OA ? 2OB ? OA ? 2OB 成立?若存在,求出实数 m 的取值范围,若不存在,请说明理由.
【知识点】椭圆及其几何性质 H5

x2 y 2 2 2 ? ?1 (??, ? 21] [ 21, ??) 3 7 7 【答案】 (1) 4 (Ⅱ) x2 y 2 c 1 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0? e? ? 2 b a 2, 【解析】 (1) 设椭圆 C 的方程为 a , 半焦距为 c . 依题意
由右焦点到右顶点的距离为 1 ,得 a ? c ? 1 .解得 c ? 1 , a ? 2 .所以 b ? a ? c ? 3 .
2 2 2

x2 y 2 ? ?1 3 所以椭圆 C 的标准方程是 4 .

(2)解:存在直线 l ,使得

OA ? 2OB ? OA ? 2OB

成立.理由如下:

? y ? kx ? m, ? 2 ?x y2 ? ? 1, 2 2 2 ? 3 由? 4 得 (3 ? 4k ) x ? 8kmx ? 4m ? 12 ? 0 .

? ? (8km) 2 ? 4(3 ? 4k 2 )(4m 2 ? 12) ? 0 ,化简得 3 ? 4k 2 ? m 2 . A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则
x1 ? x2 ? ?

设 若 以

4m 2 ? 12 8km x x ? 1 2 3 ? 4k 2 . 3 ? 4k 2 ,
2 2

OA ? 2OB ? OA ? 2OB

成立, 即

OA ? 2OB ? OA ? 2OB

, 等价于 OA ? OB ? 0 . 所

x1 x2 ? y1 y2 ? 0 . x1 x2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? 0 ,
2

4m 2 ? 12 8km (1 ? k ) ? ? km ? ? m2 ? 0 2 2 (1 ? k 2 ) x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m 2 ? 0 , 3 ? 4k 3 ? 4k ,
7 m ? 12 ? 12k . 化简得, 将
2 2

k2 ?

7 2 7 m ?1 3 ? 4( m 2 ? 1) ? m 2 2 2 12 12 代入 3 ? 4k ? m 中, ,

m2 ?
解得,

3 12 m2 ? 2 2 4 .又由 7 m ? 12 ? 12k ? 12 , 7 ,

m2 ?
从而

12 2 2 m? 21 m ? ? 21 7 , 7 7 或 . (??, ? 2 2 21] [ 21, ??) 7 7 .[]

所以实数 m 的取值范围是

【思路点拨】根据椭圆中 a,b,c 的关系求出方程,有直线和椭圆方程联立根与系数关系求出 m 的范围。

【数学文卷·2015 届江西省五校(江西师大附中、临川一中、鹰潭一中、宜春中学、新余 四中)高三上学期第二次联考(201412) 】21. (本小题满分 12 分) 如图,抛物线 C1 : y 2 ? 4x 的焦准距(焦点到准线的距离)与椭圆 C2 :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

的长半轴相等,设椭圆的右顶点为 A, C1 , C2 在第一象限的交点为 B,O 为坐标原点,且

△OAB 的面积为

2 6 . 3

(1)求椭圆 C2 的标准方程;

(2)过 A 点作直线 l 交 C1 于 C、 D 两点,射线 OC、 OD 分别交 C2 于 E、F 两点, 记△OEF,△OCD 的面积分别为 S1 , S2 , 问是否存在直线 l ,使得 S1 : S2 ? 3:13 ?若存在, 求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由.

【知识点】待定系数法求椭圆的方程;直线与圆锥曲线. 【答案】 【解析】 (1)

H5 H8

x2 y 2 ? ?1 ; ( 2 ) 存 在 直 线 l : x ? y ? 2 ? 0 或 x-y-2=0 , 使 得 4 3

S1 : S2 ? 3:13 ,理由:见解析. 解析:(1)因为 y 2 ? 4x ,所以焦准距 p=2,
由抛物线 C1 与椭圆 C2 的长半轴相等知 a=2,-------1 分 因为 S?OAB ?

1 2 6 2 6 2 2 6 ,所以 yB ? ,代入抛物线方程得 B( , OA ? yB ? ) ,--3 分 2 3 3 3 3

又 B 点在椭圆上,代入椭圆方程,解得 b2 ? 3 , 故椭圆 C2 的标准方程是:

x2 y 2 ? ? 1 --------5 分 4 3

(2)因为直线 l 不垂直于 y 轴,故直线 l 的方程可设为 x=my+2, 由?

? x ? my ? 2 ? y ? 4x
2

得 y ? 4my ? 8 ? 0 .
2

设 C( x1 , y1 ), D( x2 , y2 ),? y1 ? y2 ? 4m, y1 y2 ? ?8 ,故 x2 x2 ?

2 y12 y2 ? ? 4 .-----7 分 4 4

1 OC OD sin ?COD OC OD y y S1 2 ? ? ? ? 1 2 . --------8 分 S2 1 OE OF sin ?EOF OE OF yE yF 2
又直线 OC 的斜率为

yy y1 4 ? ,故直线 OC 的方程为:x= 1 , 4 x1 y1

yy ? x? 1 ? 64 ? 3 64 ? 3 ? 4 2 2 由? 2 得 yE ,同理 yF . ? 2 ? 2 2 3 y1 ? 64 3 y2 ? 64 ?x ? y ?1 ? 3 ?4
所以 yE yF ?
2 2
2

642 ? 32 642 ? 32 64 ? 32 ? ? , ? 3 y12 ? 64?? 3 y22 ? 64 ? 9 y12 y22 ? 64 ? 3 ? y12 ? y22 ? ? 642 121 ? 48m2
--------11 分

2 ?S ? y 2 y2 121 ? 48m2 ?? 1 ? ? 1 ? 2 2 yE yF 32 ? S2 ?

