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广东省惠州市2012-2013学年高一数学下学期基础测试及期末考试试题(含解析)新人教A版


2012-2013 学年广东省惠州市高一(下)期末数学试卷
一、选择题(本大题共 9 小题,每小题 5 分,共 45 分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题 目要求的. ) 1. (5 分)已知{an}为等比数列,a1=1,a4=8,则{an}的公比 q 等于( ) A.±2 B.2 C. D. 考点: 等比数列的性质. 3 分析: 结合题意由等比数列的通项公式可得 8=1×q ,由此求得 q 的值. 3 解答: 解:等比数列{an}中,a1=1,a4=8,设公比等于 q,则有 8=1×q ,∴q=2, 故选:B. . 点评: 本题主要考查等比数列的定义和性质,等比数列的通项公式,属于基础题. 2. (5 分)已知直线 a∥平面 α ,直线 b? 平面 α ,则( ) A.a∥b B.a 与 b 异面 C.a 与 b 相交

D.a 与 b 无公共点

考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 阅读型. 分析: 根据空间直线与平面平行的定义,判断直线与平面内的直线有平行与异面两种位置关系,从而判定 答案. 解答: 解:∵a∥平面 α ,b? α ,∴直线 a 与直线 b 的位置关系是:a∥b 或 a 与 b 异面, ∴选项 A、B、C 错误,D 正确. 故选 D. 点评: 本题考查空间直线与平面之间的位置关系. 3. (5 分)如图所示的空心圆柱体的正视图是( )

A.

B.

C.

D.

考点: 简单空间图形的三视图. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 空心圆柱体的主视图是矩形,且有两条竖着的虚线. 解答: 解:从正面看,外面是一个矩形,且其中有两条竖画的虚线. 故选 C. 点评: 本题考查实物体的三视图.在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来,看得见的轮廓线
1

都画成实线,看不见的画成虚线,不能漏掉. 4. (5 分)正方体各棱长为 1,它的表面积与体积的数值之比为( A.1:6 B.6:1 C.4:1 ) D.1:4

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积. 专题: 计算题. 分析: 利用正方体表面积、体积公式分别求出表面积与体积的数值,再做比值即可. 解答: 解:正方体各棱长为 1,它的表面积为 6×1×1=6 体积为 1×1×1=1,表面积与体积的数值之比 6:1 故选 B 点评: 本题考查了正方体表面积、体积的基本计算,是基础题. 5. (5 分)在直角坐标系中,直线 A. B. 的倾斜角为( C. ) D.

考点: 直线的点斜式方程;直线的倾斜角. 专题: 计算题. 分析: 由于直线 的斜率 k= 可利用直线的倾斜角与斜率的关系再结合倾斜角的范围即可 得解. 解答: 解:设直线 的倾斜角为 α ∵直线 ∴斜率 k= =tanα 又∵α ∈[0,π ) ∴α = 故选 A 点评: 本题主要考察了利用直线的倾斜角求斜率,属常考题,有一定难度.解题的关键是会根据直线方程 求斜率然后能根据斜率与倾斜角的关系(k=tanα )再结合倾斜角的范围(α ∈[0,π ) )能求出 α 的值! 6. (5 分)不等式﹣x +3x+4>0 的解集为( ) A.(﹣1,4) B.(﹣∞, ﹣1) ∪ (4, +∞) C.(﹣4,1)
2

D.(﹣∞, ﹣4) ∪ (1, +∞)

考点: 一元二次不等式的解法. 专题: 计算题. 分析: 把原不等式两边同时乘以﹣1,把二次项系数化为正值,因式分解后可求得二次不等式的解集. 2 2 解答: 解:由﹣x +3x+4>0,得 x ﹣3x﹣4<0. 即(x+1) (x﹣4)<0,解得﹣1<x<4. 2 所以不等式﹣x +3x+4>0 的解集为(﹣1,4) . 故选 A. 点评: 本题考查了一元二次不等式的解法,考查了因式分解法,是基础题. 7. (5 分)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,a=4,b=4 A.30° B.30°或 150° C.60° ,A=30°,则角 B 等于( D.60°或 120° )

