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平面向量习题(基础和提升)


基础巩固训练 1 1. 判断下列命题是否正确,并说明理由: (1)共线向量一定在同一条直线上。 (2)所有的单位向量都相等。 (3)向量 a 与 b 共线, b 与 c 共线,则 a 与 c 共线。 (4)向量 a 与 b 共线,则 a // b
→ →

( ( ( ( ( )

) ) ) ) )

















→ →

(5)向量 AB// CD ,则 AB // CD 。 (6)平行四边形两对边所在的向量一定是相等向量。 (

→ 2. 在四边形 ABCD 中, →=2DC”是“四边形 ABCD 为梯形”的 “AB A、充分不必要条件 充分也不必要条件 3.已知向量 l1 ≠ 0, 立的是( A、 λ = 0 ) B、 l 2 = 0 C、 l1 // l2 D、 l 2 = 0 或 λ = 0 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不

λ ∈ R, a = l1 + λl 2 , b = 2l1 ,若向量 a和b 共线,则下列关系一定成

4. .D、E、F 分别是△ABC 的 BC、CA、AB 上的中点,且 BC = a , CA = b ,给出下列命题, 其中正确命题的个数是( ) ② BE = a +

1 a?b 2 1 1 ③ CF = ? a + b 2 2
① AD = ? A、1 B、2 5.已知: AB = 3(e1 + e 2 ), ( ) A、A,B,C 三点共线 C、C,A,D 三点共线

1 b 2

④ AD + BE + CF = 0 C、3 D、4

BC = e1 ? e 2 , CD = 2e1 + e 2 ,则下列关系一定成立的是
B、A,B,D 三点共线 D、B,C,D 三点共线 )

6.若 | OA + OB |=| OA ? OB | 则向量 OA, OB 的关系是( A.平行 B.重合 C.垂直 D.不确定 综合拔高训练

7.如图,已知 AB = a, AC = b, BD = 3DC ,用 a, b 表示 AD ,则 AD = ( ) A. a +

A

3 b 4

B.

1 3 1 1 a + b C. a + b 4 4 4 4

D.

3 1 a+ b 4 4
B D C

答案:B

解析: AD = AB + BD = AB +

3 3 1 3 BC = AB + ( AC ? AB ) = a + b 4 4 4 4


8.已知 a + b = e1 + 3e 2 , a - b = e1 ? 2e 2 ,用 e1 、 e 2 表示 a = 答案: e1 +
1 e2 2

2 9.已知 a = t e1 + (k ? 1)e 2 , b = (2t + 1)e1 ? 3e 2 ,且 a // b ,试求 t 关于 k 的函数。

答案: ∴ t =

1? k2 1 + 2k 2

10. 如图, 在△OAB 中, OC =

1 1 OA , = OB , 与 BC 交于 M 点, OA = a , = b , OD AD 设 OB 4 2

(1)试用 a 和 b 表示向量 OM (2)在线段 AC 上取一点 E,线段 BD 上取一点 F,使 EF 过 M 点,设 OE = λ OA , OF = 求证:

? OB 。

1 3 + = 1。 7λ 7 ?
基础巩固训练 2

1. 设平面向量 a = ( 3,5 ) , b = ( ?2,1) ,则 a ? 2b = ( A. ( 6,3) B. ( 7,3) C. ( 2,1)

) D.

( 7, 2 )
)

答案:B 解析: a ? 2b = ( 3,5 ) ? 2 ? ( ?2,1) = ( 7,3) 2.在 △ ABC 中, AB = c , AC = b .若点 D 满足 BD = 2 DC ,则 AD = (

2 1 A. b + c 3 3

5 2 B. c ? b 3 3

答案: 解析: AD ? AB = 2 AC ? AD ,3 AD = AB + 2 AC = c + 2b ,AD = A 由 3.已知 a=(1,2) b=(-3,2) , ,当 ka+b 与 a-3b 平行,k 为何值( A )

(

)

2 1 C. b ? c 3 3

1 2 D. b + c 3 3 1 2 c+ b 3 3

1 4

B -

1 4

C -

1 3

D

1 3


答案:C 解析: 由已知 a=(1,2) b=(-3,2) , ,

a-3b=(10,-4) ,

ka+b=(k-3,2k+2) .

因(ka+b)∥(a-3b) , 故 10(2k+2)+4(k-3)=0. 得 k=-

1 . 3

4.如图,线段 AB 与 CD 互相平分,则 BD 可以表示为 A . AB ? CD C. B. ?

