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选修2-1第三章空间向量与立体几何教案1


选修 2-1 第三章空间向量与立体几何教案
课 题:平面向量知识复习 教学目标: 复习平面向量的基础知识,为学习空间向量作准备 教学重点:平面向量的基础知识 教学难点:运用向量知识解决具体问题 教学过程: 一、基本概念 向量、向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量、相反向量、向量的加 法、向量的减法、实数与向量的积、向量的坐标表示、向量的夹角、向量的数量积。 二、基本运算 1、向量的运算及其性质 运算类型 向 量 1 平行四边形法则
王新敞
奎屯 新疆

几何方法

坐标方法

运算性质

a?b ?b?a

的 2 三角形法则
王新敞
奎屯 新疆

a?b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )

(a ? b) ? c ? a ? (b ? c)

加 法 向 量 的 减 法 向 量 的 1 ? a 是一个向量,满足:
王新敞
奎屯 新疆

AB ? BC ? AC

a ? b ? a ? (?b)
三角形法则

a?b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )

AB ? ? BA

OB ? OA ? AB

? (?a) ? (?? )a
?a ? (?x, ?y)
(? ? ? )a ? ?a ? ?a

2 ? >0 时, ? a 与 a 同向;
王新敞
奎屯 新疆

? <0 时, ? a 与 a 异向;

乘 法 向 量 的 数 量 积

? =0 时, ? a =0

王新敞
奎屯

新疆

? (a ? b) ? ?a ? ?b
a ∥ b ? a ? ?b

a ? b 是一个数
1 a ? 0 或 b ? 0 时,
王新敞
奎屯 新疆

a?b ? b?a

(?a) ? b ? a ? (?b) ? ? (a ? b)

a ? b =0
2 a ? 0 且 b ? 0 时,
王新敞
奎屯 新疆

a?b ? x1 x2 ? y1 y2

(a ? b) ? c ? a ? c ? b ? c

a 2 ?| a |2 ; | a |? x 2 ? y 2
| a ? b |?| a || b |

a ? b ?| a || b | cos(a, b)

2、平面向量基本定理:

? ? ? 如果 e1 , e 2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量 a ,有且只有一对
实数 ?1 , ? 2 ,使 a ? 注意 OP ?

?



1 (OA ? OB) , OP ? ?OA ? (1 ? ? )OA 的几何意义 2

3、两个向量平行的充要条件: ⑴ a // b 的充要条件是:

?

?

; (向量表示)

⑵ 若 a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y 2 ) ,则 a // b 的充要条件是: 4、两个非零向量垂直的充要条件: ⑴ a ? b 的充要条件是:

?

?

?

?

; (坐标表示)

?

?

; (向量表示)

⑵ 若 a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y 2 ) ,则 a ? b 的充要条件是: 三、课堂练习

?

?

?

?

; (坐标表示)

1.O 为平面上的定点,A、B、C 是平面上不共线的三点,若( OB - OC )· ( OB + OC -2 OA )=0, 则 ?ABC 是( ) A.以 AB 为底边的等腰三角形 C.以 AB 为斜边的直角三角形 B.以 BC 为底边的等腰三角形 D.以 BC 为斜边的直角三角形

2.P 是△ABC 所在平面上一点,若 PA ? PB ? PB ? PC ? PC ? PA ,则 P 是△ABC 的( A.外心 B.内心
? ??



C.重心
? ??
? ??

D.垂心 )

BD =0,则四边形 ABCD 是( 3.在四边形 ABCD 中, AB = DC ,且 AC ·
A. 矩形 B. 菱形 C.直角梯形 D.等腰梯形

? ??

4.已知 | p |? 2 2 , | q |? 3 , p 、 q 的夹角为 45 ? ,则以 a ? 5 p ? 2q , b ? p ? 3q 为邻边的平行四边 形的一条对角线长为( A. 15 ) C. 14 D. 16

? ?

?

? ?

?

?

? ?

?

?

? ?

?

B. 15

5.O 是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足 OP ? OA ? ? (

AB | AB |

?

AC | AC |

),

? ?[0,?? ) 则 P 的轨迹一定通过△ABC 的(
A.外心 B.内心

) D.垂心 )

C.重心

6.设平面向量 a =(-2,1), b =(λ,-1),若 a 与 b 的夹角为钝角,则 λ 的取值范围是( A. (? ,2) ? (2,??) 7.若 a ? ?2,3?,

1 2

B. (2,?? )

C. (? ,?? )

1 2

D. (??,? )

1 2

。 b ? ?? 4,7?, a ? c ? 0, 则c在b方向上的投影为 ??? ? ??? ? ??? ? 8.向量 OA ? (k ,1), OB ? (4,5), OC ? (?k ,10) ,且 A,B,C 三点共线,则 k=



9. 在直角坐标系 xoy 中, 已知点 A(0,1)和 点 B(-3,4), 若点 C 在∠AOB 的平分线上且| OC |=2,则 OC = 10.在 ?ABC 中,O 为中线 AM 上一个动点,若 AM=2,则 OA ? (OB ? OC) 的最小值是__________。



题:空间向量及其线性运算

1.空间向量的概念: 在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量 注:⑴空间的一个平移就是一个向量
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

⑵向量一般用有向线段表示 同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 ⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 2.空间向量的运算
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

定义:与平面向量运算一样,空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下(如图)

? ? OB ? OA ? AB ? a ? b

? ? BA ? OA ? OB ? a ? b

b C b O a a B b A
D' A' B' C'

? OP ? ?a(? ? R)
运算律: ⑴加法交换律: a ? b ? b ? a

?

