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山西省太原市2013届高三数学下学期第一次模拟考试试题 理 新人教A版_图文

山西省太原市 2013 年高三年级模拟(一)

数学(理)试题

注意事项:

1.本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

2.回答第 I 卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

3.回答第 I 卷时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,写在本试卷上无效。

4.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡相应位置上,写在本试卷上无效。

5.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷

一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一

项是符

合题目要求的.

1.复数 a ? 2i (i 是虚数单位)是纯虚数,则实数 a 的值为 1? 2i

A.4

B.-4

C.1

D.-1

2.设集合 A ? {y | y ? 1nx, x ? 1}, B ? {y | y ? 1? 2x , x ? R} 则 A B =

A.[0.1)

B.[0,1]

C. ???,1?

3.下列说法正确的是: A.命题“若 x2=1,则 x=1”的否命题为“若 x2=1,则 x≠1

B.“x=-1”是 x2 ? 5x ? 6 ? 0 ”的不要不充分条件

D.?0, ???

C.命题“ ?x0 ? R, 2xo ? x0 ?1 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, x2 ? x ?1 ? 0 ”

D.命题“若 x=y 则 sin x ? sin y ”的逆否命题为真命题

4.下列函数中,在[-1,0]上单调递减的是

A. y ? cos x

B. y ? ? | x ?1|

C. y ? 1n 2 ? x 2? x

D. y ? ex ? e?x

5.一个四棱锥的底面为正方形,其三视图如图所示,则这个四棱锥的体积是

A.1

B.2

C.3

D.4

1

6.执行如图所示的程序框图,则输出的 S=

A.98

B.258

C.642

D.780

7.已知数列{an }的通项公式为 an

?

1 (n ? N*) ,其前 n(n ?1)

n

项和 Sn

? 9 ,则双曲线 10

x2 ? y2 ? 1的渐近线方程为 n?1 n

A. y ? ? 2 2 x 3

B. y ? ? 3 2 x 4

C. y ? ? 3 10 x 10

D. y ? ? 10 x 3

8.已知函数 f (x) ? sin x ? 3 cos x 的图象向左平移 m(m ? 0) 个单位,若所得的曲线关于

y 轴对称,则实数 m 的最小值是

A. ? 8

B. ? 3

C. 2? 3

D. 5? 6

?x ? y ? 1,

9.已知实数

x.y

满足约束条件

? ?

x

?

y

?

?1,

,若函数

z

?

ax

?

by(a

?

0,

b

?

0)

的最大值为

??2x ? y ? 2,

7,则 3 ? 4 的最小值为 ab

A.7

B. 24

7

C. 37 7

D.18

10.将 5 名同学分配到 A,B,C 三个宿舍中,每个宿舍至少安排 1 名学生,其中甲同学不能

分配到 A 宿舍,则不同的分配方案种数是

A.76

B.100

C.132

D.150

11.已知 f '(x) 是定义在 R 上的函数 f (x) 的导函数,且 f (x) ? f (5 ? x), (5 ? x) f '(x) ? 0 2

若 x1 ? x2 , x1 ? x2 ? 5 ,则下列结论中正确的是

A. f (x1) ? f (x2 ) B. f (x1) ? f (x2 ) C



f (x1) ? f (x2 ) ? 0

D. f (x1) ? f (x2 ) ? 0

12.已知函数

f

(x)

?

?2x ?

?1,

x

?

0,

若数列 g(x) ? f (x) ? x 的零点按从小到大的顺序

? f (x ?1) ?1, x ? 0,

排列成一个数列,则该数列的通项公式为

2

A.

an

?

n(n ?1) 2

B. an ? n(n ?1)

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)

C. an ? n ?1

D. an ? 2n ? 2

本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须作

答,第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求作答,

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

13.已知向量 a,b 满足| a |? 2,| b |? 2, (a ? b) ⊥a,则向量 a 与 b 的夹角为



14.函数 f (x) ? x2 ? 3xf '(1), 在点 (2, f (2)) 处的切线方程为



15.设抛物线 M

: y2

?

