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【推荐】湖北省黄冈市2016-2017学年高二下学期期末考试理科数学试题-含答案

2017 学年黄冈市高二(下)期末试题

数学(理科)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只

有一个选项是符合题目要求的.) 1. 设集合 S={|>-2},T={|2+3-4≤0},则(?RS)∪T=( ) A. B.(-∞,1] C.

2.已知复数 z ? i2017 ,则复数 z 的虚部为( ) 1? 2i

A. ? 2 5

B. 1 i C. 1

5

5

D. ? 1 5

3. 随机变量 X ~ N ?1, 4?,若 p? x ? 2? ? 0.2 ,则 p?0 ? x ?1? 为( )

A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.6

4.若 4 个人报名参加 3 项体育比赛,每个人限报一项,则不同的报名方法的种数有( )

A. A43

B. C43

C. 43

D. 34

5. 广告投入对商品的销售额有较大影响.某电商对连续 5 个年度的广告费和销售额进行统

计,得到统计数据如下表(单位:万元)

广告费 x

2

3

4

5

6

销售额 y

29

41

50

59

71

由上表可得回归方程为 y? ? 10.2x ? a? ,据此模型,预测广告费为 8 万元时的销售额约为

()

A. 90.8

B. 72.4

C. 98.2

D. 111.2

6. 从1, 2,3, 4,5 中不放回地依次取 2 个数,事件 A 表示“第1次取到的是奇数”,事件 B 表

示“第 2 次取到的是奇数”,则 P(B | A) ? ( )

A. ?

B. ?

C. ?

D. ?

?

??

?

?

7.已知函数 f ? x? = 1 x2 ? cos x , f ?? x? 是 f ? x? 的导函数,则 f ?? x? 的图象大致是( )
4

8. 如图,长方形的四个顶点坐标为 O(0,0),A(4,0),B(4,2),C(0,2),曲线 y ? x 经过点 B,

C

B

O

A

现将质点随机投入长方形 OABC 中,则质点落在图中阴影部分的概率为( )

A. 2 3

B. 3 4

C. 4 5

D. 5 6

9.若 x, y ? 0 且 x ? y ? 2 ,则 1? y 和 1? x 的值满足( )

x

y

A. 1? y 和 1? x 都大于 2

x

y

B. 1? y 和 1? x 都小于 2

x

y

C. 1? y 和 1? x 中至少有一个小于 2

x

y

D. 以上说法都不对

10.2013 年 8 月,考古学家在湖北省随州市叶家山发现了大量的古墓,经过对生物体内碳 14

含量的测量,估计该古墓群应该形成于公元前 850 年左右的西周时期,已知碳 14 的“半衰

期”为 5730 年(即含量大约经过 5730 年衰减为原的一半),由此可知,所测生物体内碳

14 的含量应最接近于( )

A.25﹪ B. 50﹪ C. 70﹪

D.75﹪

11. 对 大 于 1 的 自 然 数 m 的 三 次 幂 可 用 奇 数 进 行 以 下 形 式 的 “ 分 裂 ”:

?13

23 ???35,

?7 33 ??9 ,
??11

43 ????1157,....仿此,若 m3 的“分裂数”中有一个是 2017,则 m 的 ??19

值为( )

A. 44

B. 45

C. 46

D.47

12. 已知函数 f ? x? ? alnx ? x2 ??a ? 2? x 恰有两个零点,则实数 a 的取值范围是( )

A. ??1, ??? B. ??1,0? C. ??2,0? D. ??2,?1?

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 数学老师从 6 道习题中随机抽 3 道让同学检测,规定至少要解答正确 2 道题才能及格。
某同学只能求解其中的 4 道题,则他能及格的概率是______________
14. 已 知 函 数 f ? x? ? 2ln x ? x ? f '?1? , 则 曲 线 y ? f ? x? 在 x ?1 处 的 切 线 方 程 是
_________
15.设 ?2 ? x?6 ? a0 ? a1 ?1? x? ? a2 ?1? x?2 ? ? a6 ?1? x?6 ,则 a4 等于______________

16. 先 阅 读 下 面 的 文 字 :“ 求 2 ? 2 ? 2 ? ??? 的 值 时 , 采 用 了 如 下 的 方 式 : 令

2 ? 2 ? 2 ? ??? ? x ,则有 x ? 2 ? x ,两边平方,可解得 x =2(负值舍去)”。那

么,可用类比的方法,求出 2 ?

