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2014届高考人教B版数学一轮复习方案课时作业 第13讲 变化率与导数、导数的运算 Word版含答案]


课时作业(十三)

[第 13 讲

变化率与导数、导数的运算] 分值:100 分)

中§ [ 教 §网z §z §s §t ep]

(时间:45 分钟 基础热身

1.[2012·潍坊一中测试] 函数 y=x2 cosx 的导数为( A.y′=x cosx-2xsinx B.y′=2xcosx+x sinx C.y′=2xcosx-x sinx D.y′=xcosx-x2 sinx
2 2 2

)

2.[2012·汕头质量测评] 设曲线 y=ax 在点(1,a)处的切线与直线 2x-y-6=0 平 行,则 a=( A.1 C.- B. 1 2 1 2 D.-1 1+lnx 在(1,1)处的切线方程是( ) )

2

3.[2012·昆明一中三模] 函数 f(x)= A.x=1 C.y=1 B.y=x-1 D.y=-1

x

4.已知函数 f(x)=-x3 +ax-4(a∈R),若函数 y=f(x)的图象在点 P(1,f(1))处的切 π 线的倾斜角为 ,则 a=________. 4

能力提升 1 3 2 5.已知某物体的运动方程是 s= t -6t +32t(t 表示时间,s 表示位移),则瞬时速度 3 为 0 的时刻是( A.2 s 或 4 s C.8 s 或 16 s ) B.2 s 或 16 s D.4 s 或 8 s
中 [ 国教 育 出版 网zz ste p.c om]

6. [2012·新疆适应性检测] 下列曲线的所有切线构成的集合中, 切线斜率恒大于零的 曲线是( ) B.y=cosx

A.y=sinx C.y=x2

D.y=ex
2

7. [2012·开封二模] 设函数 f(x)=g(x)+x ,曲线 y=g(x)在点(1,g(1))处的切线

方程为 y=2x+1,则曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的方程为( A.y=4x+1 C.y=4x B.y=2x+4

)

D.y=4x+3 )

8.已知直线 y=kx 与曲线 y=lnx 有公共点,则 k 的最大值为( A.1 2 e B. 1 e

C.

D.

2 e

9. [2013·太原五中月考] 已知函数 f(x)的图象如图 K13-1 所示, f′(x)是 f(x)的导 函数,则下列数值排序正确的是( )

图 K13-1 A.0<f′(2)<f′(3)<f(3)-f(2) B.0<f′(3)<f(3)-f(2)<f′(2) C.0<f′(3)<f′(2)<f(3)-f(2) D.0<f(3)-f(2)<f′(2)<f′(3) 1 10.若对任意 m∈R ,直线 x+y+m=0 都不是曲线 f(x)= x3 -ax 的切线,则实数 a 的 3 取值范围是________. 11.已知函数 f(x)=f′

?π ?sinx+cosx,则 f?π ?=________. ?2 ? ?4 ?
中 [

12. 若曲线 f(x)=ax5 +lnx 存在垂直于 y 轴的切线, 则实数 a 的取值范围是________.
教网 ]

13.已知 f1 (x)=cosx,且 fn +1 (x)=f′n (x)(n∈N * ),则 f2 014 (x)=________. 14.(10 分)求曲线 f(x)=x3 -3x2 +2x 过原点的切线方程.

15 15.(13 分)若存在过点(1,0)的直线与曲线 y=x3 和 y=ax2 + x-9 都相切,求 a 的 4 值.

[中 。国 教 。育 出 。版 网]

难点突破 16.(12 分)设曲线 C:y=-lnx(0<x≤1)在点 M(e ,t)(t≥0)处的切线为 l. (1)求直线 l 的方程; (2)若直线 l 与 x 轴、y 轴所围成的三角形面积为 S(t),求 S(t)的最大值.
-t

课时作业(十三) 【基础热身】 1. C C. 2.A [解析] y′=2ax,依题意得 k=y′|x =1 =2a=2,解得 a=1.故选 A. 1 ·x-(1+lnx) 3.C [解析] f′(x)= [解析] 由导数的计算公式得 y=(x2 )′cosx+x2 (cosx)′=2xcosx-x2 sinx.故选

x

x

2



-lnx ,所以 k=f′(1)=0,所以切线方 2

x

程为 y=1.故选 C. 4. 4 (1)=tan π 2 [解析] f′(x)=-3x +a, y=f(x)的图象在点 P 处的切线的倾斜角为 , 即 f′ 4 π ,所以-3+a=1,解得 a=4. 4

