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空间点线面之间位置关系知识点总结


高中空间点线面之间位置关系知识点总结
第一章 空间几何体
(一)空间几何体的结构特征 (1)多面体——由若干个平面多边形围成的几何体. 旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其中,这条定直线 称为旋转体的轴。 (2)柱,锥,台,球的结构特征 1.1 棱柱——有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这 些面所围成的几何体叫做棱柱。 1.2 圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱. 2.1 棱锥——有一个面是多边形, 其余各面是有一个公共顶点的三角形, 由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 2.2 圆锥——以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴, 其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫 圆锥。 3.1 棱台——用一个平行于底面的平面去截棱锥,我们把截面与底面之间的部分称为棱台. 3.2 圆台——用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分叫做圆台. 4.1 球——以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体,简称球. (二)空间几何体的三视图与直观图 1.投影:区分中心投影与平行投影。平行投影分为正投影和斜投影。 2.三视图——正视图;侧视图;俯视图;是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形; 画三视图的原则: 长对齐、高对齐、宽相等 3.直观图:直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。 4.斜二测法:在坐标系 x ' o ' y ' 中画直观图时,已知图形中平行于坐标轴的线段保持平行性不变,平行于 x 轴(或在 x 轴上)的线段保持长度不变,平行于 y 轴(或在 y 轴上)的线段长度减半。 观图面积= 原图形面积 (三)空间几何体的表面积与体积 1、空间几何体的表面积 ①棱柱、棱锥的表面积: 各个面面积之和 ②圆柱的表面积 S ④圆台的表面积 S 重点记忆:直

第二章 直线与平面的位置关系
2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 α 2.1.1 A B 1 平面含义:平面是无限延展的 2 平面的画法及表示 (1)平面的画法:水平放置的平面通常画成一个平行四边形,锐角画成 450,且横边画成邻边的 2 倍长(如 图) (2)平面通常用希腊字母α 、β 、γ 等表示,如平面α 、平面β 等,也可以用表示平面的平行四边形的四 个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示,如平面 AC、平面 ABCD 等。 3 三个公理: (1)公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内 符号表示为 A∈L A B∈L => L α α · L A∈α B∈α 公理 1 作用:判断直线是否在平面内 A B (2)公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 α · C · 符号表示为:A、B、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α , · 使 A∈α 、B∈α 、C∈α 。 公理 2 作用:确定一个平面的依据。 (3)公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为:P∈α ∩β =>α ∩β =L,且 P∈L 公理 3 作用:判定两个平面是否相交的依据 β 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 P α 1 空间的两条直线有如下三种关系: · L 相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; 共面直线 平行直线:同一平面内,没有公共点; 异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点。 2 公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为:设 a、b、c 是三条直线 a∥b =>a∥c c∥b 强调:公理 4 实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。 公理 4 作用:判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补 4 注意点: ① a'与 b'所成的角的大小只由 a、b 的相互位置来确定,与 O 的选择无关,为简便,点 O 一般取在两直 线中的一条上; ? ② 两条异面直线所成的角θ ∈(0 2 , ); ③ 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作 a⊥b; ④ 两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形; ⑤ 计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系:
D C

= 2πrl + 2πr 2

③圆锥的表面积 S

? ? rl ? ? r 2
2

? ? rl ? ? r 2 ? ? Rl ? ? R 2

⑤球的表面积 S ? 4? R

⑥扇形的面积公式 S扇形 2、空间几何体的体积

n? R 2 1 ? ? lr (其中 l 表示弧长, r 表示半径) 360 2
1 ②锥体的体积 V ? S 底 ? h 3

①柱体的体积 V ? S底 ? h ③台体的体积

1 V ? (S上 ? 3

S上 S下 ? S下 ) ? h

④球体的体积 V ?

4 ? R3 3

(1)直线在平面内 —— 有无数个公共点 (2)直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 (3)直线在平面平行 —— 没有公共点 指出:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用 a

2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1 直线与平面垂直的判定 α 来表示 1、定义 如果直线 L 与平面α 内的任意一条直线都垂直,我们就说直线 L 与平面α 互相垂直,记作 L⊥α ,直线 L 叫做平面α 的垂线,平面α 叫做直线 L 的垂面。如图,直线与平面垂直时,它们唯一公共点 P 叫做垂足。 L p

a α a∩α =A a∥α 2.2.直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1 直线与平面平行的判定 1、直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。 简记为:线线平行,则线面平行。 符号表示: a α b β =>a∥α a∥b 2.2.2 平面与平面平行的判定 1、两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。 符号表示: a β b β a∩b = P a∥α b∥α

