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高中数学人教A版必修一练习:1.3.1 单调性与最大(小)值 第二课时 函数的最大(小)值

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第二课时 函数的最大(小)值

【选题明细表】 知识点、方法
图象法求函数最值 单调性法求函数最值
二次函数的最值 函数最值的应用

题号 1,12 3,4,5,7,14 2,10,13 6,8,9,11

1.函数 f(x)的部分图象如图所示,则此函数在[-2,2]上的最小值、最 大值分别是( C )

(A)-1,3 (B)0,2 (C)-1,2 (D)3,2 解析:当 x∈[-2,2]时,由题图可知,x=-2 时,f(x)的最小值为 f(-2)= -1;x=1 时,f(x)的最大值为 2.故选 C. 2. 若 函 数 y=x2-6x-7, 则 它 在 [-2,4] 上 的 最 大 值 、 最 小 值 分 别 是 (C) (A)9,-15 (B)12,-15 (C)9,-16 (D)9,-12 解析:函数的对称轴为 x=3,
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所以当 x=3 时,函数取得最小值为-16, 当 x=-2 时,函数取得最大值为 9,故选 C.

3.函数 f(x)=-x+ 在[-2,- ]上的最大值是( A )

(A)

(B)- (C)-2 (D)2

解析:因为 f(x)=-x+ 在[-2,- ]上为减函数,

所以当 x=-2 时取得最大值,且为 2- = .故选 A.

4.(2018·于都县高一期中)函数 f(x)=2- 在区间[1,3]上的最大值是 (D) (A)2 (B)3 (C)-1 (D)1

解析:因为函数 f(x)=2- 在区间[1,3]上为增函数, 所以 f(x)max=f(3)=2-1=1.故选 D.
5.已知函数 f(x)= ,x∈[-8,-4),则下列说法正确的是( A )

(A)f(x)有最大值 ,无最小值

(B)f(x)有最大值 ,最小值

(C)f(x)有最大值 ,无最小值

(D)f(x)有最大值 2,最小值

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解析:f(x)= =2+ ,它在[-8,-4)上单调递减,因此有最大值

f(-8)= ,无最小值.故选 A. 6.函数 f(x)=x2-2ax+a 在区间(-∞,1)上有最小值,则 a 的取值范围是 (A) (A)(-∞,1) (B)(-∞,1] (C)(1,+∞) (D)[1,+∞) 解析:由题意,f(x)=(x-a)2-a2+a, 所以函数的对称轴为 x=a. 若 a≥1,则函数在区间(-∞,1)上是减函数, 因为是开区间,所以没有最小值 所以 a<1,此时当 x=a 时取得最小值,故选 A.

7.已知函数 f(x)=2x-3,其中 x∈{x∈N|1≤x≤ },则函数的最大值



.

解析:函数 f(x)=2x-3 为增函数,且 x∈{1,2,3},函数自变量 x 的最大

值为 3,所以函数的最大值为 f(3)=3.

答案:3

8.(2017·濮阳高一期末)若函数 f(x)=x2-2x+m,在 x∈[0,3]上的最大

值为 1,则实数 m 的值为

.

解析:函数 f(x)=x2-2x+m=(x-1)2+m-1,其对称轴为 x=1,

则 f(x)在[0,1]上单调递减,在(1,3]上单调递增,

则当 x=3 时,函数有最大值,

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即为 9-6+m=1, 解得 m=-2. 答案:-2

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9.记函数 f(x)= 在区间[3,4]上的最大值和最小值分别为 M 和 m,

则 等于( D )

(A) (B) (C) (D)

解析:因为 f(x)=

=2+ ,

所以 f(x)在[3,4]上是减函数.

所以 m=f(4)=4,M=f(3)=6.

所以 = = .故选 D. 10.已知函数 f(x)=-x2+4x+a,x∈[0,1],若 f(x)有最小值-2,则 f(x) 的最大值为( A ) (A)1 (B)0 (C)-1 (D)2 解析:函数 f(x)=-x2+4x+a=-(x-2)2+a+4, 因为 x∈[0,1], 所以函数 f(x)=-x2+4x+a 在[0,1]上单调递增, 所以当 x=0 时,f(x)有最小值 f(0)=a=-2, 当 x=1 时,f(x)有最大值 f(1)=3+a=3-2=1. 故选 A.
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11.(2018·唐山高一月考)已知函数 f(x)=-x2+2ax+1-a 在区间[0,1]

的最大值为 2,则 a 的值为

.

