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2013文科高考圆锥曲线和真题

圆锥曲线方程
一、椭圆方程. 1. 椭圆方程的第一定义:
PF1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 方程为椭圆, PF1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 无轨迹, PF1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 以F 1, F 2为端点的线段

⑴①椭圆的标准方程: i.
2 2 中心在原点,焦点在 x 轴上: x ? y ? 1(a ? b ? 0) . 2 2

a

b

ii.

2 2 ii. 中心在原点,焦点在 y 轴上: y ? x ? 1(a ? b ? 0) . 2 2

a

b

②一般方程: Ax2 ? By 2 ? 1( A ? 0, B ? 0) .⑵①顶点: (? a,0)(0,?b) 或 (0,? a )(?b,0) .②轴:对称轴:x 轴,

y 轴;长轴长 2a ,短轴长 2b .③焦点: (?c,0)(c,0) 或 (0,?c)(0, c) .④焦距:
F 1F 2 ? 2c, c ? a 2 ?b 2 .⑤准线: x ? ?
a2 a2 c 或y?? .⑥离心率: e ? (0 ? e ? 1) . c c a
2b 2 a2 ( ? c,

⑧通径:垂直于 x 轴且过焦点的弦叫做通经.坐标: d ? 二、双曲线方程. 1. 双曲线的第一定义:
PF 1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 方程为双曲线 PF 1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 无轨迹

b2 b2 ) 和 (c, ) a a

PF 1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 以F 1, F 2 的一个端点的一条射线

⑴①双曲线标准方程:

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a, b ? 0),

y2 a2

?

x2 b2

? 1(a, b ? 0) . 一般方程:

Ax2 ?Cy 2 ? 1( AC ? 0) .
⑵①i. 焦点在 x 轴上: 顶点: (a,0), (?a,0) 焦点: (c,0), (?c,0) 准线方程 x ? ?

a2 x y 渐近线方程: ? ? 0 或 c a b

x2 a2

?

y2 b2

?0

②轴 x, y 为对称轴,实轴长为 2a, 虚轴长为 2b,焦距 2c. ③离心率 e ?

2b 2 c . ④通径 . ⑤参数关系 a a

c 2 ?a 2 ?b 2 , e ?

x2 y2 c . ⑥焦点半径公式:对于双曲线方程 2 ? 2 ? 1 ( F 1, F 2 分别为双曲线的左、右焦 a a b

点或分别为双曲线的上下焦点)

2 2 2 ⑶等轴双曲线:双曲线 x ? y ? ?a 称为等轴双曲线,其渐近线方程为 y ? ? x ,离心率 e ? 2 .

三、抛物线方程. 3. 设 p ? 0 ,抛物线的标准方程、类型及其几何性质:
y 2 ? 2 px
y 2 ? ?2 px


x 2 ? 2 py
y


x 2 ? ?2 py


图形



y

y

y

x O

x O

x O

x O

焦点

F(

p ,0) 2 p 2

F (?

p ,0) 2

F (0,

p ) 2 p 2

F (0,? p 2

p ) 2

准线

x??

x?

p 2

y??

y?

范围 对称轴 顶点 离心率 焦点

x ? 0, y ? R

x ? 0, y ? R

x ? R, y ? 0

x ? R, y ? 0

x轴
(0,0)

y轴

e ?1
PF ? p ? x1 2 PF ? p ? x1 2 PF ? p ? y1 2 PF ? p ? y1 2

注:通径为 2p,这是过焦点的所有弦中最短的. 四、圆锥曲线的统一定义 .. :椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质 椭圆 定义 1.到两定点 F1,F2 的距离之 和为定值 2a(2a>|F1F2|)的 点的轨迹 双曲线 1.到两定点 F1,F2 的距离 之差的绝对值为定值 2a(0<2a<|F1F2|)的点的轨 迹 2.与定点和直线的距离之 比为定值 e 的点的轨迹. (0<e<1) 图形 2.与定点和直线的距离之 比为定值 e 的点的轨迹. (e>1) 与定点和直线的距离相等的点 的轨迹. 抛物线