α

2、判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。 注意点: a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视; b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。 2.3.2 平面与平面垂直的判定 1、二面角的概念:表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形 A 梭 l β B α 2、二面角的记法:二面角α -l-β 或α -AB-β 3、两个平面互相垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。 2.3.3 — 2.3.4 直线与平面、平面与平面垂直的性质 1、定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。 2 性质定理: 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

β ∥α

2、判断两平面平行的方法有三种: (1)用定义; (2)判定定理; (3)垂直于同一条直线的两个平面平行。 2.2.3 — 2.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质 1、定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 简记为:线面平行则线线平行。 符号表示: a∥α a β a∥b α ∩β = b 作用:利用该定理可解决直线间的平行问题。 2、定理:如果两个平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。 符号表示: α ∥β α ∩γ = a a∥b β ∩γ = b 作用:可以由平面与平面平行得出直线与直线平行

本章知识结构框图
平面(公理 1、公理 2、公理 3、公理 4)

空间直线、平面的位置关系

直线与直线的位置关系

直线与平面的位置关系

平面与平面的位置关系

第三章
一、公式:

直线与方程

1.求过点 (2,3) ,并且在两轴上的截距相等的直线方程。
x y 解:①截距不为 0 时,设两轴上的截距都为 a ,则有直线方程为: ? ? 1 , a a x y 将 (2,3) 带入上式可得: a ? 5 ,所以直线方程为: ? ? 1 , 5 5

1.若直线的倾斜角为 ? (? ? 90? ) ,则直线的斜率 k = tan ? 。 2.过点 P 1 ( x1 , y1 )和P 2 ( x2 , y2 ) 的直线的斜率为:

y2 ? y1 x2 ? x1

即: x ? y ? 5 ? 0 ; ②两轴上的截距都为 0 时,则直线过原点 (0, 0) ,由两点式可得:
y?0 x?0 ? ,即: 3x ? 2 y ? 0 3?0 2?0

3.若不平行于 y 轴的两直线 l1 / / l2 ,则 k1 = k2 ;若两直线 l1 ? l2 ,则 k1 ? k2 = -1; 4.直线的点斜式方程: y ? y0 ? k ( x ? x0 ) 5.直线的斜截式方程: y ? kx ? b

综上所述:满足条件的直线方程为: x ? y ? 5 ? 0 或 3x ? 2 y ? 0 . (注:做本题时要分截距为 0 和截距不为 0 两种情况,切不可直接将方程设为
x y ? ? 1 ,因为用该方程时,要求截距不为 0。 ) a b

y ? y1 x ? x1 6.直线的两点式方程: ? y2 ? y1 x2 ? x1
x y 7.直线的截距式方程: ? ? 1 a b

2.已知直线 l1 : x ? my ? 6 ? 0 , l2 : (m ? 2) x ? 3 y ? 2m ? 0 ,求满足下列条件的 m 值: (1) l1和l2相交 ; (2) l1 ? l2 ; (3) l1 / / l2 ; (4) l1和l2重合 ; 解: (1) l1和l2相交 ,? A1B2 ? A2 B1 ? 0 , 即: 1? 3 ? (m ? 2) ? m ? 0 解得: m ? ?1且m ? 3

8.直线的一般式方程: Ax ? By ? C ? 0 ,此时,斜率为 ? 9.对于两直线 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 和 l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 (1)若 A1B2 ? A2 B1 ? 0 ,两直线相交; (2)若 A1B2 ? A2 B1 ? 0 ,两直线平行或重合; (3)若 A1 A2 ? B1B2 ? 0 ,若两直线垂直。
( 10.点 ( x1, y1 )和( x2 , y2 )的中点坐标是 x1 ? x2 y1 ? y2 , ) 2 2

A C ,截距为 ? . B B

(2) l1 ? l2 , A1 A2 ? B1B2 ? 0 , 即: 1? (m ? 2) ? 3 ? m ? 0 (3) (4) A1B2 ? A2 B1 ? 0 , 即: 1? 3 ? (m ? 2) ? m ? 0 解得: m ? ?1或m ? 3 解得: m ?
1 2

( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 11.若 P 1P 2 ? 1 ( x1 , y1 )和P 2 ( x2 , y2 ) ,则: P

检验: m ? ?1时,l1 : x ? y ? 6 ? 0, l2 : ?3x ? 3 y ? 2 ? 0, 此时,两直线平行,所以,

Ax ? By0 ? C 12.点 ( x0 , y0 )到直线Ax ? By ? C ? 0的距离为: 0 A2 ? B 2
二、基本注意点: 1.过点 ( a, b) ,且平行于 x 轴的直线方程是: y ? b ; 2.过点 ( a, b) ,且平行于 y 轴的直线方程是: x ? a ; 三、典型习题:

m ? 3时,l1 : x ? 3 y ? 6 ? 0, l2 : x ? 3 y ? 6 ? 0, 此时,两直线重合
综上所示: m ? ?1 时两直线平行; m ? 3 时两直线重合.