2?

1 1

的值是



2 ? ???

三、解答题:(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分 12 分)

已知定义在

R

上的函数

f

?x?

?

b ? 2x 2x ? a

是奇函数.

⑴求 a ,b 的值,并判断函数 f ? x? 在定义域中的单调性(不用证明);

? ? ? ? ⑵若对任意的 t ? R ,不等式 f t2 ? 2t ? f 2t2 ? k ? 0 恒成立,求实数 k 的取值范围.

18. (本小题满分 12 分) 为了增强环保意识,某社团从男生中随机抽取了 60 人,从女生中随机抽取了 50 人参加环 保知识测试,统计数据如下表所示:

优秀

非优秀 总计

男生

40

20

60

女生

20

30

50

总计

60

50

110

(1)试判断是否有 99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关; (2)为参加市举办的环保知识竞赛,学校举办预选赛,现在环保测试优秀的同学中选 3 人

参加预选赛,已知在环保测试中优秀的同学通过预选赛的概率为 2 ,若随机变量 X 表示这 3

3 人中通过预选赛的人数,求 X 的分布列与数学期望.

附 K2=

n(ad ? bc)2

(a ? b)(c ? d)(a ? c)(b ? d)

P(K 2 ? k ) 0.500 0.400 0.100 0.010 0.001

k

0.455 0.708 2.706 6.635 10.828

19. (本小题满分 12 分)

如图,某段铁路 AB 长为 80 公里, BC ? AB ,且 BC ?10 公里,为将货物从 A 地运往 C 地,

现在 AB 上的距点 B 为的点 M 处修一公路至点 C.已知铁路运费为每公里 2 元,公路运费为每

公里 4 元.

(1)将总运费 y 表示为的函数.

C

(2)如何选点 M 才使总运费最小?

A

M

B

20. (本小题满分 12 分)
已知数列?an?的前 n 项和为 Sn ,且 a1 ?1, Sn ? n2an ?n? N? ?
(1)试求出 S1, S2 , S3, S4 ,并猜想 Sn 的表达式; (2)用数学归纳法证明你的猜想,并求出 an 的表达式。

21.(本小题满分 12 分)
设函数 f (x) ? x ? (x ?1) ln(x ?1) . (1)求 f (x) 的极值; (2)当 a ? b ? 0 时,试证明: (1? a)b ? (1? b)a .

请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。 22.(本小题满分 10 分)选修 4- 4:坐标系与参数方程
在极坐标系中,曲线 C 的方程为 ? 2 cos 2? ? 9 ,点 P(2 3, ? ) .以极点 O 为原点,极轴为 6
x 轴的正半轴建立直角坐标系. (1)求直线 OP 的参数方程和曲线 C 的直角坐标方程; (2)若直线 OP 与曲线 C 交于 A 、 B 两点,求 1 ? 1 的值.
| PA | | PB |
23.(本小题满分 10 分)选修 4- 5:不等式选讲
设函数 f (x) ?| x ? a |,不等式 f (x) ? 2 的解集是?x |1? x ? 5? .
(1)求实数 a 的值; (2)若 f (2x) ? f (x ? 2) ? m 对一切 x ? R 恒成立,求 m 的范围.
黄冈市 2017 年春季高二期末试题数学(理科) 参考答案及评分标准

一、选择题:

题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12


答 BC B D A D A A C C C B


二、填空题:

13. 4 5
部分题解析:

14. x ? y ? 2 ? 0

15. 135

16.

7 2

9. 【答案】C

【解析】假设 1? y 和 1? x 都不小于 2.

x

y

因为>0,y>0,所以 1+≥2y,且 1+y≥2,两式相加得 1++1+y≥2(+y),

即+y≤2,这与+y>2 相矛盾,因此 1+y 与 1+y 中至少有一个小于 2.故选 C.

10. 【答案】C

【解析】依题意知,生物体内碳

14

含量

P

与死亡年数

t

的关系为:

P

?

(

1

t
) 5730

,而生物体

2

距发掘时有约

2863 年,故可得 P

?

(

1

)

2863 5730

? 0.7 ,选

C

2

三、解答题:

.17.

【答案】⑴

a

?

b

?

1;⑵

? ??

??

,?

1 3

? ??

.