又 S1 : S2 ? 3:13,?

121 ? 48m2 3 ? ( ) 2 ,解得 m ? ?1 , 2 3 13

故存在直线 l : x ? y ? 2 ? 0 或 x-y-2=0,使得 S1 : S2 ? 3:13 .-----12 分 【思路点拨】(1)易得 a=2,再由△OAB 的面积及点 B 在抛物线上,得点 B 坐标,把点 B 坐标 代入椭圆方程求得 b 值即可; (2) 由于直线 l 不垂 y 轴, 故直线 l 的方程可设为 x=my+2, 代入抛物线方程得 y 2 ? 4my ? 8 ? 0 ,由韦达定理得 C、D 纵坐标关于 m 的等式;再用 C、 D 纵坐标表示 E、F 的纵坐标,最后用 C、D、E、F 的纵坐标表示 S1 : S2 ,从而得关于 m 的 方程,求得 m 值.

【数学文卷· 2015 届山西省山大附中高三上学期期中考试 (201411) 】 10. 椭圆 ax ? by ? 1
2 2

与直线 y ? 1 ? x 交于 A, B 两点,过原点与线段 AB 中点的直线的斜率为 ( A. ) B.

3 a , 的值为 2 b

3 2

2 3 3

C.

9 3 2

D.

2 3 27

【知识点】椭圆的应用 H5
2 2 2 2 b 1 ? x) ? 1, 【答案】 【解析】A 解析:把 y ? 1 ? x 代入椭圆 ax ? by ? 1 得 ax ? (

(a ? b)x 2 ? 2bx ? b ? 1 ? 0 , 整理得
设A ,则 x1 ? x2 ? (x1,y1),( B x2,y2) ∴ 线 段 AB 的 中 点 坐 标 为 (

2b 2b , y1 ? y2 ? 2 ? , a?b a?b

b a , ), ∴ 过 原 点 与 线 段 AB 中 点 的 直 线 的 斜 率 a?b a?b

a a 3 .答案:A. k ? a?b ? ? b b 2 a?b
2 【思路点拨】把 y ? 1 ? x 代入椭圆 ax2 ? by2 ? 1 得 ax 2 ? ( b 1 ? x) ? 1,由根与系数的关系

可以推出线段 AB 的中点坐标为 (

b a , ), ,再由过原点与线段 AB 中点的直线的斜率 a?b a?b



a 3 ,能够导出 的值. b 2

【数学文卷·2015 届四川省成都外国语学校高三 12 月月考(201412) 】20.(本题满分 13 分) 已知椭圆 C :

x 2 y2 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 的左焦点 F ( ?1,0) ,离心率为 。 2 a b 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程;

5 4 【知识点】椭圆,直线与椭圆位置关系 H5 H8
【答案】【解析】(Ⅰ)

(Ⅱ)设 P(1,0) , Q ( , 0) ,过 P 的直线 l 交椭圆 C 于 A, B 两点,求 QA ? QB 的值。

7 x2 ? y 2 ? 1 ;(Ⅱ) ? 16 2

?1 2 x2 ? ? ? y2 ? 1 解析:(Ⅰ) c ? 1 ,由 ? a 得 a ? 2 , b ? 1 ,椭圆方程为 2 2 ?a 2 ? b 2 ? 1 ?
2 (Ⅱ)若直线 l 斜率不存在,则 QA ? QB = ( ? ) ? 2 ? ?

1 2

3 4

7 ,当直线 l 斜率存在时 16

设直线 l : y ? k ( x ? 1) , A( x1 , y 1 ), B( x2 , y2 )

5 5 QA ? ( x1 ? , y1 ), QB ? ( x2 ? , y2 ) 4 4

5 5 QA ? QB ? ( x1 ? )( x2 ? ) ? y1 y2 4 4 5 5 ? ( x1 ? )( x2 ? ) ? k 2 ( x1 ? 1)( x2 ? 1) 4 4 5 25 ? (k 2 ? 1) x1 x2 ? (k 2 ? )( x1 ? x2 ) ? ? k 2 4 16

? x2 2 ? ? y ?1 由? 2 得 (2k 2 ? 1) x2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0 ? y ? k ( x ? 1) ?
故QA ? QB ?

? 4k 2 x ? x ? ? ? 1 2 1 ? 2k 2 所以 ? 2 ? x x ? 2k ? 2 1 2 ? 1 ? 2k 2 ?

25 7 ? 2? ? 16 16 【思路点拨】在圆锥曲线与向量的综合应用中,出现向量关系,一般把向量关系 转化为坐标关系,再通过联立方程,利用韦达定理转化为系数关系进行解答.

【数学文卷·2015 届四川省成都外国语学校高三 12 月月考(201412) 】9.已知椭圆 C:

x2 ? y 2 ? 1 ,点 M1 , M 2 , ?, M5 为其长轴 AB 的 6 等分点,分别过这五点作斜率为 2
k ( k ? 0) 的一组平行线,交椭圆 C 于 P1 , P2 , ?, P10 ,则直线 AP1 , AP2 , ?, AP10 这 10
条直线的斜率乘积为( A. ? ) B. ?

1 16

1 32

C.

1 64

D. ?

1 1024

【知识点】椭圆的标准方程 椭圆的性质 H5 【答案】【解析】B 解析:由椭圆的性质可得 k AP1 ? k BP1 ? k AP2 ? k BP10 ? ?