标准方 方 程

x2 y2 ? ?1 a2 b2 ( a ? b >0)

x2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0) a2 b2

y2=2px

程 范围 中心 顶点 对称轴 ─a?x?a,─b?y?b 原点 O(0,0) (a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b) x 轴,y 轴; 长轴长 2a,短轴长 2b 焦点 F1(c,0), F2(─c,0) |x| ? a,y?R 原点 O(0,0) (a,0), (─a,0) (0,0) x?0

x 轴,y 轴; 实轴长 2a, 虚轴长 2b. F1(c,0), F2(─c,0)

x轴

p F ( ,0 ) 2
) e=1

焦距 离心率

2c (c=

a 2 ? b2



2c (c=

a 2 ? b2
c (e ? 1) a

e?

c (0 ? e ? 1) a

e?

准线

a2 x= ? c

a2 x= ? c
y=±

x??

p 2

渐近线

b a

x

焦半径

r ? a ? ex

r ? ?(ex ? a)

r ? x?

p 2

通径

2b 2 a

2b 2 a

2p

一、选择题 (2013 年高考湖北卷(文))已知 0 ? ? ?

x2 y2 π ,则双曲线 C1 : 2 ? ? 1 与 C2 : 4 sin ? cos2 ?

y2 x2 ? ?1的 cos2 ? sin 2 ?

( B.虚轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等



A.实轴长相等
【答案】D

1 .(2013 年高考四川卷(文))从椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上一点 P 向 x 轴作垂线, a 2 b2
( D. )

垂足恰为左焦点 F1 , A 是椭圆与 x 轴正半轴的交点, B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点, 且 AB / / OP ( O 是坐标原点),则该椭圆的离心率是 A.

2 4

B.

1 2

C.

2 2

3 2

【答案】C 2 .(2013 年高考课标Ⅱ卷(文))设抛物线 C:y 4x 的焦点为 F,直线 L 过 F 且与 C 交于
2=

A, B 两点.若|AF|=3|BF|,则 L 的方程为 A.y=x-1 或 y=-x+1 C.y= 3(x-1)或 y=- 3(x-1)
【答案】C 3 .(2013 年高考课标Ⅰ卷(文)) O 为坐标原点, F 为抛物线 C : y ? 4 2 x 的焦点, P
2

( B.y=



3 3
2 2

(X-1)或 y=-

3 3

(x-1)

D.y= (x-1)或 y=- (x-1)

2 2

为 C 上一点,若 | PF |? 4 2 ,则 ?POF 的面积为 A. 2
【答案】C

( D. 4



B. 2 2

C. 2 3

x2 y 2 4 .(2013 年高考课标Ⅰ卷(文))已知双曲线 C : 2 ? 2 ? 1 ( a ? 0, b ? 0) 的离心率为 a b 5 ,则 C 的渐近线方程为 2
A. y ? ?
【答案】C 5 .( 2013 年高考福建卷(文))双曲线 x
2





1 x 4

B. y ? ? x

1 3

C. y ? ?

1 x 2

D. y ? ? x

? y 2 ? 1 的顶点到其渐近线的距离等于
C.1 D. 2





A.

1 2

B.

2 2

【答案】B 6 .(2013 年高考广东卷(文))已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F (1, 0) ,离心率等



1 ,则 C 的方程是 2





A.

x2 y2 ? ?1 3 4

B.

x2 y2 ? ?1 4 3

C.

x2 y2 ? ?1 4 2

D.

x2 y2 ? ?1 4 3

【答案】D 7 .(2013 年高考四川卷(文))抛物线 y
2

? 8x 的焦点到直线 x ? 3 y ? 0 的距离是
C. 3 D. 1





A. 2 3
【答案】D

B. 2

8 .(2013 年高考课标Ⅱ卷(文))设椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别 a 2 b2 C 的离心率为 为 F1 , F2 , P 是 C 上的点 PF2 ? F 1F 2 , ?PF 1F 2 ? 30? ,则
A.





3 6

B.

1 3

C.

1 2

D.