【解析】⑴∵ f ? x? 是定义在 R 上的奇函数,

∴ f ?0? ? b ?1 ? 0 ,∴ b ?1
a ?1



f

?x?

?

1? 2x a ? 2x

,

f

(?x)

?

2x ?1 , a2x ?1

f

(x)

?

?

f

(?x)



∴ a 2x ?1 ? a ? 2x ,

……………………1 分 ……………………3 分

? ? 即 a 2x ?1 ? 2x ?1对一切实数 x 都成立.

∴ a ?1,∴ a ? b ?1.
f ? x? 是 R 上的减函数。

……………………5 分 ……………………6 分

⑵不等式 f ?t2 ? 2t? ? f ?2t2 ? k? ? 0等价于 f ?t2 ? 2t? ? f ?k ? ? 2t2 .

又 f ? x? 是 R 上的减函数,∴ t2 ? 2t ? k ? 2t2 .

……………………8 分



k

?

3t 2

?

2t

?

3 ??? t

?

1

2
?

3 ??

?

1 3

对t

?R

恒成立,

……………………10 分



k

?

?

1 3

.即实数

k

的取值范围是

? ??

??

,?

1 3

? ??



……………………12 分

18. 【答案】(1)有 99 %的把握认为环保知识是否优秀与性别有关;(2)分布列见解析,

【解析】(1) K 2 ? 110(40? 30 ? 20 ? 20)2 ? 7.822 60? 50? 60? 50

……………………3 分

因为 K 2 ? 7.822 ? 6.635

P(K 2 ? 6.635) ? 0.01

所以有 99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关.

……………………6 分

(2) X 的可能取值为 0,1,2,3

……………………7 分

P( X ? 0) ? (1)3 ? 1 , 3 27

P( X

? 1)

?

C31

(

2 3

)(1)2 3

?

2 9

P( X

?

2)

?

C32

(

1)( 3

2 3

)

2

?

4 9

所以 X 的分布列为:

P( X ? 3) ? ( 2)3 ? 8 3 27

0

1

2

3

P

1

2

4

8

27

9

9

27

……………………10 分

因为 X ~ B(3, 2) , 所以 E(X ) ? np ? 3? 2 ? 2

3

3

……………………12 分

19. 【答案】(1) y ? 2?80 ? x? ? 4 100 ? x2 ?0 ? x ? 80? ;(2)当在距离点 B 为 10 3 公
3 里时的点 M 处修筑公路至 C 时总运费最省.

【解析】(1)依题意,铁路 AM 上的运费为 2?80 ? x? ,公路 MC 上的运费为 4 100 ? x2 ,

则由 A 到 C 的总运费为 y ? 2?80 ? x? ? 4 100 ? x2 ?0 ? x ? 80? .……………………6 分

(2) y ' ? ?2 ? 4x ?0 ? x ? 80? ,
100 ? x2

……………………8 分

令 y ' ? 0 ,解得 x ? 10 3 ,或 x ? ? 10 3 (舍).

3

3

……………………10 分

当 0 ? x ? 10 3 时, y ' ? 0 ;当 10 3 ? x ? 80 时, y ' ? 0 ;

3

3

故当 x ? 10 3 时, y 取得最小值, 即当在距离点 B 为 10 3 公里时的点 M 处修筑公路至

3

3

C 时总运费最省.

……………………12 分

20.

【答案】(1) Sn

?

2n ;(2)见解析. n ?1

【解析】(1)解:

an

?

Sn

?

Sn?1

?n

?

2?? Sn

?

n2

?Sn

?

? Sn?1 ? Sn

?

n2 n2 ?1 Sn?1

?n

?

2?

a1

? 1,?S1

?

a1

? 1,

S2

?

4 3

, S3

?

3 2

?

6 4

,

S4

?

8 5

,

`

……………………3 分

猜想

Sn

?

2n n ?1

……………………5 分

(2)证明:(1)当 n ?1 时,

S1

?

1,

2?1 1?1

?

1

等式成立。

假设当 n

?

k ?k

?1, k ? N? ? 时,等式成立,即 Sk

?

2k 。 k ?1



n ? k ?1

时,

? Sk?1 ? 1?k2 ?

k?1 ? a

k?1? a

2k k ?1 k

? S,?1

k ?a

?

∴ ak ?1

?

2k ? k ?1

k2

1 ? 2k

?

