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山东省滕州市第二中学2015届高三上学期期末考试数学(理)试题WORD版含答案


山东省滕州市第二中学 2015 届高三上学期期末考试 数学理试题
(试卷满分 150 分 ) 第Ⅰ 卷(共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题。每小题 5 分,共 50 分。在每个小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1.设复数 z ? 1 ? bi (b ? R ) 且 | z |? 2 ,则复数 z 的虚部为 A. 3 B. ? 3 C. ? 1 D. ? 3i

2. .已知正方体 ABCD ? A1B1C1D1 ,过顶点 A 1 作平面 ? ,使得直线 AC 和 BC1 与平面 ? 所 成的角都为 30 ,这样的平面 ? 可以有( A.4 个 3.定义 2×2 矩阵 ? 右平移 B.3 个 ) C.2 个 D.1 个

? sin(? ? x) ? a1 a2 ? ? ? a1a4 ? a2 a3 ,若 f ( x) ? ? ? a3 a4 ? ? cos(? ? x)

3? ? ,则 f ( x) 的图象向 1 ?

A. y ? 2sin( x ? C. y ? 2cos x

? 个单位得到的函数解析式为 3 2?
3 )

B. y ? 2 sin( x ? D. y ? 2sin x

?
3

)

4.一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为

A.

40 3
8

B.

80 3

C.40

D.80

? a? 5.已知 ? x ? ? 展开式中常数项为 5670,其中 a 是常数,则展开式中各项系数的和是 x? ?
-1-

A.28

B.48

C.28 或 48

D.1 或 28

6.由曲线 y ? x ,直线 y ? x ? 2 及 y 轴所围成的封闭图形的面积为 A.

10 3

B.4

C.

16 3

D.6

7.某市高三数学抽样考试中,对 90 分以上(含 90 分)的成绩进行统计,其频率分布图如图 所示,已知 130~140 分数段的人数为 90,90~100 分数段的人数为 a,则下图所示程序框图 的运算结果为(注:n!=1×2×3×…×n,如 5!=1× 2× 3× 4× 5)

A.800! 8.下列命题正确的个数是

B.810!

C.811!

D.812!

i 1 ? i) ① 已知复数 z ? ( , z 在复平面内对应的点位于第四象限;
② 若 x, y 是实数,则“ x
2

? y 2 ”的充要条件是“ x ? y 或x ? ?y ”;
2

③ 命题 P:“ ?x0 ? R,x02 -x0 -1>0 ”的否定 ? P:“ ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ”; A.3 B.2 C.1 D.0

9.已知集合 M ? ?( x, y ) | y ? f ( x)? ,若对于任意 ( x1 , y1 ) ? M ,存在 ( x2 , y2 ) ? M ,使得

x1 x2 ? y1 y2 ? 0 成立,则称集合 M 是“理想集合”,则下列集合是“理想集合”的是
1 A. M ? {( x , y ) | y ? } x

B. M ? {( x , y ) | y ? cos x} D. M ? {( x , y ) | y ? log 2 ( x ? 1)}

C. M ? {( x , y ) | y ? x 2 ? 2 x ? 2}

10.如图所示,设点 A 是单位圆上的一定点,动点 P 从点 A 出发在圆上按逆时针方向旋转一

-2-

周,点 P 所旋转过的弧 AP 的长为 l ,原点 O 到弦 AP 的长为 d,则函数 d=f( l )的图像大致 是

第Ⅱ 卷(共 100 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 11.若点 A ?1,1? 在直线 2mx ? ny ? 2 ? 0 上,其中 m n ? 0, 则

1 1 ? 的最小值为 m n



→ → 12. 如图, 设 E, F 分别是 Rt△ ABC 的斜边 BC 上的两个三等分点, 已知 AB=3, AC=6, 则AE· AF = .

13.等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,C 与抛物线 y2=16x 的准线交于 A,B 两点, |AB|=4 3,则 C 的实轴长为 .

14.设函数 y ? f (x ) 在其图像上任意一点 (x 0, y 0 ) 处的切线方程为
2 y ? y0 ? 3x0 ? 6x0 ?x ? x0 ? ,且 f (3) ? 0 ,则不等式

?

?

x ?1 ? 0 的解集为 f (x )



15.选作题:请在下列两题中任选一题作答,若两题都做按第一题评阅计分。本题共 5 分。 A:(坐标系与参数方程)已知圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2 cos ? ? 2 3 sin ? ,则圆心 C 的 一个极坐标为 . .