3 3

【答案】D 9.(2013 年高考大纲卷(文))已知

F1 ? ?1,0? , F2 ?1,0? 是椭圆C的两个焦点, 过F2且垂直于x轴的直线交于
A、B两点, 且 AB ? 3, 则 C 的方程为
A. ( C. )

x2 ? y2 ? 1 2

B.

x2 y 2 ? ?1 3 2

x2 y 2 ? ?1 4 3

D.

x2 y 2 ? ?1 5 4

【答案】C 10.(2013 年高考辽宁卷(文))已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F a 2 b2 F , C与过原点的直线相交于 A, B 两点,连接了 AF , BF ,若 4 AB ? 10, B F ? 8, cos ? ABF ? ,则 C 的离心率为 5
3 5
B.





A.

5 7

C.

4 5

D.

6 7

【答案】B 11.(2013 年高考重庆卷(文))设双曲线 C 的中心为点 O ,若有且只有一对相较于点 O 、

所成的角为 60 0 的直线 A1B1 和 A2 B2 ,使 A 1、 B 1 和 A2 、 B2 分别 1B 1 ? A 2 B2 ,其中 A 是这对直线与双曲线 C 的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是 zhangwlx A. ( ( )

2 3 , 2] 3

B. [

2 3 , 2) 3

C. (

2 3 , ??) 3

D. [

2 3 , ??) 3

【答案】A 12.(2013 年高考大纲卷(文))已知抛物线 C : y

? 8x 与点 M ? ?2,2? ,过 C 的焦点且 ???? ???? 斜率为 k 的直线与 C 交于 A, B 两点,若 MA?MB ? 0 ,则 k ?
2





A.

1 2

B.

2 2

C. 2

D. 2

【答案】D 13.(2013 年高考北京卷(文))双曲线 x
2

?

y2 ? 1 的离心率大于 2 的充分必要条件是 m
C. m ? 1 D. m ? 2





A. m ?

1 2

B. m ? 1

【答案】C

x2 ny 2 ? ? 1 围成的区域(含边界)为 14.(2013 年上海高考数学试题(文科))记椭圆 4 4n ? 1 ?n ? n ? 1,2,?? ,当点 ? x, y ? 分别在 ?1 , ?2 ,? 上时, x ? y 的最大值分别是

M1 , M 2 ,? ,则 lim M n ?
n ??





A.0
【答案】D

B.

1 4

C.2

D. 2 2

15.(2013 年高考安徽(文))直线 x ? 2 y ? 5 ?

5 ? 0 被圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 0 截得的
( )

弦长为 A.1
【答案】C 16.(2013 年高考江西卷(文))已知点 A(2,0),抛物线 C:x =4y 的焦点为 F,射线 FA 与
2

B.2

C .4

D. 4 6

抛物线 C 相交于点 M,与其准线相交于点 N,则|FM|:|MN|= A.2: 5
【答案】C

( D.1:3



B.1:2

C.1: 5

17.(2013 年高考山东卷(文))抛物线

的焦点与双曲线 于第一象限的点 M,若 在点 M 处的切线平行 ( C. D. )

的右焦点的连线交 于 A.
【答案】D

的一条渐近线,则 B.

=

x 2 18.(2013 年高考浙江卷(文))如图 F1.F2 是椭圆 C1: +y =1 与双曲线 C2 的公共焦点 4 A.B 分别是 C1.C2 在第二.四象限的公共点,若四边形 AF1BF2 为矩形,则 C2 的离心率 是

2





(第 9 题图) ( A. 2
【答案】 二、填空题 19.(2013 年高考湖南(文))设 F1,F2 是双曲线 C,



B. 3 D.

C.

3 2

D.

6 2

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的两个焦点. a 2 b2 若在 C 上存在一点 P.使 PF1⊥PF2,且∠PF1F2=30°,则 C 的离心率为____ 3 ? 1
_______.
【答案】

3 ?1
x2 y 2 ? ? 1 的离心率为________. 16 9

20.(2013 年高考陕西卷(文))双曲线

【答案】

5 4

21.(2013 年高考辽宁卷(文))已知 F 为双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1的左焦点, P, Q 为 C 上 9 16 的点,若 PQ 的长等于虚轴长的 2 倍,点 A?5,0? 在线段 PQ 上,则 ?PQF 的周长为
____________.
【答案】44

22.(2013 年上海高考数学试题(文科))设 AB 是椭圆 ? 的长轴,点 C 在 ? 上,且

?CBA ?

