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18版高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语1.2命题及其关系、充分条件与必要条件理

第一章 集合与常用逻辑用语 1.2 命题及其关系、充分条件与必要条 件 理 1.四种命题及相互关系 2.四种命题的真假关系 (1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; (2)两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系. 3.充分条件与必要条件 (1)如果 p? q,则 p 是 q 的充分条件,同时 q 是 p 的必要条件; (2)如果 p? q,但 q?p,则 p 是 q 的充分不必要条件; (3)如果 p? q,且 q? p,则 p 是 q 的充要条件; (4)如果 q? p,且 p?q,则 p 是 q 的必要不充分条件; (5)如果 p?q,且 q?p,则 p 是 q 的既不充分也不必要条件. 【知识拓展】 从集合角度理解充分条件与必要条件 若 p 以集合 A 的形式出现,q 以集合 B 的形式出现,即 A={x|p(x)},B={x|q(x)},则关于 充分条件、必要条件又可以叙述为 (1)若 A? B,则 p 是 q 的充分条件; (2)若 A? B,则 p 是 q 的必要条件; (3)若 A=B,则 p 是 q 的充要条件; (4)若 A (5)若 A B,则 p 是 q 的充分不必要条件; B,则 p 是 q 的必要不充分条件; (6)若 A B 且 A?B,则 p 是 q 的既不充分也不必要条件. 【思考辨析】 1 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)“x +2x-3<0”是命题.( × ) (2)命题“若 p,则 q”的否命题是“若 p,则綈 q”.( × (3)若一个命题是真命题,则其逆否命题也是真命题.( √ (4)当 q 是 p 的必要条件时,p 是 q 的充分条件.( √ ) ) ) ) ) 2 (5)当 p 是 q 的充要条件时,也可说成 q 成立当且仅当 p 成立.( √ (6)若 p 是 q 的充分不必要条件,则綈 p 是綈 q 的必要不充分条件.( √ 1.下列命题中为真命题的是( ) A.命题“若 x>y,则 x>|y|”的逆命题 B.命题“若 x>1,则 x >1”的否命题 C.命题“若 x=1,则 x +x-2=0”的否命题 D.命题“若 x >0,则 x>1”的逆否命题 答案 A 解析 对于 A,其逆命题是若 x>|y|,则 x>y,是真命题,这是因为 x>|y|≥y,必有 x>y. 2.(教材改编)命题“若 x >y ,则 x>y”的逆否命题是( A.若 x<y,则 x <y C.若 x>y,则 x >y 答案 B 解析 根据原命题和其逆否命题的条件和结论的关系,得命题“若 x >y ,则 x>y”的逆否命 题是“若 x≤y,则 x ≤y ”. 3.(教材改编)“(x-1)(x+2)=0”是“x=1”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 B 解析 由(x-1)(x+2)=0 可得 x=1 或 x=-2, ,-2}, ∴“(x-1)(x+2)=0”是“x=1”的必要不充分条件. 4.(2016·北京)设 a,b 是向量,则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ) 2 B.若 x≤y,则 x ≤y D.若 x≥y,则 x ≥y 2 2 2 2 ) ) 答案 D 解析 若|a|=|b|成立,则以 a,b 为邻边构成的四边形为菱形,a+b,a-b 表示该菱形的 对角线,而菱形的对角线不一定相等,所以|a+b|=|a-b|不一定成立;反之,若|a+b|= |a-b|成立,则以 a,b 为邻边构成的四边形为矩形,而矩形的邻边不一定相等,所以|a|= |b|不一定成立,所以“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的既不充分也不必要条件. 5.在下列三个结论中,正确的是________.(写出所有正确结论的序号) ①若 A 是 B 的必要不充分条件,则綈 B 也是綈 A 的必要不充分条件; ? ?a>0, ②“? 2 ?Δ =b -4ac≤0 ? 2 ”是“一元二次不等式 ax +bx+c≥0 的解集为 R”的充要条件; 2 ③“x≠1”是“x ≠1”的充分不必要条件. 答案 ①② 解析 易知①②正确.对于③,若 x=-1,则 x =1,充分性不成立,故③错误. 2 题型一 命题及其关系 例 1 (2016·宿州模拟)下列命题: ①“若 a <b ,则 a<b”的否命题; ②“全等三角形面积相等”的逆命题; ③“若 a>1,则 ax -2ax+a+3>0 的解集为 R”的逆否命题; ④“若 3x(x≠0)为有理数,则 x 为无理数”的逆否命题. 其中正确的命题是( A.③④ 答案 A 解析 对于①,否命题为“若 a ≥b ,则 a≥b”,为假命题;对于②,逆命题为“面积相等 的三角形是全等三角形”,是假命题;对于③,当 a>1 时,Δ =-12a<0,原命题正确,从而 其逆否命题正确,故③正确;对于④,原命题正确,从而其逆否命题正确,故④正确.故选 A. 思维升华 (1)写一个命题的其他三种命题时,需注意: ①对于不是“若 p,则 q”形式的命题,需先改写; ②若命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提. (2)判断一个命题为真命题,要给出推理证明;判断一个命题是假命题,只需举出反例. (3)根据“原命题与逆否命题同真同假, 逆命题与否命题同真同假”这一性质, 当一个命题直 接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假. 2 2 2 2 2 ) D.②④ B.①③ C.①② 3 (1)命题“若 x>0,则 x >0”的否命题是( A.若 x>0,则 x ≤0 B.若 x >0,则 x>0 C.若 x≤0,则 x ≤0 D.若 x ≤0,则 x≤0 2 2 2 2 2

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