B:(不等式选讲)不等式 x ? 1 ? x 的解集是

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

-3-

16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f (x ) ? cos2 x ? 2 3 sin x cos x ? sin 2 x (1)求函数 f (x ) 的最小正周期及单调递增区间;

B C 中, (2) 在 ?A A、 B、 C 分别为三边 a、b、c 所对的角, 若 a ? 3, f (A) ? 1 , 求b ? c
的最大值. 17. (本小题满分 12 分) 甲、乙两名教师进行乒乓球比赛,采用七局四胜制(先胜四局者获胜) .若每一局比赛甲获胜的 概率为

2 1 ,乙获胜的概率为 ,现已赛完两局,乙暂时以 2∶ 0 领先. 3 3

(1)求甲获得这次比赛胜利的概率; (2)设比赛结束时比赛的局数为随机变量 X,求随机变量 X 的概率分布和数学期望 EX. 18. (本小题满分 12 分) 在直三棱柱中,AA1=AB=BC=3,AC=2,D 是 AC 的中点.

(1)求证:B1C∥ 平面 A1BD; (2)求平面 A1DB 与平面 DBB1 夹角的余弦值. 19. (本小题满分 12 分) 已知数列 a n 满足: a1 ? 1, a2 ? 2 ,且 an ?2 ? (2 ? cos n ? ) an ? 1 ? 3, n ? N ? 。 (1)求通项公式 an ; (2)求数列的前 n 项的和 S n 20. (本小题满分13分)

? ?

?

?

1 x2 y2 已知椭圆C: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,左、右焦点分别为 F1, F2 ,点G在椭 2 a b
圆C上,且 GF 1 ? GF2 ? 0 , ?GF1F2 的面积为3.
-4-

(1)求椭圆C的方程: (2)设椭圆的左、右顶点为A,B,过 F2 的直线 l 与椭圆交于不同的两点M,N(不同于 点A,B) ,探索直线AM,BN的交点能否在一条垂直于 x 轴的定直线上,若能,求出这条定直 线的方程;若不能,请说明理由。 21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ?

k ,k ?R. x

(1)若 k ? 1 ,求函数 f ( x) 的单调区间; (2)若 f ( x) ? 2 ?

1? e 恒成立,求实数 k 的取值范围; x

(3)设 g ( x) ? xf ( x) ? k ,若对任意的两个实数 x1 , x2 满足 0 ? x1 ? x2 ,总存在 x0 ? 0 ,

? 使得 g ( x0 ) ?

g ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,证明: x0 ? x1 . x1 ? x2

-5-

一、选择题 题号 答案 二、填空题 11. 1 B 2 B 3 D 4 A 5 C 6 C 7 B 8 C 9 B 10 D

3 ? 2 2

12.10 B: ? ,?? ? ?2 ?

13.4

14. ?? ?,0? ? ?0,1? ? ?3,???

15.A: ? 2,

? ?? ? ? 3?

?1

?

三、解答题 16.解: (1) f (x ) ? cos2 x ? 2 3 sin x cos x ? sin 2 x ?

3 sin 2x ? cos 2x

? 2 sin(2x ?

?
6

) ,………………………………………………………………………3 分 2? ? ? .…………………………………………4 分 2 ? 2k ? (k ? Z ) 得 ?

所以函数的最小正周期为T ?

由?

?
2

? 2k ? ? 2x ?

?
6

?

?
2

?
3

? k? ? x ?

?
6

? k ? (k ? Z )

所以函数的单调递增区间为 ( ?

?
3

? k? ,

?
6

? k ? )(k ? Z ) .……………………6 分

(2)由 f (A) ? 1 可得 2 sin(2A ?
2 2 2

?
6

) ? 1 ,又 0 ? A ? ? ,所以 A ?

?
3

。…8 分

由 余 弦 定 理 可 得 a ? b ? c ? 2bc cos A , 即 3 ? b2 ? c 2 ? bc ?( b ? ) 又 c2 ?3 bc

bc ? (

b ?c 2 b ?c 2 ) ,故 b ? c ? 2 3 ,当且仅当 ) ,所以 3 ? (b ? c )2 ? 3bc ? (b ? c )2 ? 3( 2 2

? ?b ? c, ,即 b ? c ? 3 时等号成立 ? 2 b ? c 2 ? bc ? 3 ? ?
因此 b ? c 的最大值为 2 3 。………………………………………………………12 分

-6-

17. (1)设甲获胜为事件 A,则甲获胜包括甲以 4∶ 2 获胜和甲以 4∶ 3 获胜两种情况.