2

考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 由 A 的度数求出 sinA 的值,再由 a,b 的值,利用正弦定理求出 sinB 的值,由 B 为三角形的内角, 利用特殊角的三角函数值即可求出 B 的度数. 解答: 解:∵a=4,b=4 ,A=30°, ∴由正弦定理 = 得:sinB= = = ,

∵B 为三角形的内角,b>a, ∴B>A, 则 B=60°或 120°. 故选 D 点评: 此题考查了正弦定理,三角形的边角关系,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握正弦定理是解本题 的关键. 8. (5 分)如图的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,异面直线 A1B 与 B1C 所成的角是( )

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

考点: 异面直线及其所成的角. 专题: 计算题. 分析: 连接 A1D,根据正方体的几何特征及异面直线夹角的定义,我们可得∠BA1D 即为异面直线 A1B 与 B1C 所成的角,连接 BD 后,解三角形 BA1D 即可得到异面直线 A1B 与 B1C 所成的角. 解答: 解:连接 A1D,由正方体的几何特征可得:A1D∥B1C, 则∠BA1D 即为异面直线 A1B 与 B1C 所成的角, 连接 BD,易得: BD=A1D=A1B 故∠BA1D=60° 故选 C 点评: 本题考查的知识点是异面直线及其所成的角,其中根据正方体的几何特征及异面直线夹角的定义判 断出∠BA1D 即为异面直线 A1B 与 B1C 所成的角,是解答本题的关键. 9. (5 分)已知直线 l 过定点 P(﹣1,2) ,且与以 A(﹣2,﹣3) ,B(﹣4,5)为端点的线段有交点,则 直线 l 的斜率 k 的取值范围是( ) A.[﹣1,5] B.(﹣1,5) C.(﹣∞, ﹣1]∪[5, +∞) D.(﹣∞, ﹣1) ∪ (5, +∞) 考点: 直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系. 专题: 直线与圆.
3

分析: 先利用斜率公式求得直线 PA,PB 的斜率结合图象可得则直线 l 的斜率 k 的取值范围. 解答: 解:直线 PA 的斜率为 k1= =5,直线 PB 的斜率为 k2= =﹣1, 结合图象可得则直线 l 的斜率 k 的取值范围是 k2≤k≤k1, 即则直线 l 的斜率 k 的取值范围是[﹣1,5], 故选 A.

点评: 本题主要考查直线的斜率和倾斜角的关系,直线的斜率公式,体现了数形结合的数学思想,属于基 础题. 二、填空题: (本大题共 3 题,每小题 5 分,共 15 分.请将答案填写在横线上. ) 10. (5 分)点 A(2,1)到直线 x﹣y+1=0 的距离为 . 考点: 点到直线的距离公式. 专题: 计算题. 分析: 直接由点到直线的距离公式求点 A(2,1)到直线 x﹣y+1=0 的距离. 解答: 解: 由点到直线的距离公式, 得点 A (2, 1) 到直线 x﹣y+1=0 的距离 d= 故答案为 . 点评: 本题考查了点到直线的距离公式,解答的关键是熟记公式,是基础题.



11. (5 分)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,若 B=60°,a=1,S△ABC=

,则边 b=



考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 由三角形的面积公式表示出三角形 ABC 的面积,将已知面积及 a,sinB 的值代入求出 c 的值,再利 用余弦定理即可求出 b 的值. 解答: 解:∵B=60°,a=1,S△ABC= , ∴S△ABC= acsinB,即 解得:c=2,
4

c=



由余弦定理得:b =a +c ﹣2accosB=1+4﹣2=3, 解得:b= . 故答案为: 点评: 此题考查了正弦定理,三角形的面积公式,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握正弦定理是解本题 的关键. 12. (5 分)过两点 A(﹣2,4) ,B(﹣1,3)的直线斜截式方程为 y=﹣x+2 . 考点: 直线的两点式方程. 专题: 计算题. 分析: 利用直线的两点式可求得直线 AB 的方程,从而可得其斜截式方程. 解答: 解:∵A(﹣2,4) ,B(﹣1,3) , ∴直线 AB 的方程为: 即 =﹣1, = ,

