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江西省信丰中学高三数学 三角法与向量法解平面几何题复习试题


第八讲 三角法与向量法解平面几何题

相关知识:在

中,R 为外接圆半径,

为内切圆半径,

,则

1,正弦定理: 2,余弦定理: 3,射影定理: , ,

, , , . .

4,面积: = = (海伦公式)

. A 类例题 例 1.在 ΔABC 中,已知 b=asinC ,c=asin(900-B),试判断 ΔABC 的形状。

例 1.解 由条件 c = asin(900 - B) = acosB =

. ΔABC 是等腰直角三角形。

例 2. (1)在△ABC 中,已知 cosA =

,sinB =

,则 cosC 的值为(



A.

B.

C.

D.

例 2.解 ∵C = ? ?(A + B),∴cosC = ?cos(A + B),又∵A?(0, ?),∴sinA =

,而 sinB =

显然 sinA > sinB ,∴A > B , ∵A 为锐角, ∴B 必为锐角, ∴ cosB =
-1-

∴cosC = ? cos(A + B) = sinAsinB ? cosAcosB =

.选 A.

说明 △ABC 中,sinA > sinB A > B . 根据这一充要条件可判定 B 必为锐角。 (2)在 Rt△ABC 中,C=90°,A=θ,外接圆半径为 R ,内切圆半径为 r ,

当θ为

时,

的值最小。?

解答由题意,R=

,r=

. (其中 a、b、c 为 Rt△ABC 的三条边长,c 为斜边长)









.?

∵?sin(α+

)≤1,∴





+1.?

当且仅当 θ=

时,

的最小值为

+1。

例 3 在△ABC 中,



,求证:B、A、C 成等差数列。?

例 3 证明 由条件得



.∵sin(A+B)=sinC,?

∴sin(A-B)=sinC-sinB,∴sinB=sin(A+B)-sin(A-B)=2cosAsinB.?

∵sinB≠0,∴cosA= 例4

,A=60°.∴B、A、C 成等差数列。? ,若

ABC 中,三个内角 A、B、C 的对边分别为 ,求角 C 的大小。

例4解 由

=cosB,故 B=

,A+C=

.

由正弦定理有:



又 sinA=sin(

-C)=

,于是

-2-

sinC=cosC,

tanC=1,

C=



情景再现 1 △ABC 的三个内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,如果 a2=b(b+c) ,求证:A=2B.

2.

ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 a、b、c 成等比数列,且 的值

(1)求

(2)设

,求

的值

3 已知 A、B、C 是△ABC 的三个内角,y=cotA+ . (1) 若任意交换两个角的位置,y 的值是否变化?试证明你的结论.(2)求 y 的最小值. B 类例题 例 5 如图,某园林单位准备绿化一块直径为 BC 的半圆形空地,△ABC 外的地方种草,△ABC 的内接正方形 PQRS 为一水池,其余的地方种花.若 BC=a,∠ABC= 正方形的面积为 S2. (1)用 a, 表示 S1 和 S2; ,设△ABC 的面积为 S1,

(2)当 a 固定,

变化时,求

取最小值时的角



例 5 解(1) 设正方形边长为 ,则

(2)当

固定,

变化时,



, 用导数知识可

以证明: 函数



是减函数, 于是当

时,

取最小值, 此时


-3-

例 6 如图,A、B 是一矩 OEFG 边界上不同的两点,且∠AOB=45°,OE=1,EF= 设∠AOE=α. (1)写出△AOB 的面积关于 α 的函数关系式 f(α); (2)写出函数 f(x)的取值范围。 例 6 解: (1)∵OE=1,EF= ∴∠EOF=60° 当 α∈[0,15°]时,△AOB 的两顶点 A、B 在 E、F 上, 且 AE=tanα,BE=tan(45°+α)



∴f(α)=S△AOB=

*tan(45°+α)-tanα+

=

=

当 a∈(15°,45°]时,A 点在 EF 上,B 点在 FG 上,且 OA=

,OB=



=S△AOB=

OA· sin45°= OB·

·

· sin45°=

综上得:f(α)=

(2)由(1)得:当 α∈[0,

]时

f(α)=

∈[

,

-1]

且当 α=0 时,f(α)min=

;α=

时,f(α)max=

-1;

当 α∈

时,-

≤2α-



, α) ( = f

∈[



,

]
-4-

且当 α=

时,f(α) min=



;当 α=

时,f(α) max=

所以 f(x) ∈[

,

]。

-5-


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