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高中数学必修一笔记和习题以及答案


高中数学必修一笔记和习题

目录
第一章集合与函数概念................................................................................................................... 2 课堂笔记........................................................................................................................................... 2 一、 集合有关概念 ........................................................................................................... 2 二、函数的有关概念............................................................................................................... 3 随堂练习........................................................................................................................................... 7 第二章 基本初等函数(Ⅰ) ..................................................................................................... 13 课堂笔记......................................................................................................................................... 13 一、指数函数......................................................................................................................... 13 二、对数函数......................................................................................................................... 14 三、幂函数............................................................................................................................. 15 随堂练习......................................................................................................................................... 17 指数函数专题练习................................................................................................................. 17 对数函数专题练习................................................................................................................. 22 幂函数专题练习..................................................................................................................... 27 指数函数、对数函数和幂函数专题练习 ............................................................................. 30 第三章 函数的应用..................................................................................................................... 36 课堂笔记......................................................................................................................................... 36 随堂练习......................................................................................................................................... 37 参考答案......................................................................................................................................... 40

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第一章集合与函数概念

课堂笔记
一、 集合有关概念
1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性: (1) 元素的确定性如:世界上最高的山 (2) 元素的互异性如:由 HAPPY 的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3) 元素的无序性: 如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示:{ ? } 如:{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} (1) 用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2) 集合的表示方法:列举法与描述法。 ? 注意:常用数集及其记法: 非负整数集(即自然数集)记作:N 正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 表示方法: 1) 列举法:{a,b,c……} 2) 描述法: 将集合中的元素的公共属性描述出来, 写在大括号内表示集合的方法。 {x?R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3) 语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形} 4) Venn 图: 4、集合的分类: (1) 有限集含有有限个元素的集合 (2) 无限集含有无限个元素的集合 (3) 空集不含任何元素的集合 例:{x|x2=-5} 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意: A ? B 有两种可能(1)A 是 B 的一部分, ; (2)A 与 B 是同一集合。

? ? 反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 A ? B 或 B ? A
2. “相等”关系:A=B (5≥5,且 5≤5,则 5=5) 实例:设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即:①任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果 A?B,且 A? B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集,记作 A ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C B(或 B A)

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④如果 A?B 同时 B?A 那么 A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。 ? 有 n 个元素的集合,含有 2n 个子集,2n-1 个真子集

三、集合的运算 运算 交 类型











由所有属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合, 叫做 A,B 的交集. 记作 定 义 A? B (读作 ‘A 交 B’ ) , 即 A ? B={x|x ? A,且 x ? B}. 韦 恩 图 示

由所有属于集合 A 或 属于集合 B 的元素所 组成的集合,叫做 A,B 的并集.记作:A ? B (读作‘A 并 B’), 即 A ? B ={x|x ? A,或 x ? B}).
A B

设 S 是一个集合,A 是 S 的一个子集, 由S 中所有不属于 A 的元 素组成的集合, 叫做 S 中子集 A 的补集(或 余集) 记作 C S A ,即 CSA= {x | x ? S , 且x ? A}

A

B

S

A

图1

图2

(CuA) ? (CuB) A ? A=A 性 A ? Φ =Φ A ? B=B ? A 质 A? B?A A? B?B A ? A=A = Cu (A ? B) A ? Φ =A (CuA) ? (CuB) A ? B=B ? A = Cu(A ? B) A ? B ?A A ? (CuA)=U A ? B ?B A ? (CuA)= Φ .

二、函数的有关概念
函数的概念:设 A、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的
任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数.记作: y=f(x),x∈A.其中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做 函数的定义域;与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的 值域. 注意: 1.定义域:能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:

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(1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零; (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有 意义的 x 的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零, (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. ? 相同函数的判断方法:①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关) ;②定 义域一致(两点必须同时具备) (见课本 21 页相关例 2) 2.值域 : 先考虑其定义域 (1)观察法 (2)配方法 (3)代换法 3. 函数图象知识归纳 (1)定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (x∈A)中的 x 为横坐标,函数值 y 为纵坐标 的点 P(x,y)的集合 C,叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象.C 上每一点的坐标(x,y)均满足函 数关系 y=f(x),反过来,以满足 y=f(x)的每一组有序实数对 x、y 为坐标的点(x,y),均在 C 上 . (2) 画法 A、 描点法: B、 图象变换法 常用变换方法有三种 1) 平移变换 2) 伸缩变换 3) 对称变换 4.区间的概念 (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间 (2)无穷区间 (3)区间的数轴表示. 5.映射 一般地,设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则 f,使对于集合 A 中的 任意一个元素 x,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应,那么就称对应 f:A ?B 为 从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作“f(对应关系) :A(原象) ?B(象) ” 对于映射 f:A→B 来说,则应满足: (1)集合 A 中的每一个元素,在集合 B 中都有象,并且象是唯一的; (2)集合 A 中不同的元素,在集合 B 中对应的象可以是同一个; (3)不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象。 6.分段函数 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 (2)各部分的自变量的取值情况. (3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集. 补充:复合函数

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如果 y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为 f、g 的复合函数。

函数的性质
1.函数的单调性(局部性质) (1)增函数 设函数 y=f(x)的定义域为 I, 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1, x2, 当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调 增区间. 如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2),那么就说 f(x)在这个区间上是减函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调减区间. 注意:函数的单调性是函数的局部性质; (2)图象的特点 如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数, 那么说函数 y=f(x)在这一区间上具有(严格的) 单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法: ○ 1 任取 x1,x2∈D,且 x1<x2; ○ 2 作差 f(x1)-f(x2); ○ 3 变形(通常是因式分解和配方) ; ○ 4 定号(即判断差 f(x1)-f(x2)的正负) ; ○ 5 下结论(指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性) . (B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性 复合函数 f[g(x)]的单调性与构成它的函数 u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律: “同增 异减” 注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其 并集. 8.函数的奇偶性(整体性质) (1)偶函数 一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=f(x),那么 f(x)就叫做偶函数. (2) .奇函数 一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=—f(x),那么 f(x)就叫做奇函 数. (3)具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于 y 轴对称;奇函数的图象关于原点对称. 利用定义判断函数奇偶性的步骤: ○ 1 首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称; ○ 2 确定 f(-x)与 f(x)的关系; ○ 3 作出相应结论: 若 f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0, 则 f(x)是偶函数; 若 f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则 f(x)是奇函数. 注意: 函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件. 首先看函数的定义域是否关 于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称,(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)± f(x)=0 或 f(x)/f(-x)=±1 来判定; (3)利用定理,或借助函数的图象判定 . 9、函数的解析表达式 (1).函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出

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它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域. (2)求函数的解析式的主要方法有: 1) 凑配法 2) 待定系数法 3) 换元法 4) 消参法 10.函数最大(小)值(定义见课本 p36 页) ○ 1 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值 ○ 2 利用图象求函数的最大(小)值 ○ 3 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值: 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数 y=f(x)在 x=b 处有 最大值 f(b); 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数 y=f(x)在 x=b 处有 最小值 f(b);

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随堂练习
一、选择题

y-3 ? ? =1? ?( x, y ) | x-2 ? ,P={(x,y)| y≠x+1}, 1.设全集 U={(x,y)| x∈R,y∈R},集合 M= ?
那么 CU(M∪P)等于(). A. ? B.{(2,3)} C.(2,3) D.{(x,y)| y=x+1} 2.若 A={a,b},B ?A,则集合 B 中元素的个数是(). A.0 B.1 C .2 D.0 或 1 或 2 3.函数 y=f(x)的图象与直线 x=1 的公共点数目是(). A.1 B.0 C .0 或 1 D.1 或 2 4.设函数 f(x)=2x+3,g(x+2)=f(x),则 g(x)的表达式是(). A.2x+1 B.2x-1 C.2x-3 D.2x+7 3 2 5. 已知函数 f(x)=ax +bx +cx+d 的图象如图所示, 则(). A.b∈(-∞,0) B.b∈(0,1) C.b∈(1,2) D.b∈(2,+∞)
(第 5 题)

? x 2+bx+c,x ≤ 0 ? > 6. 设函数 f(x)= ? c,x 0 , 若 f(-4)=f(0),
f(-2)=-2,则关于 x 的方程 f(x)=x 的解的个数为(). A.1 B.2 C .3 D.4 7. 设集合 A={x | 0≤x≤6}, B={y | 0≤y≤2}, 下列从 A 到 B 的对应法则 f 不是映射的是(). 1 1 1 1 A.f:x→y= 2 x B.f:x→y= 3 x C.f:x→y= 4 x D.f:x→y= 6 x 8.有下面四个命题: ①偶函数的图象一定与 y 轴相交; ②奇函数的图象一定通过原点; ③偶函数的图象关于 y 轴对称; ④既是奇函数,又是偶函数的函数一定是 f(x)=0(x∈R). 其中正确命题的个数是( ). A.1 B.2 C .3 D.4 2 9.函数 y=x -6x+10 在区间(2,4)上是(). A.递减函数 B.递增函数 C.先递减再递增 D.先递增再递减 10.二次函数 y=x2+bx+c 的图象的对称轴是 x=2,则有(). A.f(1)<f(2)<f(4) B.f(2)<f(1)<f(4) C.f(2)<f(4)<f(1) D.f(4)<f(2)<f(1) 二、填空题 11.集合{3,x,x2-2x}中,x 应满足的条件是. 12.若集合 A={x | x2+(a-1)x+b=0}中,仅有一个元素 a,则 a=___,b=___.

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13.建造一个容积为 8 m3,深为 2 m 的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价每平方米 分别为 120 元和 80 元,那么水池的最低总造价为元. 14.已知 f(x+1)=x2-2x,则 f(x)=;f(x-2)=. 15.y=(2a-1)x+5 是减函数,求 a 的取值范围. 16.设 f(x)是 R 上的奇函数,且当 x∈[0,+∞)时,f(x)=x(1+x3),那么当 x∈ (-∞,0]时,f(x)=. 三、解答题 17.已知集合 A={x∈R| ax2-3x+2=0},其中 a 为常数,且 a∈R. ①若 A 是空集,求 a 的范围; ②若 A 中只有一个元素,求 a 的值; ③若 A 中至多只有一个元素,求 a 的范围.

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18.已知 M={2,a,b},N={2a,2,b2},且 M=N,求 a,b 的值.

19.证明 f(x)=x3 在 R 上是增函数.

20.判断下列函数的奇偶性:
1 2 (1)f(x)=3x + x ;
4

1+x (2)f(x)=(x-1) 1-x ;

1 + 1-x ; (3)f(x)= x-

2 1 2 (4)f(x)= x - + 1-x .

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21.已知集合 A={x| 3 ? x ? 7 }, B={x| 2<x<10}, C={x|x<a} (1)求 A ? B; (2)求

(CR A) ? B ; (3)若 A ? C ,求 a 的取值范围.

f ( x) = x3 +
22.已知函数

1 x ,判断 f ( x) 的奇偶性并且证明。

f ( x) =
23.已知函数

3x x + 1 ,求 f ( x) 在区间[2,5]上的最大值和最小值

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24.已知函

f ( x) = x - 1 + 1

(1)用分段函数的形式表示该函数; (2)画出该函数的图象; (3)写出该函数的值域。

25.已知定义在

??3, 2? 的一次函数 f ( x) 为单调增函数,且值域为 ? 2,7? ,

(I)求 f ( x ) 的解析式; (II)求函数

f ? f ( x)?

的解析式并确定其定义域。

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26.已知二次函数 f ( x ) 的最小值为 1,且 f (0) ? f (2) ? 3 。 (1)求 f ( x ) 的解析式; (2)若 f ( x ) 在区间 [2a, a ? 1] 上不单调,求实数 a 的取值范围; (3)在区间 [?1,1] 上, y ? f ( x) 的图象恒在 y ? 2 x ? 2m ? 1 的图象上方,试确定实数 m 的 取值范围。

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第二章

基本初等函数(Ⅰ)

课堂笔记
一、指数函数
(一)指数与指数幂的运算
n 1.根式的概念:一般地,如果 x ? a ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根,其中 n >1,且 n ∈ N *.

?

n 负数没有偶次方根;0 的任何次方根都是 0,记作 0 ? 0 。

?a (a ? 0) n a ? | a | ? ? n n ?? a (a ? 0) 当 n 是奇数时, a ? a ,当 n 是偶数时,
n

2.分数指数幂 正数的分数指数幂的意义,规定:
m n

a

?

m n

?

1 a
m n

?