1 ,由椭圆的对称性可得 2

kBP1 ? k AP10 , kBP10 ? k AP1 ,同理可得
1 k AP3 ? k AP8 ? k AP5 ? k AP6 ? k AP7 ? k AP4 ? k AP9 ? k AP2 ? ? ,则直线 AP1 , AP2 , ?, AP10 这 2
10 条直线的斜率乘积为 ? ? ? ? ?

? 1? ? 2?

5

1 ,所以选 B. 32

. 【思路点拨】抓住椭圆上的点与长轴端点的连线的斜率为定值是本题的关键.

【数学文卷·2015 届四川省成都外国语学校高三 12 月月考(201412) 】5.某几何体是由直 三棱柱与圆锥的组合体,其直观图和三视图如图所示,正视图为正方形,其中俯视图中椭圆 的离心率为 ( ) A. 2 B.

1 2

C.

2 4

D.

2 2

正视图

侧视图

直观图

俯视图

(第 5 题)

【知识点】三视图 椭圆的性质 G2 H5 【答案】【解析】D 解析:设正视图中正方形的边长为 2b,由三视图可知,俯视图中的矩形一边长为 2b,另一 边 长 为 圆 锥 底 面 直 径 , 即 为 正 视 图 中 的 对 角 线 长 , 计 算 得 2 2b , 所 以

2a ? 2 2b, a ? 2b,e ?

c a 2 ? b2 b 2 ,则选 D. ? ? ? a a 2 2b

【思路点拨】由三视图解答几何问题,注意三视图与原几何体的长宽高的对应关系,求椭圆 的离心率,抓住其定义寻求 a,b,c 关系即可解答.

H6

双曲线及其几何性质

【数学理卷·2015 届江苏省扬州中学高三上学期质量检测(12 月) (201412) 】4.已知双 曲线

x2 y2 1 ? ? 1(m ? 0) 的一条渐近线方程为 y ? x, 则 m 的值为_______. 2 m 3

【知识点】双曲线的简单性质.H6

【答案】 【解析】 12 解析: 双曲线

x2 y2 ? ? 1(m ? 0) 的一条渐近线方程为 y = m 3

3 x, m

其中一条为: y ?

1 3 1 x, ,所以 = ,解得 m=12.故答案为:12. 2 m 2

【思路点拨】求出双曲线的渐近线方程,即可求出 m 的值.

【数学文卷·2015 届江西省五校(江西师大附中、临川一中、鹰潭一中、宜春中学、新余 四中)高三上学期第二次联考(201412) 】15. 已知双曲线 C :

x2 y 2 = 1( a > 0, b > 0) 的 a 2 b2

离心率为 3 , A B 为左、右顶点,点 P 为双曲线 C 在第一象限的任意一点,点 O 为 坐标原点,若直线 PA, PB ,PO 的斜率分别为 k1 , k2 , k3 ,记 m = k1k 2k 3 ,则 m 的取值范 围为________. 【知识点】双曲线的简单性质. H6 【答案】 【解析】 0, 2 2 ∴e =

(

)

x2 y 2 解析: ∵双曲线 C : 2 - 2 = 1( a > 0, b > 0) 的离心率为 3 , a b

c = 3, ∴ b = c2 - a2 = 2a ,设 P a

( x, y) ,∵点 P 为双曲线 C 在第一象限的任意

一点, ∴

x2 y 2 x2 y 2 = 1 ,∵A B 为左、 = 1 , 即 右顶点, 点 O 为坐标原点, 若直线 PA, a 2 2a 2 a 2 b2
y y ? x +a x - a y2 b2 = =2, x2 - a2 a2

PB ,PO 的斜率分别为 k1 , k2 , k3 ,∴ k1k2 = 又∵双曲线渐近线为 y =

2x ,∴ 0 < k3 < 2 ,∴0< m = k1k2k3 < 2 2 ,故答案为 0, 2 2 .
y y ? x +a x - a y2 b2 = =2, x2 - a2 a2

(

)

【思路点拨】由已知条件推导出 b = 2a , k1k2 =

0 < k3 < 2 ,由此能求出 m = k1k2k3 的取值范围.

【数学文卷·2015 届江苏省扬州中学高三上学期质量检测(12 月) (201412) 】4.已知双

x2 y2 1 ? ? 1(m ? 0) 的一条渐近线方程为 y ? x, 则 m 的值为_______. 曲线 2 m 3
【知识点】双曲线的简单性质.H6

【答案】 【解析】 12 解析: 双曲线

x2 y2 ? ? 1(m ? 0) 的一条渐近线方程为 y = m 3

3 x, m

其中一条为: y ?

1 3 1 x, ,所以 = ,解得 m=12.故答案为:12. 2 m 2

【思路点拨】求出双曲线的渐近线方程,即可求出 m 的值.

H7

抛物线及其几何性质

【数学理卷·2015 届黑龙江省大庆市铁人中学高三 12 月月考(期中) (201412) 】21. (12

分)点 F 为(1,0),M 点在 x 轴上,P 点在 y 轴上,且 MN ? 2 MP , MP ? PF (1)当点 P 在 y 轴上运动时,求 N 点的轨迹 C 的方程; (2)设 A(x1,y1)、B(x2,y2)、D(x3,y3)是曲线 C 上的三点,且 | AF | 、| BF | |、| DF | 成等差数列,当 AD 的垂直平分线与 x 轴交于 E(3,0)时,求 B 点的坐标.
[]