?2? 16 设甲以 4∶ 2 获胜为事件 A1,则 P (A1 ) ? ? ? ? ………………………………2 分 3 81 ? ?
? 设甲以 4∶ 3 获胜为事件 A2,则 P (A 2 ) ? C1 4
P(A)= P (A1 ) ? P (A 2 ) ?

4

1 2 3 2 64 ?( ) ? ? ………………5 分 3 3 3 243

16 64 112 ? ? .…………………………… 6 分 81 243 243

(2)随机变量 X 可能的取值为 4,5,6,7,

1 . 9 1 2 1 4 P (X ? 5) ? C 1 ? ? ? ? . 2 3 3 3 27 1 2 1 2 28 P (X ? 6) ? C 1 ? ? ( )2 ? ? ( ) 4 ? . 3 3 3 3 3 81 1 2 32 P (X ? 7) ? C1 ? ? ( )3 ? . 4 3 3 81

P? X ? 4? = ( )2 ?

1 3

X 的概率分布为: X P 4 5 6 7

1 9

4 27

28 81

32 81

EX ? 4 ?
18.解:

1 4 28 32 488 ? 5? ? 6? ?7? ? …………………………………12 分 9 27 81 81 81

(1)连接 AB1 交 A1B 与点 E,连接 DE,则 B1C∥ DE,则 B1C∥ 平面 A1BD……4 分 (2)取 A1C1 中点 F,D 为 AC 中点,则 DF⊥ 平面 ABC, 又 AB=BC,∴ BD⊥ AC,∴ DF、DC、DB 两两垂直, 建立如图所示空间直线坐标系 D-xyz,则 D(0,0,0), B(0, 2 2 ,0),A1(-1,0,3)

设平面 A1BD 的一个法向量为 m ? (x, y, z ) ,

-7-

A1B ? (1, 2 2, ?3), A1D ? (1, 0, ?3)

? ? x ? 2 2 y ? 3z ? 0 ?m ? A1 B ? 0 ?? ? ? ?m ? A1 D ? 0 ? x ? 3z ? 0
取 x ? 3 ,则 z ? 1, y ? 0 ,? m ? ………………………8 分 ( 3,0,1) 设 平 面 A1DB 与 平 面 DBB1 夹 角 的 夹 角 为 θ , 平 面 DBB1 的 一 个 法 向 量 为

n ? (1, 0, 0) ,………………………………………………10 分

则 cos? ?

m?n m?n

?

3 10 10
3 10 。…………………12 分 10

∴ 平面 A1DB 与平面 DBB1 夹角的余弦值为

19.解: (1)当 n 是奇数时, cos n ? ? ?1 ,所以 an ?2 ? an ? 2 , 所以 a1, a3, a5,

, a2n ?1,

是首项为 a1 ? 1 ,公差为 2 的等差数列,

因此 a2n ?1 ? 2n ? 1 。……………2 分 当 n 为偶数时, cos n ? ? 1 ,所以 an ?2 ? 3an , 所以 a2, a4, a6,

, a2n ,

是首项为 a2 ? 2 ,公比为 3 的等比数列,

因此 a2n ? 2 ? 3n ?1 。………………………………4 分

?n , n 是奇 ? n 综上 an ? ? ……………………………………………6 分 ?1 2 ? 3 2 , n 是偶 ? ?
(2)由(1)得 S 2n ? (a1 ? a 3 ?

? a2n ?1 ) ? (a2 ? a4 ?

? a2n ) ? 3n ? n 2 ? 1 …8 分

S 2n ?1 ? S 2n ? a2n ? 3n ?1 ? n 2 ? 1 ……………………………………10 分
? n n2 2 ? ?3 ? 4 ? 1, n 是偶 所以 S n ? ? n ?1 ……………………………………12 分 2 ( n ? 1) ?3 2 ? ? 1, n 是奇 ? ? 4

-8-

20.解: (1)设 F1( ?c, 0), F2(c, 0) ,由于 e ?

c 1 ? ,所以 a ? 2c, b ? 3c , a 2

2 2 2 2 2 根据 GF 1 ? GF 2 ) ? 2GF 1 ? GF 2 ? 4c , 1 ? GF2 ? 0 ,得GF1 ? GF2 ? 4c ,即 (GF

因为 ?GF1F2 的面积为3,GF1 ? GF2 ,所以 GF 1 ? GF2 ? 6 ,
2 2 所以有 16c ? 12 ? 4c ,解得 c ? 1 ,所以 a ? 2, b ?