2

2

2

∴y=﹣x+2. 即直线 AB 的斜截式方程为 y=﹣x+2. 故答案为:y=﹣x+2. 点评: 本题考查直线的两点式与斜截式方程,掌握公式是基础,属于基础题. 三、解答题: (本大题共 3 题,满分 40.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 13. (12 分)设{an}为等差数列,Sn 为数列{an}的前 n 项和,已知 a1=﹣2,S7=7, (1)求数列{an}的通项公式; (2)Tn 为数列 的前 n 项和,求 Tn.

考点: 数列的求和;等差数列的通项公式. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: (1)由{an}为等差数列,a1=﹣2,S7=7,可求得其公差,从而可得数列{an}的通项公式; (2)由(1)知 an=n﹣3,于是可求得 = ,利用等差数列的定义易证明数列{ }是等差数列,

其首项为﹣2,公差为 ,从而可求其前 n 项和 Tn. 解答: 解(1)设等差数列{an}的公差为 d,则 Sn=na1+ n(n﹣1)d,…(1 分) ∵S7=7, ∴7=7×(﹣2)+ d,解得 d=1…(3 分)

∴an=﹣2+(n﹣1)×1=n﹣3, ∴数列{an}的通项公式为 an=n﹣3…(6 分) (2) ∵ =a1+ (n﹣1)d=﹣2+ (n﹣1)= ﹣ = , ,…(8 分)

5

∴数列{

}是等差数列,其首项为﹣2,公差为 ,…(10 分) × = n ﹣ n.…(12 分)
2

∴Tn=n×(﹣2)+

点评: 本题考查等差数列的通项公式,考查等差关系的判定与等差数列的求和,属于中档题. 14. (14 分)如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中, (1)求证:直线 A1C1⊥面 BDD1B1; (2)若 AA1=2,求四棱锥 D1﹣ABCD 的体积.

考点: 直线与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 计算题;证明题;空间位置关系与距离. 分析: (1)根据正方体的性质,得到 BB1⊥平面 A1B1C1D1,从而 BB1⊥A1C1,结合正方形 A1B1C1D1 中 B1D1⊥A1C1, 利用线面垂直判定定理即可证出直线 A1C1⊥面 BDD1B1; (2)由 AA1=2 算出正方形 ABCD 的面积为 4,由 DD1⊥平面 ABCD 得到 DD1=2 为四棱锥 D1﹣ABCD 的高, 由此结合锥体的体积公式即可算出四棱锥 D1﹣ABCD 的体积. 解答: 解: (1)BB1⊥平面 A1B1C1D1,且 A1C1? 平面 A1B1C1D1,∴BB1⊥A1C1…(2 分) ∵四边形 A1B1C1D1 为正方形,∴B1D1⊥A1C1…(4 分) 又∵BB1? 平面 BDD1B1,B1D1? 平面 BDD1B1,BB1∩B1D1=B…(6 分) ∴直线 A1C1⊥面 BDD1B1;…(8 分) (2)∵AA1=2,可得正方形 ABCD 的边长等于 2, ∴正方形 ABCD 的面积 S=2×2=4…(10 分) ∵DD1⊥平面 ABCD,∴DD1 为四棱锥 D1﹣ABCD 的高…(12 分) ∴V = ×SABCD×DD1= ,

即四棱锥四棱锥 D1﹣ABCD 的体积为 .…(14 分)

点评: 本题在正方体中证明线面垂直,并求锥体的体积.着重考查了正方体的性质、线面垂直的判定与性 质和锥体体积的求法等知识,属于中档题.

