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福建省漳州市七校2013届高三第一次联考数学理试题


漳州市七校 2013 届高三第一次联考数学理试题

选择题部分(共 50 分) 一.选择题(本大题共 10 小题,每题 5 分,共 50 分,在每题所给的四个选项中,
只有一个是正确的) 1.已知集合 M= ?x |
y ? 3 ? x }, N ? { y | 1 ? y ? 3} ,且 M
2

、N 都是全集 R 的子集,

则右图韦恩图中阴影部分表示的集合为(



A.{x|C.{x|

3 ? x ? 3 ? x ? 3

3

}

B. {y|- 1 ? D. Φ

y ? 3

}
1题

}
2 2

2. “已知命题 p : 9 ?

x

? 0, q : x ? x ? 6 ? 0

,则 ? q 是 ? p 的(



(A)充分不必要条件 (C)充要条件

(B)既不充分也不必要条件 (D)必要不充分条件
? a 5 ? a 8 ? 12

3.已知 S n 是等差数列 { a n } 的前n项和,若 a 2 (A)18 4.若 ? 2 x ? 1 ? (A) 121
5

,则 S 9 等于

(B)36
? a 0 ? a1 x ? a 2 x
2

(C)72
5

(D)无法确定 的值为( )

? ? a5 x

,则 a 1 ?

a3 ? a5

(B)122

(C)124 )

(D)120

5.下列命题中,错误的是( ..

(A)一条直线与两个平行平面中的一个相交,则必与另一个平面相交 (B)如果平面 ? 垂直平面 ? ,那么平面 ? 内一定存在直线平行于平面 ? (C) 如果平面 ? 不垂直平面 ? ,那么平面 ? 内一定不存在直线垂直于平面 ? (D)若直线 l 不平行平面 ? ,则在平面 ? 内不存在与 l 平行的直线

6. 要从 10 名女生和 5 名男生中选出 6 名学生组成课外学习小组,如果按性别依 比例分层随机抽样,试问组成此课外学习小组的概率为( )

(A)

C 10 C 5 C 15
6

4

2

(B)

C 10C 5 C 15
6

3

3

(C)

C 15 A1 5
6

6

(D)

A1 0 A 5 C 15
6

4

2

7.以抛物线 y

2

? 20 x

的焦点为圆心,且与双曲 (

x

2

?

y

2

?1

16

9

线的两斩近线都

相切的圆的方程为 ( C )
? y ? y
2

)

(A) x 2 (C) x 2

? 20 x ? 64 ? 0 ? 10 x ? 16 ? 0

(B) x 2 (D) x 2

? y ? y

2

? 20 x ? 36 ? 0 ? 10 x ? 9 ? 0

2

2

8.设 x,y

?2 x ? y ? 4 ? 满足 ? x ? y ? 1 ?x ? 2 y ? 2 ?

,则 z=x+y:

(

)

A.有最小值 2,最大值 3 C.有最大值 3,无最小值
? 9.在△ A B C 中, A B C ? 60
?

B.有最小值 2,无最大值 D.既无最小值,也无最大值
? 2

,A B



BC ? 6

, B C 上任取一点 D , 在 使△ A B D

为钝角三角形的概率为 (A)
1 6

( ( B)
1 3

) (C)
1 2

(D)

2 3

10.把已知正整数 n 表示为若干个正整数(至少 3 个,且可以相等)之和的形式, ..... 若这几个正整数可以按一定顺序构成等差数列,则称这些数为 n 的一个等差 分拆.将这些正整数的不同排列视为相同的分拆.如: (1,4,7)与(7,4, 1)为 12 的相同等差分拆.问正整数 24 的不同等差分拆的个数是( (A)13 (B)8 (C)10 (D)14 ) .

第 II 卷(共 100 分) 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分)

11.平面向量 a 与 b 的夹角为 6 0 ,a=(2,0),| b |=1 则| a+2b |=
0

12.已知某几何体的三视图如下,则该几何体的表面积是________。

13. 若 点 P ( 1 , 1 为 圆 ( x ? 3 ) ? y ? 9 的 弦 MN 的 中 点 , 则 弦 MN 所 在 直 线 方 程 )
2 2


?