2

px(

p

?

0)

的焦点

F

是双曲线

N

:

x2 a2

? y2 b2

? 1(a ? 0.b ? 0) 的右焦

点,若 M 与 N 的公共弦 AB 恰好过点 F,则双曲线 N 的离心率 e=



16.在平行四边形 ABCD 中, AB · BC ? 0, 2 | AB |2 ? | BD |2 ? 6 ,若将△ABD 沿 BD 折成直

二面 A—BD—C,则三棱锥 A—BCD 外接球的表面积为



三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分 12 分)

在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且满足 (2c ? a) cos B ? b cos A ? 0 。

(I)若 b=2,求△ABC 的面积;
(Ⅱ)求 3 sin A ? sin(C ? ? ) 的取值范围. 6
18.(本小题满分 12 分) 为了解某校高三毕业班报考体育专业学生的体重(单位:千克)情况,将从该市某学校 抽取的样本数据整理后得到如下频率分布直方图.已知图中从左至右前 3 个小组的频率 之比为 1:2:3,其中第 2 小组的频数为 12. (I)求该校报考体育专业学生的总人数 n;

(Ⅱ)若用这所学校的样本数据来估计该市的总体情况,现从该市报考体育专业的学生中任
选 3 人,设? 表示体重超过 60 千克的学生人数,求? 的分布列和数学期望。

19.(本题满分 12 分) 已知斜三棱柱 ABC—A1B1C1 中,∠ACB=90°,AC=BC=2,点 D 为 AC 的中点,A1D⊥平面 ABC,
3

A1B ⊥ACl (I)求证:AC1⊥ AlC; (Ⅱ)求二面角 A—A1B—C 的余弦值。

20.(本小题满分 12 分)

已知椭圆 C :

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

?b

? 0) 的离心率为 1 2

,点 F1,F2 分别是椭圆

C 的左,右焦

点,以原点为圆心,椭圆 C 的短半轴为半径的圆与直线 x ? y ? 6 ? 0 相切.
(I)求椭圆 C 的方程;
(Ⅱ)若过点 F2 的直线 l 与椭圆 C 相交于点 M,N 两点,求△Fl MN 内切圆面积最大的值 和此时直线 l 的方程.
21.(本小题满分 12 分)
已知函数 f (x) ? (2 ? a)(x ?1) ? 21nx, g(x) ? xe1?x (a ? R, e 为自然对数的底数)。
(I)若不等式 f (x) ? 0 对于一切 x ? (0, 1) 恒成立,求 a 的最小值; 2
( Ⅱ ) 若 对 任 意 的 x0 ? (0, e] , 在 ( 0 ,e ]上 总 存 在 两 个 不 同 的 xi (i ? 1, 2) , 使

f ( xi )? g( 0x 成) 立,求 a 的取值范围。
请考生在第 22、23、24 量题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作 答时请把答题卡上所选题目题号后的方框涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4 一 1:几何证明选讲
如图,⊙O 的直径 AB 的延长线与弦 CD 的延长线相交于点 P.E 为⊙O 上一点,AC ? AE ,
DE 交 AB 于点 F. (I)证明:DF·EF=OF·FP; (II)当 AB=2BP 时,证明:OF=BF.

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线

4

?

C

:

p sin2 ?

?

2a cos? (a

?

0)

过点

P(-2,-4)的直线 l

:

?? ?

x

?

?2

?

2 t, 2 (t 为参数)

? ??

y

?

?4

?

2t 2

与曲线

C 相交于点 M,N 两点.

(I)求曲线 C 和直线 l 的普通方程;
(Ⅱ)若|PM|l,| MN|,|PN |成等比数列,求实数 a 的值

24.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲
已知函数 f (x) ?| 2x ?1| ? | 2x ? 3 | .

(I)求不等式 f (x) ? 6 的解集;

(Ⅱ)若关于 x 的不等式 f (x) ?| a ?1| 的解集不是空集,求实数 a 的取值范围。

5

6

7

8

9

10


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