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初三·圆柱和圆锥的侧面展开图(四)

初三· 圆柱和圆锥的侧面展开图(四) 在小学,同学们除了学习圆柱之外还学习了一个几 何体——圆锥,在生活中我们也常常遇到圆锥形的物体,涉 及到这些物体表面积的计算.这些圆锥形物体的表面积是怎 样计算出来的?这就是本节课“圆锥的侧面展开图”所要研究 的内容。 和圆柱一样,圆锥也是日常生活或实践活动中常见物 体,在学生学过圆柱的有关计算后,进一步学习圆锥的有关 计算,不仅对培养学生的空间观念有好处,而且能使学生体 会到用平面几何知识可以解决立体图形的计算,为学习立体 几何打基础。 圆锥的侧面展开图不仅用于圆锥表面积的计算,而且 在生产中常用于画图下料上,因此圆锥侧面展开图是本课的 重点。 本课首先在小学已具有圆锥直观感知的基础上,用直 角三角形旋转运动的观点给出圆锥的一系列概念,然后利用 圆锥的模型,把其侧面展开,使学生认识到圆锥的侧面展开 图是一个扇形,并能将圆锥的有关元素与展开图扇形的有关 元素进行相互间的转化,最后应用圆锥及其侧面展开图之间 对应关系进行计算。 [幻灯展示生活中常遇的圆锥形物体,如:铅锤、粮 堆、烟囱帽]前面屏幕上展示的物体都是什么几何体?[安 排回忆起的学生回答:圆锥]在小学我们已学过圆锥,哪位 同学能说出圆锥有哪些特征?安排举手的学生回答:圆锥是 由一个底面和一个侧面围成的,圆锥的底面是一个圆,侧面 是一个曲面,从圆锥的顶点到底面圆的距离是圆锥的高。 [教师边演示模型,边讲解] :大家观察 Rt,绕直线 SO 旋转一周得到的图形是什么?[安排中下生回答:圆锥] 大家观察圆锥的底面,它是 Rt 的哪条边旋转而成的?[安 排中下生回答: OA] 圆锥的侧面是 Rt 的什么边旋转而得的? [安排中下生回答,斜边] ,因圆锥是 Rt 绕直线 SO 旋转一 周得到的, 与圆柱相类似, 直线 SO 应叫做圆锥的什么? [安 排中下生回答: 轴] 大家观察圆锥的轴 SO 应具有什么性质? [安排学生稍加讨论, 举手发言: 圆锥的轴过底面圆的圆心, 且与底面圆垂直,轴上连接圆锥顶点与底面圆心的线段就是 圆锥的高。 ]圆锥的侧面是 Rt 的斜边绕直线 SO 旋转一周得 到的,同圆柱相类似,斜边 SA 应叫做圆锥的什么?[安排 中下生回答:母线]给一圆锥,如何找到它的母线?[安排 中上生回答:连结圆锥顶点与底面圆任意一点的线段都是母 线]圆锥的母线应具有什么性质?[安排中下生回答:圆锥 的母线长都相等] [教师边演示模型,边启发提问] :现在我把这圆锥的 侧面沿它的一条母线剪开,展在一个平面上,哪位同学发现 这个展开图是什么图形?[安排中下生回答:扇形]请同学 们仔细观察:并回答:1.圆锥展示图——扇形的弧长 l 等于 圆锥底面圆的什么?扇形的半径其实是圆锥的什么线段? [安排中下生回答:扇形的弧长是底面圆的周长,即,扇形 的半径。就是圆锥的母线]圆锥半径已知则展开图扇形的弧 长已知,圆锥母线已知则展开图扇形的半径已知,因此展开 图扇形的面积可求,而这个扇形的面积实质就是圆锥的侧面 积,因此圆锥的侧面积也就可求,当然展开图扇形的圆心角 也可求。 [教师边演示模型,边启发提问] :如图,现在将圆锥 沿着它的轴剖开,哪位同学回答,经过轴的剖面是一个什么 图形?[安排中下生回答:等腰三角形]这个等腰三角形的 腰与底分别是圆锥的什么?[安排中下生回答:腰是圆锥的 母线,底是圆锥的直径。]这个等腰三角形的高也就是圆锥的 什么?[安排中下生回答:高]这个经过轴的剖面,我们称 之谓“轴截面”, 在轴截面里包含了有关圆锥的所有元素: 轴、 高、母线,底面圆半径,这个等腰三角形的顶角,我们称之 谓“锥角”,大家不难发现圆锥的母线、高、底面圆半径及锥 角构成了一个直角三角形,它给定旋转一周得圆锥的那个直 角三角形,当然给定半径、母线;圆锥侧面展开图——扇形 的面积、圆心角可求、因此可以说有关圆锥的计算问题,其 实质就是解这个直角三角形的问题。 如图,圆锥形的烟囱帽的底面直径是 80cm,母线长 50cm,计算这个展开图的圆心角及面积;画出它的展开图。 要计算展开图的面积,哪位同学知道展开图扇形的弧 长是圆锥底面圆的什么?[安排中下生回答:周长。 [展开 图形的半径是圆锥的什么?[安排中下生回答:母线] 请同学们计算这个展开图的面积[安排一中等生上黑 板完成,其余学生在练习本上做] 解:圆锥底面圆直径 80cm,∴底面圆周长 cm,又母 线长 50cm ∴展开图扇形的半径 50cm,弧长 cm.∴ 哪位同学到前面计算一下这个扇形的圆心角?[安排 一名中下生上前,其余在练习本上做] 解: 同学讨论一下这个扇形怎样画?[安排一中上学生回 答:首先画一个半径为 50cm 的圆⊙S,然后用量角器作出 72° 的圆心角,则为弧的扇形,r 就是所要画的展开图] 图中所示是一圆锥形的零件经过轴的剖面,它的腰长 等于圆锥的母线长,底边长等于圆锥底面的直径,按图中标 明的尺寸,求: 圆锥形零件的母线长 l; 锥角 α; 零件的表面积。 图中给出等腰三角形的哪些尺寸? [安排中下生回答: 高 40,底边长 34]哪位同学会计算圆锥形零件的母线长 l? [安排一中等生上黑板,其余同学练习本上做] [答案:l=] 锥角 α 打算如何求?[安排一中等生回答:解 Rt 求出,的 对边 DB,邻边 SD 已知∴选的正切. ]请同学们求出 α.[安 排一中等生上黑板,其余在练习本上做] , [答案: ] 零件的表面积等于什么?[安排中下生回答:圆锥的 侧面积加上底面圆面积]计算圆锥侧面积所需条件已具备了 吗?计算底面圆面积所需条件呢?[安排中下生回答, ] 请同学们把表面积求出来[] 请同学们回顾一下, 本堂课我们学了些什么知识? [可 安排中下生相互补充完整:1.圆锥的特征;2.圆锥的形成 及有关概念;3.圆锥的展示图;4.圆锥的轴截面。 ] 布置作业 教材:练习 1、2;中 5、6、7、8. [1][2][3][4]

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