6

15. (14 分)已知直线 l:kx﹣y+1+2k=0(k∈R) . (1)若直线 l 不经过第四象限,求 k 的取值范围; (2)若直线 l 交 x 轴负半轴于点 A,交 y 轴正半轴于点 B,O 为坐标原点,设△AOB 的面积为 S,求 S 的最 小值及此时直线 l 的方程. 考点: 恒过定点的直线;直线的斜率;直线的一般式方程. 专题: 计算题. 分析: (1) 可求得直线 l 的方程及直线 l 在 y 轴上的截距, 依题意, (2)依题意可求得 A(﹣

从而可解得 k 的取值范围;

,0) ,B(0,1+2k) ,S= (4k+ +4) ,利用基本不等式即可求得答案.

解答: 解: (1)直线 l 的方程可化为:y=kx+2k+1,则直线 l 在 y 轴上的截距为 2k+1, 要使直线 l 不经过第四象限,则 ,解得 k 的取值范围是:k≥0…(5 分) ,在 y 轴上的截距为 1+2k, <0 且 1+2k>0,

(2)依题意,直线 l 在 x 轴上的截距为:﹣ ∴A(﹣ ,0) ,B(0,1+2k) ,又﹣

∴k>0,故 S= |OA||OB|= ×

(1+2k)= (4k+ +4)≥ (4+4)=4,当且仅当 4k= ,即 k=

时取等号, 故 S 的最小值为 4,此时直线 l 的方程为 x﹣2y+4=0…(10 分) 点评: 本题考查恒过定点的直线,考查直线的一般式方程,考查直线的截距及三角形的面积,考查基本不 等式的应用,属于中档题. 四、期末考试部分包括一道选择题(满分 50 分) ,一道填空题(满分 50 分)和三道解答题(满分 50 分) , 解答题须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (4 分)直线 y=﹣ A.﹣3 与直线 3y﹣x﹣2=0 垂直,则 a 的值为 ( B.﹣6 C. ) D.6

考点: 直线的一般式方程与直线的垂直关系. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 利用两直线垂直斜率之积为﹣1,列出方程求出 m 的值. 解答: 解:直线 y=﹣ 的斜率为﹣ 直线 3y﹣x﹣2=0 的斜率为 ∵直线 y=﹣ ∴﹣ × =﹣1 解得:a=6 故选:D. 点评: 此题考查了两直线垂直的条件,属于基础题,要认真解答.
7

与直线 3y﹣x﹣2=0 垂直

17.已知等比数列{an}的各项均为正数,公比 q≠1,设 P>Q .



,则 P 与 Q 的大小关系是

考点: 基本不等式. 专题: 综合题. 分析: 根据数列{an}成等比数列,所以有 a5?a7=a3?a9,然后利用基本不等式得到 P 与 Q 的大小. 解答: 解:因为数列{an}成等比数列,所以有 a5?a7=a3?a9, 所以由基本不等式得 ,当且仅当 a3=a9,即 q=1 时等号成立,而

q≠1,所以等号不能成立,故 P>Q. 故答案为 P>Q. 点评: 本题考查了等比数列的性质,考查了基本不等式,属基础型问题. 18. (12 分) (2008?江苏)如图,在四面体 ABCD 中,CB=CD,AD⊥BD,点 E,F 分别是 AB,BD 的中点.求 证: (1)直线 EF∥面 ACD; (2)平面 EFC⊥面 BCD.

考点: 直线与平面平行的判定;平面与平面垂直的判定. 专题: 证明题. 分析: (1)根据线面平行关系的判定定理,在面 ACD 内找一条直线和直线 EF 平行即可,根据中位线可知 EF∥AD,EF?面 ACD,AD? 面 ACD,满足定理条件; (2)需在其中一个平面内找一条直线和另一个面垂直,由线面垂直推出面面垂直,根据线面垂直的 判定定理可知 BD⊥面 EFC,而 BD? 面 BCD,满足定理所需条件. 解答: 证明: (1)∵E,F 分别是 AB,BD 的中点. ∴EF 是△ABD 的中位线,∴EF∥AD, ∵EF?面 ACD,AD? 面 ACD,∴直线 EF∥面 ACD; (2)∵AD⊥BD,EF∥AD,∴EF⊥BD, ∵CB=CD,F 是 BD 的中点,∴CF⊥BD 又 EF∩CF=F,∴BD⊥面 EFC, ∵BD? 面 BCD,∴面 EFC⊥面 BCD 点评: 本题主要考查线面平行的判定定理,以及面面 垂直的判定定理.考查对基础知识的综合应用能力和 基本定理的掌握能力. 19. (14 分)设数列{an}的前 n 项和为 (1)求 a1,a2,a3;
8