(

)
D A

1 1 AB + CD 2 2

1 ( AB ? CD) 2

D. ?( AB ? CD )

答案:B 线段 AB 与 CD 互相平分,所以 BD =

1 (CD ? AB ) 2

B C

5. 如图,设 P、Q 为△ABC 内的两点,且

AP =

2 1 2 1 AB + AC , AQ = AB + AC , ABP 的面积与△ABQ 的面积之比为( 则△ 5 5 3 4 1 4 1 1 C A. B. C. D. 5 5 4 3
Q P A B

)

答案:B

[解析]如图,设 AM =

2 1 AB , AN = AC 则 AP = AM + AN 由平行四边形法则 5 5
C

?ABQ 1 ?ABP AN 1 知 NP∥AB,所以 = ,同理可得 = 。 = ?ABC 4 ?ABC AC 5

Q N P M B

?ABP 4 = ,即选 B. 故 ?ABQ 5

A

6.如图,在△ ABC 中,已知 AB = 2 , BC = 3 , ∠ABC = 60° ,

AH ⊥ BC 于 H , M 为 AH 的中点,若 AM = λ AB + ? BC ,
则λ + ? = 答案: . 解析: AB = 2 , BC = 3 , ∠ABC = 60° B H

A

?M
C

2 3

所以 BH=1, M 为 AH 的中点,所以

AM =

1 1 1 1 1 1 AH = ( AB + BH ) = ( AB + BC ) = AB + BC 2 2 2 3 2 6
2 3
综合拔高训练

λ+? =

7.已知向量 a = (1 sin θ ) , b = (1 3 cos θ ) ,则 a ? b 的最大值为 , , 答案:2 解析: a ? b = sin θ ? 3 cos θ = 2sin(θ ?



π
3

) ≤ 2.


8.已知向量 a = ( ?2, 2), b = (5, k ) ,若 a + b 不超过 5,则 k 的取值范围是 答案: [-6,2] 解析: a + b = | (3, 2 + k ) |=

9 + (2 + k ) 2 ≤ 5 解得 k 的取值范围是[-6,2]

9.已知 a = ( 1 , 2 ), b = ( ? 3 , 2 ) ,当实数 k 取何值时, k a +2 b 与 2 a —4 b 平行? 【解析】方法一: ∵ 2 a —4 b ≠ 0 ,∴ 存在唯一实数 λ 使 k a +2 b = λ ( 2 a —4 b ) 将 a 、 b 的坐标代入上式得( k —6,2 k +4)= λ ( 14,—4) 得 k —6=14 λ 且 2 k +4= —4 λ ,解得 k = —1 方法二:同法一有 k a +2 b = λ (2 a —4 b ),即( k —2 λ ) a +(2+4 λ ) b =0 ∵ a 与 b 不共线,∴ ?

?k ? 2λ = 0 ?2 + 4λ = 0

∴ k = —1

→ → → 10.已知点 O(0,0) ,A(1,2) ,B(4,5) ,且OP =OA +tAB . (1) 当 t 变化时,点 P 是否在一条定直线上运动? (2) 当 t 取何值时,点 P 在 y 轴上? (3) OABP 能否成为平行四边形?若能求出相应的 t 值;若不能,请说明理由. → → → → → → → → → 解: (1)由OP = OA +tAB 可得AP = tAB ,AP ∥AB ,又AP 、AB 都过 A 点,故 A、P、B → 三点在同一条直线上,而 A、B 为定点,所以 P 点恒在直线 AB 上运动.(2)OP =(1+3t,2 +3t) ,若 P 在 y 轴上,则 1+3t=0,t=-

1 .(3)A、B、P 三点在同一条直线上,OABP 不 3

→ → 可能为平行四边形,若用OA = PB 可列方程组,但方程组无解. 基础巩固训练 3 1. 已知向量 a =(x,1) b =(3,6) a ⊥ b ,则实数 x 的值为 , , A.

1 2

B. ? 2

C. 2

D. ?

1 2

答案:B 解析: 3 x + 6 = 0,∴ x = ?2

2.已知 a ? b = ?12 2 , a = 4 , a 和 b 的夹角为 135° ,则 b 为 A. 12 B. 3 C. 6

( D. 3 3



答案:C 解析: a ? b =| a || b | cos1350 = ?12 2 ,又 a = 4 可得 b = 6 3. △ ABC 内有一点 O ,满足 OA + OB + OC = 0 ,且 OAiOB = OB iOC .则 △ ABC 一定 是( ) B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰三角形

A. 钝角三角形

答案:D 解析: O 为重心,由 OAiOB = OB iOC 可知 △ ABC 一定是等腰三角形 4 . 在 △ ABC 中 , a,b,c 分 别 为 三 个 内 角 A,B,C 所 对 的 边 , 设 向 量

m = (b ? c, c ? a ), n = (b, c + a ) ,若 m ⊥ n ,则角 A 的大小为(
A.