【知识点】抛物线及其几何性质 H7 【答案】(1) y2=4x(x>0) (2) (1,2)或(1,-2) → → 【解析】(1)∵MN=2MP,故 P 为 MN 中点. → → 又∵PM⊥PF,P 在 y 轴上,F 为(1,0),故 M 在 x 轴的负半轴上, y? 设 N(x,y),则 M(-x,0),P? ?0,2?,(x>0), y? y? y2 ? ∴PM=? PF=-x+ =0, ?-x,-2?,PF=?1,-2?,又∵PM⊥PF,∴PM· 4 ∴y2=4x(x>0)是轨迹 C 的方程. (2)抛物线 C 的准线方程是 x=-1, → → → → → → 由抛物线定义知|AF|=x1+1,|BF|=x2+1,|DF|=x3+1, ∵|AF|、|BF|、|DF|成等差数列, ∴x1+1+x3+1=2(x2+1),∴x1+x3=2x2 又 y2 1=4x1,y2 2=4x2,y2 3=4x3,故 y2 1-y2 3=(y1+y3)(y1-y3)=4(x1-x3), → → → → → →

y1-y3 y1+y3 4 ∴kAD= = ,∴AD 的中垂线为 y=- (x-3) 4 x1-x3 y1+y3 AD 的中点?

?

x1+x3 y1+y3? 在其中垂线上, , 2 2 ?

y1+y3 y1+y3?x1+x3 ? x1+x3 ∴ =- .∴x2= =1. 2 4 ? 2 -3? 2 由 y2 2=4x2.∴y2=± 2.∴B 点坐标为(1,2)或(1,-2). 【思路点拨】根据抛物线性质求出方程,再根据坐标的关系求出 B 的坐标。

【数学理卷·2015 届黑龙江省大庆市铁人中学高三 12 月月考(期中) (201412) 】8. 设 O

为坐标原点,F 为抛物线 y2=4x 的焦点,A 为抛物线上一点,若 OA ? AF =-4, 则点 A 的坐标为( A.(2,± 2 2) ) B.(1,± 2) C.(1,2) D.(2,2 2)

【知识点】抛物线及其几何性质 H7 【答案】B 【解析】F(1,0)设 A(

y0 2 y2 ,y0)则 OA =( 0 ,y0), 4 4

y0 2 AF =(1,-y0),由 OA ? AF =-4∴y0=± 2,∴A(1,± 2) 4
【思路点拨】先求出抛物线的焦点 F(1,0),根据抛物线的方程设 A(

y0 2 ,y0),然后 4

构成向量 OA 、 AF ,再由 OA ? AF =-4 可求得 y0 的值,最后可得答案.

【数学理卷·2015 届黑龙江省大庆市铁人中学高三 12 月月考(期中) (201412) 】6.已知

抛物线 y2=2px(p>0)的准线与曲线 x2+y2-6x-7=0 相切,则 p 的值为( A.2 B.1 1 C.2 1 D.4

)

【知识点】抛物线及其几何性质 H7 【答案】A 【解析】整理圆方程得(x-3)2+y2=16∴圆心坐标为(3,0),半径 r=4 ∵圆与抛物线的准线相切∴圆心到抛物线准线的距离为半径

即 (3 ?

p 2 ) ? 0 =4 求得 p=2 2

【思路点拨】先把圆的方程整理标准方程,求得圆心和半径,进而根据圆与抛物线的准线相 切推断圆心到抛物线的准线的距离为半径,进而求得 P.

【数学理卷·2015 届河北省唐山一中高三 12 月调研考试(201412) 】20.(本小题满分 12 分) 已知抛物线 y2=2px (p>0)上点 T(3,t)到焦点 F 的距离为 4. (1)求 t,p 的值; (2)设 A、B 是抛物线上分别位于 x 轴两侧的两个动点,且
OA ? OB ? 5 (其中 O 为坐标原点) .
O A x y

(ⅰ)求证:直线 AB 必过定点,并求出该定点 P 的坐标; (ⅱ)过点 P 作 AB 的垂线与抛物线交于 C、D 两点,求四边 形 ACBD 面积的最小值. 【知识点】抛物线及其几何性质 H7 【答案】 (1)p=2 t ? ?2 3 (2) P(5,0) 【解析】 (1)由已知得 3 ? 所以抛物线方程为 y2=4x, 代入可解得 t ? ?2 3 . (2)(ⅰ)设直线 AB 的方程为 x ? my ? t ,
? y2 ? ? y2 ? A ? 1 , y1 ? 、 B ? 2 , y2 ? , ? 4 ? ? 4 ?

B

96

p ? 4 ? p ? 2, 2

? y2 ? 4x 联立 ? 得 y 2 ? 4my ? 4t ? 0 ,则 y1 ? y2 ? 4m , y1 y2 ? ?4t . x ? my ? t ? ( y y )2 由 OA ? OB ? 5 得: 1 2 ? y1 y2 ? 5 ? y1 y2 ? ?20 或 y1 y2 ? 4 (舍去) , 16 即 ?4t ? ?20 ? t ? 5 ,所以直线 AB 过定点 P(5,0) ;

(ⅱ)由(ⅰ)得 | AB |? 1 ? m2 | y2 ? y1 |? 1 ? m2 16m2 ? 80 , 同理得 | CD |? 1 ? (?
1 2 1 ) | y2 ? y1 |? 1 ? 2 m m 16 ? 80 , m2
16 ? 80 m2

则四边形 ACBD 面积 S ?

1 1 1 | AB | ? | CD | ? 1 ? m2 16m2 ? 80 ? 1 ? 2 m 2 2

? 8 (2 ? (m 2 ?

1 1 )) ? (26 ? 5( m 2 ? 2 )) m2 m

令 m2 ?