(2)证明:{an+1﹣2an}是等比数列; (3)求{an}的通项公式. 考点: 等比关系的确定;等比数列的通项公式;数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)利用 ,n 分别取 1,2,3,代入计算可求 a ,a ,a ;
1 2 3

(2)利用

,再写一式,化简即可证明{an+1﹣2an}是等比数列;

(3)由 解答: (1)解:∵
2

,可得 n≥2 时,

=

+1,利用累加法,即可求{an}的通项公式.

,∴

,∴a1=2.…(1 分)

=2+2 =6…(2 分) =8+2 =16…(3 分) (2)证明:∵ ∴当 n≥2 时, ∴两式相减可得 , …(4 分) …(6 分)
3



=2,…(7 分)

∴{an+1﹣2an}是首项为 2,公比为 2 的等比数列.…(8 分) (3)解:由(2)得 ,

∴n≥2 时,

=

+1…(10 分)

由累加法可得 ∴an=(n+1)?2 .…(12 分) 当 n=1 时,a1=2 也满足上式,…(13 分) n﹣1 ∴an=(n+1)?2 …(14 分) 点评: 本题考查数列递推式,考查等比数列的证明,考查数列的通项,考查学生分析解决问题的能力,属 于中档题. 20. (20 分)t∈R,且 t∈(0,10) ,由 t 确定两个任意点 P(t,t) ,Q(10﹣t,0) . (1)直线 PQ 是否能通过下面的点 M(6,1) ,点 N(4,5) ; (2)在△OPQ 内作内接正方形 ABCD,顶点 A、B 在边 OQ 上,顶点 C 在边 PQ 上,顶点 D 在边 OP 上. ①求证:顶点 C 一定在直线 y= x 上.
9
n﹣1

②求下图中阴影部分面积的最大值,并求这时顶点 A、B、C、D 的坐标.

考点: 直线的两点式方程;两条平行直线间的距离. 专题: 计算题;证明题;转化思想. 分析: 对于(1)可先求直线 PQ 的方程再把点 M,点 N 的坐标代入检验即可得到结论. 对于(2)的①找出点 C 的坐标看是否适合直线 y= x.对于(2)的②阴影部分的面积即为三角形的 面积减去正方形的面积,作差求最值即可. 解答: 解: (1)令过 P、Q 方程 tx﹣2(t﹣5)y+t ﹣10t=0, 假设 M 过 PQ, 2 则 t ﹣6t+10=0,△=36﹣40<0,无实根,故 M 不过直线 PQ. 若假设 N 过直线 PQ, 2 同理得:t ﹣16t+50=0,t1=8﹣ ,t2=8+ (舍去) ∵t∈(0,10) ,当 t=8﹣ 时,直线 PQ 过点 N(4,5) (2)由已知条件可设 A(a,0) ,B(2a,0) ,C(2a,a) ,D(a,a) . ①点 C(2a,a) ,即 消去 a 得 y= x, 故顶点 C 在直线 y= x 上. ②令阴影面积为 S,则 s= |10﹣t|﹣|t|﹣a ∵t>0,10﹣t>0,S= (﹣t +10t)﹣a ∵点 C(2a,a)在直线 PQ 上, 2 ∴2at﹣2(t﹣5)a=﹣t +10t ∴a= (10t﹣t ) ,
2 2 2 2 2 2



S= ×10a﹣a =﹣ ∴当 a= 时,Smax= ,

+

此时顶点 A、B、C、D 的坐标为 A( ,0) ,B(5,0) ,C(5, ) ,D( , ) 点评: 转化思想是我们高中常考的一种解题思想,常用于正面不好求,但转化后好求的题中.
10

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