π
6

B.

π
3

C.

π
2

D.

2π 3

答案:B 解析:由 m ⊥ n 可得 min = 0 即 (b ? c )b + (c ? a )(c + a ) 所以角 A=

= 0, b 2 ? bc + c 2 ? a 2 = 0

π
3

5 . 己 知 向 量 a = (cos α ,sin α ), b = (cos β ,sin β ) , a 与 b 的 夹 角 为 60 ° , 直 线

x cos α ? y sin α = 0 与圆 ( x ? cos β ) 2 + ( y + sin β )2 =
A.相切 答案:C 解析: a 与 b 的夹角为 60°所以 B.相交 C.相离

1 的位置关系是 ( 2 D.随 α , β 的值而定



cos 600 =

a ib cos α cos β + sin α sin β 1 = = 1 2 | a |i| b | cos α cos β + sin α sin β 1 = 1 2

圆心 (cos β , ? sin β ) 到直线 x cos α ? y sin α = 0 距离为 故选 C 6.设 ?ABC 是边长为 1 的正三角形, 则 CA + CB = 答案: 3 解析: CA + CB =

.
2

CA + CB =

2

CA + 2CAiCB + | CB |2

综合拔高训练 7.已知 a =(-1, 3), b =(2, -1),若(k a + b )⊥( a -2 b ),则 k= .

答案:

3 4 3 4

, 解析:k a + b =(2-k,3 k-1) a -2 b =(-5,5) 所以(k a + b )( a -2 b )=0 可得 k=

8.设平面上向量 a = (cos α ,sin α )(0 ≤ α < 2π ), b = ( ? (1) 证明向量 a + b 与 a ? b 垂直 (2)

1 3 , ), a 与 b 不共线, 2 2

当两个向量 3a + b 与 a ? 3 b 的模相等,求角 α .

解析: (1) a + b = ( ?

1 3 1 3 + cos α , + sin α )a ? b = ( + cos α ,sin α ? ) 2 2 2 2

1 3 (a + b) ? (a ? b) = cos 2 α ? + sin 2 α ? = 0 4 4
∴ ( a + b) ⊥ ( a ? b)
(2)由题意: ( 3 ? a + b) 2 = ( a ? 3 b) 2 得: a ? b = 0

1 3 3 ∴? cos α + sin α = 0 ,得 tan α = 又 0 ≤ α ≤ 2π 2 2 3
得α =

π
6



7π 6

9.设 F1 、 F2 分别是椭圆


x2 + y 2 = 1 的左、右焦点.若 P 是该椭圆上的一个动点,求 4

PF1 · PF2 的最大值和最小值;
解: (Ⅰ)解法一:易知 a = 2, b = 1, c =



3 ,所以 F1 ? 3, 0 , F2

(

) (

3, 0

)

,设 P ( x, y ) ,则 PF1 ? PF2 = ? 3 ? x, ? y ,

(

)(

3 ? x, ? y = x 2 + y 2 ? 3

)

因为 x ∈ [ ?2, 2] ,故当 x = 0 ,即点 P 为椭圆短轴端点时, PF1 ? PF2 有最小值 ?2 当 x = ±2 ,即点 P 为椭圆长轴端点时, PF1 ? PF2 有最大值 1

解法二:易知 a = 2, b = 1, c = 设 P ( x, y ) ,则

3 ,所以 F1 ? 3, 0 , F2

(

) (
2

3, 0

)
2 2

PF1 ? PF2 = PF1 ? PF2 ? cos ∠F1 PF2 = PF1 ? PF2 ?

PF1 + PF2 ? F1 F2 2 PF1 ? PF2

=

2 2 1? x + 3 + y 2 + x ? 3 + y 2 ? 12 ? = x 2 + y 2 ? 3 … ? ? ? 2?

(

)

(

)

10. 在△ABC 中,已知 AB ? AC = 1, (1) 求 AB 边的长度; (2) 证明: tan A = 2 tan B ; (3)若 | AC |= 2 ,求 | BC | .

AB ? BC = ?2 .