14.已知 a ?

?

2 0

(sin x ? cos x ) dx ,则二项式 ( a

x ?

1 x

) 的展开式中含 x 项的系数
6

2





15.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1) ,此时圆上一点 P 的位置在(0,0) ,圆在 x 轴上沿正向滚动。当圆滚动到圆心位于(2,1)时, ______________。 的坐标为

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ( )
16.(本题满分 13 分)已知向量 a ? ( s in x , ? 1) , b ? ( 3 c o s x , ?
? ? ? f ( x) ? (a ? b ) ? a ? 2 .

?

?

1 2

) ,函数

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期 T ; (Ⅱ)已知 a , b , c 分别为 ? A B C 内角 A , B , C 的对边,其中 A 为锐角,
a ? 2 3 , c ? 4 ,且 f ( A ) ? 1 ,求 A , b 和 ? A B C 的面积 S .

17. (本小题满分 13 分)已知等比数列 ?a n ? 满足 2 a 1 ? a 3 ? 3 a 2 ,且 a 3 ? 2 是 a 2 , a 4

的等差中项. (Ⅰ)求数列 ?a n ? 的通项公式; (Ⅱ)若 b n ? a n ? l o g 2 整数 n 的最小值.
1 an
n ?1 , S n ? b 1 ? b 2 ? ? ? ? ? b n ,求使 S n ? 2 ? 4 7 < 0 成立的正

18. (本小题满分 13 分) 某食品厂为了检查甲乙两条自动包装流水线的生产情况,随即在这两条流水线上各抽取 ,重量值落在 ( 4 9 5 , 5 1 0 ] 的产品为合格品, 40 件产品作为样本称出它们的重量(单位:克) 否则为不合格品.图 1 是甲流水线样本的频率分布直方图,表 1 是乙流水线样本频数分布表.

(Ⅰ) 若以频率作为概率,试估计从甲流水线上任取 5 件产品,求其中合格品的件数 X 的数 .. 学期望; (Ⅱ)从乙流水线样本的不合格品中任意取 2 件,求其中超过合格品重量的件数 Y 的分布 . .... 列及期望;

19.(本小题满分 13 分) 如图在四棱锥 P ? A B C D 中, P A 丄平面 A B C D , A C 丄 A D ,
A B 丄 B C , ? BAC ? 45 , P A = A D = 2 , A C =1 .
0

(Ⅰ)证明 P C 丄 A D ; (Ⅱ)求二面角 A ? P C ? D 的正弦值; (Ⅲ)设 E 为棱 P A 上的点,满足异面直线 BE 与 CD 所成的角为 3 0 ,求 AE 的长.
0

20.已知椭圆 G :

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 )的离心率 e ?

1 2

,且经过点 P (1, ) .
2

3

(Ⅰ)求椭圆 G 的方程; (Ⅱ)设直线 l : y ?
1 2 x ? m 与椭圆 G 交于 A 、 两点, 线段 A B 的垂直平分线交 x 轴于点 T , B

当 m 变化时,求 ? TAB 面积的最大值.

21(本题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ?
1 2 a x ? ( 2 a ? 1) x ? 2 ln x ( a ? R ) .
2

(Ⅰ)若曲线 y ? f ( x ) 在 x ? 1 和 x ? 3 处的切线互相平行,求 a 的值; (Ⅱ)求 f ( x ) 的单调区间;
2 (Ⅲ)设 g ( x ) ? x ? 2 x ,若对任意 x 1 ? ( 0 , 2 ] ,均存在 x 2 ? ( 0 , 2 ] ,使得 f ( x 1 ) ? g ( x 2 ) ,求

a

的取值范围.

11、 13、

2

3

12、36+ 6 2
0

2 x ? y ? 1?

14、-192

15、 ? 2 ? sin 2 ,1 ? cos 2 ?

