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2、5从力做的功到向量的数量积 - 山东省教师教育网


§2.4.1 平面向量数量
积的物理背景及其含义

学习目标: 学习目标:

1.理解平面向量的数量积及 理解平面向量的数量积及 其物理意义、几何意义; 其物理意义、几何意义; 2.掌握平面向量数量积的重 掌握平面向量数量积的重 要性质及运算律; 要性质及运算律;
3.能够运用定义和运算性质解 能够运用定义和运算性质解 决相关问题. 决相关问题.

预习提纲: 预习提纲:
看课本P103到P104 到 看课本
1.物理学中的功的定义是怎样的,它是标量 物理学中的功的定义是怎样的, 物理学中的功的定义是怎样的 还是矢量? 还是矢量? 2.两个向量的夹角是如何规定的?范围是什 两个向量的夹角是如何规定的? 两个向量的夹角是如何规定的 么? 3.向量的数量积是如何定义的?如何表示? 向量的数量积是如何定义的? 向量的数量积是如何定义的 如何表示? 有哪些性质? 有哪些性质? 4.如何理解投影?它是一个向量还是一个数? 如何理解投影? 如何理解投影 它是一个向量还是一个数?

一、向量数量积的物理背景
F θ O 位移S A

问:
一个物体在力F 的作用下产生的位移s, 一个物体在力 的作用下产生的位移 ,那 么力F 所做的功应当怎样计算? 么力 所做的功应当怎样计算?

力做的功: 的夹角。 力做的功:W = |F|?|s|cosθ,θ是F与s的夹角。 ? θ 与 的夹角

二、两个向量的夹角r uuur r uuu r
则 ∠AOB = θ

r r 两个非零向量 a和 b ,作 OA = a, OB = b,

(0o ≤ θ ≤ 180o )
B

叫做向量

r r 的夹角. a 和 b的夹角.

b
O

r b
θ

a

r a

注意:在两向量的夹角 注意 在两向量的夹角 定义中,两向量必须是 定义中 两向量必须是 同起点的 A B r b θ r a O o A = r θ r 90 垂直, a 与 b 垂直,

r O b B

r a

r r a 与 b 同向

θ = 0o

r A B b O θ = 180o

r a
A

r r a 与 b 反向

r r 记作 a ⊥ b

如图,等边三角形 如图 等边三角形ABC中,求: 等边三角形 中求 o 的夹角____; (1)AB与AC的夹角____; ) 与 的夹角 60 o 的夹角________. (2)AB与BC的夹角 120 . ) 与 的夹角 ' C C

120
A

o

通过平移 变成共起点! 变成共起点!

60

o

120 0

B D

三、向量 a与 b 的数量积的概念

r r 已知两个非零向量a与b, 他们的夹角为θ, r r r r 我们把数量 a b cos θ叫做a与b的数量积 r r r r r r (或内积) .记作a ? b, 即a ? b = a b cos θ .
规定:零向量与任一向量的数量积为 规定 零向量与任一向量的数量积为0。 零向量与任一向量的数量积为

注意: 注意
? ?
一种新的运算

θ 数量积 a · b =| a || b |cosθ

“ · ”不能省略不写,也不能写成“×” 不能省略不写,也不能写成“
r r r r 不同, 表示向量; 不同, a + b 、 a ? b 表示向量;

r r ? a ? b 表示数量而不表示向量 ,与实数 a ? b
? ?

r r 0?a = 0

注意公式变形,知三求一 注意公式变形,知三求一.

向量的数量积是一个数量, 向量的数量积是一个数量,那么它什 么时候为正,什么时候为负? 么时候为正,什么时候为负?
a · b =| a || b |cosθ θ
?

为正; 当0°≤θ < 90°时a·b为正; ° ° 为正 为负。 当90°<θ ≤180°时a·b为负。 ° ° 为负 为零。 当θ =90°时a·b为零。 ° 为零

r r r r r r 例1.已知 a = 5, b = 4, a与b的夹角θ = 120o,求a ? b.

r r r r 解: a ? b = a b cos θ
= 5 × 4 × cos120 1 = 5 × 4 × (? ) = ?10 2
o

变式一

| a |= 4,b |= 4,? b = 8 2, | a 求a与b的夹角
8 2 2 解:由cos θ = = = 2 | a || b | 4 × 4 可得θ=45
0

a ?b

四、投影的概念
B b θ

r r r r a ? b = a b cos θ
a

r b cos θ

O

B1 A r r 的方向上的投影, 叫做向量 b 在向量 a 的方向上的投影,
即有向线段 OB1的数量

等于a 的模| 与 数量积 a · b 等于 的模 a |与 b 在 a 的方向 上的投影| 的乘积. 上的投影 b |cos θ的乘积

投影的作图: 投影的作图:
B B b O O b b a B O A O A
| b |cos θ= ?| | ?|b|

B

θ
a

θ
O

θ
a A

B1 B1

A A

| b |cos θ> θ>0 B | b |cos θ=| | θ=|b|

| b |cos θ< θ<0

| b |cos θ= θ=0

r r r r r r 当且仅当a与b同向时:a ? b = a rb r r r r r 当且仅当a与b反向时:a ? b = ? a b r r

r r | a ? b |≤ a b

向量数量积的性质 设a、是非零向量 b

(1) a ? b = 0 ? a ⊥ b (2) 当a与b同向时,? b =| a || b | ; a a 当a与b反向时,? b = ? | a || b | 特别地 a ? a =| a | 或 | a |= a ? a
2

(3) a ? b ≤| a || b |

平面向量的数量积的运算律: 平面向量的数量积的运算律:
r r r r (1)交换律 a ? b = b ? a r r r r r r (2)数乘结合律 (λa) ? b = λ(a ? b) = a ? (λb) r r r r r r r (3)分配律 (a + b) ? c = a ? c + b ? c

r r r 其中, 其中, 、 、 是任意三个向量, ∈R a b c是任意三个向量, λ
注:

r r r r r r (a ? b) ? c ≠ a ? (b ? c)

证明运算律(3) 证明运算律 r r r r r b a 向量 a、 、+ b 在 c

r b
r r a+b

上的投影的数量分 r 别是OM、MN、 a ON, 则 r r r r O (a + b) ? c = ON c r = (OM + MN) c r r = OM c+ MN c
r r r r = a ?c + b?c

M

N

r c


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