1
n

a ? n a m (a ? 0, m, n ? N * , n ? 1) ,

a

m

(a ? 0, m, n ? N * , n ? 1)

? 0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义 3.实数指数幂的运算性质
r r ?s r (1) a · a ? a

(a ? 0, r , s ? R) ;

(2) (a ) ? a
r s r

rs

(a ? 0, r , s ? R) ;
s

(3) (ab) ? a a
r

(a ? 0, r , s ? R) .
x

(二)指数函数及其性质 1、 指数函数的概念: 一般地, 函数 y ? a (a ? 0, 且a ? 1) 叫做指数函数, 其中 x 是自变量, 函数的定义域为 R. 注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和 1. 2、指数函数的图象和性质 a>1
6 5

0<a<1
6 5

4

4

3

3

2

2

1

1

1

1

-4

-2

0
-1

2

4

6

-4

-2

0
-1

2

4

6

定义域 R

定义域 R

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值域 y>0 在 R 上单调递增 非奇非偶函数 函数图象都过定点(0,1)
x

值域 y>0 在 R 上单调递减 非奇非偶函数 函数图象都过定点(0,1)

注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出: (1)在[a,b]上, f (x) ? a (a ? 0且a ? 1) 值域是 [f (a ), f (b)] 或 [f (b), f (a )] ; (2)若 x ? 0 ,则 f ( x ) ? 1 ; f ( x ) 取遍所有正数当且仅当 x ? R ; (3)对于指数函数 f (x) ? a (a ? 0且a ? 1) ,总有 f (1) ? a
x

二、对数函数
(一)对数
x 1.对数的概念:一般地,如果 a ? N (a ? 0, a ? 1) ,那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数,

记作:

x ? loga N ( a —底数, N —真数, loga N —对数式)

说明:○ 1 注意底数的限制 a ? 0 ,且 a ? 1 ; ○ 2

a x ? N ? loga N ? x ;

○ 3 注意对数的书写格式. 两个重要对数: ○ 1 常用对数:以 10 为底的对数 lg N ;

loga N

○ 2 自然对数:以无理数 e ? 2.71828 ? 为底的对数的对数 ln N . ? 指数式与对数式的互化

幂值真数

ab = N ? log a N = b
底数 指数对数 (二)对数的运算性质 如果 a ? 0 ,且 a ? 1 , M ? 0 , N ? 0 ,那么: ○ 1

loga (M · N ) ? loga M + loga N ;

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○ 2 ○ 3

log a

M ? N loga M - loga N ;

loga M n ? n loga M (n ? R) .

注意:换底公式

loga b ?

logc b logc a ( a ? 0 ,且 a ? 1 ; c ? 0 ,且 c ? 1 ; b ? 0 ) .
1 n loga b ? log a b logb a . m ; (2)

利用换底公式推导下面的结论

(1)

log a m b n ?

(二)对数函数 1、对数函数的概念:函数

y ? loga x(a ? 0 ,且 a ? 1) 叫做对数函数,其中 x 是自变量,

函数的定义域是(0,+∞) . 注意:○ 1 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。如: y ? 2 log2 x ,
y ? log 5 x 5 都不是对数函数,而只能称其为对数型函数.

○ 2 对数函数对底数的限制: (a ? 0 ,且 a ? 1) . 2、对数函数的性质: a>1
3 2.5 2

0<a<1
3 2.5 2

1.5

1.5

1
-1

1

1
1

1

0.5

0.5

0

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

0

1

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

-1

-1.5

-1.5

-2

-2

-2.5

-2.5

定义域 x>0 值域为 R 在 R 上递增 函数图象都过定点(1,0)

定义域 x>0 值域为 R 在 R 上递减 函数图象都过定点(1,0)

三、幂函数
1、幂函数定义:一般地,形如 y ? x (a ? R) 的函数称为幂函数,其中 ? 为常数. 2、幂函数性质归纳. (1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义并且图象都过点(1,1) ; (2)? ? 0 时,幂函数的图象通过原点,并且在区间 [0,??) 上是增函数.特别地,当 ? ? 1
?

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时,幂函数的图象下凸;当 0 ? ? ? 1时,幂函数的图象上凸; (3)? ? 0 时,幂函数的图象在区间 (0,??) 上是减函数.在第一象限内,当 x 从右边趋向 原点时,图象在 y 轴右方无限地逼近 y 轴正半轴,当 x 趋于 ? ? 时,图象在 x 轴上方无限 地逼近 x 轴正半轴.

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随堂练习
指数函数专题练习
一、选择题
3 6

1. (

a 9 )4( 6

3

a 9 )4 等于() (A)a16(B)a8 (C)a4 (D)a2

2.若 a>1,b<0,且 ab+a-b=2 2 ,则 ab-a-b 的值等于() (A) 6 (B) ? 2 (C)-2 (D)2

3.函数 f(x)=(a2-1)x 在 R 上是减函数,则 a 的取值范围是() (A)

a ?1

(B)

a ?2

a? (C)a< 2 (D)1<

2

1 4.下列函数式中,满足 f(x+1)= 2 f(x)的是( 1 1 (A) 2 (x+1)(B)x+ 4 (C)2x
5.下列 f(x)=(1+ax)2 ? a
?x

)

(D)2-x

是()

(A)奇函数(B)偶函数(C)非奇非偶函数(D)既奇且偶函数

1 1 1 1 1 1 ? 3 3 6.已知 a>b,ab ? 0 下列不等式(1)a2>b2,(2)2a>2b,(3) a b ,(4)a >b ,(5)( 3 )a<( 3 )b
中恒成立的有() (A)1 个(B)2 个(C)3 个(D)4 个

2x ?1 x 7.函数 y= 2 ? 1 是()
(A)奇函数(B)偶函数(C)既奇又偶函数(D)非奇非偶函数

1 8.函数 y= 2 ? 1 的值域是()
x

(A) (- ? ,1 ) (B) (- ? , 0) ? (0,+ ? ) (C) (-1,+ ? ) (D) (- ? ,-1) ? (0,+ ? ) 9.下列函数中,值域为 R+的是()
1 2? x

(A)y=5

1 1 ( )x ?1 x (B)y=( 3 )1-x(C)y= 2 (D)y= 1 ? 2

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e x ? e?x 2 10.函数 y= 的反函数是()
(A)奇函数且在 R+上是减函数(B)偶函数且在 R+上是减函数 (C)奇函数且在 R+上是增函数(D)偶函数且在 R+上是增函数 11.下列关系中正确的是()

1 2 1 2 1 1 1 1 1 2 1 2 3 3 3 3 3 3 (A) ( 2 ) <( 5 ) <( 2 ) (B) ( 2 ) < ( 2 ) <( 5 ) 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 3 3 3 3 3 3 (C) ( 5 ) <( 2 ) <( 2 ) (D) ( 5 ) < ( 2 ) <( 2 )
12.若函数 y=3+2x-1 的反函数的图像经过 P 点,则 P 点坐标是() (A) (2,5) (B) (1,3) (C) (5,2) (D) (3,1) x -1 13.函数 f(x)=3 +5,则 f (x)的定义域是() (A) (0,+ ? ) (B) (5,+ ? ) (C) (6,+ ? ) (D) (- ? ,+ ? ) x 14.若方程 a -x-a=0 有两个根,则 a 的取值范围是() (A) (1,+ ? ) (B) (0,1) (C ) (0,+ ? ) (D) ? 15.已知函数 f(x)=ax+k,它的图像经过点(1,7) ,又知其反函数的图像经过点(4,0) ,则 函数 f(x)的表达式是() (A)f(x)=2x+5 (B)f(x)=5x+3 (C)f(x)=3x+4 (D)f(x)=4x+3 16.已知三个实数 a,b=aa,c=a
aa

,其中 0.9<a<1,则这三个数之间的大小关系是()

(A)a<c<b (B)a<b<c (C)b<a<c (D)c<a<b 17.已知 0<a<1,b<-1,则函数 y=ax+b 的图像必定不经过() (A)第一象限(B)第二象限 (C)第三象限(D)第四象限 二、填空题 1.若 a <a
x
3 2

2

,则 a 的取值范围是。

2.若 10 =3,10y=4,则 10x-y=。
3 5

x x

?

3 5

x x ×2

5 3

x x =。

3.化简

1 x 5 ?1 4.函数 y= x ? 1 的定义域是。
1 1 5.直线 x=a(a>0)与函数 y=( 3 )x,y=( 2 )x,y=2x,y=10x 的图像依次交于 A、B、C、D 四点,则
这四点从上到下的排列次序是。

18

高中数学必修一笔记和习题

6.函数 y=3

2 ?3 x 2

的单调递减区间是。

7.若 f(52x-1)=x-2,则 f(125)=.

1 8.已知 f(x)=2 ,g(x)是一次函数,记 F(x)=f[g(x)],并且点(2, 4 )既在函数 F(x)的图
x

像上,又在 F-1(x)的图像上,则 F(x)的解析式为. 三、解答题 1. 设 0<a<1,解关于 x 的不等式 a
2 x 2 ?3 x ?1

>a

x 2 ? 2 x ?5



2. 设 f(x)=2x,g(x)=4x,g[g(x)]>g[f(x)]>f[g(x)],求 x 的取值范围。

1 1 ? x ?1 x 2 3. 已知 x ? [-3,2],求 f(x)= 4 的最小值与最大值。

19

高中数学必修一笔记和习题

a ? 2x ? a ? 2 ( x ? R) 2x ?1 4. 设 a ? R,f(x)= ,试确定 a 的值,使 f(x)为奇函数。

1 x 2 ? 2 x ?5 5. 已知函数 y=( 3 ) ,求其单调区间及值域。

6. 若函数 y=4x-3·2x+3 的值域为[1,7],试确定 x 的取值范围。

20

高中数学必修一笔记和习题

a x ?1 (a ? 1) x 7.已知函数 f(x)= a ? 1 ,(1)判断函数的奇偶性;(2)求该函数的值域;(3)证明 f(x)是 R
上的增函数。

21

高中数学必修一笔记和习题

对数函数专题练习
一、选择题:
a log3 8 ? 2log3 6 用 a 表示 是() 1、已知 3 ? 2 ,那么

A、 a ? 2

B、 5a ? 2

C、 3a ? (1 ? a)

2

D、 3a ? a

2

M 2log ( M ? 2 N ) ? log M ? log N a a a 2、 ,则 N 的值为() 1 A、 4
2 2

B、4

C、1

D、4 或 1

3、已知 x ? y ? 1, x ? 0, y ? 0 ,且

log a (1 ? x) ? m, log a

1 ? n, 则 log a y 1? x 等于()

A、 m ? n

B、 m ? n
2

1 ? m ? n? C、 2

1 ? m ? n? D、 2
).

4.若 x 1 ,x 2 是方程 lg x +(lg3+lg2)lgx+lg3· lg2 = 0 的两根,则 x 1 x 2 的值是(

(A).lg3· lg2

(B).lg6
? 1

(C).6

1 (D). 6

log7 [log3 (log2 x)] ? 0 ,那么 x 2 等于() 5、已知
1 A、 3

1
B、 2 3

1
C、 2 2

1
D、 3 3

lg 12 6.已知 lg2=a,lg3=b,则 lg 15 等于()
2a ? b A. 1 ? a ? b a ? 2b B. 1 ? a ? b 2a ? b C. 1 ? a ? b a ? 2b D. 1 ? a ? b

7、函数 y ? log(2 x ?1) 3x ? 2 的定义域是()

?2 ? ? ,1? ? ?1, ?? ? A、 ? 3 ? ?2 ? ? , ?? ? ? C、 ? 3

?1 ? ? ,1? ? ?1, ?? ? B、 ? 2 ? ?1 ? ? , ?? ? ? D、 ? 2

22

高中数学必修一笔记和习题

y ? log 1 ( x2 ? 6 x ? 17)
8、函数 A、 R 9、若
2

的值域是() B、

?8, ?? ?

C、

? ??, ?3?

D、

?3, ?? ?

logm 9 ? logn 9 ? 0 ,那么 m, n 满足的条件是()
C、 0 ? n ? m ? 1 D、 0 ? m ? n ? 1

A、 m ? n ? 1 B、 n ? m ? 1

10、

log a

2 ?1 3 ,则 a 的取值范围是()

? 2? ? 0, ? ? ?1, ?? ? A、 ? 3 ?
11、下列函数中,在

?2 ? ? , ?? ? ? B、 ? 3

?2 ? ? ,1? C、 ? 3 ?