第四章 圆与方程

圆与方程

位置关系满足以下关系: 相切 ? d=r ? Δ =0(2)相交 ? d<r ? Δ >0; 2、5 两圆的位置关系 设两圆圆心分别为 O1,O2,半径分别为 r1,r2, O1O2 ? d 。 (1) d ? r1 ? r2 ? 外离 ? 4条公切线; (2) d ? r1 ? r2 ? 外切 ? 3条公切线; (3) r1 ? r2 ? d ? r1 ? r2 ? 相交 ? 2条公切线; (4) d ? r1 ? r2 ? 内切 ? 1条公切线; (5) 0 ? d ? r1 ? r2 ? 内含 ? 无公切线; (3)相离 ? d>r ? Δ <0。

2、1 圆的标准方程:以点 C (a, b) 为圆心, r 为半径的圆的标准方程是 ( x ? a) 2 ?( y ? b) 2 ?r 2 . 特例:圆心在坐标原点,半径为 r 的圆的方程是: x ? y ?r .
2 2 2

2、2 点与圆的位置关系: 1. 设点到圆心的距离为 d,圆半径为 r: (1)点在圆上 d=r; (2)点在圆外 d>r; (3)点在圆内 d<r.

2.给定点 M ( x 0 , y 0 ) 及圆 C : ( x ? a) 2 ?( y ? b) 2 ?r 2 . ① M 在圆 C 内 ? ( x0 ?a)2 ?( y 0 ?b)2 ?r 2 ③ M 在圆 C 外 ? ( x0 ?a) ?( y 0 ?b) ?r
2 2 2

外离

外切

相交

内切

内含

② M 在圆 C 上 ? (x 0 ?a) 2 ?( y 0 ?b) 2 ?r 2

2、6 圆的切线方程:圆 x 2 ? y 2 ?r 2 的斜率为 k 的切线方程是 y ? kx ? 1 ?k 2 r 过圆 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 上一点 P( x 0 , y 0 ) 的切线方程为: x 0 x ? y 0 y ? D
x ?x 0 y ?y0 ?E ?F ?0. 2 2

一般方程若点(x0 ,y0)在圆上,则(x – a)(x0 – a)+(y – b)(y0 – b)=R2. 特别地,过圆 x 2 ? y 2 ?r 2 上一点 P( x 0 , y 0 ) 的切线方程为 x 0 x ? y 0 y ?r 2 .
? D E? ,? ? ,半径 r ? 2? ? 2 D 2 ? E 2 ?4 F . 2

2、3 圆的一般方程: x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 . 当 D 2 ? E 2 ?4 F ? 0 时,方程表示一个圆,其中圆心 C ? ? 当 D 2 ? E 2 ?4 F ? 0 时,方程表示一个点 ? ?
? D E? ,? ? . 2? ? 2

? y 1 ? y 0 ? k ( x1 ? x 0 ) ? b ? y 1 ?k (a ? x 1 ) ,联立求出 k ? 切线方程. 若点(x0 ,y0)不在圆上,圆心为(a,b)则 ? ?R ? R 2 ?1 ?

当 D 2 ? E 2 ?4 F ? 0 时,方程无图形(称虚圆). 注: (1)方程 Ax2 ? Bxy ? Cy 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 表示圆的充要条件是: B ? 0 且 A ? C ? 0 且 D 2 ? E 2 ?4 AF ? 0 . 圆的直径或方程:已知 A( x1 , y 1 ) B( x 2 , y 2 ) ? ( x ? x1 )( x ? x 2 ) ? ( y ? y 1 )( y ? y 2 ) ? 0 2、4 直线与圆的位置关系: 直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的位置关系有三种 (1)若 d ?

Aa ? Bb ? C A2 ? B 2

, d ? r ? 相离 ? ? ? 0 ; (3) d ? r ? 相交 ? ? ? 0 。

(2) d ? r ? 相切 ? ? ? 0 ;

还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组 ?

? Ax ? By ? C ? 0
2 2 ? x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0

求解,通过解的个数来判断:

(1)当方程组有 2 个公共解时(直线与圆有 2 个交点) ,直线与圆相交; (2)当方程组有且只有 1 个公共解时(直线与圆只有 1 个交点) ,直线与圆相切; (3)当方程组没有公共解时(直线与圆没有交点) ,直线与圆相离; 即:将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程,设它的判别式为Δ ,圆心 C 到直线 l 的距离为 d,则直线与圆的


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