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高中数学(人教A版)选修2-2同步课件 1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则1_图文

第一章 导数及其应用 1.2 导数的计算 第一章 导数及其应用 1.2.1 几个常用函数的导数 1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数 的运算法则(一) 学习导航 学习目标 导数的 会求 几个函数 掌握 基本初等函数 ― → 的导数 ― ― → 的导数公式 定义 ― 求简单函 ― ― → 数的导数 运用 重点难点 重点: 运用基本初等函数的导数公式求简单函数的 导数. 难点:根据导数的定义求函数 y= c, y= x, y= x2, y= x, 1 y= 的导数. x 新知初探思维启动 1.几个常用函数的导数 原函数 f(x)= x f(x)=x2 1 f(x)= x f(x)= x 导函数 f′(x)= ____ 1 2x f′(x)= ____ 1 - 2 x f′(x)=______ 1 2 x f′(x)=______ 想一想 1.你能把上述几个函数的导数进行归纳,得出一个一般性的 结论吗? 提示:原函数f(x)=xα,则f′(x)=αxα-1. 原函数 f(x)= c f(x)= x (α∈ Q* ) f(x)= sin x f(x)= cos x x f(x)= a f(x)=e x f(x)= loga x f(x)= ln x α 导函数 0 f′(x)= ____ αxα-1 f′(x)= _______ f′(x)= _______ cos x f′(x)= _______ -sin x axln a f′(x)= _______ f′(x)= ____ ex 1 f′(x)= ______ xln a 1 f′(x)= _____ x 想一想 π π 2 2. 计算过程:(sin )′= cos = ,正确吗? 4 4 2 π 2 提示:不正确. (sin )′= ( )′= 0. 4 2 典题例证技法归纳 题型探究 题型一 运用导数公式求导数 例1 求下列函数的导数. 1 (1)y= 1;(2)y= ; (3)y= 3x; 3 2 x x x (4)y= log3 x; (5)y= 2sin cos . 2 2 【解】 (1)∵ y= 1,∴ y′= 1′= 0. 2 1 (2)∵ y= = x-3 , 3 2 x 2 - 2- 1 2 5 ∴ y′=- x 3 =- x- . 3 3 3 x x (3)∵ y= 3 ,∴ y′= 3 ln 3. 1 (4)∵ y= log3 x,∴ y′= . xln 3 (5)y=sin x,∴ y′= cos x. 【名师点评】 对于简单函数的求导,关键是合理转化函 数的关系式为可以直接应用公式的基本函数的模式,如 3 1 5 y= 4 可以写成 y= x-4, y= x3 = x5等,这样就可以直接 x 使用幂函数的求导公式求导. 跟踪训练 1.求下列函数的导数: 1 0 (1)y=e ;(2)y= ; x (3)y= x3 ;(4)f(x)= log -x 5 2 x; 2x (5)f(x)= 2 ; (6)y= 1- 2sin . 2 解: (1)∵ y=e 0= 1, ∴ y′= 1′= 0. 1 -1 (2)∵ y= = x , x ∴ y′= (x- 1 )′=- x- 2. 3 (3)∵ y= x = x , 5 3 3 3 3 -2 ∴ y′= (x5 )′= x5 - 1= x 5. 5 5 1 2 (4)f′ (x)= (log 2 x)′= = . xln 2 xln 2 1 ?x -x ? (5)∵ 2 =? ? , 2 1? x ? 1 ?x 1 1 ?x ? ? ? ? ∴ f′(x)=?? ? ?′=? ? ln =-? ? ln 2. 2 2 2 2 2x (6)∵ y= 1- 2sin = cos x, 2 ∴ y′= (cos x)′=- sin x. 3 5 题型二 求曲线的切线方程 例2 已知曲线 y= x. 求: (1)曲线上与直线 y= 2x-4 平行的切线方程; (2)求过点 P(0,1)且与曲线相切的切线方程. 【解】 (1)设切点为(x0, y0 ), 1 由 y= x,得 y′ |x= x = . 2 x0 ∵切线与 y= 2x- 4 平行, 1 1 1 ∴ = 2,∴ x0= ,∴ y0= . 16 4 2 x0 1 1 则所求切线方程为 y- = 2(x- ), 4 16 即 16x- 8y+ 1= 0. 0 (2)∵点 P(0,1)不在曲线 y= x上, 故需设切点坐标为 M(t, u),则切线斜率为 . 2 t u- 1 u- 1 t- 1 1 又∵切线斜率为 ,∴ = = , t t t 2 t ∴ 2t- 2 t= t,得 t=4 或 t= 0(舍去 ), 1 ∴切点为 M(4,2),斜率为 , 4 1 ∴切线方程为 y- 2= (x- 4), 4 即 x- 4y+ 4= 0. 1 【名师点评】 解决曲线的切线问题要灵活利用切点的性质 ①切点在切线上;②切点在曲线上;③切点处的导数为此点 处的切线的斜率. 跟踪训练 1 2. (1)过点 P(1,- 3)作曲线 y= 的切线 ,试求此切线方程. x π 1 (2)过曲线 y= cos x 上点 P( , )且与该点处的切线垂直的直 3 2 线方程. 1 解:(1)设切点为 Q(x0 ,y0 ),则 y0= ,由导数定义知 y′= x0 1 1 - 2 ,从而得切线的斜率 k=- 2 ,则切线方程为 y- y0=- x x0 1 1 2 2 ( x- x0 ),把点 P(1,- 3)代入方程整理: 2 - - 3= 0,进 x0 x 0 x0 1 一步得 x0= 或 x0=- 1.从而可求出切线方程: y=- 9x+ 6 3 或 y=- x- 2. π 1 (2)∵ y= cos x,∴ y′=- sin x.曲线在点

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