解析:函数 f(x)=-x2+2ax+1-a 的对称轴为 x=a,图象开口向下,

①当 a≤0 时,函数 f(x)=-x2+2ax+1-a 在区间[0,1]上是减函数,

所以 f(x)max=f(0)=1-a, 由 1-a=2,得 a=-1,

②当 0<a≤1 时,函数 f(x)=-x2+2ax+1-a 在区间[0,a]上是增函数,在

[a,1]上是减函数,

所以 f(x)max=f(a)=-a2+2a2+1-a=a2-a+1,

由 a2-a+1=2,解得 a= 或 a= , 因为 0<a≤1, 所以两个值都不满足; ③当 a>1 时,函数 f(x)=-x2+2ax+1-a 在区间[0,1]上是增函数, 所以 f(x)max=f(1)=-1+2a+1-a=2, 所以 a=2. 综上可知,a=-1 或 a=2. 答案:-1 或 2 12.(2018· 陕 西 师 大 附 中 高 一 上 月 考 ) 已 知 函 数

f(x)= (1)画出函数 f(x)的图象; (2)求函数 f(x)的单调区间,并指出在每个单调区间上,它是增函数还
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是减函数; (3)求函数 f(x)的最大值和最小值. 解:(1)函数 f(x)的图象如图所示.

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(2)f(x)的单调区间有[-3,-2),[-2,0),[0,1),[1,3),[3,6]. 其中 y=f(x)在区间[-3,-2),[0,1),[3,6]上是减函数,在[-2,0),[1,3) 上是增函数. (3)因为 f(x)图象的最高点为(3,4),最低点为(6,-5), 所以 f(x)的最大值为 4,最小值为-5. 13.已知函数 f(x)=x2+2mx+1. (1)若 m=1,求 f(x)在[-1,3]上的最大值和最小值; (2)若 f(x)在[-2,2]上为单调函数,求 m 的取值范围; (3)若 f(x)在区间[-1,2]上的最大值为 4,求实数 m 的值. 解:(1)当 m=1 时,f(x)=x2+2x+1=(x+1)2, 所以 f(x)在[-1,3]上的最大值是 f(3)=16,最小值是 f(-1)=0. (2)因为 f(x)在[-2,2]上为单调函数, 所以区间[-2,2]在 f(x)对称轴 x=-m 的一边, 即-m≤-2,或-m≥2, 所以 m≥2,或 m≤-2.
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所以 m 的取值范围为(-∞,-2]∪[2,+∞). (3)f(-1),f(2)中必有一个最大值, 若 f(-1)=2-2m=4,则 m=-1, 所以 f(x)=x2-2x+1=(x-1)2,符合 f(-1)最大.
若 f(2)=5+4m=4,则 m=- ,
所以 f(x)=x2- x+1=(x- )2+ ,符合 f(2)最大.
所以 m=-1 或 m=- .

14.已知函数 f(x)=

,x∈[1,+∞).

(1)当 a= 时,求函数 f(x)的最小值; (2)若对任意 x∈[1,+∞),f(x)>0 恒成立,试求实数 a 的取值范围.

解:(1)当 a= 时,f(x)=x+ +2. 设 1≤x1<x2,

则 f(x2)-f(x1)=(x2-x1)(1- ), 因为 1≤x1<x2, 所以 x2-x1>0,2x1x2>2,

所以 0< < ,1- >0, 所以 f(x2)-f(x1)>0,f(x1)<f(x2).
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所以 f(x)在区间[1,+∞)上为增函数,

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所以 f(x)在区间[1,+∞)上的最小值为 f(1)= . (2)在区间[1,+∞)上 f(x)>0 恒成立?x2+2x+a>0 恒成立. 设 y=x2+2x+a,x∈[1,+∞), 则函数 y=x2+2x+a=(x+1)2+a-1 在区间[1,+∞)上是增函数. 所以当 x=1 时,y 取最小值, 即 ymin=3+a, 于是当且仅当 ymin=3+a>0 时,函数 f(x)>0 恒成立, 故 a>-3,即 a 的取值范围为(-3,+∞).

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