π .若 AB ? 4 , BC ? 2 ,则 ? 的两个焦点之间的距离为_______. 4

【答案】

4 6 3
2

23.(2013 年高考北京卷(文))若抛物线 y

? 2 px 的焦点坐标为(1,0)则 p =____;准线

方程为_____.
【答案】2, x ? ?1

x2 y2 24.(2013 年高考福建卷(文))椭圆 ? : 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 a b F1 , F2 ,焦距为 2c .若直线y?3(x?c)与椭圆 ? 的一个交点 M 满足 ?MF1 F2 ? 2?MF2 F1 ,则该
椭圆的离心率等于__________
【答案】

3 ?1

25.(2013 年高考天津卷(文))已知抛物线 y 2 ? 8 x 的准线过双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一个焦点, 且双曲线的离心率为 2, 则该双曲线的方程为 a 2 b2

______.
【答案】 x 三、解答题 26.(2013 年高考浙江卷(文))已知抛物线 C 的顶点为 O(0,0),焦点 F(0,1)
2

?

y2 ?1 3

(Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ) 过点 F 作直线交抛物线 C 于 A.B 两点.若直线 AO.BO 分别交直线 l:y=x-2 于 M.N 两点, 求|MN|的最小值.

27.(2013 年高考山东卷(文))在平面直角坐标系

中,已知椭圆 C 的中心在原点 O,

焦点在

轴上,短轴长为 2,离心率为

(I)求椭圆 C 的方程 (II)A,B 为椭圆 C 上满足 线 OE 交椭圆 C 与点 P,设 的面积为 的任意两点,E 为线段 AB 的中点,射

,求实数 的值.

28.(2013 年高考广东卷(文))已知抛物线 C 的顶点为原点,其焦点 F

?0, c??c ? 0? 到

直线 l : x ? y ? 2 ? 0 的距离为

3 2 .设 P 为直线 l 上的点,过点 P 作抛物线 C 的两条 2

切线 PA, PB ,其中 A, B 为切点. (1) 求抛物线 C 的方程; (2) 当点 P ? x0 , y0 ? 为直线 l 上的定点时,求直线 AB 的方程; (3) 当点 P 在直线 l 上移动时,求 AF ? BF 的最小值.
29.(2013 年上海高考数学试题(文科))本题共有 3 个小题.第 1 小题满分 3 分,第 2 小

题满分 6 分,第 3 小题满分 9 分.

x2 ? y 2 ? 1,曲线 C2 : | y |?| x | ?1 . P 是平面内一点,若存 2 在过点 P 的直线与 C1 、 C2 都有公共点 ,则称 P 为“ C1 ? C2 型点”.
如图,已知双曲线 C1 : (1)在正确证明 C1 的左焦点是“ C1 ? C2 型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试 写出一条这样的直线的方程(不要求验证); (2)设直线 y ? kx 与 C2 有公共点,求证 | k |? 1 ,进而证明原点不是“ C1 ? C2 型点; (3)求证:圆 x 2 ? y 2 ?

1 内的点都不是“ C1 ? C2 型点”. 2

30.(2013 年高考福建卷(文))如图,在抛物线 E :

y 2 ? 4 x 的焦点为 F ,准线 l 与 x 轴的

交点为 A .点 C 在抛物线 E 上,以 C 为圆心 OC 为半径作圆,设圆 C 与准线 l 的交于 不同的两点 M , N . (1)若点 C 的纵坐标为 2,求 MN ; (2)若 AF ? AM ? AN ,求圆 C 的半径.
2

31.(2013 年高考北京卷(文))直线 y ? kx ? m ( m ? 0 ) W :

x2 ? y 2 ? 1 相交于 A , C 4

两点, O 是坐标原点 (1)当点 B 的坐标为 (0,1) ,且四边形 OABC 为菱形时,求 AC 的长. (2)当点 B 在 W 上且不是 W 的顶点时,证明四边形 OABC 不可能为菱形.
32.(2013 年高考课标Ⅰ卷(文))已知圆 M

: ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1 ,圆 N : ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 9 ,

动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切,圆心 P 的轨迹为曲线 C . (Ⅰ)求 C 的方程;