? 2? ?2 ? ? 0, ? ? ? , ?? ? ? D、 ? 3 ? ? 3

? 0, 2 ? 上为增函数的是()
x2 ?1

y ? log 1 ( x ? 1)
A、
2

B、 y ? log 2

C、

y ? log 2

1 y ? log 1 ( x2 ? 4x ? 5) 2 x D、
1

12.已知函数 y=log 2 (ax2+2x+1)的值域为 R,则实数 a 的取值范围是() A.a> 1 B.0≤a<1 C.0<a<1 D.0≤a≤1

二、填空题: (本题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,请把答案填写在答题纸上)

1 13 计算:log2.56.25+lg 100 +ln e +
14、函数

21?log2 3 = .

y ? log( x-1) (3- x)

的定义域是。
2

lg50 ? (lg 2) ? 。 15、 lg 25 ? lg 2?
16、函数 是(奇、偶)函数。 三、解答题: 17 已知 y=loga(2-ax)在区间{0,1}上是 x 的减函数,求 a 的取值范围.

f ( x) ? lg

?

x2 ? 1 ? x

?

23

高中数学必修一笔记和习题

f ( x 2 ? 3) ? lg
18、已知函数

x2 x2 ? 6 ,

(1)求 f ( x ) 的定义域;(2)判断 f ( x ) 的奇偶性。

19、已知函数

f ( x) ? log 3

mx 2 ? 8 x ? n ?0, 2? ,求 m, n 的值。 x2 ? 1 的定义域为 R ,值域为

24

高中数学必修一笔记和习题

20.已知 x 满足不等式 2log

1 2

x +7log x +3≤0,求函数 f(x)=log 2

2

1 2

x x 4 ? log 2 2 的最大值

和最小值。 (换元法是必须要有的)求多种方法。

21. 已知 x>0,y ? 0,且 x+2y=1,求 g=log

1 2

(8xy+4y2+1)的最小值

25

高中数学必修一笔记和习题

10 x ? 10? x x ?x 22. 已知函数 f(x)= 10 ? 10 。
(1)判断 f(x)的奇偶性与单调性; (2)求 f
?1

x

26

高中数学必修一笔记和习题

幂函数专题练习
一、选择题 1.下列函数不是幂函数的是( ) -1 x A.y=2 B.y=x C.y= x D.y=x2 2.下列函数定义域为(0,+∞)的是( 1 2 1 - 3 C.y=x ) 1 - 2 D.y=x )

A.y=x

-2

B.y=x

3.若幂函数 y=xn,对于给定的有理数 n,其定义域与值域相同,则此幂函数( A.一定是奇函数 B.一定是偶函数 C.一定不是奇函数 D.一定不是偶函数 4.如果幂函数 y=(m2-3m+3)xm2-m-2 的图象不过原点,那么( ) A.-1≤m≤2 B.m=1 或 m=2C.m=2 D.m=1 5.

函数 y=xa,y=xb,y=xc 的图象如图所示,则实数 a、b、c 的大小关系为( A.c<b<a B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b 1 6.函数 y=xα 与 y=αx(α∈{-1, ,2,3})的图象只可能是下面中的哪一个( 2

)

)

27

高中数学必修一笔记和习题

2 3 2 3 5 2 5 2 5 7.设 a=( ) ,b=( ) ,c=( ) ,则 a,b,c 的大小关系是( 5 5 5 A.a>c>b B.a>b>cC.c>a>b D.b>c>a 8.幂函数的图象过点(2,4),则它的单调增区间为( ) A.(-∞,1) B.(-∞,0)C.(0,+∞) ) D.(-∞,+∞) 二、填空题 1 1 9.已知幂函数 y=f(x)过点(3, ),则 f( )=________. 4 27

)

10.若函数 y=(m2-m-1)xm2-2m-1 是幂函数,且是偶函数,则 m=________. 11.设 f(x)=(m-1)xm2-2,如果 f(x)是正比例函数,那么 m=________;如果 f(x)是反比例 函数,那么 m=________;如果 f(x)是幂函数,那么 m=________. 12.下列函数中,在(0,1)上单调递减,且为偶函数的是________. 1 2 1 3

①y=x

;②y=x4;③y=x 2;④y=-x


.

三、解答题 - - 13.已知函数 f(x)=(m2-m-1)x 5m 3,m 为何值时. (1)f(x)是正比例函数;(2)f(x)是反比例函数;(3)f(x)是二次函数;(4)f(x)是幂函数.

. 14. 已知函数 y=xn2-2n-3(n∈Z)的图象与两坐标轴都无公共点, 且其图象关于 y 轴对称, 求 n 的值,并画出函数的图象.

28

高中数学必修一笔记和习题

15.已知 f(x)=x-n2+2n+3(n=2k,k∈Z)的图象在[0,+∞)上单调递增,解不等式 f(x2- x)>f(x+3).

16.(2012~2013 温州联考)已知幂函数 f(x)=x-m2+2m+3(m∈Z)为偶函数,且在区间(0, +∞)上是单调增函数. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)设函数 g(x)= f?x?+2x+c,若 g(x)>2 对任意的 x∈R 恒成立,求实数 c 的取值范围.

29

高中数学必修一笔记和习题

指数函数、对数函数和幂函数专题练习
一、选择题 1.如果函数 f(x)=(a2-1)x 在 R 上是减函数,那么实数 a 的取值范围是(). A.|a|>1 B.|a|<2 C.|a|>3 D.1<|a|< 2
-1

2.函数 y=ax 在[0,1]上的最大值与最小值之和为 3,则函数 y=3ax 大值是(). A.6 B.1 C .3 x-2 3.函数 y=a +1(a>0,a≠1)的图象必经过定点(). A.(0,1) B.(1,1) C.(2,0)
?1? ? ? 4.设 f(x)= ? 2 ? ,x∈R,那么 f(x)是().
x

在[0,1]上的最

3 D. 2

D.(2,2)

A.奇函数且在(0,+∞)上是增函数 B.偶函数且在(0,+∞)上是增函数 C.奇函数且在(0,+∞)上是减函数 D.偶函数且在(0,+∞)上是减函数
1 5.设 a>0,a≠1,函数 y=logax 的反函数和 y=loga x 的反函数的图象关于(). A.x 轴对称 B.y 轴对称 C.y=x 对称 D.原点对称
? 1? ?1- ? 6.函数 y=lg ? x ? 的定义域为().

A.{x|x<0} B.{x|x>1}C.{x|0<x<1} D.{x|x<0 或 x>1} 2x x 7.设 0<a<1,函数 f(x)=loga(a -2a -2),则使 f(x)<0 的 x 的取值范围是(). A.(-∞,0) B.(0,+∞) C.(-∞,loga3) D.(loga3,+∞) x-b 8.函数 f(x)=a 的图象如图,其中 a、b 为常数,则下列结论正确的是(). A.a>1,b<0 B.a>1,b>0 C.0<a<1,b>0 D.0<a<1,b<0 n 9. 如图是幂函数 y=x 在第一象限内的图象,已知 n 取±2, 1 ± 2 四值。则相应于曲线 C1,C2,C3,C4 的 n 依次为( ).
1 1 2 A.-2,- , 2 ,2 1 1 B.2, 2 ,- 2 ,-2? 1 1 C.- 2 ,-2,2, 2 1 1 D.2, 2 ,-2,- 2 1 x+1 2 10.若函数 f(x)= ,则该函数在(-∞,+∞)上是(
(第 8 题)

新疆 奎屯

王新敞

(第 9 题)

).

30

高中数学必修一笔记和习题

A.单调递减无最小值 B.单调递减有最小值 C.单调递增无最大值 D.单调递增有最大值 二、填空题 - 11.函数 y=-2 x 的图象一定过____象限. 12.当 x>0 时,函数 f(x)=(a2-1)x 的值总大于 1,则 a 的取值范围是_________. 13.函数 f(x)=(a2-1)x 是增函数,则 a 的取值范围是 . 4-5x-x 14.函数 y=3 的递增区间是 . 2 1 log1 (2-x) 2 15.函数 y= 的定义域是. 16.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,若当 x≥0 时,f(x)=log3(1+x),则 f(-2)=_____. 三、解答题 17.如果函数 y=a2x+2ax-1(a>0 且 a≠1)在区间[-1,1]上最大值为 14,求 a 的值.

31

高中数学必修一笔记和习题

18.求函数 y=3

x 2-1

的定义域及单调递增区间.

1? ? ? 0, ? 2 ? 内恒成立,求实数 m 的取值范围. 19.若不等式 x2-logmx<0 在 ?

32

高中数学必修一笔记和习题

20*.已知函数 f(x)=x

1 3 ? p2 ? p? 2 2

(p∈Z)在(0,+∞)上是增函数,且在其定义域上是偶函数. 求

p 的值, 并写出相应的函数 f(x)的解析式. [提示: 若 f(x)=x?在(0, +∞)是增函数, 则?>0. ]

21.计算下列各式 (1)(lg2)2+lg2· lg50+lg25; 1 3 7?0.5 ? 10? 0 (2)? ?29? +?227? -2π ;

? 4 6 (3)(lg5)2+lg2lg5+lg20- ?-4?2· 125+2?

? 1+

1 2

? ?. log25?

33

高中数学必修一笔记和习题

22.已知函数 f(x)=loga(1+x),g(x)=loga(1-x),其中 a>0,a≠1,设 h(x)=f(x)-g(x). (1)判断 h(x)的奇偶性,并说明理由; (2)若 f(3)=2,求使 h(x)>0 成立的 x 的集合.

3 ? 23.已知 0<a<1,函数 f(x)=loga(6ax2-2x+3)在? ?2,2?上单调递增,求 a 的取值范围.

34

高中数学必修一笔记和习题

2 ? 1 ? ?2 24.已知 f(x)=? ?log?log4x?x? -log1 x+5,A={x|2x -6x+8≤1},当 x∈A 时,求 f(x)的最 4

值.

25.已知函数 f(x)=ax k(a>0,且 a≠1)的图像过(-1,1)点,其反函数 f 1(x)的图像过点(8,2). (1)求 a,k 的值; (2)若将其反函数的图像向左平移 2 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度,就得到函数 y =g(x)的图像,写出 y=g(x)的解析式; (3)若 g(x)≥3m-1 在[2,+∞)恒成立,求实数 m 的取值范围.
+ -

35

高中数学必修一笔记和习题

第三章

函数的应用

课堂笔记
一、方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念:对于函数

y ? f ( x)(x ? D) , 把 使 f ( x) ? 0

成立的实数

x

叫做函数

y ? f ( x)(x ? D) 的零点。
2、函数零点的意义: 函数 轴交点的横坐标。 即:方程

y ? f ( x) 的零点就是方程 f ( x) ? 0 实数根,亦即函数 y ? f ( x) 的图象与 x

f ( x) ? 0 有实数根 ? 函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴有交点 ? 函数 y ? f ( x) 有零点. f ( x) ? 0 的实数根;○ 2 (几何法)对于不能用求根公式的方程,

3、函数零点的求法:○ 1 (代数法) 求方程 可以将它与函数

y ? f ( x) 的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.
2

4、二次函数的零点:二次函数 y ? ax ? bx ? c(a ? 0) .
(1)△>0,方程 ax 个零点. (2)△=0,方程 ax
2 2

? bx ? c ? 0 有两不等实根,二次函数的图象与 x 轴有两个交点,二次函数有两

? bx ? c ? 0 有两相等实根,二次函数的图象与 x 轴有一个交点,二次函数有一

个二重零点或二阶零点. (3)△<0,方程 ax
2

? bx ? c ? 0 无实根,二次函数的图象与 x 轴无交点,二次函数无零点.
收集数据

5.函数的模型

画散点图

不 符 合 实 际

选择函数模型

求函数模型

检验 符合实际 用函数模型解释实际问题 36

高中数学必修一笔记和习题

随堂练习
一、选择题 1.函数 f(x)=6x2-5x-1 的零点是(). 1 1 1 2 3 A. 或 B.1 或- 6 2.函数 f(x)=x -2x+1 的一个零点是(). A.- 1 B.0 C .1 D.2
4

C .2 或 3

D.1 或-6

3.下列四个函数的图象中,在区间(0,+∞)上有零点的是().

①②③④ (第 3 题 ) A.①② B.①③④ C .②④ D.①④ 4.下列判断正确的是(). A.二次函数一定有零点 B.奇函数一定有零点 C.偶函数一定有零点 D.以上说法均不正确 5.下列各函数的图象与 x 轴均有交点,但不宜用二分法求零点近似值的是(

).