1 ? ? (? ? 2) ,则 S ? 8 5? 2 ? 36? ? 52 是关于 ? 的增函数, m2

故 Smin ? 96 .当且仅当 m ? ?1 时取到最小值 96. 【思路点拨】根据抛物线性质求出方程,直线和抛物线联立求出最小值。

【数学文卷·2015 届黑龙江省大庆市铁人中学高三 12 月月考(期中) (201412) 】7. 已知 抛物线 y =2px(p>0)的准线与曲线 x +y -6x-7=0 相切,则 p 的值为( A.2 B.1 1 C. 2 1 D. 4
2 2 2

)

【知识点】抛物线及其几何性质 H7 【答案】2 【解析】整理圆方程得(x-3)2+y2=16∴圆心坐标为(3,0),半径 r=4 ∵圆与抛物线的准线相切∴圆心到抛物线准线的距离为半径,即 (3 ?

p 2 ) ? 0 =4 求得 p=2 2

【思路点拨】先把圆的方程整理标准方程,求得圆心和半径,进而根据圆与抛物线的准线相 切推断圆心到抛物线的准线的距离为半径,进而求得 P.

【数学文卷·2015 届江苏省扬州中学高三上学期质量检测(12 月) (201412) 】12.在平面 直角坐标系 xOy 中,抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为 F,点 P 在抛物线上,且位于 x 轴上方。若点 P 到坐标原点 O 的距离为 4 2 ,则过点 F,O,P 三点的圆的方程是 【知识点】抛物线的简单性质;圆的一般方程.H3 H7
2 2 【答案】 【解析】 ( x ? ) ? (y ? ) ?

1 2

7 2

25 2

解析:∵抛物线的方程为 y 2 ? 4 x ,∴抛物线焦

琪 点为 F 1,0 ,设 P 琪 ,∴ P 坐标为 4,4 , 琪 , t ,则 P 琪 , t ,解之得 t = 4 (舍负)
设经过 F , O, P 三点的圆的方程为 x + y + Dx + Ey + F = 0 ,将 O(0,0) ,F(1,0) ,P
2 2

( )

骣 t2 4 桫

骣 t2 4 桫

( )

ì F =0 ? ? 1+ D + F = 0 (4,4)代入,得 í ,解之得 D=﹣1,E=﹣7,F=0 ? ? ? 16 +16 + 4 D + 4 E + F = 0
2 2 2 2 ∴经过 F , O, P 三点的圆的方程为 x + y - x - 7 y = 0 .即 ( x ? ) ? (y ? ) ?

1 2

7 2

25 。 2

2 2 故答案为: ( x ? ) ? (y ? ) ?

1 2

7 2

25 。 2

【思路点拨】根据抛物线方程,求出焦点 F 的坐标和满足条件|OP|= 4 2 的 P 点的坐标,再 设经过 F、O、P 三点圆的一般式方程,将 O、F、P 坐标代入,解关于 D、E、F 的方程组, 即可得到所求圆的方程.

H8

直线与圆锥曲线(AB 课时作业)

【数学理卷·2015 届江苏省扬州中学高三上学期质量检测(12 月) (201412) 】18.(本小 题满分 16 分) 如图所示, 已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的左、 右焦点分别为 F 1 ? ?1,0 ? , F 2 ?1,0 ? ,P 为 a 2 b2

椭圆上一点, Q 为上顶点, F 1 M ? 2MP , PO ? F 2M ? 0 . (2) 当椭圆离心率 e ?

3 1 时,若直线过点(0, ? )且与椭圆交于 A, B (不同于 Q ) 7 2

两点,求 ?AQB ; (2)求椭圆离心率 e 的取值范围.

【知识点】直线与圆锥曲线的关系;椭圆的简单性质.H5 H8 【答案】 【解析】 (1) ?AQB ? 解析: (1) c ? 1, e ?

?
2

; (2) e ? ê ,1÷ ÷

轹 1 ê 2 滕

c 1 ? , 得 a ? 2,? b2 ? a2 ? c2 ? 3 , a 2

x2 y 2 3 ? ? 1 . 依题意可设 AB 所在的直线方程为 y ? kx ? 所以椭圆的方程为 ,代入椭 4 3 7

圆方程,得 3+4k 2 x 2 ?

?

?

8 3 576 kx ? ? 0 .设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , 7 49

则 x1 ? x2 ?

7 ? 3 ? 4k

8 3k

2

?

, x1 x2 ?

49 ? 3 ? 4k 2 ?

?576

.

因为 Q 0, 3 ,? QA ? QB ? x1 , y1 ? 3 ? x2 , y2 ? 3 ? ? x1 , kx1 ? ?

?

?

?

??

?

? ?

8 3? ? 8 3? ? x , kx ? ? ? ? 2 2 ? 7 ? 7 ? ? ? ?

? ?1 ? k 2 ? x1 x2 ?
?

8 3 192 ?576 8 3 8 3k 192 k ? x1 ? x2 ? ? ? ?1 ? k 2 ? ? k ? 2 2 7 49 7 7 ? 3 ? 4k ? 49 49 ? 3 ? 4k ?
? 0 ,所以 ?AQB ?

?576 ? 576k 2 ? 192k 2 ? 576 ? 768k 2 49 ? 3 ? 4k 2 ?

?
2

.

(2)因为 PO ?

1 1 PF1 ? PF2 , F2 M ? PM ? PF2 ? PF1 ? PF2 , 2 3

?

?

因为 PO ? F2 M ? 0 ,所以
2 2

1 PF1 ? PF2 2

?