2 解: (1)∵ BC = AC ? AB ∴ AB ? BC = AB ( AC ? AB ) = AB ? AC ? | AB | = ?2

∵ AB ? AC = 1

∴ | AB |2 = 3 , | AB |=

3 即 AB 边的长度为 3

(2) 由 AB ? AC = 1, AB ? BC = ?2 得 | AB | ? | AC | cos A = 1 ------①

| AB | ? | BC | cos(π ? B ) = ?2
由①②得

即 | AB | ? | BC | cos B = 2 ------② 由正弦定理得

| AC | cos A 1 ? = , | BC | cos B 2

| AC | sin B = | BC | sin A

A

sin B cos A tan B 1 ? = = sin A cos B tan A 2 ∴ tan A = 2 tan B
∴ (3) ∵ | AC |= 2 ,由(2)中①得 cos A =

B

C

1 1 3 = = 6 | AB | ? | AC | 2 3

由余弦定理得 | BC |2 =| AB |2 + | AC |2 ?2 | AB | ? | AC | cos A = 3 + 4 ? 4 3 ? ∴ | BC | = 5

3 =5 6

基础巩固训练 1. 如果一架向东飞行 200km,再向南飞行 300km,记飞机飞行的路程为 s,位移为 a,则 ( )

A. 答案:A

s>|a|

B.

s<|a|

C. s=|a|

D.

s 与|a|不能比大小

2. 已知 OA = 1 , OB = 3 , OA ? OB = 0 ,点 C 在 ∠AOB 内,且 ∠AOC = 30 ,设
o

OC = mOA + nOB (m, n ∈ R ) ,则
A.

m 等于 n





1 3

B.3

C.

3 3

D. 3

答案 B∵ OA = 1 , OB = 3 , OA ? OB = 0 ∴△ABC 为直角三角形,其中 AC =

1 1 AB = 4 2 1 1 3 1 ∴ OC = OA + AC = OA + AB = OA + (OB ? OA) = OA + OB 4 4 4 4 3 1 m 即 =3 故本题的答案为 B. ∴m = ,n = 4 4 n

3.在△ABC 中,已知向量 AB与 AC满足( △ABC 为( ) A.三边均不相等的三角形 C.等腰非等边三角形 答案:D [解析]非零向量与满足(

AB

| AB |

+

AC

| AC |

) ? BC = 0且

AB

| AB | | AC |

?

AC

=

1 ,则 2

B.直角三角形 D.等边三角形

AB AC )·=0, 即角 A 的平分线垂直于 BC, AB=AC, ∴ + | AB | | AC |

又 cos A =

AB AC 1 π = ,∠A= ,所以△ABC 为等边三角形 ? 2 3 | AB | | AC |

4. 在ΔABC 中,O 为中线 AM 上的一个动点,若 AM=2,则 OA ? (OB + OC ) 的最小值为 . 答案: ? 2 如图,设 AO = x ,则 OM = 2 ? x ,
A O B C

所以 OA ? (OB + OC ) = OA ? 2OM = ?2 ? OA ? OM

?2 x(2 ? x) = 2 x 2 ? 4 x = 2( x ? 1) 2 ? 2 ,
故当 x = 1 时, OM = mOA + nOB 取最小值-2.

M

5. 一个 30?的斜面上放有一个质量为 1kg 的球,若要保持球在斜面上静止不动,应沿斜面 方向给球多大_________力;若表示球的重力的向量为 p,球对斜面的压力为ω,则球的重力

沿斜面方向的分力 f=___________保持球在斜面上静止不动的推力 f′= 答案:4.9N, f=p-ω , ,f′=-f=ω-p , 6.在直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0,1)和点 B(—3,4) 若点 C 在∠AOB 的一平分线上,且 | OC |= 2 ,则 OC = ____________. 答案: ( ?

10 3 10 , ) [解析]∵ 点 C 在 5 5

∠AOB 的一平分线上,∴ 设 OC =

λ (OA +

OB | OB |

) = λ ? ( 0 ,1 ) + ( ?

? ?

3 4 , 5 5

? )? ?

=λ (?

9 81 10 3 9 , , ) ( λ > 0 ) 又 | OC | 2 = 4 ,∴ λ2 ( + ) = 4 ,得 λ = 5 5 25 25 3

∴ OC = ( ? 综合拔高训练

10 3 10 , ) 5 5

向量 m = 7. 已知: B、 是 ?ABC 的内角,a, b, c 分别是其对边长, A、 C

(

3, cos(π ? A) ? 1 ,

)

? ?π ? ? n = ? cos? ? A ?,1? , m ⊥ n .求角 A 的大小; ? ? ? ? ? ?2
解:(Ⅰ) m =

? ?π ? ? n = ? cos? ? A ?,1? = (sin A,1) ……2 分 ? ? ? ? ? ?2
∵m ⊥ n

(

3, cos(π ? A) ? 1 =

)(

3 ,? cos A ? 1 ……1 分

)

∴ 3 sin A ? cos A ? 1 = 0 ……4 分 π? 1 ? ∴ sin ? A ? ? = ……6 分 6? 2 ? π π 5π π π ∵ 0 < A < π ,∴ ? < A ? < ,∴ A ? = , ……7 分 6 6 6 6 6 ∴A=

π

3

.……8 分

8.已知 A、B、C 三点的坐标分别为 A(3,0) 、 B (0,3) 、 C (cos α , sin α ), α ∈ (

π 3π
2 , 2

).