A

B

C

(第 5 题)

D

37

高中数学必修一笔记和习题

6.用二分法求函数 f(x)=x3+x2-2x-1 的一个正零点,可选作计算的初始区间的是( ). A. [-1,1] B. [0,1] C. [1,2] D. [2,3] 7.函数 y=loga x(a>0,a≠1)有( )个零点. A.1 B.2 C .3 D.不能确定 3 2 2 8.方程 x +ax -(a +1)x = 0 的根的个数是( ). A.1 B.2 C .3 D.不能确定 2 9.若 2 是函数 f(x)= x +ax-6 的一个零点,则实数 a 的值为( ). A.-1 B.1 C.-3 D.3 10.某水果批发市场规定:批发水果不少于 100 千克时,批发价为每千克 2.5 元,小王携带 现金 3000 元到市场采购水果,并以批发价买进水果 x 千克,小王付款后剩余现金为 y 元, 则 x 与 y 之间的函数关系为( ). A.y=3 000-2.5x,(100≤x≤1 200) B.y=3 000-2.5x,(100<x<1 200) C.y=3 000-100x,(100<x<1 200) D.y=3 000-100x,(100≤x≤1 200) 二、填空题 11.函数 f(x)=x3-x 的零点是__________________. 12.若函数 f(x)=ax2+2x-1 一定有零点,则实数 a 的取值范围是___________. 13.已知函数 f(x)=2mx+4 在区间[-2,1]上存在零点,则实数 m 的取值范围是______. 14.用二分法求函数 f(x)=x3-2x-5 的一个零点时,若取区间[2,3]作为计算的初始区 间,则下一个区间应取为. 15.已知函数 f(x)=ax2+bx+c 的两个零点是-1 和 2,且 f(5)<0,则此函数的单调递增区 间为. 16. 某卡车在同一时间段里的速度 v(km/h)与耗油量 Q(kg/h)之间有近似的函数关系式 Q= 0.002 5v2-0.175v+4.27,则车速为 km/h 时,卡车的油耗量最少. 三、解答题 17.若二次函数 f(x)=-x2+2ax+4a+1 有一个零点小于-1,一个零点大于 3,求实数 a 的 取值范围.

18. 设 f(x)和 g(x)的图象在[a,b]上是连续不断的,且 f(a)<g(a),f(b)>g(b),试证明:在 (a,b)内至少存在一点 x0,使 f(x0)=g(x0).

38

高中数学必修一笔记和习题

19.若一次函数 f(x)=kx+1-3k 在区间[1,2]内有零点,求实数 k 的取值范围.

20. 说明函数 f(x)=x3-3x+1 在区间(1,2)内必有零点,并用二分法求出一个零点的近似值 (误差不超过 0.01).

39

高中数学必修一笔记和习题

参考答案
第一章集合与函数概念 参考答案 一、选择题 1.B 解析:集合 M 是由直线 y=x+1 上除去点(2,3)之后,其余点组成的集合.集合 P 是坐标平 面上不在直线 y=x+1 上的点组成的集合,那么 M ? P 就是坐标平面上不含点(2,3)的所有 点组成的集合.因此 CU(M ? P)就是点(2,3)的集合. CU(M ? P)={(2,3)}.故选 B. 2.D 解析:∵A 的子集有 ? ,{a},{b},{a,b}.∴集合 B 可能是 ? ,{a},{b},{a,b}中的某 一个,∴选 D. 3.C 解析: 由函数的定义知, 函数 y=f(x)的图象与直线 x=1 是有可能没有交点的, 如果有交点, 那么对于 x=1 仅有一个函数值. 4.B 解析:∵g(x+2)=2x+3=2(x+2)-1,∴g(x)=2x-1. 5.A 解析:要善于从函数的图象中分析出函数的特点. 解法 1:设 f(x)=ax(x-1)(x-2)=ax3-3ax2+2ax,比 较系数得 b=-3a,c=2a,d=0.由 f(x)的图象可以 知道 f(3)>0,所以 (第 5 题) f(3)=3a(3-1)(3-2)=6a>0, 即 a>0, 所以 b<0. 所 以正确答案为 A. 解法 2:分别将 x=0,x=1,x=2 代入 f(x)=ax3+bx2+cx+d 中,求得 d=0,a= 1 2 1 2 3 1 bx 3 2 2 - 3 b,c=- 3 b. ∴f(x)=b(- 3 x +x - 3 x)=- 3 [(x- 2 ) - 4 ] .
3 1 2 由函数图象可知,当 x∈(-∞,0)时,f(x)<0,又[(x- 2 ) - 4 ]>0,∴b<0. 3 1 2 2 x∈(0,1)时,f(x)>0,又[(x- ) - 4 ]>0,∴b<0. 3 1 x∈(1,2)时,f(x)<0,又[(x- 2 )2- 4 ]<0,∴b<0. 3 1 2 x∈(2,+∞)时,f(x)>0,又[(x- 2 ) - 4 ]>0,∴b<0. 故 b∈(-∞,0).

6.C 解:由 f(-4)=f(0),f(-2)=-2,

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b ? ? ? ? ?2 ?b ? 4 2 ? ? ? 得 ?4 ? 2b ? c ? ?2 ,∴ ?c ? 2 .

∴f(x)=

? x 2+4 x+2, ( x 0) ≤ ? ( x 0) > ?2,
x>0 x=2

x≤0 ? ? 2 x +41 x+ 2x = x 2;由得 x=2. 由? 得 x =- 或 =- 综上,方程 f(x)=x 的解的个数是 3 个. 7.A

1 解:在集合 A 中取元素 6,在 f:x→y= 2 x 作用下应得象 3,但 3 不在集合 B= {y|0≤y≤2}中,所以答案选 A. 8.A 提示:①不对;②不对,因为偶函数或奇函数的定义域可能不包含 0;③正确;④不对,既 是奇函数又是偶函数的函数还可以为 f(x)=0,x∈(-a,a).所以答案选 A. 9.C 解析:本题可以作出函数 y=x2-6x+10 的图象,根据图象可知函数在(2,4)上是先递减再 递增.答案选 C. 10.B 解析:∵对称轴 x=2,∴f(1)=f(3). ∵y 在〔2,+∞〕上单调递增, ∴f(4)>f(3)>f(2),于是 f(2)<f(1)<f(4).∴答案选 B. 二、填空题 11.x≠3 且 x≠0 且 x≠-1. x≠3, ? x2-2x≠3, ? ? x2-2x≠x. ? ? 解析:根据构成集合的元素的互异性,x 满足

解得 x≠3 且 x≠0 且 x≠-1. 1 1 12.a= 3 ,b= 9 . 解析:由题意知,方程 x2+(a-1)x+b=0 的两根相等且 x=a,则△=(a-1)2-4b=0①, 1 1 2 3 将 x=a 代入原方程得 a +(a-1)a+b=0 ②,由①②解得 a= ,b= 9 . 13.1 760 元. 解析:设水池底面的长为 x m,水池的总造价为 y 元,由已知得水池底面面积为 4 m2.,水池 4 底面的宽为 x m. 池底的造价 y1=120×4=480.
4 16 池壁的造价 y2=(2×2x+2×2× x )×80=(4x+ x )×80.

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16 水池的总造价为 y=y1+y2=480+(4x+ x )×80, 4 即 y=480+320(x+ x )
2 ?? ? 2 ? ?? ? ? x - + 4 ? ? ? ? x ? ? ?. =480+320 ?

2

当 x = x ,即 x=2 时,y 有最小值为 480+320×4=1 760 元. 14.f(x)=x2-4x+3,f(x-2)=x2-8x+15. 解析: 令 x+1=t, 则 x=t-1, 因此 f(t)=(t-1)2-2(t-1)=t2-4t+3, 即 f(x)=x2-4x+3. ∴ 2 2 f(x-2)=(x-2) -4(x-2)+3=x -8x+15. 1 15.(-∞, 2 ).
1 解析:由 y =(2a-1)x+5 是减函数,知 2a-1<0,a< 2 . 16.x(1-x3). 解析:任取 x∈(-∞,0] ,有-x∈[0,+∞), 3 ∴f(-x)=-x[1+(-x) ]=-x(1-x3), ∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x). ∴f(x)=-f(-x)=x(1-x3), 即当 x∈(-∞,0]时,f(x)的表达式为 x(1-x3). 三、解答题 17.解:①∵A 是空集, ∴方程 ax2-3x+2=0 无实数根.
0, ≠ ?a   9 ? ? = 9 - 8 a    0 , < ∴? 解得 a> 8 .

②∵A 中只有一个元素, ∴方程 ax2-3x+2=0 只有一个实数根.
2 当 a=0 时,方程化为-3x+2=0,只有一个实数根 x= 3 ; 9 当 a≠0 时,令Δ =9-8a=0,得 a= 8 ,这时一元二次方程 ax2-3x+2=0 有两个相等的实 数根,即 A 中只有一个元素. 9 8 由以上可知 a=0,或 a= 时,A 中只有一个元素.

③若 A 中至多只有一个元素,则包括两种情形:A 中有且仅有一个元素;A 是空集.由①② 9 的结果可得 a=0,或 a≥ 8 . 18.解:根据集合中元素的互异性,有

?a ? 2a ?a ? b2 或 ? ? 2 ?b ? b ?b ? 2a
1 a= 4 1 b= 2

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解得或或

a=0

a=0
1 a= 4 1 b= 2

b=1 b=0 再根据集合中元素的互异性,得或 a=0 19.证明:设 x1,x2∈R 且 x1<x2,则 b=1 3 3 2 2 f(x1)-f(x2)= x1 - x2 =(x1-x2)( x1 +x1x2+ x2 ).

1 3 2 2 2 2 x x 1 2 2 又 +x1x2+ =(x1+ x2) + 4 x2 . 1 由 x1<x2 得 x1-x2<0,且 x1+ 2 x2 与 x2 不会同时为 0,

否则 x1=x2=0 与 x1<x2 矛盾, 所以 x1 +x1x2+ x2 >0. 因此 f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2), f(x)=x3 在 R 上是增函数. 20.解:(1)∵函数定义域为{x | x∈R,且 x≠0},
2 2

1 1 1 2 2 2 4 (-x) 4 4 x x f(-x)=3(-x) + =3x + =f(x),∴f(x)=3x + 是偶函数.
≥0
?(1+x)(1-x) 1+x ? 1-x ? 0 (2)由 1-x ≥0 ? ? 解得-1≤x<1.

1+x ∴函数定义域为 x∈[-1,1),不关于原点对称,∴f(x)=(x-1) 1-x 为非奇非偶函数.

1 + 1-x 定义域为 x=1, (3)f(x)= x-
∴函数为 f(x)=0(x=1),定义域不关于原点对称,

1 + 1-x 为非奇非偶函数. ∴f(x)= x-
x 2-1≥ 0
2 1 2 2 (4)f(x)= x - + 1-x 定义域为 1-x ≥ 0 ?x∈{±1}, 2 1 2 ∴函数变形为 f(x)=0 (x=±1),∴f(x)= x - + 1-x 既是奇函数又是偶函数.

21.解:(1)A∪B={x∣2<x<10}……………..4 分 (2)

CR A = {x | x < 3或x ? 7}

(CR A)∩B={ x∣2<x<3 或 7≤x<10}.........................8 分 (3)a≥7........................12 分 22.解: f ( x)是奇函数 …………….2 分

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(-ト,0)(0,+? ) 证明: f ( x) 的定义域是 ,定义域关于原点对称…………….4 分
在 f ( x) 的定义域内任取一个 x,则有

f (- x) = (- x)3 +

1 1 = - ( x 3 + 3 ) = - f ( x) 3 (- x) x …………….10 分

所以, f ( x) 是奇函数…………….12 分 23.解:在[2,5]上任取两个数

x1 < x2 ,则有…………….2 分

f ( x1 ) - f ( x2 ) =

3x1 3x2 3( x1 - x2 ) = <0 x1 + 1 x2 + 1 ( x1 + 1)( x2 + 1) …………….8 分

所以, f ( x) 在[2,5]上是增函数。…………….10 分

f ( x)min = f (2) = 2 …………….12 分 所以,当 x = 2 时,
f ( x) max = f (5) = 5 2 …………….14 分

当 x = 5 时,

24.解:(1) …………….6 分

(2)画图(略)…………….10 分

ì x,( x ? 1) ? ? y= í ? ? ? 2 - x,( x < 1)

(3)值域

? ?? ?1,

……………14 分

25.解: (1)设 f ( x) ? kx ? b(k ? 0) …………….2 分

??3k ? b ? 2 ? 2k ? b ? 7 …………….6 分 由题意有: ? ?k ? 1 ?? ?b ? 5 …………….8 分
? f ( x) ? x ? 5 , x ?? ?3, 2? ………….10 分

x ???3? (2) f ( f ( x)) ? f ( x ? 5) ? x ? 10 …………….14 分
26.解: (1)由已知,设 f ( x) ? a( x ?1) ? 1 ,…………….2 分
2

由 f (0) ? 3 ,得 a ? 2 ,故 f ( x) ? 2 x ? 4 x ? 3 。???????4 分
2

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(2)要 使函数不单调,则 2a ? 1 ? a ? 1 ,则

0?a?