1 ? ??? ? PF ? PF ? ? 0 ,化简得 ?3 ?
1 2

PF1 ? 2 PF1 · PF2 - 3PF2 ? 0 ,即 PF1 ? 2 PF1 PF2 cos ?F1 PF2 ? 3 PF2
在 ?F1 PF2 中,由余弦定理,有 PF1 所以 4 PF2 即e ?
2 2 2

2

2

? 0,

? PF2 ? 2 PF1 PF2 cos ?F1 PF2 ? 4c 2 ,

? 4c2 , PF2 ? c , 又因为 a ? c ? PF2 ? a ? c,? a ? 2c ,

c 1 ?1 ? ? , 0 ? e ? 1? e ? ? ,1? . a 2 ?2 ?

【思路点拨】 ( 1 )利用已知条件求出 a = 2 ,求出椭圆的方程设 AB 所在的直线方程为

y ? kx ?

3 ,代入椭圆方程,设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,利用韦达定理,以及向量是数量 7

积为 0,即可求出 ?AQB ? 合 a - c #PF2

?
2

. (2)通过 PO ? F2 M ? 0 ,在 ?F1 PF2 中,由余弦定理,结

a + c ,推出 a ? 2c ,然后求出离心率的范围.

【数学理卷·2015 届山西省山大附中高三上学期中考试试题(201411) 】20. (本小题满分 x2 y 2 3 12 分) 椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 , 长轴端点与短轴端点间的距离为 5 . a b 2 (1)求椭圆 C 的方程; (2)设过点 D (0, 4) 的直线 l 与椭圆 C 交于 E , F 两点,O 为坐标原点,若 ?OEF 为直角三 角形,求直线 l 的斜率.

【知识点】椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系 H5 H8

x2 ? y2 ? 1 4 【答案】 (Ⅰ) ;(Ⅱ) ? 19 和 ? 5 .
c 3 ? , a 2 ? b2 ? 5 2 2 2 2 2 2 【解析】解析: (1)由已知 a ,又 a ? b ? c ,解得 a ? 4, b ? 1 ,

x2 ? y2 ? 1 C 4 所以椭圆 的方程为 ;………………4 分
(2) 根据题意,过点 D(0, 4) 满足题意的直线斜率存在,设 l : y ? kx ? 4 ,

? x2 2 ? ? y ?1 ?4 2 2 ? y ? kx ? 4 联立 ? ,消去 y 得 (1 ? 4k ) x ? 32kx ? 60 ? 0 ,

? ? (32k )2 ? 240(1 ? 4k 2 ) ? 64k 2 ? 240 ,
令 ? ? 0 ,解得
k2 ? 15 4 .

………………7 分

设 E 、 F 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) , ⅰ)当 ?EOF 为直角时,
x1 ? x2 ? ? 32k 60 , x1 x2 ? 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 ,



因为 ?EOF 为直角,所以 OE ? OF ? 0 ,即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,
2 所以 (1 ? k ) x1 x2 ? 4k ( x1 ? x2 ) ? 16 ? 0 ,

15 ? (1 ? k 2 ) 32k 2 ? ?4?0 2 1 ? 4k 2 所以 1 ? 4k ,解得 k ? ? 19 .………………9 分
ⅱ)当 ?OEF 或 ?OFE 为直角时,不妨设 ?OEF 为直角,
y1 y1 ? 4 ? ? ?1 2 2 x1 此时, kOE ? k ? 1 ,所以 x1 ,即 x1 ? 4 y1 ? y1 ……① x12 ? y12 ? 1 4 又 …………②
2 将①代入②,消去 x1 得 3 y1 ? 4 y1 ? 4 ? 0 ,

解得

y1 ?

2 3 或 y1 ? ?2 (舍去) ,



y1 ?

y ?4 2 2 k? 1 ?? 5 x1 ? ? 5, x 3 代入①,得 3 1 所以 ,

经检验,所求 k 值均符合题意。 综上,k 的值为 ? 19 和 ? 5 .

………………11 分 ………………12 分

c 3 ? , a 2 ? b2 ? 5 2 2 a 2 【思路点拨】 (1)由题意可得 , 即可求得 a ? 4, b ? 1 进而得到椭圆方程;

(2)过点 D(0, 4) 满足题意的直线斜率存在, 设 l : y ? kx ? 4 , 与椭圆联立, 因为 ?OEF 为 直角三角形,所以分 ?EOF 为直角和 ?OEF 或 ?OFE 为直角时,两种情况进行讨论, 利用向量的数量积为零,结合韦达定理求解.

【数学文卷·2015 届江西省五校(江西师大附中、临川一中、鹰潭一中、宜春中学、新余 四中)高三上学期第二次联考(201412) 】21. (本小题满分 12 分) 如图,抛物线 C1 : y 2 ? 4x 的焦准距(焦点到准线的距离)与椭圆 C2 :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

的长半轴相等,设椭圆的右顶点为 A, C1 , C2 在第一象限的交点为 B,O 为坐标原点,且

△OAB 的面积为

2 6 . 3

(1)求椭圆 C2 的标准方程;

(2)过 A 点作直线 l 交 C1 于 C、 D 两点,射线 OC、 OD 分别交 C2 于 E、F 两点, 记△OEF,△OCD 的面积分别为 S1 , S2 , 问是否存在直线 l ,使得 S1 : S2 ? 3:13 ?若存在, 求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由.

【知识点】待定系数法求椭圆的方程;直线与圆锥曲线.

H5 H8

【答案】 【解析】 (1)

x2 y 2 ? ?1 ; ( 2 ) 存 在 直 线 l : x ? y ? 2 ? 0 或 x-y-2=0 , 使 得 4 3

S1 : S2 ? 3:13 ,理由:见解析. 解析:(1)因为 y 2 ? 4x ,所以焦准距 p=2,
由抛物线 C1 与椭圆 C2 的长半轴相等知 a=2,-------1 分 因为 S?OAB ?