2 sin 2 α + sin 2α (1) | AC |=| BC |, 求角α 的值; (2) AC ? BC = ?1, 求 若 若 的值. 1 + tan α
解: (1)∵ AC = (cos α ? 3, sin α ), BC = (cos α , sin α ? 3) ,

∴| AC |= (cos α ? 3) 2 + sin 2 α = 10 ? 6 cos α , | BC |= 10 ? 6 sin α , 5 π 3π 由 | AC |=| BC | 得 sin α = cos α , 又α ∈ ( , ), ∴α = π , 2 2 4
(2)由 AC ? BC = ?1, 得(cos α ? 3) cos α + sin α (sin α ? 3) = ?1,

∴ sin α + cos α =

2 5 ∴ 2 sin α ? cos α = ? , 3 9 2 2 2 sin α + sin 2α 2 sin α + 2 sin α cos α 5 又 = = 2 sin α ? cos α = ? , sin α 1 + tan α 9 1+ cos α 2 sin 2 α + sin 2α 5 所以, =? . 1 + tan α 9

9.四边形 ABCD 中, AB = (6,1), BC = ( x, y ), CD = ( ?2,?3) (1)若 BC // DA ,试求 x 与 y 满足的关系式; (2)满足(1)的同时又有 AC ⊥ BD ,求 x, y 的值及四边形 ABCD 的面积。 解:∵ BC = ( x, y ) ,∴ DA = ? AD = ?( AB + BC + CD )

= ?( x + 4, y ? 2) = (? x ? 4, ? y + 2)
(1)∵ BC // DA ,故有 x ? ( ? y + 2) ? y ? ( ? x ? 4) = 0 化简得: x + 2 y = 0 (2) AC = AB + BC = ( x + 6, y + 1)

BD = BC + CD = ( x ? 2, y ? 3)
又 AC ⊥ BD 则 ( x + 6) ? ( x ? 2) + ( y + 1) ? ( y ? 3) = 0

化简有: x 2 + y 2 + 4 x ? 2 y ? 15 = 0 联立 ?

?x + 2 y = 0 2 2 ? x + y + 4 x ? 2 y ? 15 = 0 ? x = ?6 ? y=3
或?

解得 ?

?x=2 ? y = ?1

∵ BC // DA AC ⊥ BD ,则四边形 ABCD 为对角线互相垂直的梯形

当?

? x = ?6 ? y=3

AC = (0,4) BD = (?8,0)
1 ? AC ? BD = 16 2

此时 S ABCD = 当?

?x=2 ? y = ?1

AC = (8,0) BD = (0,?4)
1 ? AC ? BD = 16 2

此时 S ABCD =

10.已知点 A( 2,0)、B (0,2)、C (cos α , sin α ) , O 为坐标原点,且 0 < α < π . (1)若 | OA + OC |=

7 ,求 OB 与 OC 的夹角;

(2)若 AC ⊥ BC ,求 tan α 的值. 解:由已知可得 OA = ( 2,0), OC = (cos α , sin α ) 且 | OA + OC |=

7

∴ (2 + cos α ) 2 + sin 2 α = 7
化简得: cos α = ? 因为 0 < α < π 所以 sin α =

1 2

3 2

1 3 ∴ OC = (? , ), OB = (0,2) 2 2 ∴ cos < OB, OC >= OB ? OC | OB |? | OC | = 3 2

又因为 < OB, OC >∈ [0, π ] 所以 < OB, OC >=

π
6

(Ⅱ) AC = (cos α ? 2, sin α ), BC = (cos α , sin α ? 2) 由 AC ⊥ BC 得 (cos α ? 2, sin α ) ? (cos α , sin α ? 2) = 0 即 (cos α ? 2) cos α + sin α (sin α ? 2) = 0

化简得: sin α + cos α =
2 2

1 2 1 4

所以 sin α + cos α + 2 sin α cos α =

所以

sin 2 α + cos 2 α + 2 sin α cos α sin 2 α + cos 2 α
2

=

1 4

即是 3 tan α + 8 tan α + 3 = 0 解得 tan α =

?4± 7 3 3 <0 8

因为 sin α cos α = ? 且0 <α < π 所以

π

2

<α <π

又 sin α > cos α 所以 tan α = ?

4+ 7 3


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