1 2 。?????8 分

2 2 (3)由已知,即 2 x ? 4 x ? 3 ? 2 x ? 2m ? 1 ,化简得 x ? 3x ? 1 ? m ? 0 …………10 分

2 g ( x)min ? 0 ,?????12 分 设 g ( x) ? x ? 3x ? 1 ? m ,则只要



g ( x)min ? g (1) ? ?1 ? m ,得 m ? ?1 。?????14 分

第二章 基本初等函数(Ⅰ) 指数与指数函数参考答案 一、选择题 题号 答案 1 A 2 C 3 D 4 D 5 D 6 B 7 C 8 A 9 D 10 B

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题号 答案

11 C

12 D

13 C

14 B

15 A

16 D

17 A

18 A

19 A

20 D

二、填空题

1.0<a<1

3 2. 4

3.1

4.(- ? ,0) ? (0,1) ? (1,+ ? )

?x ? 1 ? 0 ? ? x x ?1 ? ?5 ? 1 ? 0 ,联立解得 x ? 0,且 x ? 1。

1 5.[( 3 )9,39]

1 令 U=-2x2-8x+1=-2(x+2)2+9,∵ -3 ? x ? 1,? ?9 ? U ? 9 ,又∵y=( 3 )U

1 为减函数,∴( 3 )9 ? y ? 39。
7. (0,+ ? )

6。D、C、B、A。

令 y=3U,U=2-3x2, ∵y=3U 为增函数,∴y=3 3 8.0 f(125)=f(53)=f(52
×2-1

2 ?3 x 2

的单调递减区间为[0,+ ? ) 。

)=2-2=0。

1 9. 3 或 3。
2 Y=m2x+2mx-1=(mx+1)2-2, ∵它在区间[-1, 1]上的最大值是 14, ∴ (m-1+1) -2=14 或 (m+1)

1 2 -2=14,解得 m= 3 或 3。
?

10.2

12 10 x? 7 7

1 11. ∵ g(x)是一次函数, ∴可设 g(x)=kx+b(k ? 0), ∵F(x)=f[g(x)]=2kx+b。 由已知有 F (2) =4 ,

? 2 k ?b 1 ?2k ? b ? ?2 ? ?2 4即? ? 1 ?1 1 12 10 k ?b ?1 12 10 ? 4 k ?b ? x? 4 ? 2 ? 2 7 - 7 ? 4 7 7 F( )=2,∴ ,∴ k=- ,b= ,∴f(x)=2
三、解答题 1. ∵0<a<2,∴ y=ax 在 (- ? , +?) 上为减函数, ∵ a 解得 2<x<3, 2.g[g(x)]=4 ∴2
2x+1

2 x 2 ?3 x ?1

>a

x 2 ? 2 x ?5

, ∴2x2-3x+1<x2+2x-5,

4x

=4
2x,

2

2x

=2

2

2 x ?1

,f[g(x)]=4

2x

=2

22 x

,∵ g[g(x)]>g[f(x)]>f[g(x)], ∴2

2 2 x ?1

>2

2 x ?1

>2

22 x

,

>2

x+1

>2 ∴2x+1>x+1>2x,解得 0<x<1

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1 1 1 3 ? x ? 1 ? 4 ? x ? 2 ? x ? 1 ? 2 ? 2 x ? 1 ? (2 ? x ? ) ? x 2 4 , 2 3.f(x)= 4

∵ x ? [-3,2],



1 1 3 ? 2?x ? 8 -x 4 .则当 2 = 2 ,即 x=1 时,f(x)有最小值 4 ;当 2-x=8,即 x=-3 时,f(x)有最大值 57。 2 2 , f (? x) ? a ? ? x 2 ? 1 =a4.要使 f(x)为奇函数,∵ x ? R,∴需 f(x)+f(-x)=0, ∴f(x)=a- 2 ? 1
x

2 x ?1 2 2 x ?1 2(2 x ? 1) 2(2 x ? 1) ? a ? ? 0,? a ? 1 2 x ? 1 ,由 a- 2 x ? 1 2 x ? 1 =0,得 2a- 2 x ? 1 =0,得 2a- 2 x ? 1 。
1 5.令 y=( 3 )U,U=x2+2x+5,则 y 是关于 U 的减函数,而 U 是(- ? ,-1)上的减函数,[-1,+ ? ] 1 x 2 ? 2 x ?5 上的增函数,∴ y=( 3 ) 在(- ? ,-1)上是增函数,而在[-1,+ ? ]上是减函数,又∵ 1 1 2 x ? 2 x ? 5 U=x2+2x+5=(x+1)2+4 ? 4, ∴y=( 3 ) 的值域为(0, ( 3 )4)]。
x 2x x 6.Y=4x-3 ? 2 ? 3 ? 2 ? 3 ? 2 ? 3 ,依题意有

x 2 x x ? ?(2 ) ? 3 ? 2 ? 3 ? 7 ? ?? 1 ? 2 ? 4 ? x 2 ? x x x x x ? ?(2 ) ? 3 ? 2 ? 3 ? 1 即 ? ?2 ? 2或2 ? 1 ,∴ 2 ? 2 ? 4或0 ? 2 ? 1,

由函数 y=2x 的单调性可得 x ? (??,0] ? [1,2] 。 7. (2x)2+a(2x)+a+1=0 有实根,∵ 2x>0,∴相当于 t2+at+a+1=0 有正根,

?? ? 0 ?? ? 0 ? 或 ?? a ? 0 ? ? f ( 0) ? a ? 1 ? 0 ? a ? 1 ? 0 ? 则
a ?x ?1 1 ? a x ? ? ? f ( x),? ( x) ?x x 8. (1)∵定义域为 x ? R ,且 f(-x)= a ? 1 1 ? a 是奇函数; ax ?1? 2 2 2 ? 1? x ,∵ a x ? 1 ? 1,? 0 ? x ? 2, x a ? 1 a ? 1 a ? 1 (2) f(x)= 即 f(x)的值域为 (-1, 1) ;

a x1 ? 1 a x 2 ? 1 2a x1 ? 2a x 2 ? ? ?0 x x x x a ? 1 a ( a 2 ?1 1 ? 1)(a 2 ? 1) ? R (3)设 x1,x2 ,且 x1<x2,f(x1)-f(x2)= (∵分母大
于零,且 a <a
x1 x2

) ∴f(x)是 R 上的增函数。

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对数函数参考答案 一、选择题: 1、答案 A。 ∵3 =2 ?∴a=log 3 2
a

则: log 3 8-2log 3 6=log 3 2 -2log 3 (2*3) =3log 3 2-2[log 3 2+log 3 3] =3a-2(a+1) =a-2 2、答案 B。 ∵2log a (M-2N)=log a M+log a N, ∴log a (M-2N) =log a (MN) ,∴(M-2N) =MN, ∴M -4MN+4N =MN, ?m -5mn+4n =0(两边同除 n ) ?(
2 2 2 2

3

2

2

2

m n

) -5
5

2

m n

+4=0,设 x=
3 5

m n

?x 2 -5x+4=0 ? (x 2 -2* 2 x+
3 2

5

25 4

)-

25 4

+

16 4

=0

? (x- 2 ) 2 - 4 =0 ? (x- 2 ) 2 = 2 ? x- 2 = ?

5

9

? x= 2 ?
又∵ ∴
m n

5

3 2

m ?x ? 4 ? n ? 4 ?m ? ? ?x ? 1 即 ? n ? 1

2loga (M ? 2N ) ? loga M ? loga N ,看出 M-2N>0 M>0 N>0
=1 即 M=N 舍去,得 M=4N 即
m n

=4 ∴答案为:4

3、答案 D。 ∵loga(1+x)=m loga [1/(1-x)]=n,loga(1-x)=-n 两式相加得: ? loga [(1+x)(1-x)]=m-n loga(1-x?)=m-n

?

?∵ x?+y?=1,x>0,y>0, ? y?=1- x? ?loga(y?)=m-n
1

∴2loga(y)=m-n ?loga(y)= 2 (m-n) 4.答案 D ∵方程 lg x+(lg2+lg3)lgx+lg2lg3=0 的两根为 x1 、 x2 ,[注:lg x 即(lgx) ,这里可把
2 2 2

lgx 看成能用 X,这是二次方程。]

x ∴lg x1 +lg x2 = - a = -(lg2+lg3) ? lg( x1 × 2 )= -lg(2×3)
1 ?∴lg( x1 × x2 )= -lg6=lg 6
5、答案 C ∵log 7 【log 3 (log 2 X)】=0

b

1 ? ∴ x1 × x2 = 6

1 ?则 x1?x2 的值为 6 。

?∴log 3 (log 2 x)=1 ?log 2 x=3 ? x=8
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1
x
?1 2

=8

?1 2

=2

3?( ? 1 ) 2

??

=2

3 2

=

3 22

1
=

2

3

1
= 2 2 =

2 4

6.答案 C lg12=lg3*2*2=lg3+lg2+lg2= 2a+b lg15=lg
30 2

=lg30-lg2=lg3*10-lg2=lg3+1-lg2=b-a+1 (注:lg10=1)

∴比值为(2a+b)/(1-a+b) 7、答案 A

y ? log(2 x?1)

? ?3x ? 2 ? 0 ? x ? 2 3 ? ? 1 2 ?2 x ? 1 ? 0 ? x ? 2 ? ? x ? 3 , x ? 1 ? ? 3x ? 2 的定义域是 ?2 x ? 1 ? 1 ? x ? 1 ?

?2 ? ? ,1? ? ?1, ?? ? ∴答案为: ? 3 ?
8、答案为:C ,y=(- ? ,-3]
2
1

∵x -6x+17=x?-6x+9+8=(x-3)?+8≥8,∵log 2 = log
1 1

1 2

?1

=(-1) log 2 = - log 2 (∴- log 2 x 单

调减 ? log 2 x 单调减 ? log 2 [(x-3)?+8] 单调减.,为减函数 ∴x -6x+17=(x-3)?+8 ,x 取最小值时(x-3)?+8 有最大值 ? (x-3)?+8=0 最小,x=3, 有最大值
2

8, ?log 2 [(x-3)?+8]= log 2 8= - log 2 8= -3,∴值域 y≤-3∴y=(- ? ,-3][注:Y=x 点坐标为(3,8) ,这个 Y 为通用 Y]

1

1

2

-6x+17 顶

9、答案为:C {对数函数的定义:一般地,我们把函数 y=logax(a>0,且 a≠1)叫做对数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞) ,值域是 R。对数函数的解析式: y=logax(a>0, 且 a≠1) 。对数函数的底数为什么要大于 0 且不为 1?【在一个普通对数式里 a<0,或=1 的 时候是会有相应 b 的值。但是,根据对数定义:log 以 a 为底 a 的对数;如果 a=1 或=0 那么 log 以 a 为底 a 的对数就可以等于一切实数(比如 log11 也可以等于 2,3,4,5,等等) 】 } 分析:根据对数函数的图象与性质可知,当 x=9>1 时,对数值小于 0,所以得到 m 与 n 都 大于 0 小于 1, 又 logm9<logn9, 根据对数函数的性质可知当底数小于 1 时, 取相同的自变量, 底数越大对数值越小,所以得到 m 大于 n. ∵logm9<0,logn9<0,得到 0<m<1,0<n<1;又 logm9<logn9,得到 m>n, ∴m.n 满足的条件是 0<n<m<1.

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lg 9 lg (注另解: ∵logm9<0, logn9<0, 得到 0<m<1, 0<n<1; 也可化成 logm9= m , logn9=

lg 9 lg 9 lg 9 lg lg m lg n ,则 < n <0 由于 lg9 大于 0 ∴
【注:换底公式

1 1 lg m < lg n n<m,0<n<m<1.

a,c 均大于零且不等于 1】 10、答案为:A.