1 2 6 2 6 2 2 6 ,所以 yB ? ,代入抛物线方程得 B( , OA ? yB ? ) ,--3 分 2 3 3 3 3

又 B 点在椭圆上,代入椭圆方程,解得 b2 ? 3 , 故椭圆 C2 的标准方程是:

x2 y 2 ? ? 1 --------5 分 4 3

(2)因为直线 l 不垂直于 y 轴,故直线 l 的方程可设为 x=my+2, 由?

? x ? my ? 2 ? y ? 4x
2

得 y 2 ? 4my ? 8 ? 0 .

2 y12 y2 ? ? 4 .-----7 分 设 C( x1 , y1 ), D( x2 , y2 ),? y1 ? y2 ? 4m, y1 y2 ? ?8 ,故 x2 x2 ? 4 4

1 OC OD sin ?COD OC OD y y S1 2 ? ? ? ? 1 2 . --------8 分 S2 1 OE OF sin ?EOF OE OF yE yF 2
又直线 OC 的斜率为

yy y1 4 ? ,故直线 OC 的方程为:x= 1 , 4 x1 y1

yy ? x? 1 ? 64 ? 3 64 ? 3 ? 4 2 2 由? 2 得 yE ,同理 yF . ? 2 ? 2 2 3 y1 ? 64 3 y2 ? 64 ?x ? y ?1 ? 3 ?4
所以 yE yF ?
2 2
2

642 ? 32 642 ? 32 64 ? 32 ? ? , ? 3 y12 ? 64?? 3 y22 ? 64 ? 9 y12 y22 ? 64 ? 3 ? y12 ? y22 ? ? 642 121 ? 48m2
--------11 分

2 ? S1 ? y12 y2 121 ? 48m2 ?? ? ? 2 2 ? yE yF 32 ? S2 ?

又 S1 : S2 ? 3:13,?

121 ? 48m2 3 ? ( ) 2 ,解得 m ? ?1 , 2 3 13

故存在直线 l : x ? y ? 2 ? 0 或 x-y-2=0,使得 S1 : S2 ? 3:13 .-----12 分 【思路点拨】(1)易得 a=2,再由△OAB 的面积及点 B 在抛物线上,得点 B 坐标,把点 B 坐标 代入椭圆方程求得 b 值即可; (2) 由于直线 l 不垂 y 轴, 故直线 l 的方程可设为 x=my+2, 代入抛物线方程得 y 2 ? 4my ? 8 ? 0 ,由韦达定理得 C、D 纵坐标关于 m 的等式;再用 C、 D 纵坐标表示 E、F 的纵坐标,最后用 C、D、E、F 的纵坐标表示 S1 : S2 ,从而得关于 m 的 方程,求得 m 值.

【数学文卷·2015 届江苏省扬州中学高三上学期质量检测(12 月) (201412) 】18.(本小 题满分 16 分) 如图,F 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的一个焦点,A,B 是椭圆的两个顶点,椭圆的离心率 a 2 b2



1 。 已 知 点 C 在 x 轴 上 , 且 BC ? BF , B, C , F 三 点 确 定 的 圆 M 恰 好 与 直 线 2

l1 : x ? 3 y ? 3 ? 0 相切。
(3) 求椭圆的方程; (4) 若过点 A 的直线 l2 与圆 M 交于 P,Q 两点, (5) 且 MP ? MQ ? ?2 ,求直线 l2 的方程。

【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题.H8 【答案】 【解析】 (1) (2)y= (x+2)

解析: (Ⅰ)∵F 是椭圆

(a>b>0)的一个焦点,A,B 是椭圆的两个顶点,

椭圆的离心率为 ,



,∴

= ,∴b=

,c=



设 F(﹣c,0) ,B(0, ∵kBF= = ∴kBC=﹣ ,BC⊥BF, ,∴

)=(0,

) ,

=

,∴xC=

=

=

=3c,

∴C(3c,0) , 设圆 M 的方程为 x +y +Dx+Ey+F=0, 把 B(0, ) ,C(3c,0) ,F(﹣c,0)代入,得:
2 2


2

解得 D=﹣2c,E=0,F=﹣3c , ∴圆 M 的方程为(x﹣c) +y =4c , ∵圆 M 与直线 l1:x+ ∴ ∴a=2,b= , y+3=0 相切, ,解得 c=1,
2 2 2

∴所求的椭圆方程为



(Ⅱ)∵A 是椭圆方程为 ∵圆 M 的方程为(x﹣1) +y =4,
2 2

的左顶点,∴A(﹣2,0) ,

∴过点 A 斜率不存在的直线与圆不相交, ∴设直线 l2 的方程为 y=k(x+2) , ∵ ∴cos< ,又| |=| |=2,

>=

=﹣ ,

∴∠PMQ=120°, 圆心 M 到直线 l2 的距离 d= ∴ ,解得 k= , ,

∴直线 l2 的方程为 y=

(x+2) .

【思路点拨】 (1)由已知条件求出 B(0, ) ,C(3c,0) ,F(﹣c,0) ,由此求出圆 M 2 2 2 的方程为(x﹣c) +y =4c ,再由圆 M 与直线 l1:x+ y+3=0 相切,解得 c=1,a=2,b= , 由此能求出椭圆方程. (2)设直线 l2 的方程为 y=k(x+2) ,由已知条件求出∠PMQ=120°,从 而求出 k= ,由此能求出直线 l2 的方程.