【能力提升】 5.D 6.D [解析] 瞬时速度 v=s′=t2 -12t+32,令 v=0,可得 t=4 或 8.故选 D. [解析] 这四个函数的导函数中,只有 y=e 的导函数大于 0 恒成立,即切线斜
x

率恒大于零.故选 D. 7.C 2. 又 f′(x)=g′(x)+2x,所以 f′(1)=g′(1)+2=4.故 y=f(x)在点(1,f(1))处切 线斜率为 4. 又点(1,g(1))在切线 y=2x+1 上,所以 g(1)=3,所以 f(1)=g(1)+12 =4,所以曲 线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的方程为 y-4=4(x-1),即 y=4x.故选 C. 8.B [解析] 从函数图象知当直线 y=kx 与曲线 y=lnx 相切时,k 取最大值. 1 1 1 1 1 1
[z+ zs+ tep .co m]

[解析] 因为 y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为 y=2x+1,所以 g′(1)=

y′=(lnx)′= =k,x= ,所以切点坐标为 ,ln ,切线方程为 y-ln =kx- , x k k k k k
1 又切线过原点(0,0),代入方程解得 lnk=-1,k= .故选 B. e 9. B

[解析] 由图可知, 图象上各点的切线斜率随着 x 的不断增大而减小, 所以点(2,

f(2)) 处 切 线 的 斜 率 大 于 点 (3 , f(3)) 处 的 切 线 的 斜 率 , 即 f′(2)>f′(3) , 且 f′(3)< f(3)-f(2)
3- 2 =f(3)-f(2)<f′(2).故选 B.

10. (-∞, 1)
2

[解析] 直线 x+y+m=0 的斜率为-1, 依题意得关于 x 的方程 f′(x)

=x -a=-1 没有实数解,因此,a-1<0,即 a<1. 11.0 [解析] f′(x)=f′ π π π π cosx-sinx,令 x= ,则 f′ =-sin =-1, 2 2 2 2

π π π 所以 f(x)=-sinx+cosx,所以 f =-sin +cos =0. 4 4 4 12.(-∞,0) 有解. 1 1 4 4 5 又因为 f′(x)=5ax + ,所以方程 5ax + =0 有解.所以 5ax =-1 有解. [解析] 曲线 f(x)=ax5 +lnx 存在垂直于 y 轴的切线,即 f′(x)=0

x

x

又因为 x>0,所以 a<0.故实数 a 的取值范围是(-∞,0). 13. -sinx [解析] f1 (x)=cosx, f2 (x)=-sinx, f3 (x)=-cosx, f4 (x)=sinx, f5 (x)

=cosx,…,可以看出,fn +1 (x)=fn ′(x)(n∈N* )的表达式呈现周期性变化,周期为 4,所 以 f2
014

(x)=f2 012 +2 (x)=f2 (x)=-sinx.

14.解:f′(x)=3x2 -6x+2,设切线的斜率为 k. (1)当切点是原点时 k=f′(0)=2,f(0)=0, 所求的切线方程为 y=2x. (2)当切点不是原点时,设切点是(x0 ,y0 )(x0 ≠0), 则有 y0 =x0 -3x0 +2x0 ,k=f′(x0 )=3x0 -6x0 +2,① 又 k = = x2 0 -3x0 +2,② 3 y0 1 由①②得 x0 = ,k= =- . 2 x0 4 1 所以所求曲线的切线方程为 y=- x. 4 15.解:设过(1,0)的直线与 y=x3 相切于点(x0 ,x30),
2 3 所以切线方程为 y-x30=3x2 0 (x-x0 ),即 y=3x0 x-2x 0, 3 2 2

y0 x0

3 又(1,0)在切线上,则 x0 =0 或 x0 = . 2

[z*z s*t ep. com ]

15 25 当 x0 =0 时,由 y=0 与 y=ax2 + x-9 相切可得 a=- ; 4 64 3 27 27 15 当 x0 = 时,由 y= x- 与 y=ax2 + x-9 相切可得 a=-1. 2 4 4 4 25 所以 a=-1 或- . 64 【难点突破】 1 16.解:(1)因为 y′=(-lnx)′=- (0<x≤1),

x

所以在点 M(e ,t)处的切线 l 的斜率为-e , 故切线 l 的方程为 y-t=-et (x-e-t ), 即 et x+y-1-t=0.

-t

t

(2)令 x=0,得 y=t+1;再令 y=0,得 x= 1 t+1 所以 S(t)= (t+1) t (t≥0). 2 e 1 -t 从而 S′(t)= e (1-t)(1+t). 2 因为当 t∈[0,1)时,S′(t)>0; 当 t∈(1,+∞)时,S′(t)<0, 2 所以 S(t)的最大值为 S(1)= . e

t+1
e
t

.


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