?则 loga(x)是减函数, 1=loga(a),∵ log 3 ? 1 即 loga(2/3)<loga(a) ①0<a<1 时 ?∴2/3>a 此时上面有 0<a<1 综述得 0<a<2/3 ?则 loga(x)是增函数, loga(2/3)<1(即 log a) ②a>1 时
2
a

,

a

?∴2/3<a 此时上面有 a>1 综述得取 a>1 有效。 ?∴0<a< 2 3 ,a>1
11、答案为:D。

1 A、 x+1 在(0,2)上是增函数以 2 为底的对数就是一个减函数∴复合函数 y 就是个减函
数。 B、

x 2 ? 1 在(0,2)上递增,但又不能取<1 的数,x<1 不在定义域(0,2)内∴不对。这
种情况虽然是增,但(0,2)内含有<1 的。

1 C、 x 是减函数,以 2 为底的对数是个增函数,∴y 为减函数
1 D、与 A 相反,x?-4x+5=(x-2) +1,对称轴为 2,在(0,2)上递减,以 2 的对数也是递减,
2

所以复合函数是增函数

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12.答案为:C。
1
2

(注:对数函数定义底数则要>0 且≠1 真数>0)∵函数 y=log 2 (ax +2x+1)的值域为 R ∴ax +2x+1 恒>0,令 g(x)=ax +2x+1,显然函数 g(x)=ax +2x+1 是一个一元二次函数(抛物 线),要使 g(x)(即通用的 Y)恒>0, ①必须使抛物线开口向上,即 a>0 ②同时必须使△>0 (保证抛物线始终在 x 轴上方,且与 x 轴没有交点,这也是△不能为 0 的原 因)(注:如△<0, 抛物线可在 x 轴下方,且与 x 轴有交点) 即 b -4ac=4-4a>0,解得 a<1。∴则实数 a 的取值范围是 0<a<1。 说明:答案是 0<a<1,而不是 0≤a≤1。 二、填空题: 13 答案为: 【注:自然常数 e(约为 2.71828)是一个无限不循环小数。是为超越数。ln 就是以 e 为底 的对数。ln1=0,lne=1。 设2 ∵2
1og 2 3
2 2 2 2

=x ?则由指数式化为对数式可得: log 2 x= (log 2 3) ?∴x=3
1og 2 3

1og 2 3

=x, 又∵ x=3, ?∴2

=3.】
1 2

1 log2.56.25+lg 100 +ln e +

21?log2 3 = log
3

2.5

?2.5?2

+

lg10

?3

+ lne

+2 ? 2
1

1og 2 3

1 1 log 3 1 log2 2?1 ? 2 ?1?1og 2 3 ?1?1og 2 3 5 2 2 2 =2+(-3)+ +2 ? 3=2-3+ +6= 。 【注:假如是 2 ,则 2 =2
=2
log2 2?1?3

=2

log2 1 ?3 2

=2

log 2 3 2

=2 】

14、答案为: (2)要使原函数有意义,则真数大于 0,底数大于 0,底数不等于 1 。

?3 ? x ? 0 ? 3 ? x ? ? ? ? x ? 1 ? 0 ? x ? 1 ?1 ? x ? 3, x ? 2 ? ?x ? 1 ? 1 ? x ? 2 ? ? ? ∴函数的定义域为(1,2)∪(2,3) 。
15、答案为:∵lg2+lg5=1 ,lg10=1 lg25+lg2 ? lg50+(lg2)
2 2

=lg5 +lg2 ? lg50+lg2 ? lg2 ?=2lg5+lg2(lg50+lg2) =2lg5+lg2 ? lg100 ?=2lg5+lg2 ? lg10 =2lg5+2lg2 ?=2(lg5+lg2) 16、答案为:
2

?=2lg5+lg2lg(50 ? 2) ?

?=2lg5+lg2 ? 2lg10 ?

?=2lg10 ?=2

51

高中数学必修一笔记和习题

x 2 ?1 ? x

第①种解:∵f(-x)=lg( x ? 1 +x)=lg( x ? 1 +x)*
2 2

x 2 ?1 ? x

( x2 ?1? x )?( x 2 ?1? x )

( x 2 ?1 ? x 2 )

2

( x 2 ?1) ? x 2

=lg

x 2 ?1? x

=lg

x 2 ?1? x

=lg

x 2 ?1? x

= lg

1 x 2 ?1? x =lg(

x 2 ? 1 -x) ? 1 = -lg( x 2 ? 1 -x)= -f(x), f(-x) = -f(x)∴是奇函数

第②种解: ∵f(-x)+f(x)= lg( x ? 1 +x)+ lg( x ? 1 -x)= lg[( x ? 1 +x) ? ( x ? 1 -x)]= lg
2 2 2 2

(x +1-x )= lg1=0, f(-x)-f (x)=0,∴f(-x)与 f (x)互为正负数

2

2

?

∴f(-x)= -f(x),∴f(x)为奇函数. 三、解答题: 17 已知 y=loga(2-ax)在区间{0,1}上是 x 的减函数,求 a 的取值范围. 答案为: 【对数函数含义:一般地,如果 a(a>0,且 a≠1)的 y 次幂等于 x,那么数 y 叫做 以 a 为底 x 的对数, 记作 logax=y, 其中 a 叫做对数的底数, x 叫做真数。 y 叫对数(即是幂)。 注意:负数和 0 没有对数。 底数 a 则要>0 且≠1,真数 x>0。并且,在比较两个函数值时:

?(a ? 1 ? 时)如果底数a一样, 真数x越大, 函数值y越大。 是增函数。 ? ? ? ? ? ?(0 ? a ? 1 ? 时)如果底数a一样, 真数x越小, 函数值y越大。 是减函数。 ?
对于不同大小 a 所表示的函数图形:关于 X 轴对称:

以上要熟记】

52

高中数学必修一笔记和习题

解题: ∵y=loga(2-ax)在区间{0, 1}上是 x 的减函数, ∵a>0, 真数 (2-ax) 已经是减函数了, 然后要使这个复合函数是减函数,那么对数底 a 要是增函数,∵增减复合才得减,∴由函数 通用定义知要使函数成增函数必 a>1。
2 a 又∵函数定义域:2-ax >0 得 ax<2, ∴x<

? x ? 1(取最大时)? ? ? ? a取最大时 ? ? 又∴a 是对数的底数 ?a>0 且 a≠1。∵[0,1]区间内 2-ax 递减,∴当 ?

?即-ax 最大时,2-ax 取得最小值,为 2-a。
2 2 ∵x=1∵x< a 可得 a >1,∴a<2. ∴a 的取值范围 1<a<2 。

f ( x 2 ? 3) ? lg
18、已知函数

x2 x2 ? 6 ,

(1)求 f ( x ) 的定义域;(2)判断 f ( x ) 的奇偶性。 解题: 【注:定义域没有与原点对称的函数是非奇非偶函数。 如果定义域是全体实数,那肯定就是关于原点对称了,那就可能或奇或偶函数、既奇又偶函 数。 如果定义域不是全体实数,比如是全体正实数,那定义域在 x 轴的负半轴上都不能取值,当 然更谈不上是对称了。 再比如定义域是全体负实数, 那定义域在 x 轴正半轴也不能取值, 所以定义域也不是关于原 点对称。
1 1 ? 举个例子:f(x)= x 此题的定义域是 x ? 1,那么如果定义域要是关于原点对称,x 也 ?

-1。 再举个例子:f(x)=x 的偶次方根,此题的定义域是 x 非负,x 非负这个取值,关于原点的 对称区间是 x 非正(没有) 。 所以两个例子中的定义域都不是关于原点对称的。 】 解题: (即 Y 值的取值方向固定)

(1)设 x -3= t(t>-3) ,∵

2

x 2 ? 3? ? 3 ? x2 f ( x ? 3) ? lg 2 ? lg 2 x ?6 ? x ? 3? ? 3
2

,∴f(t)=lg t ?3 ,又由

t ?3

x2 ?0 x2 ? 6

?

t ?3 t ?3

2 2 >0,∴t>3 ? x ? 3 ? 3 (注:这里 x 非负),

?3, ??? 。 ∴ f ( x ) 的定义域为
2 (2)∵ f ( x ) 的定义域不关于原点对称(x 非负),∴ f ( x ) 为非奇非偶函数。

19、已知函数

f ( x) ? log 3

mx 2 ? 8 x ? n ?0, 2? ,求 m, n 的值。 x2 ? 1 的定义域为 R ,值域为

53

高中数学必修一笔记和习题

解题:
mx 2 ?8 x ? n 2 2 x 2 ?1 的定义域为 R,∵x +1>0,∴mx +8x+n>0 恒成立.

∵f(x)=log 3

mx 2 ?8 x ? n mx 2 ?8 x ? n 2 x ?1 x 2 ?1 令 y= ,∵函数 f(x)的值域(即 log 3 )为[0,2], mx 2 ?8 x ? n 2 2 2 2 x 2 ?1 ∴ 1≤y(即 )≤9 。 y(x +1)=mx +8x+n ?yx +y -mx -8x-n=0 ? (y-m)
?x -8x+y-n=0 成立。 ∵x∈R,可设 y-m≠0,∴方程的判别式△=64-4(y-m) (y-n)≥0
2

?-16 +(y-m) (y-n) ? 0 ?即 y
2

2

-(m+n)y+mn-16≤0.

∵y=1 和 y=9 是方程 y -(m+n)y+mn-16=0 的两个根,

b ∴y 1 +y 2 = - a =m+n=10,y 1 ? +y 2 =mn-16=9。 ? m=10-n,

? (10-n) n-16=9 ?10n-n
20.已知 x 满足不等式 2log
1 2

2

-25=0

?

n -10n +25=0

2

?(n-5)

2

=25

?m=n=5。

若 y-m=0,即 y=m=n=5 时,对应的 x=0,符合条件。综上可得,m=n=5。

x +7log x +3≤0,求函数 f(x)=log 2

2

1 2

x x 4 ? log 2 2 的最大值

和最小值。 (换元法是必须要有的)求多种方法。 解题: 第①种解:设 a = log 2log
1 2 1 2

x,则原不等式
2

x +7log 2 x +3≤0 可化为: 2a

2

1

+ 7a + 3 ≤ 0

∴(a + 3) (2a + 1) ≤ 0 ? ∴-3 ≤ a ≤- 2
1

? ? a ? 3 ? 0 ? a ? ?3 ? 无解 ?? 1? ??2 a ? 1 ? 0 ? a ? ? 2 ? ? ? ? a ? 3 ? 0 ? a ? ?3 ? 1 ??2 a ? 1 ? 0 ? a ? ? 1 ? ? 3 ? a ? ? 2 2? ??
1 2

?∴-3 ≤log
2

x ≤- 2

1

?-3 ≤-log
1

x ≤- 2

1

?

?? 3 ? ? log 2 x ? 3 ? log 2 x ? ?1 ? log 2 x ? 3 ? 1 1? 2 ?? log 2 x ? ? 2 ? log 2 x ? 2 ? ?

∴ 2 ≤ log 2 x ≤ 3。

54

高中数学必修一笔记和习题

解以上不等式的所有方法中,“因式分解法”较为简便.

f(x)=log 2

x x 4 ? log 2 2 = (log 2 x -log 2 4) × (log 2 x -log 2 2)

=(log 2 x -2) × (log 2 x -1) 设 m = log 2 x , ∵ 2 ≤ log 2 x ≤ 3 (已证) ∴ m ∈ [ 2 ,3 ] 于是问题转化为: 求函数 y = f(x) = ( m - 2 ) × ( m -1 ) 的最大值和最小值. 这是典型的“闭区间上的二次函数求最值”问题. y = f(x) = ( m - 2 ) × ( m -1 ) y = f(x) = m -3m+ 2 = m - 2 m+ 4 - 4
2 2

1

1

6

9

1

?y = f(x) = (m -

3 2

) - 4 其中 m ∈ [ 2 ,3 ]
3
2

2

1

1

考察二次函数 y = f(x) = (m - 2 ) - 4
b 3 1 1 2 开口向上、对称轴为 m = - a = 2 、最小值为- 4 、关键是定义域为 m ∈[ 2 ,3 ].