【数学文卷·2015 届山西省山大附中高三上学期期中考试(201411) 】20. (本小题满分 12 分) 3 x2 y 2 椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,长轴端点与短轴端点间的距离为 5 . 2 a b (1)求椭圆 C 的方程; (2)设过点 D (0, 4) 的直线 l 与椭圆 C 交于 E , F 两点,O 为坐标原点,若 ?OEF 为直角三 角形,求直线 l 的斜率. 【知识点】直线与椭圆 H8

x2 ? y 2 ? 1 (2) ? 19 和 ? 5 4 c 3 , a 2 ? b 2 ? 5 ,又 a 2 ? b 2 ? c 2 ,解得 a 2 ? 4, b2 ? 1 , 解析: (1)由已知 ? a 2 x2 所以椭圆 C 的方程为 ? y 2 ? 1 ;………………4 分 4 (2) 根据题意,过点 D(0, 4) 满足题意的直线斜率存在,设 l : y ? kx ? 4 ,
【答案】 【解析】 (1)
? x2 2 ? ? y ?1 联立 ? 4 ,消去 y 得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 32kx ? 60 ? 0 , ? y ? kx ? 4 ?

? ? (32k )2 ? 240(1 ? 4k 2 ) ? 64k 2 ? 240 , 15 令 ? ? 0 ,解得 k 2 ? . ………………7 分 4 设 E 、 F 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) , 32k 60 ⅰ)当 ?EOF 为直角时,则 x1 ? x2 ? ? , , x1 x2 ? 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2 x ? ?0, 因为 ?EOF 为直角, 所以 OE ? OF ? 0 , 即x 所以 (1 ? k 2 ) x1 x2 ? 4k ( x1 ? x2 ) ? 16 ? 0 , 12 yy 12

15 ? (1 ? k 2 ) 32k 2 ? ? 4 ? 0 ,解得 k ? ? 19 .………………9 分 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 ⅱ)当 ?OEF 或 ?OFE 为直角时,不妨设 ?OEF 为直角, y y ?4 ? ?1 ,即 x12 ? 4 y1 ? y12 ……① 此时, kOE ? k ? 1 ,所以 1 ? 1 x1 x1
所以

x12 2 ? y12 ? 1 …………②将①代入②,消去 x1 得 3 y12 ? 4 y1 ? 4 ? 0 ,解得 y1 ? 或 y1 ? ?2(舍 4 3 去) , y ?4 2 2 ?? 5, 将 y1 ? 代入①,得 x1 ? ? 5, 所以 k ? 1 x1 3 3 经检验,所求 k 值均符合题意。 ………………11 分



综上,k 的值为 ? 19 和 ? 5 .
2

………………12 分

?x 2 ? ? y ?1 【思路点拨】设 l : y ? kx ? 4 ,联立 ? 4 ,消去 y 得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 32kx ? 60 ? 0 , ? y ? kx ? 4 ?

令 ? ? 0 ,解得 k 2 ? 可.

15 .然后分 ?EOF 为直角和 ?OEF 或 ?OFE 为直角两种情况时讨论即 4

H9

曲线与方程

【数学理卷·2015 届重庆市巴蜀中学高三 12 月月考(201412) 】19.在△ABC 中,角 A,B, C 所对的边分别为 a ,b,c,且 2 sin 2 ? (1)求∠C 和边 c; (2)若 BM ? 4 BC , BN ? 3 BA ,且点 P 为△BMN 内切圆上一点, 求 PA ? PB ? PC 的最大值。 【知识点】二倍角公式;诱导公式;余弦定理;坐标法求最值. 【答案】【解析】(1)C= C2 C6 C8 H9
2 2 2

? A? B ? ? ? cos 2C ? 1 , a =1,b=2。 ? 2 ?

π ,c= 3;(2) 最大值 11 ? 2 3 ? 64 ? 24 3 3

A+B 解析:(1)∵2sin2 +cos 2C=1, 2 A+B ∴cos 2C=1-2sin2 =cos(A+B)=-cos C, 2 1 ∴2cos2C+cos C-1=0,∴cos C= 或 cos C=-1, 2 1 π ∵C∈(0,π),∴cos C= ,∴C= . 2 3 由余弦定理得 c= a2+b2-2abcos C= 3. (2)建立坐标系,由(1)A

?

3 ,0 , B?0,0 ?, C (0,1) ,由 BM ? 4 BC , BN ? 3 BA 知

?

M (0,4), N ?3,0 ? ,△BMN 的内切圆方程为: ? x ? 1?2 ? ? y ? 1?2 ? 1 ,设 P( x, y ) ,则令

? x ? 1 ? cos ? , ? ? ?0,2? ? ? ? y ? 1 ? sin ?

PA ? PB ? PC ? x ? 3 ? y 2 ? x 2 ? y 2 ? x 2 ? ? y ? 1?

2

2

2

?

?

2

2

? 3x 2 ? 3 y 2 ? 2 3x ? 2 y ? 4 ? 11 ? 2 3 ? 4sin ? ? 6 ? 2 3 cos ? ? 11 ? 2 3 ? 64 ? 24 3 sin ?? ? ? ? ? 11 ? 2 3 ? 64 ? 24 3
π 【思路点拨】(1)根据二倍角公式,诱导公式及三角形内角范围,求得 C= ,再由余弦 3 定理求边 c 的长;(2)由(1)知△ABC 是∠B=90°,∠C=60°的直角三角形,故可以以 B 为原点,直线 BA 为 x 轴,直线 BC 为 y 轴建立直角坐标系,从而得△BMN 的内切圆的参 数方程 ?

?

?

? x ? 1 ? cos ? , ? ? ?0,2? ? ,进一步得所求关于 ? 的函数,求此函数最大值即可. ? y ? 1 ? sin ?

H10

单元综合


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