三、本大题共 5 小题,满分 72 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16. (本题满分 13 分)
解: (Ⅰ) f ( x ) ? ( a ? b ) ? a ? 2 ? a ? a ? b ? 2
? s in
2

?

?

?

?2

? ?

x ?1?

3 s in x c o s x ?

1 2

?2

?

1 ? cos 2 x 2

?

3 2

s in 2 x ?

1 2

?

3 2

s in 2 x ?

1 2

cos 2 x

? s in ( 2 x ?

?
6

) …………………………………….…………………………5 分 2? 2 ? ? ……………………………….………………………7 分

因为 ? ? 2 ,所以 T ? (Ⅱ) f ( A ) ? s in ( 2 A ?

?
6

) ?1.

(Ⅰ) 设等比数列 ?a n ? 的首项为 a 1 ,公比为 q ,
? a 1 ( 2 ? q ) ? 3 a 1 q , (1 ) ? 2 a1 ? a 3 ? 3a 2 , 依题意,有 ? 即? 3 2 ? a 2 ? a 4 ? 2 ( a 3 ? 2 ). ?a1 (q ? q ) ? 2 a1q ? 4. (2)
2
2 由 (1 ) 得 q ? 3 q ? 2 ? 0 ,解得 q ? 1 或 q ? 2 .

当 q ? 1 时,不合题意舍; 当 q ? 2 时,代入(2)得 a 1 ? 2 ,所以, a n ? 2 ? 2 (Ⅱ) b n ? a n ? lo g 2
1 an ? 2 ? lo g 2
n

n ?1

? 2

n

.

……………….……6 分 ……………….…………7 分

1 2
n

? 2 -n.
n

n 2 3 所以 S n ? 2 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? 2 ? n

? ( 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ) ? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n )
2 3 n

?

2 (1 ? 2 )
n

1? 2

?

n (1 ? n ) 2

? 2

n ?1

? 2 ?

1 2

n ?

1 2

n

2

……………….………10 分
n ?1

n ?1 n ?1 ? 47 ? 0 ,所以 2 因为 S n ? 2 ? 2 ?

1 2

n ?

1 2

n

2

? 2

? 47 ? 0 ,

即 n ? n ? 9 0 ? 0 ,解得 n ? 9 或 n ? ? 1 0 .
2

……………….…………………………12 分

? n ?1 因为 n ? N ,故使 S n ? 2 ? 4 7 < 0 成立的正整数 n 的最小值为 10 . …………….13 分

18(本题满分 13 分)
解: (Ⅰ)由图1知,甲样本中合格品数为 ( 0 .0 6 ? 0 .0 9 ? 0 .0 3) ? 5 ? 4 0 ? 3 6 ,

则 Y 的取值为 0 ,1 , 2 ;且 P ( Y ? k ) ?
1 3 8 15

C 4 ?C 6 C 10
2

k

2?k

( k ? 0 ,1, 2 ) ,于是有:

P (Y ? 0 ) ?

,

P ( Y ? 1) ?

, P (Y ? 2 ) ?

2 15

∴ Y 的分布列为

Y
P

0
1 3

1
8 15

2
2 15

…………………………11 分

EY=0 ?

1 3

? 1?

8 15

? 2?

2 15

?

4 5

…………………………13 分

19.(本题满分 13 分)
解:解:(1)以 A D , A C , A P 为 x , y , z 正半轴方向,建立空间直角左边系 A ? x y z
???? ???? ??? ?

???? ? ???? ? A D ?n c o s ? A D , n ? ? ???? ? ? AD n

6 6

???? ? ? s in ? A D , n ? ?

30 6

得:二面角 A ? P C ? D 的正弦值为

30 6

(3)设 A E ? h ? [ 0 , 2 ] ;则 A E ? ( 0 , 0 , 2 ) , B E ? ( , ?
??? ???? ? ??? ???? ? B E ?C D c o s ? B E , C D ? ? ??? ???? ? ? BE CD

????

??? ?

1

1 2

???? , h ), C D ? ( 2 , ? 1, 0 )
10 10
10 10

2
3 10 ? 20h
2

?