1

画出二次函数 y = f(x) = (m - 2 ) - 4 的图像,

3

2

1

由图知:对称轴在定义域范围之内, 故当 m = 2 时,函数 y = f(x) 取到最小值- 4 ; 当 m = 3 时,函数 y = f(x) 取到最大值,把 m = 3 代入二次函数表达式求得该最大值为: (3 - 2 ) - 4 =( 2 - 2 ) - 4 = 4 - 4 =2. 第②种解:设 a = log 则原不等式 2log
1 2 1 2

3

1

3

2

1

6

3

2

1

9

1

x

x +7log 2 x +3≤0 可化为:

2

1

55

高中数学必修一笔记和习题

2a

2

+ 7a + 3 ≤ 0(这种基本化解要熟)

∴(a + 3) (2a + 1) ≤ 0
1

∴-3 ≤ a ≤- 2 (同上化得) ∴-3 ≤log
1
1 2

1

x ≤- 2

(同上化得)
2

∴ 2 ≤log 2 x ≤ 3

?log

2 ≤log 2 x ≤log 2 2

1 2

3

?2 ≤ x ≤ 2 3

1 2

?∴

2 ≤ x ≤ 8∴x ∈[ 2 ,8]

f(x)=log 2

x x 4 ? log 2 2 =(log 2 x -log 2 4) ×(log 2 x -log 2 2)
2

= (log 2 x -2) × (log 2 x -1)= (log 2 x) - 3 log 2 x + 2 = (log 2 x - 2 ) - 4 +2= (log 2 x - 2 ) - 4 ∵x∈[ 2 ,8] 而对称轴 3/2 在定义域[ 2 ,8]之内。∴当 x = 当 x = 8 时,f(x)有最大值, 最大值为: (log 2 8 - 2 ) - 4 =(3 - 2 ) - 4 = 2.。 21. 已知 x>0,y ? 0,且 x+2y=1,求 g=log 解题: 第①种解由 x+2y=1,得: 2y=1-x,
2 2

3

2

9

3

2

1

3 2

时,f(x)有最小值- 4 ;

1

3

2

1

3

2

1

1 2

(8xy+4y2+1)的最小值

∴8xy+4y +1=4x ? 2y+(2y) +1=4x(1-x)+ (1-x) +1
2

=4x-4x +1-2x+x +1 =-3x +2x+2= -3(x - 3 x+ 9 )+ 3 +2 =-3(x- 3 ) + 3 , 当 x= 3 时,有最大值: 3 , 而 y=log 2 x 在定义域上是减函数, ∴当 x= 3 ,y= 3 时, log
1 2
1

2

2

2

2

2

1

1

1

2

7

1

7

1

1

(8xy+4y +1)有最小值:log 2

2

1

7 3

=-log 2 7 - log 2 3

?1

=log 2 3-log 2 7.

56

高中数学必修一笔记和习题

第②种解∵x+2y=1, ∴8xy+4y +1= x +4xy+4y +4xy-x +1=(x+2y) +4xy-x +1=1+4xy -x +1
2 2 2 2 2 2 2

1 1 2 2 =-x +4xy+2=-x +4x( 2 - 2 x)+ 2= -x +2x -2x +2
2 2

2 1 1 3 9 =-3x +2x+2= -3(x - x+ )+ 3 +2
2 2

7 1 2 3 =-3(x- ) + 3 ,
当 x= 3 时,有最大值: 3 , 而 y=log 2 x 在定义域上是减函数, ∴当 x= 3 ,y= 3 时, log
1 2
1

1

7

1

1

(8xy+4y +1)有最小值:log 2

2

1

7 3

=-log 2 7 - log 2 3

?1

=log 2 3-log 2 7.

10 x ? 10? x x ?x 22. 已知函数 f(x)= 10 ? 10 。
(1)判断 f(x)的奇偶性与单调性; (2)求 f
?1

x

【注: 反函数一般地, 设函数 y=f(x)(x∈A)的值域是 C, 若找得到一个函数 g(y)在每一处 g(y) 都等于 x,这样的函数 x= g(y)(y∈C)叫做函数 y=f(x)(x∈A)的反函数,记作 y=f 数 y=f
?1 ?1

(x) 。反函

(x)的定义域、值域分别是函数 y=f(x)的值域、定义域。

一般地,如果 x 与 y 关于某种对应关系 f(x)相对应,y=f(x) ,则 y=f(x)的反函数为 x=f
?1

(y)。存在反函数(默认为单值函数)的条件是原函数必须是一一对应的(不一定是整个数

域内的) 。注意:上标"?1"指的并不是幂。 在微积分里,f
(n)

(x)是用来指 f 的 n 次微分的。

若一函数有反函数,此函数便称为可逆的(invertible) 。 简单的说,就是把 y 与 x 互换一下,比如 y=x+2 的反函数首先用 y 表示 x 即 x=y-2,把 x、y 位置换一下就行那么 y=x+2 反函数就是 y=x-2。 在函数 x=f
?1

(y)中,y 是自变量, x 是函数,
?1

但习惯上,我们一般用 x 表示自变量,用 y 表示函数,为此我们常常对调函数 x=f 的字母 x,y,把它改写成 y=f
?1

(y)中

(x),今后凡无特别说明,函数 y=f(x)的反函数都采用这种经

57

高中数学必修一笔记和习题

过改写的形式。

函数及其反函数的图形关于直线 y=x 对称】

解题:

10 x ? 10? x 10 x ? 10? x 10 ? x ?10 ? ( ? x ) 10? x ?10x ?x ?( ? x ) x ?x x ?x ?x x ∵已知函数 f(x)= 10 ? 10 ,∴f(-x)= 10 ?10 = 10 ?10 = - 10 ? 10 = - f(x),∴
是奇函数。 令 a=10 ,则 10
x ?x

1 = a ,a>0。

a? 1 a
∴y=f(x)=

a? 1 a

,上下同 ? a

?

a2 ?1?2 a 2 ?1 2 2 a 2 ?1 2 2 2 2 a 2 ?1 = a ?1 = a ?1 - a ?1 =1- a ?1

设 a 1 ,a 2 ∈(-∞,+∞) ,且 a 2 > a 1 ,
2 2 2 2 2 2 2 2 a ?1 a ?1 则 f(a 2 ) -f(a 1 ) =1- a2 ?1 -(1- 1 )=- a2 ?1 + 1

=

? ( a 22 ?1)( a 2 ?1) ? ( a 22 ?1)( a 2 ?1)
1 1

2 ( a12 ?1)

2 ( a 2 2 ?1)

2 ( a 2 2 ?1)?2 ( a12 ?1)

2 a 2 2 ?2 a12
=

=
2

( a 2 2 ?1)( a12 ?1)
2

( a 2 2 ?1)( a12 ?1)
2

∵a=10 >0,∴a >0,a +1>1。

x

2

2

( a 2 ?1)( a1 ? 1)

>0 ,∵a

>a 1

?∴ 2a

2 2

?2 a1

2

>0,

2 a 2 2 ?2 a12


( a 2 2 ?1)( a12 ?1)

>0

? f(a

2

) -f(a 1 )>0,∴f(x)为增函数。
2

2 2 2 2 a ? 1 a ∵f(x)= 1。设 y=1- ?1

?y-1= - a ?1 ?1-y= a ?1
2

2

2

?

1? y 2

1 a = ?1
2

?

2 1? y

=a

2

?1

?a =
2

2 1? y

-1 ? a

2

2?(1? y ) = 1? y

58

高中数学必修一笔记和习题

?

1? y 1? y x x x 2 2 2 a = 1? y 。∵a=10 ,a =10 ∴10 = 1? y
2

?

1? y 2x=lg 1? y

?x= 1 2 lg 1? y

1? y

?1 1? x ?即 y= 1 2 lg 1? x ,∴ f x = 2 lg 1? x 。

1

1? x

幂函数参考答案 一、选择题 1.[答案] A [解析] y=2x 是指数函数,不是幂函数. 2.[答案] D 3. [答案] D 1 2

[解析] 由 y=x

知其定义域与值域相同,但是非奇非偶函数,故能排除 A、B;又 y=x3

的定义域与值域相同,是奇函数,故排除 C. 4.[答案] B [解析] 幂函数 y=(m2-3m+3)x m2-m-2 中,系数 m2-3m+3=1,∴m=2,1.又∵y=(m2 -3m+3)x m2-m-2 的图象不过原点,故 m2-m-2≤0,即-1≤m≤2,故 m=2 或 1. 5. [答案] A 6.[答案] C - [解析] 直线对应函数 y=x, 曲线对应函数为 y=x 1,1≠-1.故 A 错; 直线对应函数为 y=2x, 1 2 1 ,2≠ .故 B 错;直线对应函数为 y=2x,曲线对应函数为 y=x2,2= 2

曲线对应函数为 y=x

2.故 C 对;直线对应函数为 y=-x,曲线对应函数为 y=x3,-1≠3.故 D 错. 7.[答案] A 3 2 5 5 2 2 2 [解析] 对 b 和 c,∵指数函数 y=( )x 单调递减.故( ) <( ) ,即 b<c. 5 5 5 2 5

对 a 和 c,∵幂函数.y=x

在(0,+∞)上单调递增,

2 2 5 5 3 2 ∴( ) >( ) ,即 a>c,∴a>c>b,故选 A. 5 5 8.[答案] C [解析] 设 f(x)=xα,代入(2,4)得 x=2,f(x)=x2, ∴f(x)=x2 在(0,+∞)为增函数,故选 C. 二、填空题 9.[答案] 8

59

高中数学必修一笔记和习题

3 - 2 1 1 3 1 1 [解析] 设幂函数为 y=xα,将点(3, )代入,得 =3α,则 α=- ,所以 f( )=( ) 2 4 4 27 27 =8. 10. [答案] -1 [解析] 由题意,知 m2-m-1=1, 解得 m=2,或 m=-1. - 当 m=2 时,m2-2m-1=-1,函数为 y=x 1,不是偶函数; 当 m=-1 时,m2-2m-1=2,函数为 y=x2,是偶函数,满足题意. 11. [答案] ± 3 [ 解析 ] -1 2
?m2-2=1, ? 若 f(x) 是正比例函数,则 ? 即 m = ± 3 ;若 f(x) 是反比例函数,则 ? ?m-1≠0,

?m2-2=-1, ? ? 即 m=-1;若 f(x)是幂函数,则 m-1=1,即 m=2. ?m-1≠0, ?

12. [答案] ③ 1 2

[解析] ①中函数 y=x

不具有奇偶性;②中函数 y=x4 是偶函数,但在[0,+∞)上为增函 1 3

数; ③中函数 y=x

-2

是偶函数, 且在(0, +∞)上为减函数; ④中函数 y=-x

是奇函数. 故

填③. 三、解答题 - - 13.已知函数 f(x)=(m2-m-1)x 5m 3,m 为何值时. (1)f(x)是正比例函数; (2)f(x)是反比例函数; (3)f(x)是二次函数; (4)f(x)是幂函数. 4 [解析] (1)若 f(x)是正比例函数,则-5m-3=1,解得 m=- ,此时 m2-m-1≠0,故 m= 5 4 - . 5 2 2 (2)若 f(x)是反比例函数,则-5m-3=-1,解得 m=- ,即 m2-m-1≠0,故 m=- . 5 5 (3)若 f(x)是二次函数,则-5m-3=2,即 m=-1,此时 m2-m-1≠0,故 m=-1. (4)∵f(x)是幂函数,故 m2-m-1=1,即时 m2-m-2=0,解得 m=2 或 m=-1. 14. 已知函数 y=xn2-2n-3(n∈Z)的图象与两坐标轴都无公共点, 且其图象关于 y 轴对称, 求 n 的值,并画出函数的图象. [解析] 因为图象与 y 轴无公共点,所以 n2-2n-3≤0,又图象关于 y 轴对称,则 n2-2n-3 为偶数,由 n2-2n-3≤0 得,-1≤n≤3,又 n∈Z.∴n=0,± 1,2,3 -3 当 n=0 或 n=2 时,y=x 为奇函数,其图象不关于 y 轴对称,不适合题意. 当 n=-1 或 n=3 时,有 y=x0,其图象如图 A.

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当 n=1 时,y=x 4,其图象如图 B. ∴n 的取值集合为{-1,1,3}. 15.已知 f(x)=x-n2+2n+3(n=2k,k∈Z)的图象在[0,+∞)上单调递增,解不等式 f(x2- x)>f(x+3). [解析] 依题意,得-n2+2n+3>0,解得-1<n<3. 又∵n=2k,k∈Z,∴n=0 或 2. 当 n=0 或 2 时,f(x)=x3, ∴f(x)在 R 上单调递增, ∴f(x2-x)>f(x+3)可转化为 x2-x>x+3.解得 x<-1 或 x>3, ∴原不等式的解集为(-∞,-1)∪(3,+∞). 16.(2012~2013 温州联考)已知幂函数 f(x)=x-m2+2m+3(m∈Z)为偶函数,且在区间(0, +∞)上是单调增函数. (1)求函数 f(x)的解析式;


(2)设函数 g(x)= f?x?+2x+c,若 g(x)>2 对任意的 x∈R 恒成立,求实数 c 的取值范围. [解析] (1)∵f(x)在区间(0,+∞)上是单调增函数, ∴-m2+2m+3>0,即 m2-2m-3<0,作出函数 y=m2-2m-3 的图象(图略)观察图象知- 1<m<3.又 m∈Z,∴m=0,1,2,而 m=0,2 时,f(x)=x3 不是偶函数,m=1 时,f(x)=x4 是偶 函数. ∴f(x)=x4. (2)由(1)知 f(x)=x4,则 g(x)=x2+2x+c=(x+1)2+(c-1). ∵g(x)>2 对任意的 x∈R 恒成立, ∴g(x)min>2,且 x∈R,则 c-1>2,解得 c>3. 故实数 c 的取值范围是(3,+∞). 指数函数、对数函数和幂函数专题练习 一、选择题 1.D 解析: 由函数 f(x)=(a2-1)x 的定义域是 R 且是单调函数, 可知底数必须大于零且不等于 1, 因此该函数是一个指数函数,由指数函数的性质可得 0<a2-1<1,解得 1<|a|< 2 . 2.C 解析:由于函数 y=ax 在[0,1]上是单调的,因此最大值与最小值都在端点处取到,故有 - a0+a1=3,解得 a=2,因此函数 y=3ax 1 在[0,1]上是单调递增函数,最大值当 x=1 时 取到,即为 3.