?

?

?
a
D

? ? ? ? ? ? ⑵加法结合律: (a ? b ) ? c ? a ? (b ? c )
? ? ? ? ⑶数乘分配律: ? (a ? b ) ? ?a ? ?b

C

A

B

3.平行六面体: 平行四边形 ABCD 平移向量 a 到 A ?B ?C ?D ? 的轨迹所形成的几何体,叫做平行六面体,并记作: ABCD- A ?B ?C ?D ? ,它的六个面都是平行四边形,每个面的边叫做平行六面体的棱。 4.共线向量 与平面向量一样,如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量叫做 共线向量或平行向量. a 平行于 b 记作 a // b . 当我们说向量 a 、 b 共线(或 a // b )时,表示 a 、 b 的有向线段所在的直线可能是同一直线, 也可能是平行直线. 5.共线向量定理及其推论:

?

?

?

?

?

?

?

? ?

?

?

共线向量定理:空间任意两个向量 a 、b ( b ≠ 0 ) , a // b 的充要条件是存在实数 λ,使 a =λ b . 三、数学运用 1、例 1 如图,在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,M 是 BB1 的中点, 化简下列各式,并在图中标出化简得到的向量: (1) CB ? BA1 ; (2) AC ? CB ?

?

?

? ?

? ?

?

?

1 AA1 ; 2

(3) AA1 ? AC ? CB

解: (1) CB ? BA1 ? CA1 (2) AC ? CB ?

1 AA1 ? AM 2

(3) AA1 ? AC ? CB ? BA1

3、课堂练习 已知空间四边形 ABCD ,连结 AC , BD ,设 M , G 分别是 BC , CD 的中点,化简下列各表达式, 并标出化简结果向量: (1) AB ? BC ? CD ;
A

??? ? ??? ? ??? ?
??? ?

? ??? ? 1 ??? ( BD ? BC ) ; 2 ???? 1 ??? ? ???? (3) AG ? ( AB ? AC ) . 2
(2) AB ?

B M C G

D

解答: (1) AB ? BC ? CD =AD

??? ? ??? ? ??? ?

? ??? ? 1 ??? ( BD ? BC ) = AB+MG+BM= (AB +BM )+MG=AM+MG+AG 2 ???? 1 ??? ? ???? (3) AG ? ( AB ? AC ) =AG-AM=MG 2
(2) AB ?

??? ?

四、回顾总结 空间向量的定义与运算法则 五、布置作业 课 题:共面向量定理

1、 共面向量的定义 一般地,能平移到同一个平面内的向量叫共面向量; 理解:若 a, b 为不共线且同在平面 ? 内,则 p 与 a, b 共面的意义是 p 在 ? 内或 p // ? 2、共面向量的判定 平面向量中,向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是 b ? ? a ,类比到空间向量,即有 共面向量定理 如果两个向量 a, b 不共线, 那么向量 p 与向量 a, b 共面的充要条件是存在有序实 数组 ( x, y ) ,使得 p ? x? ? yb 这就是说,向量 p 可以由不共线的两个向量 a, b 线性表示。 三、数学运用

1,例 1 如图,已知矩形 ABCD 和矩形 ADEF 所在平面互相垂直,点 M,N 分别在对角线 BD,AE 上, 且 BM ?

1 1 BD, AN ? AE . 3 3
A

F N

E

求证:MN//平面 CDE

D M

B

C

证明: MN ? MB ? BA ? AN = CD ? 又 CD 与 DE 不共线

2 3

1 DE 3

根据共面向量定理,可知 MN , CD, DE 共面。 由于 MN 不在平面 CDE 中,所以 MN//平面 CDE. 2、 例 2 设空间任意一点 O 和不共线的三点 A、 B、 C, 若点 P 满足向量关系 OP ? xOA ? yOB ? zOC (其中 x+y+z=1) 试问:P、A、B、C 四点是否共面? 解:由 OP ? xOA ? yOB ? zOC 可以得到

AP ? y AB ? z AC
由 A,B,C 三点不共线,可知 AB 与 AC 不共线,所以 AP , AB , AC 共面且具有公共起点 A. 从而 P,A,B,C 四点共面。 解题总结: 3、 课堂练习 (1)已知非零向量 e1, e2 不共线,如果 AB ? e1 ? e2, AC ? 2e1 ? 8e2, AD ? 3e1 ? 3e2 ,求证:A、B、 C、D 共面。 (2)已知平行四边形 ABCD,从平面 AC 外一点 O 引向量 OE ? k OA , OF ? k OB , OG ? k OC , (1)四点 E、F、G、H 共面; (2)平面 AC//平面 EG。 OH ? k OD 。求证: (3)课本 74 页练习 1-4 四、回顾总结 1、共面向量定理; 2、类比方法的运用。 五、布置作业


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