?k

2
? 1? ? k

? 2?

……………………8 分

? Sk?1

?

?k

?1?2

?

ak ?1

?

?k

?1?2

?

?k

2
? 1? ? k

?

2?

?

2?k ?1?
k?2

?

2?k ?1? ?k ?1? ?1

?n ? k ?1时,等式也成立。

综上 1)2)知,对于任意 n ? N? ,

Sn

?

2n n ?1

都成立。

又 ak ?1

?

?k

2
? 1? ? k

?

2? ?an

?

2
n?n ?1?

……………………10 分 ……………………12 分

21. 【答案】(1) f (x) 极大值= f (0) ? 0 ;(2)证明见解析.

【解析】(1)函数 f ? x? 定义域为 (?1, ??) ,

f '? x? ? 1? ?ln(x ?1) ?1? ? ?ln(x ?1)
当 x ? (?1,0)时, f '(x) ? 0 , x ?(0, +?)时, f '(x) ? 0, 所以当 x ? 0 时, f (x) = 极大值 f (0) ? 0 .函数 f (x) 无极小值。

……………………2 分 ……………………4 分 ……………………5 分

(Ⅱ)要证 ?1? a?b ? ?1? b?a ,只需证 bln(1? a) ? aln(1? b) , ……………………6 分

只需证 ln ?1? a? ? ln ?1? b?

a

b



g ? x? ? ln ?1? x? ,? x ? 0?

x

g

'?x?

?

x 1? x

? ln ?1?
x2

x?

?

x

? ?1?
x2

x? ln ?1? ?1? x?

x?

……………………7 分





……………………10 分

由(1)知 x ? (x ?1) ln(x ?1) 在 ?0, ??? 单调递减

? x ? (x ?1) ln(x ?1) ? 0 即 g ? x? 在 ?0, ??? 上是减函数,而 a ? b ? 0

? g ?a? ? g ?b? ,故原不等式成立

……………………12 分

22.

?

【答案】(1)

?? ?

x

?

3

?

3t 2 ( t 为参数), x2 ? y2 ? 9 ;(2)

2.

? ??

y

?

3?1t 2

【解析】(1)∵化为直角坐标可得 P(3, 3) ,? = ? , 6

……………………1 分

?

∴直线

OP

的参数方程为:

?? ?

x

?

3

?

3 t, 2

? ??

y

?

3 ? 1 t. 2

……………………3 分

∵ ? 2 cos2 ? ? ? 2 sin2 ? ? 9 ,

∴曲线 C 的直角坐标方程: x2 ? y2 ? 9 ,

……………………5 分

(2)将直线 OP 的参数方程代入曲线 C 的方程,得 t2 ? 4 3t ? 6 ? 0 ,

……………………7 分

∴ t1 ? t2 ? ?4 3 , t1t2 ? ?6 ? 0 ,

∴ 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? | t1 ? t2 | ? 2 . | PA | | PB | | t1 | | t2 | | t1t2 |
考点:极坐标和参数方程等有关知识的综合运用.

……………………10 分

23.【答案】(1) a ? 3;(2) m ? 1 . 2
【解析】(1)由题意可知| x ? a |? 2 , ?2 ? x ? a ? 2 ,解得 a ? 2 ? x ? a ? 2,

……………………2 分

∵不等式 f (x) ? 2 的解集是?x |1? x ? 5? ,



?a ??a

? ?

2 2

? ?

1, 5,

解得

a

?

3



(2)∵ f (x) ?| x ?3| ,

∴ f (2x) ? f (x ? 2) ?| 2x ? 3 | ? | x ?1|

?| x ? 3 | ? | x ? 3 | ? | x ?1| ? 0? | (x ? 3) ? (x ?1) |? 1 ,

2

2

2

2

当 x ? 3 时,? f (2x) ? f (x ? 2)? ? 1 ,

2

min 2

∴m? 1. 2

?

??4 ? 3x, x ????,1?

或解

f

(2x) ?

f

(x

?

2)

?

? ?2 ?

?

x,

x ? ???1,

3? 2 ??

? ?3x ?

?

4,

x

?

? ??

3 2

,

??

? ??

当 x ? 3 时,? f (2x) ? f (x ? 2)? ? 1 ,∴ m ? 1 .

2

min 2

2

……………………5 分 ……………………6 分 ……………………8 分
……………………10 分