3,

x2 y2 所以椭圆才C的方程为 ? ? 1 。…………………………………………………5分 4 3
(2)由(1)知 A( ?2, 0), B (2, 0) 。 ① 当直线 l 的斜率不存在时,直线 l :x ? 1 ,直线 l 与椭圆C的交点坐标 M (1, ) ,N (1, ? ) ,

3 2

3 2

此时直线 A M : y ?

1 3 (x ? 2), BN : y ? (x ? 2) ,联立两直线方程,解得两直线的交点坐 2 2

标(4,3) 。它在垂直于 x 轴的直线 x ? 4 上。……………………………7分 ② 当直线 l 的斜率存在时, 设 直 线 l : y ? k (x ? 1) , 代 入 椭 圆 C 的 方 程

x2 y2 ? ?1 , 整 理 得 4 3

(3 ? 4k )x 2 ? 8k 2x ? 4(k 2 ? 3) ? 0 , 设 直 线 l 与 椭 圆 C 的 交 点 M (x1, y1), N (x 2, y2 ) , 则
8k 2 4(k 2 ? 3) 。 x1 ? x 2 ? , x 1x 2 ? 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
直线AM的方程为 y ?

y1 x1 ? 2 y2 x2 ? 2

(x ? 2) ,即 y ?

k (x 1 ? 1) x1 ? 2 k (x 2 ? 1) x1 ? 2

(x ? 2) ,

直线BN的方程为 y ?

(x ? 2) ,即 y ?

(x ? 2)

由直线AM与直线BN的方程消去 y ,得

-9-

所以直线AM与直线BN的交点在直线 x ? 4 上。………………………………………12分 综 上 所 述 , 直 线 AM , BN 的 交 点 必 在 一 条 垂 直 于 x 轴 的 定 直 线 上 , 这 条 直 线 的 方 程 是

x ? 4 。……………………………………………………………………………………13分
解(1)当 k ? 1 时,函数 f ( x) ? ln x ?

1 1 x ?1 则 f ? ( x) ? ? 2 ? 2 . x x x

1 ( x ? 0) , x

当 f ? ( x) ? 0 时, 0 ? x ? 1 ,当 f ? ( x) ? 0 时, x ? 1, 则函数 f ( x) 的单调递减区间为(0,1) ,单调递增区间为(1, ? ?) .………………4 分 ( 2 ) f ( x) ? 2 ?

1? e k 1? e 恒 成 立 , 即 ln x ? ? 2 ? 恒 成 立 , 整 理 得 x x x

k ? 2 x ? x ln x ? 1 ? e 恒成立.
设 h( x) ? 2 x ? x ln x ? 1 ? e ,则 h? ( x) ? 1 ? ln x ,令 h? ( x) ? 0 ,得 x ? e .当 x ? (0, e) 时, h? ( x) ? 0 ,函数 h( x) 单调递增,当 x ? (e,??) 时, h? ( x) ? 0 ,函数 h( x) 单调递减,因 此当 x ? e 时, h( x) 取得最大值 1,因而 k ? 1 .…………………………………………8 分 (3) g ( x) ? xf ( x) ? k ? x ln x , g ? ( x) ? ln x ? 1 . 因为对任意的 x1, x2 (0 ? x1 ? x2 ) 总存在 x0 ? 0 ,使得 g ( x0 ) ?

?

g ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立, x1 ? x2

所以 ln x0 ? 1 ?

g ( x1 ) ? g ( x2 ) , x1 ? x2

即 ln x0 ? 1 ?

x1 ln x1 ? x2 ln x2 , x1 ? x2

即 ln x0 ? ln x1 ?

x1 ln x1 ? x2 ln x2 x ln x1 ? x2 ln x2 ? x2 ? x1 ? 1 ? ln x1 ? 2 x1 ? x2 x1 ? x2
- 10 -

ln ?

x1 x ?1? 1 x2 x2 .…………………………………………………………12 分 x1 ?1 x2
? 1 t

设 ? (t ) ? ln t ? 1 ? t ,其中 0 ? t ? 1 ,则 ? (t ) ? ? 1 ? 0 ,因而 ? (t ) 在区间(0,1)上单 调递增, ? (t ) ? ? (1) ? 0 ,又

x1 ?1 ? 0 . x2

所以 ln x0 ? ln x1 ? 0 ,即 x0 ? x1 .………………………………………… 14 分

- 11 -


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