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3.D - - 解析:由于函数 y=ax 经过定点(0,1),所以函数 y=ax 2 经过定点(2,1),于是函数 y=ax 2 +1 经过定点(2,2). 4.D
x ?1? ?1? ? ? ,(x≥0) ? ? ?2? 解析:因为函数 f(x)= ? 2 ? =图象如下图. x

2x, (x<0)

(第 4 题) 由图象可知答案显然是 D. 5.B 解析:
1 - 解法一:y=logax 的反函数为 y=a ,而 y=loga x 的反函数为 y=a x,因此,它们关于 y 轴 对称. 解法二:因为两个给出的函数的图象关于 x 轴对称,而互为反函数的图象关于直线 y=x 对
x

1 称,因此 y=logax 的反函数和 y=loga x 的反函数的图象关于 y 轴对称.答案选 B. 6.解析: x-1 1 由题意,得 1- x >0 ? x >0,∴x<0 或 x>1.故选 D.

7.C 解析:∵0<a<1,f(x)<0,∴a2x-2ax-2>1,解得 ax>3 或 ax<-1(舍去), ∴x<loga3,故选 C. 8.D 解析:从曲线走向可知 0<a<1,从曲线位置看, 有 f(0)<1,故-b>0,即 b<0,故选 D. 9.B 解析:只要比较当 x=4 时,各函数相应值的大小. (第 8 题) 10.A 1 x x 解析:由于 2 +1 在(-∞,+∞)上大于 0 单调递增,所以 f(x)= 2 +1 单调递减, (-∞,+∞)是开区间,所以最小值无法取到. 二、填空题 11.三、四.
?1? ?1? ? ? ? ? - 解析: y=-2 x=- ? 2 ? , 它可以看作是指数函数 y= ? 2 ? 的图象作关于 x 轴对称的变换,
x x

因此一定过第三象限和第四象限. 12.a> 2 或 a<- 2 .

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解析:不妨把 a2-1 设为 A,所给函数为指数函数 f(x)=Ax,由指数函数的性质结合图象可 以得到 A>1 即 a2-1>1 解得 a> 2 或 a<- 2 . 13.(-∞,- 2 )∪( 2 ,+∞). 解析:由已知得 a2-1>1,即 a2>2 可得.
? 5? ? ? ? 14. ? -∞,- 2 ? .

解析:即求二次函数 y=4-5x-x2 的增区间. 15.{x | 1<x<2}. 解析:x 应满足即解得 1<x<2. log 1 (2-x)>0, 2-x<1 故函数的定义域为{x | 1<x2 <2}. 2-x>0 16.-1. 2-x>0, 解析:因为 x≥0 时,f(x)=log3(1+x),又 f(x)为奇函数,所以 f(-x)=-f(x),所以 f(-2)= -f(2)=-log3(1+2)=-log33=-1. 三、解答题 1 17.a=3 或 3 . 解析:令 t=ax,则 y=t2+2t-1.∵t>0 且 y(t)在(0,+∞)上单调递增,解方程 1 1 2 t +2t-1=14 得正根为 t=3.当 a>1 时,a=3;当 0<a<1 时, a =3,a= 3 . 18.定义域为 x∈(-∞,-1]∪[1,+∞);单调递增区间为[1,+∞). 解析:要使函数有意义必须 x2-1≥0, ∴x≤-1 或 x≥1,定义域为 x∈(-∞,-1]∪[1,+∞).
2 2 令 u= x -1 ,则 y=3u..由于 y=3u 是增函数,故只须求 u= x -1 的递增区间即可.当 2 x∈[1,+∞),u= x -1 单调递增,故 y=3
x 2-1

的单调递增区间为[1,+∞).

1 19. [ 16 ,1). 解析:由 x2-logmx<0 得 x2<logmx. 在同一坐标系中作 y=x2 和 y=logmx 的图象,要使 1 2 x <logmx 在(0, 2 )内恒成立, 1 只要 y=logmx 在(0, 2 )内的图象在 y=x2 的上方, 于是 0<m<1, 1 1 2 ∵x= 2 时 y=x = 4 , 1 1 1 1 2 2 4 ∴只要 x= 时 y=logm ≥ =logmm 4 . 1 1 1 4 ∴ 2 ≤m ,即 16 ≤m.

(第 19 题)

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1 又 0<m<1,∴ 16 ≤m<1. 1 故所求 m 的取值范围是[ 16 ,1).

20*.p=1,此时 f(x)=x2. 解析:①若 y=xα 在 x∈(0,+∞)上是递增函数,则有 α>0. ∵f(x)在(0,+∞)上是增函数, 1 3 ∴- 2 p2+p+ 2 >0. 解得-1<p<3,而 p∈Z, ∴p=0,1,2. 当 p=0 或 2 时,有 f(x)=x 不是偶函数,故 p=1,此时 f(x)=x2. 21.解 (1)(lg2)2+lg2· lg50+lg25 2 =(lg2) +lg2(lg2+2lg5)+2lg5 =2(lg2)2+2lg2lg5+2lg5 =2lg2(lg2+lg5)+2lg5=2. 1 1 2 25? ?64? 3 -2 (2)原式=? + ?9? ?27? 5 4 = + -2=3-2=1. 3 3 (3)原式=lg5(lg5+lg2)+lg20-2 5+2 5 =lg5+lg2+1=2.
?1+x>0, ? 22.解 (1)依题意,得? 解得-1<x<1. ?1-x>0, ?
3 2

∴函数 h(x)的定义域为(-1,1). ∵对任意的 x∈(-1,1),-x∈(-1,1), h(-x)=f(-x)-g(-x)=loga(1-x)-loga(1+x)=g(x)-f(x)=-h(x), ∴h(x)是奇函数. (2)由 f(3)=2,得 a=2. 此时 h(x)=log2(1+x)-log2(1-x), 由 h(x)>0,即 log2(1+x)-log2(1-x)>0, 得 log2(1+x)>log2(1-x). 则 1+x>1-x>0,解得 0<x<1. 故使 h(x)>0 成立的 x 的集合是{x|0<x<1}. 1 ? ?a≤12, ?6a≥2, 23.解 由题意得? 得? 1 ?6a×22-2×2+3>0, ? ?a>24, 1 1 得 <a≤ , 24 12 1

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1 1 故 a 的取值范围是 <a≤ . 24 12 24.解 由 2x2-6x+8≤1 由二次函数 y=x2-6x+8 的图像可知 2≤x≤4. 设 log1 x=t,∵2≤x≤4, 4 1 1 ∴-1≤log1 x≤- ,即-1≤t≤- . 2 2 4 1 ∴f(x)=t2-t+5 对称轴为 t= , 2 1? ∴f(x)=t2-t+5 在? ?-1,-2?单调递减, 故 f(x)max=1+1+5=7, 1?2 1 23 f(x)min=? ?-2? +2+5= 4 . 23 综上得 f(x)的最小值为 ,最大值为 7. 4 25.解
1 k ? =1, ?a ? (1)由题意得 2+k ?a =8. ?
- + +

? ?a=2, 解得? ?k=1. ?

(2)由(1)知 f(x)=2x 1,得 - - f 1(x)=log2x-1,将 f 1(x)的图像向左平移 2 个单位,得到 y=log2(x+2)-1,再向上平移到 1 个单位,得到 y=g(x)=log2(x+2). (3)由 g(x)≥3m-1 在[2,+∞)恒成立, 只需 g(x)min≥3m-1 即可. 而 g(x)min=log2(2+2)=2, 即 2≥3m-1,得 m≤1.

第三章函数的应用

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参考答案 一、选择题 1.B

1 解析:令 f(x)=6x -5x-1=0,得 x1=1,x2=- 6 .
2

2.C 解析:将-1,0,1,2 分别代入到 f(x)=x4-2x+1 中,只有 f(1)=0,故答案选 C. 3.D 解析:函数有零点,即存在自变量 x0,使得 f(x0)=0,反映在图象上就是与 x 轴有交点.本 题要求在区间(0,+∞)上有零点,即交点在 x 轴的正半轴上. 4.D 解析:二次函数、奇函数、偶函数都有可能无零点,故以上说法均不正确. 5.B 解析: 因为在零点附近的函数值都为正值, 而二分法是通过零点附近函数值异号进行求解的. 6.C 解析: ∵f(1)=-1<0, f(2)=7>0, ∴函数 f(x)=x3+x2-2x-1 的一个正零点一定在区间 [1, 2]里. 7.A 解析:0<a<1 时,1 个;a>1 时,1 个. 8.C 解析:令 x3+ax2-(a2+1)x=0,可求出三个根. 9.B 解析:由 f(2)=0 得 a=1. 10.A 解析:B 选项函数的定义域有误,C,D 选项函数的解析式不对. 二、填空题 11.0,-1,1. 解析:令 f(x)=x3-x=0,可求得. 12.a≥-1. 解析:若函数 f(x)=ax2+2x-1 一定有零点,则方程 ax2+2x-1=0 一定有实根, 故 a=0 或 a≠0 且方程的判别式大于等于零. 13.(-∞,-2]∪[1,+∞). 解析:因为函数 f(x)=2mx+4 在区间[-2,1]上存在零点,其图象是一条线段,所以 f(- 2)f(1)≤0,可求实数 m 的取值范围是(-∞,-2]∪[1,+∞). 14. [2,2.5] . 解析:若取区间[2,3]作为计算的初始区间,则下一个区间应取为[2,2.5]或 [2.5,3] ,由于 f(2)f(2.5)<0,故取[2,2.5] .

1 15.函数的单调递增区间为(-∞, 2 ). b 1 b 解析:∵f(-1)=0,f(2)=0,f(5)<0,∴a<0, a =-1∴- 2a = 2 ,函数的单调递增区

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1 间为 (-∞, 2 ).
16.35. 解析:Q=0.002 5y2-0.175y+4.27 在 x=35 处取得最小值. 三、解答题 17.解:因为二次函数 f(x)=-x2+2ax+4a+1 的图象开口向下,且在区间(―∞, 4 f(-1)>0 5 ―1),(3,+∞)内各有一个零点,所以,解得 a> . f(3)>0 18.解:设 F(x)=f(x)-g(x),则 F(x)的图象在[a,b]上是连续不断的. 因为 f(a)<g(a),f(b)>g(b),所以 F(a)·F(b)<0. 因此 F(x)在(a,b)内至少存在一个零点,设为 x0.即 F(x0)=0,也即 f(x0)=g(x0).
?1 ? ? ,1? 19.当 f(1)·f(2)≤0 时函数 f(x)在区间[1,2]内有零点,解得 k∈ ? 2 ? ,所以实数 k 的取 ?1 ? ? ,1? 值范围为 ? 2 ? .

20.由于 f(x)=x3-3x+1 在区间[1,2]上的图象是连续不间断的,且 f(1)·f(2)=-3<0, 所以函数 f(x)在区间(1,2)内必有零点. 取区间[1,2]作为计算的初始区间,用二分法逐次计算,列表如下: 端点(中点)坐标 x0=1.5 x1=1.75 x2=1.625 x3=1.562 5 x4=1.531 25 x5=1.546 875 x6=1.539 062 5 计算中点的函数值 f(x0)=-0.125<0 f(x1)=0.109 375>0 f(x2)=0.416 015>0 f(x3)=0.127 197 265>0 f(x4)=0.003 387 451 17<0 f(x5)=0.060 771 942>0 取区间 [1,2] [1.5,2] [1.5,1.75] [1.5,1.625] [1.5,1.562 5] [1.531 25,1.562 5] |an-bn| 1 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.03125

[1.531 25,1.546 875] 0.015625

由上表可知 x6=1.539 062 5 可作为所求函数的误差不超过 0.01 的一个零点的近似值.

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