(Ⅱ) l 是与圆 P ,圆 M 都相切的一条直线, l 与曲线 C 交于 A , B 两点,当圆 P 的半 径最长是,求 | AB | .
33.(2013 年高考陕西卷(文))已知动点 M(x,y)到直线 l:x = 4 的距离是它到点

N(1,0)的距离的 2 倍.
(Ⅰ) 求动点 M 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ) 过点 P(0,3)的直线 m 与轨迹 C 交于 A, B 两点. 若 A 是 PB 的中点, 求直线 m 的斜率.
34.(2013 年高考大纲卷(文))已知双曲线

C:

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ?的左、右焦点分别为F1,F2, 离心率为 3, 直线 a 2 b2 y ? 2与C的两个交点间的距离为 6.

(I)求 a, b; ; (II) 设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点,且 AF 1 ? BF 1 ,
35.(2013 年高考天津卷(文))设椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F, 离心率为 a 2 b2 3 4 3 , 过点 F 且与 x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 . 3 3

(Ⅰ) 求椭圆的方程; (Ⅱ) 设 A, B 分别为椭圆的左右顶点, 过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C, D 两点. 若 AC· DB ? AD· CB ? 8 , 求 k 的值.
36.(2013 年高考辽宁卷(文))如图,抛物线 C1 : x
2

???? ??? ?

???? ??? ?

? 4 y, C2 : x2 ? ?2 py ? p ? 0? ,点

M ? x0 , y0 ? 在抛物线 C2 上,过 M 作 C1 的切线,切点为 A, B ( M 为原点 O 时, A, B 重
合于 O ) x0 ? 1 ? 2 ,切线 MA. 的斜率为 (I)求 p 的值; (II)当 M 在 C2 上运动时,求线段 AB 中点 N 的轨迹方程.

1 . 2

? A, B重合于O时,中点为O?.

37.(2013 年高考课标Ⅱ卷(文))在平面直角坐标系 xOy 中,己知圆 P 在 x 轴上截得线

段长为 2 2,在 Y 轴上截得线段长为 2 3. (Ⅰ)求圆心 P 的轨迹方程; (Ⅱ)若 P 点到直线 y=x 的距离为 ,求圆 P 的方程.

38.(2013 年高考湖北卷(文))如图,已知椭圆 C1 与 C2 的中心在坐标原点 O ,长轴均为
MN 且在 x 轴上,短轴长分别为 2 m , 2n (m ? n) ,过原点且不与 x 轴重合的直线 l 与 C1 ,

C2 的四个交点按纵坐标从

大到小依次为 A,B,C,D.记 ? ?

m ,△ BDM 和△ ABN 的面积分别为 S1 和 S2 . n

(Ⅰ)当直线 l 与 y 轴重合时,若 S1 ? ? S2 ,求 ? 的值; (Ⅱ)当 ? 变化时,是否存在与坐标轴不重合 的直线 l,使得 S1 ? ? S2 ?并说明理由.
y A B

M
C

O

N x

D

第 22 题图
39.(2013 年高考重庆卷(文))(本小题满分 12 分,(Ⅰ)小问 4 分,(Ⅱ)小问 8 分)

如题(21)图,椭圆的中心为原点 O ,长轴在 x 轴上,离心率 e ? 轴的垂线交椭圆于 A 、 A? 两点, AA? ? 4 .

2 ,过左焦点 F1 作 x 2

(Ⅰ)求该椭圆的标准方程;zhangwlx (Ⅱ)取平行于 y 轴的直线与椭圆相较于不同的两点 P 、 P? ,过 P 、 P? 作圆心为 Q 的圆,使椭圆上的其余点均在圆 Q 外.求 ?PP?Q 的面积 S 的最大值,并写出对应的 圆 Q 的标准方程.

40.(2013 年高考湖南(文))已知 F1 , F2 分别是椭圆 E :

x2 ? y 2 ? 1 的左、右焦点 F1 , 5

F2 关于直线 x ? y ? 2 ? 0 的对称点是圆 C 的一条直径的两个端点.
(Ⅰ)求圆 C 的方程; (Ⅱ)设过点 F2 的直线 l 被椭圆 E 和圆 C 所截得的弦长分别为 a , b .当 ab 最大时, 求直线 l 的方程.


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