3 2

? h ?

即 AE ?

(20). (本题满分 14 分)
2 ? b 1 2 ?e ? 1 ? 2 ? ? ? a 2 ,解得 ? a ? 4 ————2 分 解: (Ⅰ)由已知 ? ? 2 ?b ? 3 9 ? ? 1 ? ?1 2 2 ?a 4b ?

? 椭圆 G 的方程为:

x

2

?

y

2

? 1 .————4 分

4
2 2

3

?x y ? ?1 ? ? 4 3 2 2 (Ⅱ) ? 消去 y 得: x ? m x ? m ? 3 ? 0 ,————5 分 ?y ? 1 x? m ? ? 2
Q

椭圆与直线有两个不同的交点,? ? ? 0 ,即 m ? 4 ,————6 分
2

设 A ( x 1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) , A B 的中点 M ( x 0 , y 0 )
? x1 ? x 2 ? ? m , , x1 x 2 ? m
2

?3,

| A B |?

1? k

2

( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 ?

5 2

12 ? 3m

2

x0 ?

x1 ? x 2 2

? ?

m 2

, y0 ?

1 2

x0 ? m ?

3 4

m ,? M ( ?

m 2

,

3 4

m ) ————8 分 m 8

设 T ( t , 0 ) , ? M T ? A B ,? K A T K A B ? ? 1 ,解得 t ? ?
m 8
3 8 5

,————10 分

? T (?

, 0) , M T ?

| m |,

S VTAB ?

1 2

| A B | ? | M T |?

15 32

? 3(m

2

? 2 ) ? 1 2 ,?
2

0 ? m

2

? 4 ————12 分

?

2 当 m ? 2 即 m ? ? 2 时, V T A B 面积最大为

15 16

3

————14 分

(21) (本题满分 14 分) 解: f ? ( x ) ? a x ? ( 2 a ? 1) ?
2 x
( x ? 0)

.

………………2 分

(Ⅰ) f ? (1) ? f ? (3 ) ,解得 a ? (Ⅱ) f ? ( x ) ?
( a x ? 1)( x ? 2 ) x

2 3

.

………………3 分

( x ? 0) .

………………5 分

①当 a ? 0 时, x ? 0 , a x ? 1 ? 0 ,

在 区间 ( 0 , ) 和 ( 2 , ? ? ) 上, f ? ( x ) ? 0 ;在区间 (
a 1 a 1 1 a 1 a , 2) . , 2 ) 上 f ?( x ) ? 0 ,

故 f ( x ) 的单调递增区间是 ( 0 , ) 和 ( 2 , ? ? ) ,单调递减区间是 ( (Ⅲ)由已知,在 ( 0 , 2 ] 上有 f ( x ) m a x ? g ( x ) m a x . 由已知, g ( x ) m a x ? 0 ,由(Ⅱ)可知, ①当 a ?
1 2

………9 分

………………10 分

时, f ( x ) 在 ( 0 , 2 ] 上单调递增,

故 f ( x ) m a x ? f ( 2 ) ? 2 a ? 2 ( 2 a ? 1) ? 2 ln 2 ? ? 2 a ? 2 ? 2 ln 2 , 所以, ? 2 a ? 2 ? 2 ln 2 ? 0 ,解得 a ? ln 2 ? 1 ,故 ln 2 ? 1 ? a ?
1 2 1 a 1 a 1 2a 1 e ? ? 1 , 2 ln a ? ? 2 , ? 2 ln a ? 2 , ? 2 ln a . 1 a 1 2

. ……………11 分

②当 a ?

时, f ( x ) 在 ( 0 , ] 上单调递增,在 [

, 2 ] 上单调递减,

故 f ( x ) m ax ? f ( ) ? ? 2 ? 由a ?
1 2

可知 ln a ? ln

1 2

? ln

所以, ? 2 ? 2 ln a ? 0 , f ( x ) m a x ? 0 , 综上所述, a ? ln 2 ? 1 .

………………13 分 ………………14 分


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